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La teoria del caos




  1. Movimiento caótico
  2. Atractores
  3. Sistemas dinámicos y teoría del caos
  4. Teoría del caos, aplicación meteorológica
  5. Algo más de atractores
  6. Teorías de falla
  7. Teoría de falla por energía de distorsión máxima
  8. Concentración de esfuerzos
  9. Diseño por carga cíclica

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Diagrama de la trayectoria del sistema de Lorenz para los valores r = 28, s = 10, b = 8/3

Teoría del Caos es la denominación popular de la rama de las matemáticas y la física que trata ciertos tipos de comportamientos aleatorios de los sistemas dinámicos.

Los sistemas dinámicos se pueden clasificar grosso modo en:

estables

inestables

caóticos (Caos determinista)

Un sistema estable tiende, según transcurre el tiempo, a un punto u órbita, según su dimensión (atractor).

Un sistema inestable se escapa de los atractores, y un sistema caótico manifiesta los dos comportamientos.

Por un lado, existe un atractor por el cual el sistema se ve atraído, pero a la vez, hay "fuerzas" que lo alejan de éste.

De esa manera, el sistema permanece confinado en una zona de su espacio de estados, pero sin tender a un atractor fijo.

Una de las mayores características de un sistema inestable es que tiene una gran dependencia de las condiciones iniciales.

De un sistema del que se conocen sus ecuaciones características, y con unas condiciones iniciales fijas, se puede conocer exactamente su evolución en el tiempo.

Pero en el caso de los sistemas caóticos, una mínima diferencia en esas condiciones hace que el sistema evolucione de manera totalmente distinta.

Ejemplos de tales sistemas incluyen

la atmósfera terrestre,

el Sistema Solar,

las placas tectónicas,

los fluidos en régimen turbulento

y los crecimientos de población.

Por ejemplo, el tiempo atmosférico, según describió Edward Lorenz, se describe por 3 ecuaciones diferenciales bien definidas.

Siendo así, conociendo las condiciones iniciales se podría conocer la predicción del tiempo en el futuro.

Sin embrago, al ser éste un sistema caótico, y no poder conocer nunca con exactitud los parámetros que fijan las condiciones iniciales (en cualquier sistema de medición, por definición, siempre se comete un error, por pequeño que éste sea) hace que aunque se conozca el modelo, éste diverja de la realidad pasado un cierto tiempo.

Por otra parte, el modelo atmosférico es teórico y puede no ser perfecto, y el determinismo, en el que se basa, es también teórico.

Tabla de contenidos

1 Movimiento caótico

2 Atractores

3 Atractrores extraños

4 Sistemas dinámicos y teoría del caos

5 Aplicaciones y atractores

6 Teoría del caos, aplicación meteorológica

7 Algo más de atractores

8 Véase también

Movimiento caótico

Para poder clasificar el comportamiento de un sistema como caótico, el sistema debe tener las siguientes propiedades:

debe ser sensible a sus condiciones iniciales

debe ser transitivo

sus órbitas periódicas deben ser densas

Sensibilidad a las condiciones iniciales significa que dos puntos en tal sistema deben moverse en trayectorias muy diferentes en sus fases del espacio incluso si la diferencia en sus configuraciones iniciales son muy pequeñas.

El sistema se comportaría de manera idéntica sólo si sus configuraciones iniciales fueran exactamente las mismas.

Un ejemplo de tal sensibilidad es el así llamado "efecto mariposa", donde el aleteo de las alas de una mariposa se supone que crea delicados cambios en la atmósfera, los cuales durante el curso del tiempo se modifican hasta hacer que ocurra algo tan dramático como un tornado.

La mariposa aleteando sus alas representa un pequeño cambio en las condiciones iniciales del sistema, el cual causa una cadena de eventos que lleva a fenómenos a gran escala como tornados.

Si la mariposa no hubiera agitado sus alas, la trayectoria del sistema hubiera podido ser muy distinta.

La sensibilidad a las condiciones iniciales está relacionada con el exponente Lyapunov.

El exponente Lyapunov es una cantidad que caracteriza el ratio de separación de trayectorias infinitesimalmente cercanas.

Transitividad significa que la aplicación de las transformaciones de cualquier intervalo dado I1 se expanden hasta que se superpone con otro intervalo dado I2.

Atractores

Una manera de visualizar el movimiento caótico, o cualquier tipo de movimiento, es hacer un diagrama de fases del movimiento.

En tal diagrama el tiempo es implícito y cada eje representa una dimensión del estado.

Por ejemplo, un sistema en reposo será dibujado como un punto, y un sistema en movimiento periódico será dibujado como un círculo.

Algunas veces el movimiento representado con estos diagramas de fases no muestra una trayectoria bien definida, sino que ésta se encuentra errada alrededor de algún movimiento bien definido.

Cuando esto sucede se dice que el sistema es atraído hacia un tipo de movimiento, es decir, que hay un atractor.

De acuerdo a la forma que sus trayectorias evolucionen, los atractores pueden ser clasificadas como periódicos, cuasi-periódicos y extraños.

Estos nombres se relacionan exactamente con el tipo de movimiento que provocan en los sistemas.

Un atractor periódico, por ejemplo, puede guiar el movimiento de un péndulo en oscilaciones periódicas; sin embargo, el péndulo seguirá trayectorias erráticas alrededor de estas oscilaciones debidas a otros factores menores.

Atractrores extraños

La mayoría de los tipos de movimientos mencionados arriba sucede alrededor de atractores muy simples, tales como puntos y curvas circulares llamadas ciclos limitados.

En cambio, el movimiento caótico está ligado a lo que se conoce como atractores extraños, atractores que pueden llegar a tener una enorme complejidad como, por ejemplo, el modelo tridimensional del sistema climático de Lorenz, que lleva al famoso atractor de Lorenz.

El atractor de Lorenz es, quizá, uno de los diagramas de sistemas caóticos más conocidos, no sólo porque fue uno de los primeros, sino también porque es uno de los más complejos y peculiares, pues desenvuelve una forma muy peculiar más bien parecida a las alas de una mariposa.

Los atractores extraños están presentes tanto en los sistemas continuos dinámicos (tales como el sistema de Lorenz) como en algunos sistemas discretos (por ejemplo el mapa Hènom).

Otros sistemas dinámicos discretos tienen una estructura repelente de tipo Conjunto de Julia la cual se forma en el límite entre las cuencas de dos puntos de atracción fijos.

Julia puede ser sin embargo un atractor extraño.

Ambos, atractores extraños y atractores tipo Conjunto de Julia, tienen típicamente una estructura fractal.

El teorema de Poincaré-Bendixson muestra que un atractor extraño sólo puede presentarse como un sistema continuo dinámico si tiene tres o más dimensiones.

Sin embargo, tal restricción no se aplica a los sistemas discretos, los cuales pueden exhibir atractores extraños en sistemas de dos o incluso una dimensión.

Sistemas dinámicos y teoría del caos

Los Sistemas dinámicos y teoría del caos son una rama de las Matemáticas, desarrollada en la segunda mitad del Siglo XX, que estudia lo complicado, lo impredecible, lo que no es lineal.

A veces se la llama "Matemática de lo no lineal".

Para los no iniciados en matemáticas, el nombre "Teoría del Caos" puede inducir a error por dos motivos:

No necesariamente es una teoría sino que puede entenderse como un gran campo de investigación abierto, que abarca diferentes líneas de pensamiento.

Caos está entendido no como ausencia de orden, sino como cierto tipo de orden de características impredecibles, pero descriptibles en forma concreta y precisa. Es decir: un tipo de orden de movimiento impredecible.

La idea de la que parte la Teoría del Caos es simple: en determinados sistemas naturales, pequeños cambios en las condiciones iniciales conducen a enormes discrepancias en los resultados.

Este principio suele llamarse efecto mariposa debido a que, en meteorología, la naturaleza no lineal de la atmósfera ha hecho afirmar a muchos científicos que es posible que el aleteo de una mariposa en determinado lugar y momento, pueda ser la causa de un terrible huracán varios meses más tarde en la otra punta del globo.

Un ejemplo claro sobre el efecto mariposa es soltar una pelota justo sobre la arista del tejado de una casa varias veces; pequeñas desviaciones en la posición inicial pueden hacer que la pelota caiga por uno de los lados del tejado o por el otro, conduciendo a trayectorias de caída y posiciones de reposo final completamente diferentes.

Cambios minúsculos que conducen a resultados totalmente divergentes.

En Teoría del Caos los sistemas dinámicos son estudiados a partir de su "Espacio de Fases", es decir, la representación coordenada de sus variables independientes.

En estos sistemas caóticos, es fácil encontrar trayectorias de movimiento no periódico, pero cuasi-periódicas.

En este esquema se suele hablar del concepto de Atractores Extraños: trayectorias en el espacio de fases hacia las que suelen tienden todas las trayectorias normales.

En el caso de un péndulo oscilante, el atractor sería el punto de equilibrio central.

Los atractores extraños suelen tener formas geométricas caprichosas y, en muchos casos, parecidos o similitudes a diferentes escalas.

En este caso, a estas formas que son iguales a sí mismas en diferentes escalas, se les ha dado en llamar fractales.

La llamada Teoría del Caos es un nuevo paradigma matemático, tan amplio y tan importante como pudo ser en su época la unión entre geometría y cálculo, surgida del pensamiento cartesiano aunque, quizás, por su inmadurez aún no se tenga claro todo lo que puede dar de sí esta nueva forma de pensamiento matemático, que abarca campos de aplicación tan dispares como la medicina, la geología o la economía.

La teoría no tiene un solo padre fundador, sino muchos.

Entre ellos destacan

Lorentz (meteorólogo),

Benoit Mandelbrot (ingeniero de comunicaciones),

Edward Feigenbaum (matemático),

Libchaber (físico),

Winfree (biólogo),

Mandell (psiquiatra),

y otros muchos, la mayoría de ellos vivos actualmente.

Aplicaciones y atractores

La Teoría del Caos y la matemática caótica resultaron ser una herramienta con aplicaciones a muchos campos de la ciencia y la tecnología.

Gracias a estas aplicaciones el nombre se torna paradójico, dado que muchas de las prácticas que se realizan con la matemática caótica tienen resultados concretos porque los sistemas que se estudian están basados estrictamente con leyes deterministas aplicadas a sistemas dinámicos.

Por esta razón la Teoría del Caos ya no es en sí una teoría: tiene postulados, fórmulas y parámetros recientemente establecidos con aplicaciones, por ejemplo, en las áreas de la meteorología o la física cuántica.

Teoría del caos, aplicación meteorológica

El clima, además de ser un sistema dinámico, es muy sensible a los cambios en las variables iniciales, es un sistema transitivo y también sus órbitas periódicas son densas, lo que hace del clima un sistema apropiado para trabajarlo con matemática caótica.

La precisión de las predicciones meteorológicas es relativa, y los porcentajes anunciados tienen poco significado sin una descripción detallada de los criterios empleados para juzgar la exactitud de una predicción.

Al final del siglo XX se ha vuelto común atribuirles una precisión de entre 80 y 85% en plazos de un día.

Los modelos numéricos estudiados en la teoría del caos han introducido considerables mejoras en la exactitud de las previsiones meteorológicas en comparación con las predicciones anteriores, realizadas por medio de métodos subjetivos, en especial para periodos superiores a un día.

En estos días es posible demostrar la confiabilidad de las predicciones específicas para periodos de hasta cinco días gracias a la densidad entre las orbitas periódicas del sistema, y se han logrado algunos éxitos en la predicción de variaciones anormales de la temperatura y la pluviosidad para periodos de hasta 30 días.

No es posible contradecir la confiabilidad de las previsiones para periodos de tiempo más largos debido a que no se han adoptado aún modelos de verificación; no obstante, los meteorólogos profesionales tienden a ponerla en duda.

Algo más de atractores

Los atractores extraños son curvas del espacio de las fases que describen la trayectoria de un sistema en movimiento caótico.

Un sistema de estas características es plenamente impredecible, saber la configuración del sistema en un momento dado no permite predecir con veracidad su configuración en un momento posterior.

De todos modos, el movimiento no es completamente aleatorio.

En la mayoría de sistemas dinámicos se encuentran elementos que permiten un tipo de movimiento repetitivo y, a veces, geométricamente establecido.

Los atractores son los encargados de que las variables que inician en un punto de partida mantengan una trayectoria establecida, y lo que no se puede establecer de una manera precisa son las oscilaciones que las variables puedan tener al recorrer las órbitas que puedan llegar a establecer los atractores.

Por ejemplo, es posible ver y de cierta manera prever la trayectoria de un satélite alrededor de la Tierra; lo que aparece en este caso como algo indeterminado, son los movimientos e inconvenientes varios que se le pueden presentar al objeto para efectuar este recorrido.

Teorías de falla

La falla de un elemento se refiere a la pérdida de su funcionalidad, es decir cuando una pieza o una máquina dejan de ser útiles.

Esta falta de funcionalidad se dar por:

  • Rotura

  • Distorsión Permanente

  • Degradación

  • Etc.

La rotura o la degradación permanente se deben a que los esfuerzos soportados son mayores que la resistencia del material de fabricación.

Para poder determinar para qué cantidad de esfuerzo aplicado se producirá una falla, se utilizan algunas teorías de falla.

Todas las teorías de falla se basan en la comparación del esfuerzo actuante contra el resultante aplicado en una prueba uniaxial de tensión o compresión.

1. TEORÍA DE FALLA POR ESFUERZO NORMAL MÁXIMO

La falla ocurrirá en la parte di cualquiera de los esfuerzos normales principales excede el esfuerzo normal principal que da lugar a la falla en la prueba uniaxial simple.

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  • 2. TEORIA DE FALLA POR ESFUERZO CORTANTE MÁXIMO:

Para materiales dúctiles:

La falla ocurre en una parte si cualquiera de los esfuerzos cortantes principales excede el esfuerzo cortante principal que da lugar a la falla en la prueba uniaxial simple.

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Esta teoría predice que si se presenta un estado de esfuerzos hidrostáticos no se produce fluencia, así estos esfuerzos sean mayores que ?y:

Si se descomponen cada esfuerzo principal normal en una componente hidrostática mas otra cualquiera se obtiene:

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No habría cortante!

Por esta razón se creó la teoría de falla de la energía de distorsión y deformación.

  • 3. TEORIA DE FALLA POR ENERGÍA DE DEFORMACIÓN MÁXIMA:

La falla ocurre en una parte cuando la energía de deformación por volumen unitario exceda la de una prueba de tensión uniaxial en la falla.

Para determinar la energía de deformación por volumen unitario:

Sea el bloque de dimensiones diferenciales de la figura 1, sobre el cual actúan los esfuerzos normales principales:

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Figura 1. Bloque con esfuerzos unitarios.

La energía de deformación es el trabajo realizado por estas fuerzas al desplazar el cubo una distancia ?l.

La energía de deformación U es igual al trabajo necesario para deformar el cubo:

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Para causar esta deformación, la fuerza causada por cada esfuerzo ? es:

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Puesto que el estiramiento depende linealmente de la fuerza aplicada, este comportamiento se puede mostrar como en la gráfica 3.

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Figura 2. comportamiento lineal de fuerza por desplazamiento

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Por la ley de Hooke se tiene que:

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Como es por volumen unitario, se divide por dx dy dz:

Monografias.comMonografias.com (14)

Por razonamiento similar la energía de deformación por volumen unitario en la prueba de tensión es:

Monografias.com (15)

Y finalmente se tiene para diseñar:

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Teoría de falla por energía de distorsión máxima

(Materiales Dúctiles)

La energía de deformación se compone de la energía de deformación (cambio de volumen) y de la distorsión.

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La falla ocurre si la energía de distorsión por volumen unitario excede la correspondencia a una prueba de tensión unitaria en la falla.

Los esfuerzos principales se componen de esfuerzos que producen cambio de volumen y cambio de distorsión.

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Y para que no halla cambio de volumen por los componentes de distorsión se debe cumplir que:

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Además se tiene que por la ley de Hooke:

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Como se debe cumplir la ecuación 19

Monografias.com (21)

Por lo tanto

Monografias.com (22)

Y puesto que ??no es cero, se cumple que

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De otra parte si se suman las ecuaciones 18

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La ecuación 24 se puede usar para encontrar los esfuerzos principales de distorsión en función de los esfuerzos normales principales.

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La energía de deformación por cambio de volumen será:

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Y teniendo en cuenta la relación 24

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Análogamente para una prueba uniaxial, la energía de distorsión será:

Monografias.com (33)

Y entonces para diseñar se tiene el siguiente criterio, introduciendo un factor de Diseño Nd

Monografias.com (34)

 

Concentración de esfuerzos

En una pieza sometida a esfuerzos, si se llegan a presentar cambios abruptos en la geometría de la pieza, se presenta una concentración de las "líneas de esfuerzo" en los puntos donde cambia abruptamente la geometría.

Los cambios de geometría se presentan si hay:

Cambios de forma y tamaño de la sección Agujeros

Muescas Chiveteros

Estrias Marcas de herramientas

Raspaduras Inclusiones y defectos en el material.

En estos puntos se puede calcular un factor de concentración de esfuerzos K.

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CUANDO CONSIDERAR QUE HAY CONCENTRACIÓN DE ESFUERZOS

La concentración de esfuerzos se puede despreciar en los casos:

Si la carga es baja y estática

Si la temperatura de la pieza y del ambiente es normal.

Si el material es dúctil (si resiste 5% de alargamiento antes de la falla)

En los siguientes casos si se debe considerar aplicar un factor de concentración de esfuerzos.

Si el material es frágil

Si el material es dúctil a temperaturas extremas que lo hacen frágil

Si hay rápidos cambios de esfuerzos que no permitan que haya una fluencia local

Si hay esfuerzos cíclicos.

Se tiene la siguiente tabla en la cual hay criterios para aplicar o no un factor de concentración de esfuerzo.

Material

Condición de Carga

Si o No

K

Tipo de Falla

Frágil

Cualquiera

Si

K

Fractura rápida

Dúctil

Baja Temperatura

Si

K

Fractura rápida

Dúctil

Aplicación Rápida

SI

KK

Fractura rápida

Dúctil

Cíclica

Si

Kf

Falla progresiva

Dúctil

Estática a Temp. ambiente

No

1

Ninguna

Diseño por carga cíclica

Algunos elementos de las máquinas, normalmente ejes y resortes, estàn sometidos a ciclos de carga y los esfuerzos varían continuamente.

En estas piezas la falla se da por esfuerzos menores al esfuerzo de fluencia del material, pero el cual se repite cíclicamente.

En este caso se establece el límite de fatiga del material sobre el cual aparece la falla después de un número de ciclos de esfuerzo.

La falla se origina alrededor de una grieta minúscula en un punto de concentración de esfuerzos, que puede ser un defecto en el material.

La grieta puede ser el concentrador de esfuerzos y crecer hasta originar la falla.

PRUEBA DE LABORATORIO

En laboratorio una muestra del material se conforma como una viga en rotación a la cual se aplica un momento flexionante puro, de forma que el esfuerzo varía de tensión máxima a compresión máxima.

 

Figura 3. Variación del esfuerzo axial en una prueba de fatiga.

?e: Esfuerzo en el límite de fatiga: Es el esfuerzo máximo completamente invertido que una probeta puede soportar durante 106 ciclos sin fallar.

También existen cargas de fatiga por torsión y casi nunca por axial.

 

Enviado por:

Ing.+Lic. Yunior Andrés Castillo S.

"NO A LA CULTURA DEL SECRETO, SI A LA LIBERTAD DE INFORMACION"®

www.monografias.com/usuario/perfiles/ing_lic_yunior_andra_s_castillo_s/monografias

Santiago de los Caballeros,

República Dominicana,

2015.

"DIOS, JUAN PABLO DUARTE Y JUAN BOSCH - POR SIEMPRE"®


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