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Antología (sistemas numéricos)




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ANTOLOGÍA (SISTEMAS NUMÉRICOS), POR CARLOS CEDILLO NAKAY Y MÓNICA TALIA VIOLETA SIERRA PEÓN INTRODUCCION La presente antología fue desarrollada con el propósito de auxiliar a los alumnos que se introducen en el estudio de los temas de Sistemas Combinacionales en el de área de Comunicaciones y Electrónica El tema abordado dentro de este campo son los Sistemas Numéricos, de los cuales existen una gran variedad y en el presente trabajo Se resume a los sistemas que tendrán mayor aplicación en su curso de Circuitos Combinacionales. Sistemas Numéricos Se denomina sistema de numeración al conjunto de símbolos y reglas que se utilizan para la representación de datos numéricos o cantidades. Un sistema de numeración se caracteriza fundamentalmente por su base, que es el número de símbolos distintos que utiliza, y además es el coeficiente que determina cuál es el valor de cada símbolo dependiendo de la posición que ocupe. Los sistemas de numeración actuales son sistemas posicionales, en los que el valor relativo que representa cada símbolo o cifra de una determinada cantidad depende de su valor absoluto y de la posición relativa que ocupa dicha cifra con respecto a la coma decimal. Este sistema cuenta con conjuntos ordenados de símbolos llamados "dígitos", con relaciones definidas para: ? Suma ? Resta ? Multiplicación ? División La Base (r) del sistema representa el numero total de dígitos permitidos, ejemplo: ? r = 2 Sist. Binario, dígitos: 0,1 ? r = 10 Sist. Decimal, dígitos: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 ? r = 16 Sist. Hexadecima1, dígitos: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F Notación Posicional Suponga que pide a su banco local un préstamo por ciento veintitrés yens y treinta y cinco centavos. El cheque que le dan indica la cantidad como Y/.123.35. Al escribir este número, se ha utilizado la notación posicional. El cheque puede cobrarse con un billete de cien yens, dos billetes de diez yens, tres billetes de un yen, tres monedas de diez centavos y cinco monedas de un centavo. Por tanto, la posición de cada dígito indica su peso o significado relativo. En general, un número positivo N se puede escribir en notación posicional como ? Donde: . = punto r = base n = # dígitos positivos m = # dígitos negativos Ejemplos: * (123.45)10 * (1001.11)2 * (3A.2F)16 a-1 = dígito más significativo a-m = dígito menos significativo Observe que el intervalo de valores para los dígitos ai es r -1>= ai >= 0. Con esta notación, la cantidad del préstamo bancario podría escribirse B/.(123.35)10. Los paréntesis y el subíndice que denota la base pueden eliminarse sin perder

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r ai información siempre que la base se conozca por el contexto o se especifique de otra forma. Notación Polinomial Podemos escribir la cantidad del préstamo de (123.35)10 balboas en forma polinomial como N = 1 x 100 + 2 x 10 + 3 x 1 + 3 x 0.1 + 5 x 0.01 N = 1 x 102 + 2 x 101 + 3 x 100 + 3 x 10-1 + 5 x 10-2 Observe que cada dígito está en una posición ponderada y que el peso de cada posición es una potencia de la base 10. En general, cualquier número N con base r se puede escribir como un polinomio de la forma N= n-1i i=-m donde cada símbolo se define como en la ecuación 1.1. Para el préstamo del banco, r = 10, a2=1, a1=2, a0=3, a-1=3, a-2=5 y ai=0, para i >= 3 y para i >= 3. ? Ejemplos: (123.45)10 = 1 * 102 + 2 * 101 + 3 * l00 + 4 * 10-1 + 5 * 10-2 (1001.11)2 = 1 * 23+ 0 * 22 + 0 * 21 + 1 * 20 + 1 * 2-1 + 1 * 2-2 (3A.2F)16 = 3 * 161 + A * 160 + 2 * 16-1 + F * 16-2 Donde: A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14 y F = 15 Binary 0 1 10 11 100 101 110 11 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 Decimal 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Hexadecimal 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F Conversión de un sistema de base r a base 10 ? Utilizando la notación polinomial: Ejemplos: (10100)2 = 1 * 24+ 0 * 23+ 1 * 22+ 0 * 21+ 0 * 20 = (20)10 (AF3.15)16 = 10 * 162+ 15 * 161+ 3 * 160+ 1 * 16-1 + 5 * 16-2 = (2803.08203125)10 Conversión de un sistema de base r a base 10 ? Utilizando la noción de los pesos Sistemas de uso común

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Ejemplo en el sistema Binario (r = 2): Peso (2i): 8 4 2 1 Dígito (bi) = b3 b2 b1 b0 (1001)2 = 8 + 1 = (9)10 (0101)2 = 4 + 1 = (5)10 Conversión de un sistema de base 10 a base r ? Utilizando divisiones sucesivas por la base Ejemplos: (13)10 = (1101)2 13 2 1 6 2 0 3 2 1 1 2 (234)10 = (EA)16 234 16 10 14 16 A 14 0 E 1 0 Conversión de un sistema de base 10 a base r ? Usando la noción de los pesos: Ejemplo para el sistema Binario (r = 2) (38)10 = 32 + 4 + 2 = (100110)2 (59)10 = 32 + 16 + 8 + 2 + 1 = (111011)2 Conversión entre las bases 2 y 16 ? (1100 0011 1111 1101)2 = (C3FD)16 C 3 F D ? (0001 1000)2= (18)16 (completando con 0’s) ? (4AB)16 = (0100 1010 1011)2 II Aritmética Binaria (SUMA) II.1.- Suma Binaria Las tablas 1.1a y b muestran las tablas de suma y multiplicación, respectivamente, para el sistema numérico binario. Las tablas son muy pequeñas ya que sólo hay dos dígitos, o bits, en el sistema. En consecuencia, la aritmética binaria es muy sencilla. Observe que la suma 1 + 1 produce un bit se suma de 0 y un bit de acarreo de 1. El acarreo debe sumarse a la siguiente columna de bits para realizar la suma en el patrón normal, de derecha a izquierda.

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Memorias

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Tabla de Sumar: Ejemplos: + 0 1 0 0 1 1 1 10 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 + 0 1 0 1 1 1 + 1 0 1 0 1 0 0 1 1 11 0 0 II.2 Aritmética Binaria (RESTA) Resta Binaria La resta se puede visualizar como el inverso de la suma. Las reglas para la resta binaria se derivan directamente de la tabla de suma binaria y son: 1-0=1 1-1=0 0-0=0 0 - 1 = 1 tomando prestado 1, o 10 - 1 = 1 La última regla muestra que si se resta un bit 1 de un bit 0, hay que tomar prestado un 1 de la siguiente columna más significativa. Los préstamos se propagan hacia la izquierda de columna en columna, como se ilustra a continuación. Ejemplo 1.2 Restar los dos números binarios (1001101)2 y (10111)2 Tabla de Restar: Ejemplos: 10 - 0 10 - 1 = 1 0 1 10 0 0 10 0 0 - 100 - 1 = 11 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1000 - 1 = 111 1 0 1 1 1 - 0 1 1 0 1 1 0 10 0 0 10 0 1 1 10 11 0 10 0 0 01 1 01 0 1- 0 1 1 0 0 1 1

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II.3 Aritmética Binaria (Multiplicación) Multiplicación Binaria La multiplicación binaria se realiza en forma similar a la multiplicación decimal, excepto que las operaciones de multiplicación binaria son mucho más sencilla. No obstante, se debe tener mucho cuidado al sumar los productos parciales, como se ilustra en el siguiente ejemplo. Ejemplo 1.3 Multiplicar (10111)2 por (1010)2 Observe que hay un producto parcial por cada bit del multiplicador. Este procedimiento puede realizarse con mayor eficiencia si sólo recorremos una columna a la izquierda, en vez de anotar un producto parcial con ceros para un bit 0 del multiplicador. Este ejemplo nos sirve para ver lo sencillo de este procedimiento. Tabla de Multiplicar: Ejemplos: * 0 1 0 0 0 1 0 0 10111 1010 * 00000 + 10111 00000 10111 11100110 100111 1010 * 00000 1er.pp. 00000 + 00000 2do.pp. 10111 + 101110 3er.pp. 00000 + 0101110 4to.pp. 10111 + 11100110 Resultado II.4 Aritmética Binaria (División) División Binaria La división binaria se realiza utilizando el mismo procedimiento de prueba y error de la división decimal. Sin embargo, la división binaria es más sencilla pues sólo hay que intentar con dos valores. Se restan del dividendo copias de los términos del divisor, de lo cual se obtienen residuos intermedios positivos. El siguiente ejemplo ilustra la división binaria. Ejemplo 1.4 Dividir (1110111)2 entre (1001)2

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S Rep.de la magnitud 1110111 1001 1101 Cociente - 1001 01011 -1001 001011 -1001 0010 Resto III Representación de números binarios con signo n En este sistema de representación, el bit que está situado más a la izquierda representa el signo, y su valor será 0 para el signo + y 1 para el signo -. El resto de bits (n-1) representan el módulo del número. Suponemos en principio que los números no poseen parte decimal, por lo que la coma se supone implícita a la derecha. Por ejemplo, supongamos que disponemos de 8 bits, y queremos representar los números 10 y –10. Veamos cuales son sus representaciones. representa al número 10, representa al número –10. Se denomina rango de representación en un método determinado al conjunto de número representables en el mismo. Para módulo y signo el rango de representación es, si se disponen de n bits: Para el caso de n = 8 bits, el rango de representación va desde –127 a 127. La ventaja que presenta este sistema frente a otros es la de poseer rango simétrico (igual cantidad de números positivos que negativos), mientras que su mayor inconveniente es el de poseer dos representaciones para el número 0. El cual se representa tanto con un signo positivo (0) como con uno negativo (1) y el resto de los bits en 0. Existe: ? Rep. Signo - Magnitud

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? Rep En Complemento III. 1 Representación de números binarios con signo – magnitud En esta notación el bit de más de la izquierda en la palabra (bit más significativo [BMS]) representa el signo. Usualmente, 0 denota + (cantidad positiva) y 1 denota – (cantidad negativa). El resto de los bits representa magnitud. Un número en representación signo –magnitud puede escribirse como: N = (san-1..... a1a0)2sm Donde: s =signo (0 = positivo y 1 = negativo) n = # de bits para la magnitud an-1= bits mas significativo (MSB) para la magnitud Ejemplos: ? ? - (1101) 2= (11101)2sm + (1001)2 = (01001) 2sm III.2 Representación de números binarios en Complemento Un número en representación signo – magnitud puede escribirse como: [N]2 =2 n-(N)2 N = número binario [N] = complemento del número N n = número de bits de N Rango(n) : 2n-1–1 -2n-1 Complemento a 1 Este sistema de representación utiliza el bit de más a la izquierda para el signo, correspondiendo el 0 para el signo + y el 1 para el signo -. Para los números positivos, los n-1 bits de la derecha representan el módulo (igual que en el sistema anterior). El negativo de un número positivo se obtiene complementando todos sus dígitos (cambiando ceros por uno y viceversa) incluido el signo. Veamos la representación en complemento a 1 de los números 10 y –10 para el caso de n = 8 bits. representa al número 10, representa al número –10. Para el complemento a 1 el rango de representación es, si se disponen de n bits: Para el caso de n = 8 bits, el rango de representación va desde –127 a 127. La ventaja que presenta este sistema frente a otros es la de poseer rango simétrico (igual cantidad de números positivos que negativos), mientras que su mayor inconveniente es el de poseer dos representaciones para el número 0. El cual se representa tanto con todos 0 como con todos los bits en uno. Complemento a 2

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Este sistema de representación utiliza el bit de más a la izquierda para el signo, correspondiendo el 0 para el signo + y el 1 para el signo -. Para los números positivos, los n -1 bits de la derecha representan el módulo (igual que en los dos sistemas anteriores). El negativo de un número positivo se obtiene en dos pasos: ? Primer paso: se complementa el número positivo en todos sus bits (cambiando ceros por uno y viceversa), incluido el bit de signo, similar a complemento a 1. ? Segundo paso: al resultado obtenido se el suma 1 (en binario), despreciando el último acarreo si existiera. Veamos la representación en complemento a 2 de los números 10 y –10 para el caso de n=8 bits. representa al número 10, representa al número –10. Para el complemento a 2 el rango de representación es, si se disponen de n bits: Para el caso de n = 8 bits, el rango de representación va desde –128 a 127. La principal ventaja es la de tener una única representación para el número 0, ya que el 0 positivo o negativo se representan igual. Este método de representación no utiliza la convención del bit más significativo para identificar el signo, con lo cual todos los bits representan un número o valor. Este valor se corresponde con el número representado más el exceso, que para n bits viene dado por 2n-1. El signo del número resulta de una operación aritmética. Por ejemplo, para n = 8 bits el exceso será 128, con lo cual para representar un número deberá sumársele dicho exceso. De esta manera el número 10, que veníamos representando, recibirá la adición del número 128, con lo que representaremos el número binario 138. Por otro lado, el número –10, se representará como el 118 (-10+128). De esta forma quedarán: representando al número 10, representando al número –10. En este sistema el número 0 tiene una sola representación, la cual consiste en representar el exceso, 128 en este caso. El rango de representación en exceso a 2n-1 es asimétrico y viene dado por: Resulta interesante observar que todo número representado en exceso a 2n-1 tiene la misma representación que un complemento a 2 con el bit de signo cambiado. Puede inferirse entonces, que el bit mas significativo representaría el signo de valor opuesto (el 0 un valor ‘-‘ y el 1 un valor ‘+’). Ejemplos: ? Si N = 01100101, entonces [N]2=? [N]2 = 28 –(01100101)2= (100000000)2- (01100101)2

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= 10011011 ? Si N = 1101100, demuestre que [N]2]2 (N)2 [ N]2 =28-(1101100)2=(100000000)2-(1101100)2 = (00101100)2 [[N]]2 = 28 – (00101100)2=(100000000)2-(00101100)2 =(1101100)2 [N]2 sirve para representar a –(N)2 IV Algoritmo de conversión ? Algoritmo: - Reemplazar cada bit (bi) de (N)2 por su complemento, donde: * Si bi = 0 su complemento = 1 * Si bi = 1 su complemento = 0 - Luego sumarle 1. Ejemplos: (10100)2 => 01011 + 1 = 01110 = [10100]2 (11010100)2 => 00101011 + 1 = 00101100 = [11010100]2 IV. 1 Conversión entre un sistema en complemento y el sistema decimal ? Se utiliza la misma noción, ahora con el peso del MSB como negativo Ejemplo: Peso (2i): -8 4 2 1 Dígito (bi): b3 b2 b1 b0 (donde b3 es el MSB) (1001)2 = -8 + 1 = -(7)10 (0101)2 = 4 + 1 = +(5)10 -(21)10 = -32 + 8 + 4 = (101100)2 +(16)10 = 16 = (010000)2 Rango y precisión ? Si n = 5 => b4b3b2b1b0 (b4 MSB y b0 LSB) Rango (5) = 25-1 – 1 = 15 -25-1 = 16 (01111) (10000) ? Si n = 8 => b7b6b5b4b3b2b1b0 (b7 MSB y b0 LSB) Rango (8) = 28-1 – 1 = 127 (01111111) -28-1 = -128 (10000000)

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IV. 2 Aritméticas en Complemento (SUMA) Ejemplos, con n = 5: 01001 00101 + 0110 01100 00111 + 11011 + 10111 11011 + 10100 11011 + 01110 10011 100111 110010 101111 Se eliminan, pues Desborde (el resultado sobrepasa el rango), sobrepasa la precisión y se presenta cuando ambos sumados tienen el mismo signo distinto. Expansión de signo Ejemplo: (n = 4) 0011 = (n = 5) 00011 = (n = 8) 00000011 (n = 4) 1101 = (n = 5) 11101 = (n = 8) 11111101 IV.3 Aritmética en complemento (RESTA) (A)r – (B)r = (A)r + (-(B)r) = (A)r + [B]r Ejemplos con n = 5: 11001 01101 - 11001 10011 + 101100 01111 1001 – 01111 01111 + 11110 00011 11011 - 00011 00101 + 01000 Desborde IV. 4 Aritmética en Complemento (Multiplicación) Ejemplo: 0110 1011 + 00000 1er. pp. 00110 + 000110 2do. pp. 00110 + Expansión del Signo

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=> and 0010010 00000 00010010 11010 11100010 3er. pp. + 4to. pp. + Resultado V.-Postulados del álgebra de boole Postulado 1: - DEFINICIÓN: Un álgebra booleana es un sistema algebraico cerrado formado por dos elementos 0 y 1 (conjunto K), y operadores ? y +; para cada par de elementos a y b ? K, donde: + => or ? a 0 0 1 1 b a+b 0 0 1 1 0 1 1 1 a 0 0 1 1 b a ?b 0 0 1 1 0 1 1 1 Postulado 2: - Existen elementos 0 y 1, tal que, para a ?K: a) a + 0 = a (elemento neutro) b) a . 1 = 1 (elemento identidad) Postulado 3: Ley conmutativa:: - Para a y b ?K: a) a + b = b + a b) a . b = b . a Postulado 4: Ley Asociativa: - Para a, b y c ?K: a) a + (b + c) = (a + b) + c b) a . (b . c) = (a . b) . c Postulado 5: Ley Distributiva: - Para a, b y c ?K: a) a + (b . c) = (a + b) . (a + c) b) a . (b + c) = (a . c) + (a . c) Postulado 6: Ley de absorción. n * n bits = 2n bits

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