El valor, el riesgo y la opción de la empresa (página 3)

Eventualmente, por tanto, el vendedor en descubierto tendrá que comprar las acciones posteriormente. El vendedor en descubierto obtendrá un beneficio si el precio de la acción baja, y una pérdida si sube. Como se puede ver en la Figura 25-c es simplemente la Figura 24-c boca abajo.

Tenencia Combinada de Opciones de Compra, Opciones de Venta y Acciones

Supongamos, por ejemplo, que la cartera estuviese formada por una acción y una opción de venta de ésta por 100 $. Podemos ver el valor de cada una de estas inversiones en las Figuras 24-b y 24-c. Observe que si el precio de la acción sube por encima de 100 $ la opción de venta no valdría nada y el valor de la cartera será igual al de la acción. Por el contrario, si el precio de la acción cae por debajo de 100 $, la caída en el valor de la acción se verá compensada exactamente por el aumento en el valor de la opción de venta. En la Figura 24-d se representa gráficamente el valor total de estas dos inversiones.

Este diagrama nos dice algo respecto a la relación entre una opción de compra y una opción de venta. Podemos ver el porqué si lo comparamos con la Figura 24-a. Independientemente del precio de la acción, el valor final de la inversión combinada en la acción y la opción de venta es exactamente 100 $ mayor que el de una inversión simple en la opción de compra. En otras palabras, si usted 1) adquiere la opción de compra, y 2) reserva el dinero suficiente para pagar el precio de ejercicio de 100 $ a la fecha de expiración, tiene una inversión idéntica a la de quien compra la acción y también una opción para venderla por 100 $. A la fecha de expiración ambas estrategias dan al inversor la posibilidad de elegir entre 100 $ en efectivo o la propiedad de la acción. Puesto que los dos paquetes proporcionan idénticos resultados, tendrían que venderse en todo momento por el mismo precio. Esto nos proporciona una relación fundamental para las opciones europeas.

Valor de la opción + valor actual del precio de ejercicio

= valor de la opción de venta + precio de la acción

Por repetir, esta relación se verifica porque el resultado de

[Comprar una opción de compra, invertir el valor actual del precio

de ejercicio en un activo seguro]

es idéntico al resultado de

[Comprar una opción de venta, comprar la acción]

Se verá un ejemplo algo diferente. Supongamos que se quiere invertir en una acción concreta, pero que no tiene dinero contante y sonante. Sin embargo, sabe que recibirá 100 $ dentro de tres meses. Por ello pide prestado el valor actual de 100 $ a su banco e invierte esa suma en la acción. Suponemos que es suficiente para comprar una acción. A los tres meses su resultado será el precio de la acción menos los 100 $ que debe al banco. Se comprará ahora esto con una estrategia alternativa, que es comprar una opción de compra a tres meses con un precio de ejercicio de 100 $. El valor final de tal paquete sería igual a la suma de las Figuras 24-a y b. La Figura 26 muestra que esta suma es siempre igual al precio de mercado de la acción menos 100 $. No es difícil ver el por qué. Si el precio de la acción subiese, se ejercerá la opción de compra y se pagará 100 $ para obtener la acción; si baja, la otra persona la ejercería y nos vendería la acción por 100 $. En cualquier caso, se pagará 100 $ y se adquirirá la acción. Puesto que las dos estrategias de inversión tiene exactamente las mismas consecuencias, deberían tener exactamente el mismo valor. En otras palabras, tenemos el siguiente reajuste de la ecuación anterior:

que ha de cumplir por que:

[Comprar una opción de compra, vender una opción de venta]

es idéntico a

[Comprar una acción, endeudarse por el valor actual del precio de ejercicio]

Por supuesto, hay muchas formas de expresar las relaciones básicas entre el precio de la acción, los valores de las opciones de compra y venta y el valor actual del precio de ejercicio. Cada expresión implica dos estrategias de inversión que proporciona idénticos resultados.

Un ejemplo más. Obtener la relación básica para el valor de una opción de venta:

De esta expresión se puede deducir que

[Comprar una opción de venta]

es idéntico a

[Comprar una opción de compra, vender acción,

invertir el valor actual del precio de ejercicio]

En otras palabras, si no hubiese opciones de venta disponible, usted podría crearlas comprando opciones de compra, vendiendo acciones y prestando.

A operaciones tales como esta se les denomina conversiones de opciones. Las opciones de compra se pueden convertir en opciones de venta, o viceversa, tomando la posición adecuada con respecto a la acción y el endeudamiento o préstamo. En consecuencia, no se necesita opciones de compra, opciones de venta, acciones y endeudamiento, o préstamo, en este mundo (y esperamos no necesitarlos en el siguiente). Dada tres cualesquiera de estas oportunidades de inversión se puede siempre construir la cuarta.

Figura 26.

¿Qué Determina el Valor de una Opción?

Se sabe que una opción tiene valor cuando vence. Por tanto, consideramos un ejemplo, del caso anterior, de una opción para comprar acciones a 100 $. Si el precio de la acción es inferior a 100$ en la fecha de expiración, la opción de compra no tendrá ningún valor; si el precio de la acción es superior a 100 $, la opción de compra valdrá 100 $ menos que el valor de la acción. En términos del diagrama de Bachelier, obtenemos la relación representada por la línea gruesa de la Figura 27.

Figura 27.

Incluso con anterioridad al vencimiento, el precio de la opción nunca puede estar por debajo de la línea gruesa de la Figura 27. Por ejemplo, si la opción estuviese valorada en 50 $ y la acción en 200 $, sería rentable para todo inversor comprar la opción, ejercerla por 100 $ adicionales y luego vender la acción. Esto proporcionaría una máquina de hacer dinero con un beneficio de 50 $. La demanda de opciones por los inversores utilizando la máquina de hacer dinero forzaría al alza rápidamente el precio de la opción al menos hasta la línea gruesa de la figura. Para las opciones que todavía les queda tiempo de estar en circulación, la línea gruesa es, por tanto, el límite inferior para el precio de mercado de la opción.

La línea diagonal de la Figura 27 es el limite superior para el precio de la opción. ¿Por qué? Porque la acción proporciona en último término un resultado mejor, pase lo que pase. Si a la expiración de la opción el precio de la acción termina por encima del precio de ejercicio, el valor de la opción es el precio de la acción menos el precio de ejercicio. Si el precio de la acción acaba por debajo del precio de ejercicio, la opción no tiene valor, pero el propietario de la acción tiene aún un titulo con valor. Sea P el precio de la acción en la fecha de expiración de la opción y suponga que el precio de ejercicio de la opción es 100 $. En este caso los resultados adicionales en dólares conseguidos por los accionistas son:

Si la acción y la opción tienen el mismo precio, todos se apresurarán a vender la opción y comprar la acción. Por tanto, el precio de la opción debe estar dentro de la región sombreada de la Figura 27. En realidad, se encontrará sobre una línea curva, con pendiente creciente como la línea discontinua representada en la figura. Esta línea inicia su trayectoria donde los limites superior e inferior se encuentran (en cero). Luego sube, gradualmente se hace paralela al tramo con pendiente ascendiente del límite inferior. Esta línea nos revela un hecho importante respecto a los valores de las opciones: El valor de una opción aumenta a medida que lo hace el precio de la acción, si el precio de ejercicio se mantiene constante.

Esto no debería sorprendernos. Los propietarios de opciones de compra evidentemente esperan que el precio de las acciones suba, y son felices cuando ello es así. Pero observemos con más detenimiento la forma y situación de la línea discontinua. Tres puntos, A, B y C. se han señalado sobre la línea discontinua. Cuando comentemos cada punto, comprenderá usted por qué el precio de la opción tiene que comportarse como predice la línea discontinua.

Punto A: Cuando la acción no vale nada, la opción no tiene valor. Un precio de la acción igual a cero significa que no hay posibilidad de que la acción tenga nunca valor futuro . Si es así, es seguro que la opción expirará sin ser ejercida y sin valor, y que la opción hoy carece de valor.

Punto B: Cuando el precio de la acción aumenta, el precio de la opción se acerca al precio de la acción menos el valor actual del precio de ejercicio. Observe que la línea discontinua, que en la Figura 27 representa el precio de la opción en un momento dado, se hace paralela a la línea gruesa ascendente, que representa el límite inferior del precio de la opción. La razón es la siguiente: a mayor precio de la acción, mayor probabilidad de que eventualmente la opción sea ejercida. Si el precio de la acción es suficientemente alto, el ejercicio de la opción se hace virtualmente cierto; la probabilidad de que el precio de la acción caiga por debajo del precio de ejercicio antes de que la opción expire se hace muy pequeña.

Si se tiene una opción que sabe que será canjeada por una acción, realmente es hoy propietario de la acción. La única diferencia es que no tiene que pagar por la acción (haciendo efectivo el precio de ejercicio) hasta más tarde, cuando tenga lugar el ejercicio formal. La compra de la opción de compra es equivalente a comprar la acción, pero financiando parte de la compra con deuda. La cantidad implícitamente tomada a préstamo es el valor actual del precio de ejercicio. El valor de la opción de compra es igual, por consiguiente, al precio de la acción menos el valor actual del precio de ejercicio.

Esto nos lleva a otro importante aspecto relativo a las opciones. Los inversores que adquieren acciones a través de una opción de compra están comprando recurriendo a la venta a plazos. Pagan hoy el precio de compra de la opción, pero no satisfacen el precio de ejercicio de la opción hasta que realmente realizan la opción. Este pago aplazado es particularmente valioso cuando los tipos de interés son altos y la opción tiene un período de vencimiento largo. Con un tipo de interés rf y un período de tiempo hasta el vencimiento t, esperaríamos que el valor de la opción estuviese en función del producto de rf por t: el valor de una opción aumenta con tipo de interés y con el período de vencimiento.

Punto C: El precio de la opción es siempre superior a su valor mínimo (excepto cuando el precio de la acción es cero). Las líneas discontinuas y gruesa de la Figura 27 coinciden cuando el precio de la acción es cero (punto A), pero en cualquier otro punto las líneas divergen; es decir, el precio de la opción debe ser superior al valor mínimo dado por la línea gruesa. La razón de que esto sea así puede comprenderse examinando el punto C.

En el punto C, el precio de la acción coincide exactamente con el precio de ejercicio. La opción, por tanto, no tendría ningún valor si fuese ejercida hoy. Suponga, sin embargo, que la opción no expira hasta dentro de tres meses. Por supuesto, no sabemos cuál será el precio de la acción en la fecha de expiración. Hay aproximadamente un 50 por ciento de probabilidad de que el precio sea menor. Los resultados posibles de la opción serán, por tanto:

Si hay una probabilidad positiva de obtener un resultado positivo, y si en el peor de los casos el resultado es cero, la opción debe tener algún valor. Esto significa que el precio de la opción en el punto C es superior a su límite inferior, que en el punto C es cero. En general, el precio de la opción será superior a su limite inferior mientras tenga que transcurrir un cierto plazo de tiempo hasta su expiración.

Las figuras comparan los resultados a la fecha de expiración de dos opciones con el mismo precio de ejercicio y el mismo precio de la acción. Las figuras presuponen que el precio de la acción es igual al precio de ejercicio (al igual que en el punto C de la Figura 27 ), si bien éste no es un supuesto necesario. La única diferencia es que el precio de la acción Y en la fecha de expiración de su opción (Figura 28-b) es mucho más difícil de predecir que el precio de la acción X en la fecha de expiración de su opción. Esto se puede ver en las distribuciones de probabilidad superpuestas a los gráficos.

Figura 28.

Figura 29.

En ambos casos hay aproximadamente una probabilidad del 50 por ciento de que el precio de las acciones descienda y haga que las opciones no tengan valor; pero si los precios de las acciones X e Y suben, lo más probable es que Y lo haga más que X. Por tanto, hay una probabilidad mayor de obtener un buen resultado con la opción sobre Y. Puesto que la probabilidad de un resultado cero es la misma, la opción sobre Y tiene un mayor valor que la opción sobre X. La Figura 29 ilustra este aspecto: la línea curvada más alta corresponde a la opción sobre Y.

La probabilidad de cambios importantes en el precio de la acción durante la vida que reste de una opción depende de dos variables: 1) la varianza (es decir, la volatilidad) del precio de la acción por período, y 2) el número de períodos hasta que expire la opción Si quedan t periodos, y la varianza por periodo es (2, el valor de la opción dependería de la variabilidad acumulada (2t10. Permaneciendo constantes las demás variables, usted preferiría tener una opción sobre una acción volátil (alta (2). Para una volatilidad dada, se preferiría tener una opción con una larga vida por delante (mayor t). Por tanto, el valor de una opción aumenta tanto con la variabilidad de la acción como con el período de tiempo hasta su vencimiento.

Es rara la persona que puede retener todas estas propiedades en una primera lectura. Por ello, se han resumido en el Cuadro 4.

Cuadro 5. De qué depende el precio de una opción de compra

Nota: Los efectos directos de incrementos en rf o ( en el precio de la opción son positivo. Puede haber también efectos indirectos. Por ejemplo, un incremento en rf puede reducir el precio de la acción P. Esto a su vez puede reducir el precio de la opción.

Un Modelo de Valoración de Opciones.

Se describirán tres opciones reales comunes e importantes encontradas en los proyectos de inversión de capital.

• La opción de hacer inversiones continuadas: Las empresas a menudo denominan valor "estratégico" al de aquellos proyectos con VAN negativo llevados a cabo. Una mirada a los resultados de los proyectos revela una opción de compra sobre proyectos continuados en adición a los flujos de caja inmediatos de proyectos. Las inversiones de hoy pueden generar las oportunidades de mañana.

• La opción de abandono: La opción de abandonar un proyecto prorporciona un seguro parcial contra fallos. Es una opción de venta; el precio del ejercicio de la opción de venta es el valor de los activos del proyecto si se vendiesen o desplazasen a un uso más valioso.

• La opción de esperar (y aprender) antes de invertir: Esto es equivalente a poseer una opción de compra sobre un proyecto de inversión. La opción de compra se ejercita cuando la empresa se compromete al proyecto. Pero a menudo es mejor diferir un rpoyecto con VAN positivo para mantener la opción de compra viva. Diferir es más atractivo cuando la incertidumbre es muy grande y los flujos de caja del proyecto inmediatos (que se pierden o posponen por la espera) son pequeños.

Los ejemplos de opciones reales dan la oportunidad de revisar y extender los métodos de valoración de opciones. El método binomial supone que el tiempo de vencimiento de la opción puede ser subdivididos en intervalos en los que hay sólo dos posibles cambios de precio. Se ha estudiado anteriormente como valorar una opción con sólo un período de expiración, también la valoración de una opción se puede hacer con muchos períodos hasta la expiración. La ventaja de fraccionar la vida de la opción en muchos subperíodos nos permite reconocer que el activo puede tomar muchos valores futuros.

La idea básica del método binomial (a pesar del nímero de subperíodos), empieza con el vencimiento de la opción y se trabaja hacia atrás en el tiempo hasta encontrar el valor inicial. Pero esto conlleva una cuestión: ¿Cómo elegir cifras razonables a las subidas y bajadas de los valores del activo? Se introdujo una fórmula que permite obtener las subidas y bajadas consistentes con una desviación típica dada a las rentabilidades del activo.

Una de las ventajas de tener el activo es recibir dividendos; el tenedor de la opción no tiene generalmente estos dividendos. Si no hay dividendos, nunca querría ejecutar una opción de compra antes del vencimiento. (Incluso si se sabía que iba a ejercitarla, preferiría pagar el dinero del ejercicio lo más tarde posible). Pero cuando el activo da dividendos puede merecer la pena ejercitar una opción de compra al principio para captar el dividendo. Se puede utilizar el método binomial para valorar la opción, pero necesita comprobar en cada punto si la opción es la más valiosa viva o muerta.

¿Por Qué el Flujo de Tesorería Descontado no es útil para las Opciones?

El método operativo habitual de 1) estimar el flujo esperado de tesorería, y 2) descontarlo al costo de oportunidad del capital no es útil para las opciones. El primer paso es confuso, pero factible. Determinar el costo de oportunidad del capital es imposible, porque el riesgo de una opción varia cada vez que el precio de la acción fluctúa, se sabe que seguirá un camino aleatorio a lo largo del período de vida de la opción.

Cuando se adquiere una opción de compra, se está tomando una posición respecto a la acción, pero poniendo menos dinero que si hubiese comprado directamente la acción. Por ello una opción es siempre más arriesgada que la acción subyacente. Tiene una beta mayor y una desviación típica de la rentabilidad mayor.

Cuanto más arriesgada sea la opción, depende del precio de la acción con respecto al precio de ejercicio. Una opción que esté en dinero (el precio de la acción es mayor que el precio de ejercicio) es más segura que una que sea sin dinero (el precio de la acción es menor que el precio de ejercicio). Por tanto, un incremento del precio de la acción eleva el precio de la opción y reduce su riesgo. Cuando el precio de la acción cae, el precio de la opción baja y su riesgo aumenta. Esta es la razón por la que la tasa esperada de rentabilidad que los inversores demandan de una opción varia día a día, hora a hora, cada vez que el precio de la acción cambia.

Se repite la regla general: cuanto mayor es el precio de la acción con respecto al precio de ejercicio, más segura es la opción, aun cuando la opción sea siempre más arriesgada que la acción. El riesgo de la opción varia siempre que varia el precio de la acción.

Obtención de Equivalentes de Opciones a partir de Acciones Ordinarias y Endeudamiento

La clave está en encontrar un equivalente de la opción combinando la "inversión en acciones ordinarias con el endeudamiento. El costo neto de la compra del equivalente de la opción debe ser igual al valor de la opción".

Se mostrará cómo se puede hacer esto mediante un sencillo ejemplo numérico. Se calculará el valor de una opción de compra a un año de acciones de la Sociedad de Osos Marsupiales con un precio de ejercicio de 110 $. Para simplificar las cosas, supondremos que sólo cabe contemplar dos alternativas con relación al precio de las acciones de esa firma durante el año en curso: el precio bajará hasta 80 $ desde su nivel actual de 100 $ o subirá hasta 125. Se supondrá también que el tipo de interés a un año es el 10 por ciento.

Si el precio de las acciones de la Sociedad de Osos Marsupiales cae hasta 80 $, la opción de compra no tendrá ningún valor, pero si el precio sube a 125, la opción tendrá un valor de 225 – 210 = 15 $. Los resultados posibles de la opción son, por tanto:

Se acaba de evaluar una opción de compra.

El número de acciones necesarios para reproducir una opción de compra es normalmente conocido como ratio de cobertura o delta de la opción. En el ejemplo, tres opciones de compra eran equivalentes al endeudamiento por acción. La delta de la opción es por tanto 1/3.

¿Cómo se supo que la opción de compra de Wombat era equivalente al endeudamiento en 1/3 de acción? Se utiliza una fórmula sencilla que dice:

El Método Neutral al riesgo

Esto sugiere una manera alternativa de calcular el valor de una opción Wombat. Podemos pretender que todos los inversores son indiferentes frente al riesgo, trabajar con el valor futuro esperado de una acción en esta situación y descontarlo al tipo de interés libre de riesgo nos dará el valor corriente. Se comprobará este método nos da la misma solución.

Si los inversores son indiferentes al riesgo la tasa de rentabilidad esperada de la acción deberá ser igual al tipo de interés:

Rentabilidad esperada de una acción Wombat = 10 por ciento anual

Se sabe que las acciones Wombat pueden subir un 25 por ciento a 125 $ o bajar un 20 por ciento a 80 $. Se puede, por tanto, calcular la probabilidad de un aumento de precios en el mundo hipotético neutral al riesgo:

Rentabilidad esperada = (probabilidad de aumento) x 25+(1 – probabilidad de aumento) x (-20)

= 10 por ciento

Por tanto,

Probabilidad de aumento = 0,67 ó 67 por ciento

Se sabe que si el precio de la acción sube, la opción de compra Wombat valdrá 15 $; si cae, la opción de compra no valdrá nada. Por tanto el valor esperado de una opción de compra es:

(Probabilidad de aumento x 15) + [(1 – probabilidad de aumento) x 0]

= (0,67 x 15) + (0.33 x 0) = l0 $

Y el valor corriente de la opción de compra es;

¡Exactamente la misma solución que habíamos obtenido anteriormente!

Por tanto, ahora se conoce dos formas de calcular el valor de una opción:

• 1.-  Encontrar la combinación entre acciones y préstamos que son equivalentes a una inversión en la opción. Debido a que las dos estrategias dan idénticos resultados en el futuro, deben ser vendidas al mismo precio hoy.

• 2.-  Pretender que a los inversores no les preocupe el riesgo, con lo que la tasa de rentabilidad de la acción es igual al tipo de interés. Calcular el valor esperado futuro de la acción en un mundo de agentes neutrales al riesgo y descontarlo al tipo de interés.

Valoración de Opciones que Duran más de un Período

El ejemplo de opción de compra Wombat es muy atrayente en un aspecto importante: Habrá más de dos precios posibles de la acción Wombat al final del año.

Se Podrá dar un rango mayor de precios a fin de año. Seria incluso posible construir series de inversiones con endeudamiento en las acciones que tendrían exactamente el mismo funcionamiento que la opción

No existe razón para que se deba parar con periodos de seis meses. Se podría tomar intervalos cada vez más cortos y cada uno de ellos con dos cambios posibles en el precio de las acciones Wombat. De forma eventual se podría buscar una situación en la que el precio de las acciones de Wombat cambiase continuamente y generase un intervalo continuo de precios posibles al finalizar el año. Se podría también buscar el equivalente de la opción de compra con una inversión en acciones con deuda, pero se necesitaría ajustar el grado de endeudamiento continuamente a la situación anual.

Calcular el valor de esta inversión con endeudamiento resultaría una tarea demasiado ardua, pero Black y Scholes derivaron una fórmula que resuelve el problema. Esta fórmula de aspecto desagradable es:

Observe de qué depende y de qué no depende el valor de la opción. La disposición de los individuos a asumir riesgo no afecta al valor ni a la rentabilidad esperada de la acción. El valor de la opción aumenta con el nivel de precio de la acción (P); disminuye con el valor presente del precio de ejercicio [VA(EX)] el cual depende del interés y el período de maduración; y aumenta con el período de maduración multiplicado por la variabilidad de las acciones ().

La planificación financiera como gestión de una cartera de opciones

Un problema a menudo crucial en la planificación financiera es que las actuales decisiones de inversión de capital dependen de las futuras oportunidades de inversión. A menudo, encontramos empresas que invierten para entrar en un mercado por razones "estratégicas": es decir, no porque la inversión inmediata tenga un valor actual neto positivo, sino porque introduce a la empresa en el mercado y crea opciones para subsiguientes inversiones posiblemente provechosas.

En otras palabras, tenemos una decisión en dos etapas. En la segunda etapa el directivo hace frente a un problema normal de presupuesto de capital. Pero en la primera etapa los proyectos pueden merecer la pena, principalmente por las opciones que traen consigo. El principio, el directivo financiero podría valorar la primera etapa del proyecto por su "valor estratégico", utilizando la teoría de valoración de opciones.

A veces hay tres etapas o más. Piense en el proceso seguido por una innovación tecnológica desde que nace, mediante la investigación básica, hasta el desarrollo del producto, la producción piloto y prueba de mercado y, finalmente, la producción comercial en amplia escala. La decisión de producir a escala comercial es un problema normal de presupuesto de capital. La decisión de realizar una producción piloto y una prueba comercial es como comprar una opción para producir a escala comercial. Comprometer fondos en el desarrollo del producto es como comprar una opción para una producción piloto y una prueba comercial. La inversión en investigación en la primera etapa es como adquirir una opción para comprar una opción para adquirir una opción.

La teoría de valoración de opciones permitirá posiblemente un análisis formal de decisiones secuenciales de inversión como las que se acaban de discutir y que, con el tiempo, la planificación financiera no será considerada como la búsqueda de un único plan de inversión, sino más bien como la gestión de la cartera de opciones que la empresa tiene. Esta cartera no consiste en opciones bursátiles de compra y venta, sino en opciones reales (opciones para comprar activos reales en términos posiblemente favorables) u opciones sobre comprar acciones reales . Se puede pensar en la planificación financiera, en parte, como un proceso de:

• Adquirir opciones reales.

• Mantener esas opciones: a diferencia de las opciones financieras, las opciones reales basadas en tecnología, diseño de productos y otros elementos competitivos normalmente pierden su valor si se ponen en la estantería y se olvidan.

• Ejercer las opciones reales con valor en el momento oportuno.

• Desechar opciones que están demasiado "lejos del dinero" y son muy caras de mantener.

Mercado de futuro y opciones

La Importancia de las Opciones

Una opción de venta (put) se puede asimilar a un seguro. Cuando se asegura un auto, se paga una cierta cantidad de dinero (prima) a la compañía aseguradora a cambio de que dicha compañía se comprometa a reembolsar el valor del auto en el momento que el auto quede destruido en un accidente.

Es evidente que no se compra el seguro con la esperanza de tener que utilizarlo, más bien, se hace para evitar un riesgo. De igual forma que se asegura un auto, se puede asegurar el precio del novillo contra el riesgo de una caída en las cotizaciones comprando un put.

Un put es simplemente un contrato que le brinda a su poseedor el derecho, y no la obligación, vender algo, bajo condiciones específicas, a cambio del pago de una prima. Es una decisión de quien posee el put el hecho de ejercer dicho derecho; únicamente el lanzador de la opción esta obligado a responder. El poseedor de un put tiene el derecho, pero no la obligación de vender contratos de futuros a un precio determinado durante el período de vida de la opción. Es así como logra protegerse contra una caída de los precios similar a la que se logra realizando una operación de cobertura vendedora con futuros; pero sin dejar de lado la posibilidad de beneficiarse con un alza de los precios.

El comprador de una opción puede cancelar su posición vendiendo o lanzando una opción idéntica a la adquirida, dejando que la opción expire, o ejerciéndola. Si el tenedor de una opción ejerce su derecho con el fin de obtener una determinada posición el en mercado de futuros, automáticamente, se le asigna al lanzador de la opción una posición opuesta al mismo precio.

Los contratos de futuros y opciones nos sirven para minimizar el riesgo de precio. Vendiendo contratos de futuros podemos establecer un precio para el novillo, pero se deja de lado la posibilidad de beneficiarnos si las cotizaciones suben. Comprando un put se puede establecer un precio mínimo de venta y al mismo tiempo retener la posibilidad de poder vender a un precio mayor si las cotizaciones subieran. No hacer nada es jugarse a que el precio va a ser favorable al momento de vender y como demuestran los hechos, no siempre se tiene suerte.

Los Derivados o Seguros de Precios. El Caso del Dólar

Dos tipos de seguros de precios : los futuros y las opciones, son los principales representantes de los productos derivados, así llamados porque su precio está en función (deriva) del precio de otro(s) activo(s), que se denomina subyacente. En el mundo, los mercados financieros transan diversos tipos de instrumentos derivados.

En el caso de los futuros los más comunes son los futuros sobre índices bursátiles, futuros sobre tasas de interés, futuros sobre diferenciales en tasas de interés y futuros sobre divisas o monedas extranjeras. Futuros sobre tasas de interés.

Este tipo de futuros financieros, es utilizado para compensar las futuras fluctuaciones en los tipos de interés, estando el valor del contrato en función de las tasas existentes. Los contratos a futuro sobre tasa de interés, permiten asegurar el tipo de interés para una inversión o compromiso futuro.

Son un verdadero seguro para los inversionistas que deben financiar sus activos con pasivos de tasas fluctuantes actuando como cobertura, ( seguro ), respecto al costo del endeudamiento de la empresa. Futuros sobre divisas. Los contratos a futuros sobre divisas, permiten comprar o vender una cantidad determinada de moneda extranjera, a un tipo de cambio específico.

Las principales ventajas de éstos instrumentos son que permiten cubrirse del riesgo cambiario en operaciones de exportaciones e importaciones. Mención especial merece éste punto en Chile, pues cabe recordar que a contar de Septiembre de 1999, el Banco Central dejó de controlar el valor del dólar mediante el uso del sistema de flotación sucia, lo cual dejó a merced de las fuerzas propias del mercado el valor del tipo de cambio. Esta situación es particularmente importante para un país como Chile que tiene basada gran parte de su estrategia de desarrollo en las exportaciones.

Es así como los exportadores frutícolas, deberían tomar las medidas necesarias para lograr obtener tipos de cambio elevados. Por otro lado los importadores en Chile deberían tomar cobertura para protegerse de tipos de cambios elevados, ya que pueden perjudicar el valor de la estructura de sus costos.

Para los inversionistas las ventajas de éste tipo de instrumentos se enfocan a la cobertura del riesgo de cambio en operaciones de cartera. Si bien es cierto, el uso de los seguros de precio, no son la solución a los problemas de los agroexportadores, al menos se pueden considerar como una buena herramienta para cubrirse de los embates del riesgo cambiario, que en los últimos meses más de un danmificado del sector agroexportador ha dejado debido a la caída del tipo de cambio respecto al peso chileno.

Opciones sobre Swaps (Swaptions)

Un Swaption es un contrato por el cual el comprador a cambio adquiere el derecho pero no la obligación de entrar en una fecha determinada en un Swap de intereses de características predeterminadas. La contrapartida del Swap la debe realizar el vendedor si la opción es ejercida. Se puede distinguir dos modalidades de Swaptions:

• 1. Swaptions de pagador fijo: En esta modalidad el comprador de la opción tiene derecho a entrar en el Swap como pagador fijo. Al comprador le interesará ejercer el Swaption siempre que al vencimiento el tipo de interés fijo cotizado para Swaps equivalentes en el mercado sea superior al tipo de ejercicio de la opción.

• 2. Swaptions de pagador variable: En esta modalidad el comprador tiene derecho a entrar como pagador variable. En este caso al comprador le interesará ejercer el Swaption si al vencimiento el tipo de interés fijo cotizado en el mercado para Swaps equivalentes es inferior al tipo de ejercicio de la opción.

OPCIONES EN LA FINANCIACIÓN A CORTO PLAZO

Existe gran cantidad de fuentes de financiación a corto plazo, en donde sólo se considerarán dos:

• Endeudamiento bancario sin garantía: Una empresa puede conseguir dinero con su banco y devolverlo cuando quiera con tal que no supere el límite de crédito; sin empeñar ningún activo específico como garantía del préstamo (línea de crédito). Cuando una empresa utiliza una línea de crédito no garantizada, es obligada a mantener un saldo de compensación como depósito en el banco.

• Diferir las cuentas a pagar: Una empresa puede conseguir capital retardando el pago de sus facturas. Diferir las cuentas es a menudo costoso, ya que los proveedores a menudo ofrecen descuentos por pronto pago.

Análisis de casos y problemas prácticos

CASOS

1. Para ilustrar los procedimientos que deben seguirse para calcular el valor presente neto se usarán los datos del proyecto C del ejercicio anterior. Se multiplica el flujo de efectivo de cada año por el factor de descuento apropiado (PVIF), suponiendo que el costo de capital, k, es igual al 10 %. Los procedimientos correspondientes se ilustran en el cuadro 1.

Cuadro 1: Procedimiento para el cálculo del NPV

Los valores presentes netos de todos los proyectos de los cuales se presentaron datos en el cuadro 1, podrían calcularse tal como se muestra en el cuadro 2. Los resultados son los siguientes:

Proyecto A NPV = $ -610,95

Proyecto B NPV = $ 766,05

Proyecto C NPV = $ 796,28

Proyecto D NPV = $ 778,80

Puesto que estos proyectos son mutuamente excluyentes, se debe seleccionar al que tenga el NPV mayor, es decir, el proyecto C.

2. En el cuadro 2 un precio de cierre de 58 significa $ 0,5800/MA y liquidación significa el precio al que se liquidaron ese día los contratos. A medida que el precio de cierre aumenta de 58 a 63, el precio de la opción de petición disminuye, debido a que disminuye la probabilidad de expirar con ventaja. Lo contrario es cierto para las propuestas. A medida que se alarga la fecha de vencimiento, el precio de las opciones de petición y propuesta aumenta, porque con el tiempo el valor de la opción es mayor. Es decir, existe una probabilidad de que la opción expire con ventaja.

Si la firma compró una opción de petición en febrero por MA 125 000 a un precio de cierre de 60, pagaría MA 125 000 x $ 0,0101 = $ 262,50. Si en febrero el marco alcanzó un valor de & 0,600 o mayor, la compañía puede ejecutar la opción de adquirir ese futuro y después completar el contrato de futuro para adquirir marcos. Si, por el contrario, el valor del marco cayera por debajo de $ 0, 600 la compañía abandonaría la opción, porque habría expirado sin ventajas y compraría los marcos, que ahora estarían más baratos en el mercado inmediato.

Cuadro 2: Precio de las opciones futuras.

3. Un buen punto de partida es considerar que el VAE no es un "qué" sino un "cómo". Es una manera específica de manejarse para medir el rendimiento de un activo. Este activo puede ser tanto un bien de producción, como una inversión financiera, un rubro comercial o toda la compañía. Habitualmente, estos casos tenían que ver con una decisión de inversión, como la siguiente: "¿Debe la compañía XYZ comprar el nuevo equipo propuesto por el gerente de planta?". Sencillo, ¿no es cierto? Usted respondía a la pregunta calculando el valor neto actual del activo futuro de la misma manera que indicamos en el siguiente ejemplo: 1. El costo del equipo (inversión en efectivo): US$ 100.000. 2. El plazo durante el cual se podría utilizar el equipo: 20 años. 3. Se estima que el equipo podría generar un ingreso (flujo de fondos) cercano a US$ 20.000 en cada uno de esos años (20.000 X 20): total US$ 400.000. 4. Se estima que el costo del capital (la cantidad de dinero que la empresa debe devolver a los inversores para poder atraer inversiones de capital) es del 12%. 5. Si actualizamos el flujo de fondos para cada año hasta llegar al presente utilizando el costo de capital de la compañía XYZ, obtenemos un valor actual de US$ 149.000 (el valor actual de una serie de US$ 20.000 por año durante 20 años). 6. Si al valor actual del flujo de fondos se le resta el costo del equipo propuesto (US$ 149.000 menos US$ 100.000), se obtiene el valor neto actual, es decir, US$ 49.000. Si el valor neto actual es un número positivo, tal como ocurre en el ejemplo anterior, la compañía debería comprar ese activo. Si es negativo, debería olvidarse del tema.

4. El enfoque de Sun Televisión reduce los rendimientos y riesgos potenciales

Sun Televisión and Appliance es un distribuidor de aparatos electrónicos y domésticos que domina en la región norte de Ohio y al Oeste de Pensilvania. Según Robert Oyster, presidente de Sun Televisión, existen dos ventajas al concentrar sus 31 almacenes en un área limitada. Primero, la operación regional ha producido eficiencias en costos de publicidad y distribución. Segundo, afirma Oyster: "No hemos experimentado los ciclos de altibajos de los costos. Hemo tenido un crecimiento moderado y además sólido". Kidder Peabody resaltó críticamente la desventaja de pasar por alto mercados potenciales. No obstante, el mercado de valores ha recompensado los intentos de Sun Televisión por limitar el riesgo, aun cuando limita las ganancias, con una razón precio/utilidad mucho mayor que el primedio.

Ejercicios

1. El método del valor presente neto (VPN) puede ser ilustrado empleando los datos de la compañía Blano en la tabla 1. Si la empresa tiene un costo de capital de 10 %, el valor presente neto de los proyectos A y B (anualidad y flujo mixto, respectivamente) puede calcularse como se muestra en la tabla 2.

Los resultados muestran que el valor presente neto de los proyectos A y B son $11 074 y $10 914, respectivamente. Ambos proyectos son aceptables, ya que el VPN de cada uno es mayor que cero. Si se recurre a la jerarquización, empero, el proyecto A sería considerado superior, ya que tiene un valor presente más alto que el de B ($11 074 versus $10 914).

2. La compañía Blano desea determinar el riesgo de dos
proyectos A y B. La información básica de ambos proyectos fue
presentada en la tabla 1; asimismo, la tabla 2 ilustra el análisis de
dichos proyectos por medio del valor presente neto, suponiendo que los niveles
de riesgo son los mismos. Sin tener en cuenta las diferencias en el riesgo y
utilizando el valor presente neto, se demostró que, a 10% de costo de
capital de la empresa, el proyecto A debería ser adoptado, ya que el
VPN de $11 074 resultó mayor que el VPN del proyecto B, $10 914. Supóngase,
sin embargo, que un análisis más concienzudo revela que el proyecto
A es más riesgoso que el proyecto B. Para determinar las diferencias
en el riesgo, la empresa estimó los equivalentes de certidumbre de las
entradas de efectivo de cada proyecto para cada año. Las columnas 2 y
7 de la tabla 3 muestran los valores estimados con respecto a los proyectos
A y B. Al multiplicar las entradas de efectivo riesgosas (columnas 1 y 6) por
los equivalentes de certidumbre correspondientes (columnas 2 y 7, respectivamente),
se obtiene las entradas de efectivo conocidas respecto de los proyectos A y
B que se muestran en las columnas 3 y 8.

Después de investigar, la administración de la compañía estimó la tasa de rendimiento libre de riesgo prevaleciente, RF, en 6%. Si se emplea esta cifra para descontar los influjos de efectivo conocidos de cada proyecto, se obtienen como resultado valores presentes netos de $4 541, en el caso del proyecto A, y $10 141 para el proyecto B, tal como se calculó en la tabla 3. Los valores obtenidos mediante una calculadora financiera son $4 544 y $10 151 para los proyectos A y B, respectivamente. Obsérvese que, como resultado del ajuste de riesgo, el proyecto B es ahora el que debería de escogerse. La utilidad del método de equivalentes de certidumbre ha de quedar ilustrada; la única dificultad radica en la necesidad de realizar estimaciones subjetivas de dichos equivalentes.

Tabla 3: Análisis de los proyectos A y B de la compañía Blano mediante el empleo de equivalentes de certidumbre

3. La compañía Blano desea emplear una tasa de descuento ajustada al riesgo a fin de determinar, con base en el VPN, la conveniencia de adoptar ya sea el proyecto A o el B. Además de la información proporcionada anteriormente, la administración de la empresa ha estimado el coeficiente de variación del proyecto A como 1.5, y del proyecto B como 1.0. La TDAR del proyecto A es, aproximadamente, de 14% y del proyecto B, alrededor de 11%. Debido a la naturaleza más riesgosa de aquél, su prima de riesgo es de 8% (14% – 6%), para el proyecto B, dicha prima es de 5% (11% – 6%). La tabla 4 contiene el valor presente neto para cada proyecto, con base en sus TDAR. (Los valores obtenidos mediante una calculadora financiera son $6 063 y $9 798 para los proyectos A y B, respectivamente). Los resultados muestran claramente que el proyecto B es preferible, ya que su valor presente neto ajustado al riesgo (VPN) de $9 802 es mayor que el VPN ajustado al riesgo, $6 062, del proyecto A. Tal es la conclusión a que se llegó utilizando los equivalentes de certidumbre en el ejercicio anterior. Como se señaló (véase la tabla 2), cuando las tasas de descuento no están ajustadas al riesgo, el proyecto A resulta preferible al B. La utilidad de las tasas de descuento ajustadas al riesgo debe quedar, pues, suficientemente clara; la única dificultad de este enfoque radica en la estimación de la función riesgo-rendimiento del mercado.

Tabla 4: Análisis de los proyectos A y B de la compañía Blano con base en tasas de descuento ajustadas al riesgo

Ejemplo 4:

El Proyecto Geotérmico

Se explicará el enfoque del costo ajustado del capital con un sencillo ejemplo numérico. El proyecto consiste en aprovechar la energía geotérmica para suministrar calefacción y aire acondicionado a un centro comercial. La inversión necesaria es de 1 millón de dólares. Una vez instalado, el proyecto ahorrará 220.000 $ al año, después de impuestos. Para hacerlo aritméticamente sencillo, supondremos que el ahorro continúa indefinidamente. El riesgo económico del negocio exige una tasa de descuento del 20 por ciento es decir r, el costo de oportunidad del capital. Así, el VAN del caso básico del proyecto es simplemente positivo.

Supongamos que el proyecto tiene un efecto derivado de la financiación. Aumenta la capacidad de endeudamiento de la empresa en 400.000 $. El proyecto dura indefinidamente y, por consiguiente, lo tratamos como una deuda perpetua. Dicho con otras palabras: suponemos que la empresa se endeuda en 400.000 $ para el proyecto y que mantendrá este endeudamiento contra viento y marea. Si el tipo de interés del endeudamiento es el 14 por ciento y el ahorro fiscal neto por dólar de interés es T* = 0,34 el proyecto soporta una deuda que genera un ahorro fiscal por intereses de 0,34 x 0,14 x 400.000 = 19.040 $ al año para siempre. El valor actual de estos ahorros fiscales es 19.040/0,14 = 136.000 $. Así, el VAA del proyecto geotérmico es:

VAA = VAN del caso básico + VA del ahorro fiscal

= +1.000.000 + 136.000 = +236.000 $

El proyecto geotérmico parece incluso mejor cuando se reconoce su contribución a la capacidad de endeudamiento de la empresa.

El valor actual del ahorro fiscal por intereses es +136.000 $. Por tanto, el proyecto geotérmico sería aceptable aun en el caso de que el VAN del caso básico fuera -136.000 $. ¿Qué implica esto para el ingreso mínimo aceptable del proyecto? Para responder a esta cuestión, consideremos que el VAN del caso básico sea -135.700 $ y busquemos la solución para la renta anual del proyecto.

Por tanto, el beneficio mínimo aceptable del proyecto es 172.800 $ al año y la TIR mínima aceptable es 172.800/1.000.000 = 0,173 ó el 17,3 por ciento. Esta es la menor rentabilidad que la empresa estaría dispuesta a aceptar para proyectos como éste; es la TIR para la que el VAA se hace cero.

Suponga que encontramos otra perpetuidad. Su costo de oportunidad del capital es también r = 0,20, y también incrementa la capacidad de endeudamiento de la firma en el 40 por ciento de la inversión. Se sabe que, si tal proyecto ofrece una TIR mayor que el 17,3 por ciento, tendrá un VAA positivo. Por tanto, se puede simplificar el análisis justo descontando las entradas de tesorería del proyecto al 17,3 por ciento. A esta tasa de descuento se la denomina frecuentemente costo ajustado del capital. Refleja a la vez el riesgo económico del proyecto y su contribución a la capacidad de endeudamiento de la empresa.

Denotaremos el costo ajustado del capital por r*. Para calcular r*, determinamos la tasa interna de rentabilidad mínima aceptable (la TIR para la que VAA = 0). El criterio es:

Aceptar los proyectos que tengan un VAN positivo al costo ajustado del capital r*

Conclusiones

Después de haber realizado esta investigación se llegaron a las siguientes conclusiones:

• La tasa de descuento viene determinada por las tasas de rendimiento imperantes en el mercado de capitales.

• Los flujos de tesorería se descuentan por dos sencillas razones: primero, porque un dólar hoy vale más que un dólar mañana y, segundo, porque un dólar con riesgo vale más que uno sin riesgo.

• El concepto de valor actual neto permite la separación eficiente
  entre propiedad y dirección de la empresa. Un gerente que invierte
  sólo en activos con valor actual neto positivo sirve a los máximos
  intereses de cada uno de los propietarios al margen de diferencias en su
  riqueza y gustos -. Esto es posible por la existencia del mercado de capitales,
  que permite a cada accionista diseñar un plan de inversión
  personal que está hecho a la medida de sus propias necesidades.

• El criterio TIR establece que las empresas deberían aceptar cualquier inversión que ofrezca una TIR superior al costo de oportunidad del capital. El criterio TIR es, como el valor actual neto, una técnica basada en los flujos de tesorería descontados. Por tanto, dará la respuesta correcta si se utiliza correctamente. El problema es que es fácilmente mal aplicada. De aquí que se debe tener cuidado con 4 aspectos: a.) ¿Prestar o endeudarse?, b.) Múltiples tasas de rentabilidad. c.) Proyectos mutuamente excluyentes y d.) Los tipos de interés a corto plazo pueden ser distintos de los tipos de interés a largo plazo.

• Desafortunadamente no hay fórmula para ajustar la tasa de descuento que sea sencilla y correcta en general. No obstante, hay dos reglas prácticas útiles. La primera es la fórmula de Modigliani y Miller (MM):

R* = r(1 – T *L)

Aquí r es el coste de oportunidad del capital y r* es el coste ajustado del capital. El valor de T* es el ahorro fiscal neto por cada dólar de interés pagado, y L es la contribución proporcional realizada por el proyecto a la capacidad de endeudamiento de la empresa. La fórmula de MM es estrictamente correcta sólo para proyectos que ofrezcan corrientes de flujos de tesorería constantes y perpetuos, y soporten una deuda fija. Pero los errores al aplicarla a otros tipos de proyectos no son serios.

Miles y Ezzell han desarrollado otra fórmula:

r* = r – LrD T*

Esta fórmula supone que la empresa ajustará su endeudamiento para adaptarse a cada fluctuación en el valor futuro del proyecto. Si este supuesto es correcto, la fórmula, sirve para proyectos de cualquier vencimiento o perfil de los flujos de tesorería.

La fórmula de Miles y Ezzell habitualmente da tasas de descuento ajustadas ligeramente mayores que la de MM. La verdad probablemente esté en algún punto intermedio. Sin embargo, ambas fórmulas tienen una seria limitación: suponen que el valor actual de los ahorros fiscales adicionales por intereses son el único efecto derivado de la aceptación del proyecto.

• La contribución de una acción al riesgo de una cartera completamente diversificada depende de su sensibilidad a las variaciones del mercado. Esta sensibilidad es conocida habitualmente como beta

• Puesto que los inversores exigen una mayor tasa de rentabilidad de una empresa con mucho riesgo, una empresa de estas características tendrá un mayor costo de capital y establecerá una mayor tasa de descuento para sus nuevas oportunidades de inversión.

• Cada proyecto debería ser evaluado por su propio costo de oportunidad de capital; el verdadero coste de capital depende del uso que se le da al capital. Si deseamos estimar el costo de capital para un proyecto particular, es el riesgo del proyecto el que hay que tener en cuenta.

• Algunas estrategias de cobertura son estáticas. Una vez que se ha establecido la cobertura, la empresa está bien protegida. La mayoría de las estrategias de cobertura son dinámicas. A medida que pasa el tiempo, puede necesitar reequilibrar su posición para mantener la cobertura.

• Las empresas empleas varios instrumentos de cobertura:

• 1. Los contratos de futuros son órdenes adelantadas de compra o venta de un activo

• 2. Los contratos de futuros están muy homogeneizados y se negocian en grandes volúmenes en las bolsas de futuros. En lugar de comprar o vender contratos de futuros homogeneizados, puede negociar con un banco un contrato a su medida. Estos contratos de futuros ajustados se denominan normalmente contratos «a plazo».

• 3. También es posible construir contratos a plazo caseros.

• 4. Los Swaps, que son como paquetes de contratos a plazos.

• 5. Si es propietario de una opción, tiene el derecho a comprar o vender el activo, pero no está obligado a hacerlo. El valor de una opción está ligado a valor del activo soporte mediante la opción delta. Por tanto puede cubrirse frente al riesgo tomando posiciones contrapartida en la opción y en unidades delta del activo soporte. En lugar de tratar de eliminar todo el riesgo, los directivos también pueden utilizar opciones para asegurarse frente a resultados extremos.

• Las reglas de decisión en la toma de decisiones bajo incertidumbres indica, que cada una tiene su propio merito.

• Existen diferentes factores que pueden influir para quien toma decisiones escoja una regla en una determinada situación decisoria. La actitud que quien toma decisiones tenga hacia la incertidumbre (pesimistas u optimista) y su propia función de utilidad, constituyen fuentes importantes de influencias.

• El valor de una opción de compra dice que debe depender de tres factores:

• 1. Para poder ejercer una opción, se tiene que pagar el precio de ejercicio. De esto, el valor de una opción aumenta con el ratio del precio del activo sobre el precio de ejercicio.

• 2. El valor de una opción aumenta con el factor resultante de multiplicar el tipo de interés por el tiempo hasta el vencimiento.

• 3. El valor de una opción aumenta con el factor resultante de multiplicar la varianza por período de la rentabilidad de la acción por el número de período hasta su vencimiento.

Bibliografía

BREALY, Richard y Stewart Myers. "Principios de Finanzas Corporativas" 4ª Edición. Editorial Mc Graw-Hill. España, 1993. 1023 págs.

GITMAN, Lawrence J. "Administración Financiera Básica". 3ª Edición. Editorial Harla. México, 1992. 792 págs.

LAMOTHE, Prosper. "Opciones Financieras". Un Enfoque Fundamental. Mc Graw-Hill. España, 1993. 322 pásg 1ª Edición.

THUESEN , H. G. y Thuesen G. J. "Ingeniería Económica". Prentice-Hall Hispanoamericana, S. A. 1ª Edición. México, 1986. 592 págs.

WESTON, Freddy Tomás Copeland. "Finanzas en Administración" 9ª Edición. Volumen 1. Editorial Mc Graw-Hill. México, 1994. 666 págs.

INTERNET

Autor:

Bolívar, Yasibit.

Germano, Johnny.

Schubowitch, E. Tatiana

Enviado por:

Iván José Turmero Astros

UNIVERSIDAD NACIONAL POLITÉCNICA EXPERIMENTAL

"ANTONIO JOSÉ DE SUCRE"

VICE-RECTORADO PUERTO ORDAZ

DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA INDUSTRIAL

CÁTEDRA: INGENIERÍA FINANCIERA

Profesor: Ing. Andrés Blanco

PUERTO ORDAZ, JUNIO DE 2003