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Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Enviado por Gatsby Morgado



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Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Generalidades: Definición: Una ecuación diferencial ordinaria es una ecuación que contiene derivadas ordinarias de una o mas variables dependientes con respecto a una sola variable independiente. Las siguientes son ecuaciones diferenciales ordinarias: Ejemplos: El orden de una ecuación diferencial es el orden de la derivada de mayor orden en la ecuación diferencial. Ejemplos: es una ED de segundo orden es una ED de primer orden Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden también puede expresarse en términos de las diferenciales de las variables, en cuyo caso se obtiene la forma diferencial de la ecuación diferencial. Ejemplo: Por lo que de la ecuación diferencial es la forma diferencial . diferencial: es la forma diferencial de la ecuación porque: Una función es solución explícita de una ecuación diferencial, si satisface dicha ecuación, es decir, si al sustitir la variable “ ” por su expresión “ ” en la ecuación diferencial, se obtiene una identidad. Ejemplo: La función es solución explícita de la ecuación diferencial , porque satisface esta ecuación. Veamos: Una relación en términos de y de , de la forma es una solución implícita de una ecuación diferencial, si dicha relación define al menos una función que es solución explícita de la ecuación diferencial. Ejemplo: es de la forma es solución implícita de La relación en donde la ecuación diferencial define implícitamente las porque funciones y , cada una de las cuales es solución explícita de la ecuación diferencial: , como se muestra enseguida:
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Ecuaciones Diferenciales Ordinarias O bien la relación es solución implícita de , porque al derivar implícitamente, dicha relación se obtiene la mencionada ecuación diferencial, veamos: Ecuaciones de variables separables Definición: Una ecuación diferencial es una ecuación de variables separables o ecuación separable si tiene la forma: en donde “ ” y “ ” son funciones de “ ”, y “ ” y “ ” son funciones de “ ”. donde cada una de ellas puede ser constante Ejemplo: La ecuación diferencial es una ecuación separable, porque cumple con la definición: Una ecuación separable: se resuelve multiplicándola por el factor llamado factor integrante, obteniéndose una ecuación difiierencial equivalente a la ecuación diferencial original, es decir, que tiene las mismas soluciones que la primera. Entonces: Al integrar ambos lados de esta ecuación se obtiene una familia de soluciones llamada la solución general de la ecuación diferencial original. Tenemos que: Ejemplo: Resolver la ecuación: Solución: La ecuación es separable, entonces, dividiendo entre “ ” se obtiene: Integrando esta última ecuación se tiene: Entonces implícita de la ecuación Ejemplo: Resolver la ecuación: de modo que Solución: La ecuación es la solución general , <1> es separable, por lo que se deben separar las variables en dos productos, uno en términos de x y el otro en términos de y, para lo cual se multiplica la ecuación por el factor integrante , obteniéndose los siguiente:
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Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Integrando esta última ecuación se obtiene: De donde: (Solución general implícita) La condición inicial o valor inicial es una condición que restringe la solución general a un valor particular de la constante “ ” , obtenièndose una solución particular de la ecuación diferencial, para lo cual puede mencionarse lo siguiente: La condición inicial debe interpretarse a partir del hecho de que la variable “ ” es una función de “ ” , es decir de cuando y ; por lo que significa que . Por lo tanto, sustituyendo los valores en la solución general, se obtiene: Entonces la solución del problema de valor inicial del ejemplo es: lo cual es una solución particular de la ecuación diferencial: Ciertas ecuaciones diferenciales no tienen la forma o el aspecto de una ecuación separable, pero pueden transformarse, mediante un cambio de variable, en una ecuación separable. Un ejemplo de tales ecuaciones diferenciales son aquellas que tienen la siguiente la forma: en donde es una expresión en “ ” y “ ” , o función de “ ” y “ ” , para la cual existe una función escalar o función real “ ” tal que: en donde en cuyo caso . Por lo tanto, : derivando Por lo que: Ecuación separable , son las , siempre que Ahora multiplicando por el factor integrante nos queda: Por lo tanto, las soluciones de mismas que las de y .
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Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Ejemplo: Resolver la ecuación Solución: Haciendo , se tiene: Observe la relación entre las expresiones en recuadros Por lo que: (Ecuación separable) Integrando esta última expresión tenemos: Pero , entonces devolviendo el cambio: De donde la expresión: Es la solución general de la ecuación: Ecuaciones lineales de primer orden Definción: Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden es una ecuación diferencial lineal de primer orden en la variable dependiente y respecto a la variable independiente y , si es o puede respecto a la variable independiente escribirse de la forma: Ecuación La ecuación anterior también es llamada Diferencial de Bernoulli Ejemplo: La ecuación: es una ecuación diferencial lineal de primer orden en la variable y respecto a x , porque puede escribirse de la forma . Veamos: Tenemos que y
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Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Una ecuación lineal de primer orden: se resuelve multiplicándola por el factor integrante: Como se muestra enseguida: Multiplicando por el factor integrante: Pero Así que: Ahora, integrando esta última ecuación se tiene: De donde: es la solución general de la ecuación lineal: Ejemplo: Resolver la ecuación Solución: en donde , por el factor Multiplicando la ecuación integrante: se obtiene: Pero , entonces: de donde: Integrando esta última ecuación diferencial, se obtiene Por lo tanto, es la solución de
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Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Ejemplo: Resolver la ecuación: , . de tal manera que en donde y por Multiplicando la ecuación el factor integrante: se obtiene: Pero: Entonces De donde Integrando esta última ecuación se obtiene: De donde: y , , en la Es la solución general de la cuál está sujeta a la condición inicial entonces sustituyendo los valores solución general, se obtiene: De donde , por lo que: es la solución del problema del valor inicial del ejemplo en cuestión. Ejercicios: Resuelva la ecuación diferencial que se indica:
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Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Del ejercicio 41 al 50, resuelva la ecuación diferencial con el valor inicial que se indica: Respuestas de los ejercicios impares:


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