La ingeniería como escenario y los modelos matemáticos como actores

"El conocimiento humano empieza con intuiciones y termina con ideas"

Kant

1. Antecedentes: matemáticas e ingeniería, una relación necesaria

Ante todo deseo dedicar este espacio al recuerdo de aquellas personas recientes que han contribuido de manera muy eficaz a la mejora de la calidad docente, y que merced a sus aportaciones han enriquecido el noble oficio de educar, proporcionando recursos, ideas, innovación e ilusión en esta apasionante labor de transmitir la belleza y aplicaciones de la matemática hacia los ciudadanos. Ellos no están físicamente entre nosotros, pero su espíritu, su figura y sus ideas emprendedoras si que se encuentran entre nosotros, su legado y herencia académica ha dejado huella en el apasionante mundo de las matemáticas y su enseñanza. Sus proyectos han sido realidad y su tarea, a pesar del paso del tiempo, será continuada por muchos maestros de la comunidad educativa matemática actual. Un fuerte agradecimiento y gratitud para las personas que nos han mostrado un ejemplo claro de dignidad en el papel de la formación de profesores de matemáticas. Gracias por todo ello a George Polya, gracias a Pedro Puig Adam, gracias a Luís Santaló, gracias a Paulo Abrantes, y muy especialmente gracias a Miguel de Guzmán, a todos os tendré en el más noble lugar de nuestro pensamiento.

Desde de mi modesta posición, en el noble oficio de educar y formar a ingenieros, aportaré algunos aspectos que considero relevantes en la formación de ingenieros: los contenidos y las metodologías. El tema de la formación de ingenieros está en el orden del día, y más actualmente en el nuevo espacio europeo de educación superior. En una sociedad tecnológicamente avanzada del siglo XXI es preciso usar pedagogía del siglo XXI ante una pedagogía, quizás obsoleta, del siglo XIX, para ello se hace necesario redefinir contenidos y metodologías en la formación de usuarios de las matemáticas. El paso de la tradición a la innovación no es un simple cambio de soporte, es verificar y analizar nuevas formas de educación / aprendizaje que proporcionen resultados cognitivos óptimos, para ello se requiere una buena formación no sólo matemática, sino didáctica y interdisciplinaria.

Sobre este punto describiré algunas experiencias que han obtenido resultados de mejora de la calidad docente y a su vez destacan las producciones matemáticas y tecnológicas mostradas por los alumnos. La forma de presentar las matemáticas contextualizadas es el principal fundamento para la adquisición de conocimiento.

La metodología docente utilizada se basa en lo que se denomina "modelización matemática como herramienta de enseñanza/aprendizaje", apostando por contextualizar las matemáticas en la formación académica y profesional.

Desearía mostrar un argumento de D. Pere Puig Adam extraído de su obra cálculo integral (reedición del 1970) que a pesar del paso del tiempo no a perdido actualidad y que muchos docentes de matemáticas para ingenieros tendrían que tener presente.

" Uno de los defectos fundamentales que tenia la enseñanza matemática, para técnicos en los comienzos del siglo era su exceso de abstracción, su inconsciente apartamiento de toda aplicación inmediata al mundo real. Ello motivó, como es sabido, una intensa reacción antimatemática en las escuelas técnicas, que quedó rápidamente frenada en cuanto los mismos técnicos se dieron cuenta de que la culpa de su incapacidad no radicaba en la matemática en sí , sino en el modo cómo se las había enseñado" El cómodo pretexto: "Ustedes verán cómo esto se aplica en…." rara vez tenía confirmación. (P. Puig Adam, Cálculo integral, 1972).

2. Metodología docente

La propuesta metodológica de presentación de los contenidos matemáticos está basada en el que se denomina modelización matemática como herramienta de enseñanza-aprendizaje. La modelización matemática consiste -brevemente- en formular un problema de la vida cotidiana o situación técnica en términos matemáticos – lo que denomino modelo-, resolverlo si es posible y interpretar los resultados en términos del problema y de la situación planteada.

Para ilustrar el que es el proceso de modelización como propuesta metodológica, adjunto el siguiente organigrama:

ESQUEMA DEL PROCESO DE MODELIZACIÓN

La propuesta metodológica está centrada en los siguientes puntos:

• 1. Presentación de una situación simplificada del mundo real.

• 2. Traducción de la situación en terminología matemática y obtención del modelo.

• 3. Trabajar sobre el modelo y resolución del problema.

• 4. Presentación de la solución en términos no matemáticos.

De hecho, el modelaje matemático es cada vez más útil. La importancia de las matemáticas radica en su aplicación a problemas específicos o particulares. Mogen Niss (1991) define el modelaje como "el arte de aplicar las matemáticas a la vida real". Podría caracterizarse el modelaje matemático como "una herramienta innovadora de enseñanza eficiente y una correa de transmisión que proporciona la adquisición de conocimientos y hermana matemática y realidad". Albert Einstein (1938) apuntaba: " ¿Cómo podemos explicar que las matemáticas, un producto de la mente humana independiente de la experiencia, encajen tan bien en los objetos y elementos de la realidad? ".

La aproximación del ingeniero a las matemáticas es de una naturaleza eminentemente práctica y está orientada a la resolución de problemas concretos. Destaco cinco argumentos a favor de la implantación de las técnicas de modelización en los currículums académicos, en particular en la formación de ingenieros:

1. El formativo

Las técnicas de modelaje permiten estimular el interés por el descubrimiento y la creatividad, y adquirir confianza en las capacidades y recursos propios. Destacando de esta forma el aspecto formativo de las matemáticas.

2. Competencia crítica

En una sociedad cada vez más influenciada por las matemáticas, mediante sus aplicaciones y modelos, es oportuno desarrollar entre los alumnos una competencia critica que les permita una integración en el mundo laboral y social más activa y participativa. La competencia crítica debe entenderse como una capacidad de reconocer, comprender, analizar y validar el uso de las matemáticas en el contexto real.

3. Utilitarista

La capacidad de aplicar los conocimientos matemáticos que se han adquirido en las situaciones del mundo social no proviene del hecho de haber adquirido una formación abstracta.

4. Visión de las matemáticas

Presentar las matemáticas relacionadas con otras áreas de conocimiento, como una actividad cultural y social (interdisciplinariedad-contextualización).

• 5. Argumento psicológico

La incorporación de aplicaciones matemáticas en el currículum puede conseguir que los conceptos matemáticos tengan para el estudiante un protagonismo mental. De esta manera, la capacidad de usar un concepto matemático incluye alguna cosa más que simples conocimientos de este concepto.

Estos aspectos metodológicos se estructuran en las denominadas unidades didácticas y trabajo en proyectos, en los cuales el estudiante aprende los conceptos y no es un mero espectador en la adquisición de conocimientos. De una manera dirigida, a partir de situaciones reales, va asumiendo protagonismo en el proceso de aprendizaje. Lo podríamos definir como una manera heurística de adquirir conocimientos.

Unidades didácticas:

El objetivo es que los alumnos construyan modelos matemáticos de manera dirigida. Inicialmente se realiza un guión previo con la temporalización de la unidad y posteriormente se desarrollan individualmente en las aulas. Los objetivos pedagógicos quedan plasmados en los siguientes puntos:

• Presentar una situación técnica sencilla. A partir de diversas actividades sugeridas al alumno, se pretende que con un mínimo de conocimientos consigan construir el modelo matemático de la situación planteada y que a su vez aprendan conceptos matemáticos que les sean útiles.

• En una segunda fase el objetivo es que resuelvan el problema en términos matemáticos y que a continuación interpreten los resultados en términos técnicos.

Las unidades didácticas se presentan de forma que traten temas de actualidad, que sean atractivas y sugeridoras para el alumno con el fin de que las cumplimenten de forma amena. A su vez el estudiante se motiva por el aprendizaje de nuevos conceptos matemáticos que él mismo irá construyendo.

La enseñanza a través de las unidades didácticas es un ejemplo de la modelización matemática como herramienta de enseñanza/aprendizaje. Inicialmente se proponen como una actividad que complementa las "clases de pizarra". Destaca el hecho de que en las unidades se incluyen ítems que preguntan al alumno "Que has aprendido y que dificultades has encontrado". De esta manera podemos localizar más fácilmente las deficiencias en el proceso de aprendizaje y corregir y mejorar las unidades para posteriores ediciones. Las unidades se realizan en horas de clase y dentro de las aulas, las explicaciones del profesor son complementarias y sus explicaciones van referenciadas a los temas tratados en la unidad. La información extraída de las respuestas nos permite juzgar aspectos epistemológicos, heurísticos y cognitivos de nuestros estudiantes.

El sentido y el espíritu utilitarista de los problemas propuestos en las unidades didácticas pueden sugerir en algunos casos comentarios de los estudiantes referidos a aspectos epistemológicos, y también sugerir en el ámbito de estructura mental el concepto de qué son las matemáticas en un contexto técnico.

Proyectos:

El objetivo de los proyectos es averiguar si los alumnos son capaces de desarrollar un problema real a partir de la información facilitada por el profesor y construir una teoría que explique el fenómeno estudiado. A diferencia de las unidades didácticas -que son secuenciales-, el proyecto se fundamenta en una idea global con una fuerte componente de investigación en la que los estudiantes han de desarrollar actividades globales: buscar ellos la información, desarrollar y analizar modelos para resolver el problema planteado en la situación real. El proyecto es defendido públicamente en la última semana lectiva del curso y contempla las intervenciones de los demás alumnos; en la exposición el profesor interpela a los alumnos y las intervenciones se registran en vídeo. Los proyectos están concertados (a grupos de entre 3 y 4 personas) en una entrevista previa con el profesor. A diferencia de las unidades didácticas, los proyectos no son elaborados en clase. Además hay una componente pedagógica distinta a la anterior, una componente de investigación: el estudiante ha de recoger información con el fin de desarrollar las actividades propuestas, de esta forma se pretende que el alumno tome contacto con el mundo extra-académico y se preocupe de recoger información en el contexto real -hecho usual de todo profesional que termina ingeniería-. Es de destacar que en la elaboración de los proyectos hay involucradas otras áreas de conocimiento, lo cual proporciona una mayor conexión entre el binomio matemática-realidad. La idea de proyecto va estrechamente ligada a la idea del proceso de modelización. El punto de partida es la presentación de una situación no matemática, extraída del mundo de la ciencia o de la técnica, susceptible de ser formulada en términos matemáticos. Los estudiantes tienen un problema en las manos que han de modelar y resolver. La única información de que disponen los estudiantes es una bibliografía y el contexto donde se desarrolla la situación presentada. Seguidamente se inicia un proceso de investigación por parte de los alumnos y que a menudo necesitaran la ayuda del profesor. Los proyectos son un claro exponente de trabajo en grupo.

Los objetivos principales de la realización de un proyecto los podemos resumir en los siguientes puntos:

• a) Los alumnos han de ser capaces de relacionar los conocimientos matemáticos y las habilidades adquiridas con las situaciones presentadas, y de esta manera saber usar la matemática para fines prácticos. Es decir, han de ser capaces de apreciar el papel de la matemática en situaciones complicadas, como un medio para resolver los problemas que se le planteen.

• b) Los alumnos han de estar preparados para utilizar más adelante, en la vida diaria, elementos matemáticos como son tablas, manuales, gráficos, revistas técnicas, software, etc. En este sentido el trabajo en proyectos juega un papel muy importante.

• c) Los alumnos han de estar preparados para utilizar como herramientas temas e ideas matemáticas nuevas, en el sentido de que la escuela no les enseñó de manera explícita y sistemática.

Entenderemos la realización de un proyecto como una forma de aprendizaje interdisciplinario basado en la experiencia y capaz de convivir con otras formas tradicionales de aprendizaje.

La inclusión de proyectos en la metodología docente para la enseñanza/aprendizaje de las matemáticas a nivel universitario queda justificada por los siguientes aspectos:

• La adquisición de conceptos. En los proyectos hay gran cantidad de conceptos matemáticos y extramatemáticos involucrados, de esta forma descubren nuevos conceptos.

• Un aprendizaje activo. Es una tipología de aprendizaje que representa una mezcla de pensamiento y acción.

• Desarrollo de habilidades. En muchas áreas, el proceso es más importante que los contenidos. En diversas situaciones laborales el hecho de que se contrate a un técnico, a menudo tiene más relación con sus habilidades que con el propio conocimiento de la materia.

• Trabajo en grupo. Gran parte de la enseñanza tradicional es individualista y competitiva. La mayor parte de la sociedad y el comercio confía en la cooperación. El aprendizaje en grupo también es eficaz.

• Asumir responsabilidades. La realización de un proyecto permite negociar las metas y aumenta el compromiso personal.

En cada proyecto se incluye una plantilla de evaluación que cumplimenta el profesor y que sirve para obtener información del proceso de aprendizaje de los estudiantes. Esta parrilla contempla y valora los siguientes aspectos: Diseño global (búsqueda de información, extensión), contenido matemático (formulación, rigor del lenguaje, habilidad), claridad (explicaciones precisas, organización y presentación), actitud matemática (espíritu de investigación, matematización de situaciones), otros aspectos (conclusiones y comentarios), puntuación final.

Algunos modelos analizados, entre otros, se basan en el estudio de los electrocardiogramas, destacando la importancia de las series de Fourier como modelos para interpretar las situaciones mencionadas. En la investigación didáctica se plantea una articulación del contenido de la matemática que favorezca la perspectiva inerdisciplinar utilizando y descubriendo conceptos matemáticos mediante el planteamiento de situaciones reales. Se enfatiza el cambio metodológico versus la enseñanza tradicional adquiriendo una vertiente heurística que destaca la epistemología de la matemáticas y replantea los procesos de evaluación.

Descripción de algunos modelos

• Modelizando un Electrocardiograma

El objetivo del trabajo es construir un modelo matemático que nos facilite información sobre la salud del corazón. Para ello se recogen muestras reales de electrocardiogramas de diversas topologías (corazón sano, corazón enfermo, pruebas realizadas en adultos, en niños,…). El trabajo lleva explicito la simulación y aproximación por ordenador de las gráficas que nos muestra el aparato; de esta forma aparecen necesariamente las series de Fourier. Mediante la simulación en MAPLE se obtienen que los valores de los coeficientes de Fourier no son los mismos si se trata de un corazón sano o enfermo, ni necesariamente los mismos si el rango de edad del paciente es distinto. La gráfica del electrocardiograma se presenta en papel milimetrado que mide verticalmente el voltaje y horizontalmente el tiempo, determinado por el desplazamiento del papel.

Los datos a tener en cuenta son:

– Velocidad del electrocardiograma igual a 25mm/seg.

– 1mm = 0"04 seg.

– 5mm = 0"20 seg.

– 1mm vertical = 0"01 mvolt.

Así pues, mediante el análisis visual de un gran número de electrocardiogramas, es posible generalizar que con algo tan simple como fijarnos en el valor de amplitud de onda del electrocardiograma podemos conjeturar si este pertenece a un corazón sano o enfermo. Con el trabajo se puede establecer la conclusión de que comprobando únicamente que esos valores se encuentren entre 0"15mvolt y 0"08mvotls, el electrocardiograma correspondiente pertenece a una persona sana y que en el momento en que los valores de amplitud no se encuentren incluidos en el intervalo indicado a estos sabremos que ese corazón posee algún tipo de anomalía. En la ilustración se muestra un electrocardiograma normal correspondiente al corazón de un varón de 40 años.

Con la ayuda de Maple7 podemos simular analíticamente y visualizar la función.

Notemos que la gráfica simulada está definida en el intervalo (0,0.8).

Esta función es extendida periódicamente con un período de 0.8 segundos.

Se usan las series de Fourier que nos permitirán calcular los coeficientes y a su vez comparar diversos electrocardiogramas. Realizando cálculos para la expresión:

tomando 8 armónicos se obtiene:

Sobreponiendo dichos armónicos se obtiene:

La suma de los mismos se aproxima a la función inicial pero utilizando Maple nos permite obtener una información más precisa, para ello consideramos 50 armónicos y mostraremos la visualización gráfica representada en tres intervalos consecutivos de período 0.8 segundos:

Observemos que hemos conseguido un mejor modelo del electrocardiograma:

• Modelo matricial

Se intenta modelizar la ley de Hooke como un sistema lineal, partiendo inicialmente de una masa y un resorte. El objetivo final consiste en encontrar un modelo que relacione la fuerza y el desplazamiento con diversos resortes y masas. Posteriormente comprobar que diferentes situaciones técnicas comparten el mismo modelo matemático. De esta forma se consigue establecer modelos de álgebra matricial.

Notemos que existe un paralelismo entre la ley de Ohm y la ley de Hooke. Las dos son expresiones del tipo:

De esta forma se estudian situaciones que comparten el mismo modelo.

3.3. Intersección regulada por semáforos

En este caso se analiza el funcionamiento de una red de circulación vial. En concreto se elige una intersección regulada por semáforos para estudiar la evolución del tráfico,

la densidad de circulación realizando mediciones experimentalmente del flujo de automóviles. En el proyecto se establece la analogía entre los elementos clásicos de la teoría de circuitos y las características del tráfico rodado: Leyes de Kirchoff, teoria de grafos,…y se intenta mostrar resultados como una primera aproximación al problema de la gestión del tráfico. Se escogió una intersección real y se ilustró utilizando flash de Macromedia y incluso se construyó una maqueta para simular la red vial tal como muestran las siguientes ilustraciones.

A continuación se plasma la secuencia-esquema seguida para modelizar:

• Método de la Solera

El vino más añejo está en la fila inferior de barriles y el más nuevo en el piso de más arriba. Cada año, la mitad del contenido de los barriles del suelo se embotella como jerez y se llena con vino de los barriles de la fila inmediatamente superior. El proceso se completa añadiendo vino nuevo a los barriles de la fila de más arriba. El problema es buscar un modelo matemático que nos determine la cantidad de vino de n años que se extrae de k filas de barrilles (Larson,2003. CálculoI)

Los alumnos deducieron, a partir de considerar series numéricas, que la expresión que determina la cantidad de vino de n años que se extrae de k filas de barricas es:

para k < n

Este es otro ejemplo de modelización que nos permite presentar los temas de matemáticas de manera distinta de la tradicional y que muestra la componente epistemológica de las mismas.

Podríamos mostrar más ejemplos pero para no extenderme más les remito a las referencias bibliográficas que se encuentran al final del artículo.

4. Conclusiones: de la tradición a la innovación

• 1. En el ámbito epistemológico se consigue una mayor conexión con el currículum de ingeniería y se destaca la interdisciplinariedad, mostrando las matemáticas no desvinculadas de la realidad y del entorno profesional.

• 2. Destaca el aspecto formativo de las matemáticas, en el sentido de que las técnicas de modelización permiten estimular el interés por el descubrimiento y la creatividad.

• 3. En el ámbito heurístico se favorece el trabajo en grupo, como característica presente en una sociedad avanzada del siglo XXI, fomentando el debate y a la vez potenciando el sentido crítico.

• 4. La enseñanza tradicional mantiene excesivos formalismos que a menudo se alejan de la realidad del futuro ingeniero. En la modelización se evita la carga de formalismos apostando por un aprendizaje más intuitivo y próximo a las situaciones técnica.

• 5. En el ámbito cognitivo podemos establecer que la modelización matemática es una buena herramienta para la enseñanza / aprendizaje de las matemáticas. En este tipo de experiencias se plasma el papel relevante de la modelización matemática en la escena curricular de ingeniería, adquiriendo un protagonismo el aprendizaje producido por los propios alumnos que a su vez asumen el papel de actores en su propio aprendizaje.

• 6. Podemos ratificar y establecer la validez de la hermosa cita del maestro Pedro Puig Adam que se menciona al principio de la comunicación; con la esperanza de que la modelización matemática sea incluida en los planes de estudio y la presencia de modelos matemáticos sean realmente protagonistas en la formación de ingenieros.

5. Bibliografía

1. Alsina,C. Burgués,C. Fortuny. 2001."Ensenyar Matemàtiques". Graó

2. Alsina, C. 1998. Contar bien para vivir mejor.Rubes

3.Aravena;Mª.2001. "Evaluación de proyectos en un curso de álgebra universitaria.Un estudio basado en la modelización polinómica".Tesis Doctoral.UB

4. Cabrara,G:1998. "Semiología del electrocardiograma, Análisis e interpretación", Ed. Grupo Aula médica

5.Caamaño,C. 2001."Bases para una formación integrada de álgebra y geometría en ingenieria:El caso de las cuádricas".Tesis Doctoral. UB.

6. COMAP .2000. "Matemáticas y vida cotidiana". Addison-Wesley.

7.Garcia,L.M.1998. "Proyectos de Matemática Aplicada para ingenieria".Publicaciones UPV.

8. Gómez, J. 2000. Tesi doctoral."Per un nou ensenyament de les matemàtiques". Edit. CEAC

9. Gómez, J. 2002."De la enseñanza al aprendizaje de las matemáticas" Edit. Piados

10. Guzmán,M. Página web: www.mat.ucm.es/deptos/am/guzman/guzman.html

11.Puig Adam,P. "Cálculo Integral". Edición 1972. 

12. Web de modelización:   http://www-ma4.upc.es/~andreu/

Resumen basado en el XVI Simposio Iberoamericano de Enseñanza Matemática."Matemáticas para el siglo XXI"

Autor:
Joan Gómez I Urgellés.

Enviado por:

Ing. Lic. Yunior Andrés Castillo S.

"NO A LA CULTURA DEL SECRETO, SI A LA LIBERTAD DE INFORMACION"®

Santiago de los Caballeros,

República Dominicana,

2015.

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