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Variable aleatoria discreta

Enviado por Pablo Turmero



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1 Variable aleatoria discreta El mismo Doob explicaba el origen del término variable aleatoria (random variable): "Cuando estaba escribiendo mi libro [Stochastic Processes] tuve una discusión con William Feller. Él aseguraba que todo el mundo decía "variable aleatoria" (random variable), mientras que yo sostenía que se usaba "variable al azar" (chance variable). Obviamente, debíamos usar el mismo nombre en nuestros libros, así que optamos por tomar la decisión mediante un procedimiento aleatorio: lanzamos una moneda y él ganó".

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2 Variable aleatoria Una variable aleatoria X es una función que asocia a cada suceso del espacio muestral E de un experimento aleatorio un valor numérico real: Llamar variable a una función resulta algo confuso, por ello hay que insistir en que es una función. La variable aleatoria puede ser discreta o continua. Veremos en este capítulo el caso discreto.

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3 Ejemplo de variable aleatoria discreta: Número de caras al lanzar 3 monedas. Elementos del espacio muestral +++ ++C +C+ C++ CC+ C+C +CC CCC Nº reales (# de caras) 0 1 2 3 caras Ley de correspondencia Establecer una variable aleatoria para un experimento aleatorio no es más que una manera de asignar de "manera natural" números a los eventos.

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4 Voy a pensar un número entero del 1 al 100. “¿Qué numero será?” Intentaremos representar el estado de incertidumbre mediante una función matemática: la función de probabilidad. (Gp:) 1 2 3 99 100 X (Gp:) P (Gp:) 1/100 (Gp:) ........ Función de probabilidad

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5 En muchos casos asumimos que todos los resultados de un experimento aleatorio son igualmente posibles. Si X es una variable aleatoria que representa los resultados posibles del experimento, decimos que X se distribuye uniformemente. Si el espacio muestral consta de n sucesos simples, 0 < n < 8 , entonces la función de probabilidad discreta se define como p(x) = 1/n para todo x del espacio muestral. En un ordenador podemos generar una distribución de valores con esta probabilidad con: 1 + int [n (rnd)] Distribución uniforme discreta

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6 Supongamos que me preguntáis si es par. Y respondo que no. ¿Cómo modifica la función? 1 2 3 99 100 X P 1/50 ........ Os pido una pregunta de modo que mi respuesta genere una función de incertidumbre, de probabilidad, tal que los valores del espacio muestral posibles (con probabilidad distinta de cero) no tengan todos la misma probabilidad. ¿Son válidas: “¿Tiene dos cifras el número?” o “¿Es un número primo?” ?

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7 Función de probabilidad o distribución Una vez definida una variable aleatoria X, podemos definir una función de probabilidad o distribución de probabilidad asociada a X, de la siguiente forma: La función de probabilidad debe cumplir: (Suma sobre todos los posibles valores que puede tomar la variable aleatoria).

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8 Función de probabilidad discreta Valores Probabilidad 0 1/4 = 0.25 1 2/4 = 0.50 2 1/4 = 0.25 Z Z Z Z

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9 Requerimientos de una distribución de probabilidad (Gp:) X (Gp:) P(X) (Gp:) -1 0 1 2 3 (Gp:) .1 .2 .4 .2 .1 1.0 (Gp:) X (Gp:) P(X) (Gp:) -1 0 1 2 3 (Gp:) -.1 .3 .4 .3 .1 1.0 (Gp:) X (Gp:) P(X) (Gp:) -1 0 1 2 3 (Gp:) .1 .3 .4 .3 .1 1.2

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10 Observa que aun si el espacio muestral es infinito numerable, también podemos definir una variable aleatoria discreta y una función de probabilidad. Ejemplo: Sea X = Número de lanzamientos de una moneda antes de que aparezca una cara. Entonces: P(X = 1) = P(C) = 1/2 P(X = 2) = P(+C) = 1/2 · 1/2 = 1/4 P(X = 3) = P(++C) = 1/2 · 1/2 · 1/2 = 1/8 ... y en general P(X = n) = (1/2)n, n = 1, 2,… Demuestra que está normalizada.

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11 Sea el experimento “lanzar dos dados”. Definamos el espacio muestral E como: E = {(1,1),(1,2),...(1,6),...,(5,6),(6,6)} Definamos la variable aleatoria discreta X como: con S = {2,3,...,12} la suma de puntos. Una posible función de probabilidad es:

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12 (Gp:) P (Gp:) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 X (Gp:) 1/36 (Gp:) 2/36 (Gp:) 6/36 (Gp:) 4/36 (Gp:) 5/36 (Gp:) 3/36 (Gp:) 2/36 (Gp:) 1/36 (Gp:) 5/36 (Gp:) 4/36 (Gp:) 3/36 Función de probabilidad de la variable aleatoria X Observa que cumple las dos condiciones: es siempre positiva (y menor o igual a 1) y está normalizada.

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