Introducción a la probabilidad (página 3)

Partes: 1, 2, 3

Tenemos una baraja española de 40 cartas. Consideramos el experimento de sacar una
carta y observarla. Calcule la probabilidad de los siguientes eventos:

A1: sacar una carta de espadas;
A2: sacar un rey;
A3: sacar una ?gura (sota, caballo o rey);
A4: sacar una carta de copas que no sea ?gura;
A5: sacar una carta que no sea bastos;
A6: sacar una ?gura de oros.
Como el espacio muestral es más grande, vamos a referirnos a los totales de casos
favorables y de posibles:

8. Tomemos ahora el calendario de un año no bisiesto, en el que el 1o de enero cae
en martes. En un bombo se colocan 365 bolitas, cada una de las cuales corresponde a
un día diferente del año. Sea el experimento de sacar al azar una de esas bolitas. Calcule
la probabilidad de los siguientes eventos:

A1: sale un día del mes de agosto;
A2: sale un miércoles;
A3: sale un día de ?n de semana (sábado o domingo);
A4: sale un día del último trimestre del año;
A5: sale un viernes del mes de marzo;
A6: sale un día de un mes que tiene un número par de días;
A7: sale un día de ?n de mes que cae en domingo.
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Hasta ahora, los ejemplos y ejercicios
propuestos se han referido a experimentos
aleatorios con espacios muestrales confor-
mados por eventos equiprobables, cuyos
casos favorables pueden contarse. ¿Y cómo
se hace en un experimento aleatorio cuan-
do estas condiciones no se cumplen? La so-
lución debe salir del análisis de la situación
particular.

Por ejemplo, consideremos el siguiente
experimento. Una máquina lanza dardos
aleatoriamente (es decir, de acuerdo con
los lineamientos especi?cados por Kolmo-
gorov) sobre una diana circular de 40 cm
de diámetro y se supone que todos los lan–
zamientos caen sobre ella. ¿Cuál es la pro-
babilidad de que la diana caiga en la zona
rectangular (de dimensiones 20 cm x 10
cm) que se indica en la ?gura?

Como se ve, el dardo marca un punto
(aunque sea gordo…) en la diana. Como la
máquina funciona aleatoriamente, el dardo
puede caer en cualquier punto, lo que ga-
rantiza que todos los eventos son equipro-
bables. Los casos “favorables” correspon-
den a la situación de caer el dardo dentro
del rectángulo; y los casos “posibles”, caer
en cualquier punto de la diana.

Ahora bien, no es posible contar todos
los puntos de la diana, así como tampoco
los del rectángulo. Pero si no se pueden
“contar”, sí se pueden comparar medidas
similares de ambas ?guras geométricas:
estamos hablando de las áreas correspon-
dientes.

La probabilidad del evento indicado vie-
ne dada, justamente, por el cociente de las
áreas de las dos ?guras. Como se recorda-
rá, el área del círculo se obtiene aplicando
la fórmula Ac = p x r2 = p x (20 cm)2 = 400p
cm2. Y el área del rectángulo: Ar = b x a =
20 cm x 10 cm = 200 cm2. La probabilidad
solicitada es: P = 200 cm2 / 400p cm2 = 1 /
2p = 0,16 (aprox.).

Veamos este otro caso: Tres caballos, A,
B y C, participan en una carrera. A partir de
experiencias de carreras anteriores se asigna tibles (excluyentes), entonces P(A U B) =
al caballo C el doble de posibilidades de ga- P(A) + P(B).
nar que al caballo A; y al caballo A, el triple
de posibilidades de ganar que al caballo B. Por ejemplo, en el experimento de ex-
¿Cuál es la probabilidad de ganar que po- traer una carta de una baraja española, con-
see cada caballo? sideremos los eventos A: sacar una ?gura
de copas; y B: sacar una carta que no sea
Lo que sabemos de antemano es que las ?gura. Como se ve, ambos sucesos son ex-
posibilidades se dan en términos de propor- cluyentes; por consiguiente, la probabilidad
cionalidad (el doble, el triple…). Entonces, del evento “sacar una ?gura de copas o una
designamos con la letra p la probabilidad carta que no sea ?gura” será igual a la suma
de ganar correspondiente al caballo menos de ambas probabilidades aisladas: P(A U B)
veloz, B; de ahí, la probabilidad de ganar = P(A) + P(B) = 3/40 + 28/40 = 31/40.
correspondiente al caballo A será 3p; y la
de C, 6p. b) Si un evento es la negación de otro
evento A, entonces P(A) = 1 – P(A).
Ahoranosapoyamosenelhechodeque
la suma de las tres probabilidades debe ser Siguiendo con el ejemplo anterior, P(A)
igual a 1; de donde: p + 3p + 6p = 1 10p = 1 – 3/40 = 37/40; esta es la probabilidad
= 1. Lo que signi?ca que p debe ser 1/10. de sacar cualquier carta que no sea una ?-
Ya podemos determinar las probabilidades gura de copas. Haga lo mismo para el even-
de ganar de cada uno de los caballos: P(A) to B.
= 3/10; P(B) = 1/10; P(C) = 3/5.
Hemos visto que dos eventos de un
4.4. La probabilidad asociada a mismo espacio muestral pueden estar rela-
eventos que son combinación de cionados entre sí como compatibles o in-
otros eventos compatibles, o también como complemen-
tarios. Ahora vamos a establecer otro tipo
Hasta ahora hemos calculado la proba- de relación.
bilidad de eventos elementales; pero sabe- Se dice que dos sucesos o eventos A y
mos que tales eventos pueden combinarse B de un mismo espacio muestral son inde-
entre sí, bien sea por la vía de la disyunción pendientes, si el hecho de que uno de ellos
o de la conjunción; y que también pode- suceda no está in?uenciado por el hecho
mos derivar nuevos eventos por la vía de de que el otro evento haya sucedido o no.
la negación de un evento dado. Vamos a En caso de que esa in?uencia exista, se dice
ocuparnos del cálculo de la probabilidad de que uno de los eventos (el in?uenciado)
los eventos combinados. está condicionado por el otro evento.

a) Si dos sucesos o eventos A y B de Por ejemplo, en el experimento de lan-
un mismo espacio muestral son incompa- zar una moneda tres veces y observar el
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Los principios que rigen el cálculo
de las probabilidades de un evento

Resulta oportuno presentar agrupados
los principios que han ido apareciendo a
medida que hemos ido calculando la pro-
babilidad de los diversos eventos. He aquí
los fundamentales para un experimento
cuyo espacio muestral es E:
1. La probabilidad de cualquier evento
A es un valor comprendido entre 0 y 1: 0
= P(A) = 1.

2. La probabilidad de un evento seguro
es 1: P(E) = 1.

3. La probabilidad de un evento im-
posible es 0: P(Ø) = 0.
20
lado que queda a la vista, los eventos A: 4. La suma de las probabilidades de los eventos elementales de un experimento alea-
“que salga cara en el primer lanzamiento” torio debe ser igual a 1.
y B: “que salga cara en el segundo lanza-
miento” son independientes; lo que ocurra 5. Si A es un evento subconjunto de otro evento B, entonces P(A) < P(B).
en el primer lanzamiento no condiciona lo
que pueda ocurrir en el segundo. 6. Si dos sucesos o eventos A y B de un mismo espacio muestral son incompatibles
(excluyentes), entonces P(A U B) = P(A) + P(B).
c) Si dos sucesos o eventos A y B de un
mismo espacio muestral son independien- 7. Si un evento es la negación de otro evento A, entonces P(A) = 1 – P(A).
tes, entonces P(A B) = P(A) x P(B).
8. Si dos sucesos o eventos A y B de un mismo espacio muestral son independientes,
En el ejemplo que acabamos de mostrar, entonces P(A B) = P(A) x P(B).
A = {CCC, CCS, CSC, CSS} y B = {CCC, CCS,
SCC, SCS}; de donde: P(A) = ½ y P(B) = ½ Todos estos principios nos sirven de soporte para el cálculo de la probabilidad de
(recordemos que el espacio muestral tiene 8 eventos de ese espacio muestral.
eventos elementales). Por otro lado, el even-
to conjunción de A y B es “que salga cara en
el primero y en el segundo lanzamiento”; es
decir, A B = {CCC, CCS}; de donde P(A
B) =¼. Y se comprueba que P(A B) = P(A)
x P(B), ya que½ x½ = ¼. babilidad de un evento
Como en otras oportunidades, presentamos el enunciado de diversos problemas; se
sugiere al (a la) lector(a) que intente resolverlos por su cuenta, antes de revisar el proceso
de resolución que se presenta posteriormente.

a) Se lanzan dos dados equilibrados. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de los
puntos que aparecen sea impar?

b) Una caja contiene 6 tarjetas amarillas y 4 rojas. ¿Cuál es la probabilidad de sacar al
azar una tarjeta roja?

c) Dos chicos (M) y dos chicas (F) van al cine y ocupan cuatro asientos consecutivos al
azar. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos chicas se sienten juntas? ¿Y de que los chicos
y chicas se sienten alternadamente?

d) Un grupo de estudiantes presenta Matemáticas e Inglés; 60% de ellos aprueban
Matemáticas, y 70% Inglés. ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante, seleccionado al
azar, haya aprobado las dos asignaturas?

e) La directora de la escuela tiene dos
hijos y sabemos que no son ambos varones.
¿Cuál es la probabilidad de que tenga dos
hembras?

f) Lanzamos dos dados equilibrados. Si
la suma de los puntos de ambos es 6, hallar
la probabilidad de que uno de los dados
muestre 2 puntos.

Vamos a mostrar algunas vías para re-
solver los problemas propuestos.

a) El espacio muestral del experimento
“lanzar dos dados y anotar los puntos ob-
servados” es: E = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4),
(1, 5), (1, 6), (2, 1),…}. En seguida se descu-
bre que hay 36 eventos elementales en E,
formados por las parejas (a, b), en las que
a y b representan cualquier puntaje (de 1 a
6) del primero y segundo dados, respecti-
vamente.

En cuanto al evento A: “que la suma de
los puntos sea impar”, también descubri-
mos que en E la mitad de esas sumas es par
y la otra mitad, impar; es decir, P(A) = 18 /
36 = 1/2.

b) El caso es muy sencillo: # (E) = 10 y #
(A) = 4. Luego P(A) = 4/10 = 2/5.

c) El espacio muestral está formado
por todas las agrupaciones posibles de las
cuatro personas. Estas agrupaciones pue-
den tener estos formatos: MMFF, MFMF,
MFFM, FMFM, FFMM, FMMF. Como se
puede apreciar, en 3 de ellos las dos chicas
se sientan juntas; y en 2 de ellos se sientan
alternándose con los chicos.
Por consiguiente, P(las dos chicas se
sientan juntas) = 3/6 = 1/2; y P(las dos chi-
cas se sientan alternándose con los chicos)
= 2/6 = 1/3.

d) Los eventos A: “aprobar Matemáti-
cas” y B: “aprobar Inglés” son independien-
tes. Nos piden la probabilidad de la con-
junción de ambos eventos, es decir, P(A
B); pero, por ser independientes, P(A B) =
P(A) x P(B). Ahora bien, P(A) = 0,6 y P(B) =
0,7 (¿por qué?). Por consiguiente, P(A B)
= 0,6 x 0,7 = 0,42.

e) El espacio muestral para el género
de dos hijos, en general, es el siguiente:
E = {FF, FM, MF, MM}, donde M y F re-
presentan a alguien del género masculino
o femenino, respectivamente. Ahora bien,
en nuestro caso debemos excluir de ese
conjunto el elemento MM (no hay dos va-
rones). Por consiguiente, E = {FF, FM, MF}.
El evento A: “tener dos hijas” consta de un
solo elemento: A = {FF}. Por consiguiente,
P(A) = 1/3.

f) Observemos que el espacio muestral
del evento A: “aparece un 2” está forma-
do por aquellos eventos del experimento
“lanzar dos dados y sumar los puntos de las
caras superiores” cuyo resultado es 6. Este
espacio muestral es: E = {(1, 5), (2, 4), (3, 3),
(4, 2), (5, 1)}. Y ahí observamos que A = {(2,
4), (4, 2)}. Por consiguiente, P(A) = 2/5.

Hay ciertos problemas cuyo enunciado
nos remite a la repetición sucesiva de un
experimento, o bien a la secuencia de ex-
perimentos diferentes. En este caso resulta
provechoso utilizar una representación grá-
?ca del problema denominada diagrama
de árbol, que nos permite:

• visualizar la secuencia de progresión
de los eventos bajo la forma de las bifurca-
ciones de las ramas de un árbol,
• asignar un valor de probabilidad a
cada una de esas ramas,
• calcular la probabilidad de cada tra-
yectoria, y
• calcular la probabilidad de ciertos
eventos.

Veamos el proceso con los siguientes
problemas.

g) En un salón hay 25 estudiantes, de los
cuales 10 son varones. ¿Cuál es la probabili-
dad de que al seleccionar al azar un comité
de 3 alumnos, sean todas hembras?

La selección de un grupo de tres estu-
diantes puede ser pensada como si se eli-
giese al primero de ellos, se le descartase
de la lista y se eligiese al segundo, se des-
cartase a este último de la lista y se eligiese
al tercero; es decir, como si se tratara de
la repetición, por tres veces consecutivas,
del experimento de seleccionar al azar a un
estudiante del salón.
21

P(H) x P(H) x P(H) = 15 x14 x13 = 273 ,
Hemos visualizado los ocho caminos posibles; de arriba abajo: VVV, VVH, VHV,
VHH, HVV, HVH, HHV, HHH. Este es el espacio muestral, pero los eventos ahora no son
equiprobables. ¿Cómo se calcula la probabilidad de cada uno de esos eventos?
22
10/25

15/25
V

H
9/24

15/24

10/24
14/24
V

H

V
H
13/23
15/23

9/23

14/23

9/23

14/23

10/23
Claro que las tres selecciones no se dan en las mismas condiciones. Por ejemplo, la
probabilidad de elegir un varón en la primera ronda, es de 10/25; pero si efectivamente
sale elegido un varón, la probabilidad de elegir de nuevo un varón en la segunda ronda
será ahora de 9/24, ya que nos quedan 9 varones (casos favorables) entre 24 estudiantes
(casos posibles). En cambio, la probabilidad de elegir a una hembra en la segunda ronda
sería de 15/24.

Pues bien, todas estas alternativas pueden visualizarse en un diagrama de árbol como
el que se muestra (las probabilidades de elegir varón P(V) y de elegir hembra P(H) en la
primera ronda son, respectivamente 10/25 y 15/25) :

V (VVV)
8/23
H (VVH)
V (VHV)

H (VHH)
V (HVV)

H (HVH)
V (HHV)
H (HHH)
La observación más importante en este
momento es percibir que los resultados de
cada ronda son independientes de lo ocu-
rrido en la ronda anterior, en el sentido de
que si ahora se elige al azar V (por ejemplo,
lanzando una moneda), en la siguiente ron-
da las posibilidades de elegir V o H son las
mismas (se vuelve a lanzar la moneda). Al
ser independientes los eventos sucesivos,
la probabilidad de su conjunción es igual
al producto de las probabilidades de cada
uno de ellos; por ejemplo, P(HHH) = P(H
H H) = P(H) x P(H) x P(H).
Así, para calcular la probabilidad de que
el comité esté formado por tres hembras,
P(HHH), seguimos el camino correspon-
diente (el camino inferior en el diagrama)
y multiplicamos las probabilidades de cada
una de sus ramas: P(HHH) = P(H H H) =
25 24 23 1380
fracción que tiene un valor aproximado de
0,2.Esdecir,laprobabilidaddeelegirunco-
mité formado sólo por tres hembras es casi
de 1/5; de cada cinco selecciones al azar de
ternas de estudiantes, probablemente una
estará formada por tres hembras.
h) En el problema anterior, ¿cuál es la
probabilidad de que el comité esté formado
por dos varones y una hembra?

10 9 15
El evento “se eligen al azar dos varones y una hembra” está formado por la disyunción
de los eventos elementales: {VVH}, {VHV}, {HVV} (por cualquiera de esas tres vías se llega
al resultado deseado). Estos eventos, comparados entre ellos, son incompatibles. Por con-
siguiente, para el primer evento se tendrá: P({VVH, VHV, HVV}) = P(VVHUVHVUHVV)
= P(VVH) + P(VHV) + P(HVV).

Pero como ya sabemos, los eventos V y H son independientes en cada ronda con res-
pecto al resultado de la ronda anterior, de modo que, en su camino correspondiente:
• (2do camino): P(VVH) = P(V) x P(V) x P(H)=
x x
25 24 23
=
9
92
= 0,098
• (3er camino): P(VHV) = P(V) x P(H) x P(V) =
€
9
23
15
24
10
25
x
x
= 9 /92 =0,098
• (5to camino): P(HVV) = P(H) x P(V) x P(V) = 15 x 10 x 9 = 9 =0,098
25 24 23 92
Y ahora: P({VVH, VHV, HVV}) = 0,098 + 0,098 + 0,098 = 0,294 cuyo valor aproxi-
mado es 0,3. Es decir, la probabilidad de elegir un comité formado sólo por dos varones
y una hembra es casi de 3/10; de cada diez selecciones al azar de ternas de estudiantes,
probablemente tres estarán formadas de esa manera.
En el primer experimento los eventos
elementales son equiprobables: cada caja
tiene la misma probabilidad 1/3 de ser ele-
gida. En el segundo experimento, las pro-
babilidades de los dos posibles eventos, A:
“sacar una pila dañada” y B: “sacar una pila
no dañada” varían así:
i) Tenemos tres cajas con pilas (baterías). La 1a contiene 5 pilas, de las que 2 están
dañadas; la 2a contiene 6 pilas, de las que 1 está dañada; y la 3a contiene 8 pilas, de las
que 2 están dañadas. Escogemos al azar una caja y, en un segundo paso, una pila de esa
caja. ¿Cuál es la probabilidad de que esa pila no esté dañada?

En este caso se nos presenta la secuencia de dos experimentos aleatorios diferentes:
elegir una caja de entre tres y elegir una pila dentro de la caja.
Podemos visualizar la secuencia de los
dos experimentos y las posibles alternativas
con el siguiente diagrama de árbol (D y ND
signi?can dañada y no dañada, respectiva-
mente):
1/3

1/3

1/3
Caja 1

Caja 2

Caja 3
2/5

3/5

1/6

5/6

1/4

3/4
D

ND
D

ND
D
ND

La probabilidad de elegir al azar una
pila que no esté dañada se obtiene a lo lar-
go de los caminos 2o, 4o y 6o del diagrama
(los que terminan en ND). Cualquiera de los
tres caminos es válido, lo que indica que se
23

Así tendremos: P(ND) = = = + + = + + 131 1 5 1 3 1 5 1 3 1 x x x 0,73 (aprox.). Es decir,
+ x
x
x
1 6 3 2 1 1 3 2 1 1 1 .
se da o no en el blanco):
SI
N
SI
NO Sólo uno da en el blanco
SI
M
NO
H
Ninguno da en el blanco
trata de una disyunción de eventos, que además son incompatibles (extraer una pila ND
de una caja es incompatible con extraerla de cualquiera de las otras dos cajas).

Por consiguiente, la probabilidad de extraer una pila no dañada vendrá dada por la
suma de las probabilidades de esos tres caminos. Ahora bien, en cada camino, la elec-
ción de una pila dañada o no dañada, es independiente de la caja elegida; de ahí se sigue
que la probabilidad de cada camino es igual al producto de las probabilidades de cada
una de las dos ramas que lo integran.

3 5 3 6 3 4 5 18 4 180
la probabilidad de elegir una pila no dañada es casi de 3/4 (0,75); de cada cuatro selec-
ciones al azar de una caja y, después, de una pila de esa caja, probablemente tres veces
conseguiremos una pila no dañada.

j) Ahora se trata de dos cazadores, M y N. La probabilidad de que M dé en el blanco
es 1/4, y la de N es 1/3. Si ambos disparan, ¿cuál es la probabilidad de que se dé en el
blanco?

Este es un tipo de problemas engañosos a primera vista; en efecto parece que la
solución consiste en sumar ambas probabilidades (1/4 + 1/3). Esto sería cierto si ambos
eventos A: “M da en el blanco” y B: “N da en el blanco”, fueran incompatibles. Pero no
lo son, puesto que ambos pueden dar en el blanco.

Podemos imaginar el experimento “M y N disparan contra un blanco y se anota el
resultado” como una secuencia de estos dos: “M dispara contra un blanco” y “N dispara
contra un blanco” (o al revés; es indiferente para el cálculo).

Podemos, pues, utilizar un diagrama de árbol para representar la secuencia de los
dos eventos, así como las probabilidades asociadas a cada rama (sí y no signi?can que
Los dos dan en el blanco
1/3
2/3
1/4
Sólo uno da en el blanco
3/4
1/3
2/3
NO

24
Por consiguiente, la probabilidad de
que se dé en el blanco, signi?ca realmen-
te la disyunción de los tres primeros cami-
nos (que sí son excluyentes entre sí, pues-
to que si se da uno de ellos, no pueden
darse los otros dos caminos). Procedien-
do como antes, la probabilidad de que se
dé en el blanco viene dada por la suma:
+ = + + = =
4 3 4 3 4 3 12 12 12 12 2

También puede verse la situación como
la negación del cuarto camino (ninguno da
en el blanco); la probabilidad de este cuarto
camino viene dada por: 3 x 2 = 1 . Y la pro-
4 3 2
babilidad de su negación es 1 –½ =½.
Este resultado signi?ca que, en las con-
diciones dadas, probablemente se dará en
el blanco la mitad de las veces que ambos
cazadores disparen. Como puede verse,
este evento es similar al de obtener cara o
sello en el lanzamiento de una moneda…

k) Un examen consta de tres preguntas
de verdadero o falso. ¿Cuál es la probabi-
lidad de aprobar el examen si se contesta
cada pregunta al azar?

Aquí se trata de un mismo experimento,
contestar una pregunta al azar (lanzando, por
ejemplo una moneda) con dos alternativas: si
salecaraseanotaV,ysisaleselloseanotaF.En
cadacaso,lasposibilidadessondeacertar(A)y
de no acertar (N). De modo que tenemos cua-
tro posibles eventos para cada pregunta: {VA,
VN, FA, FN}. Como se aprecia, la probabilidad
de acertar corresponde a los eventos VA y FA,
de donde se sigue que P(A) = 2/4 = 1/2.

Si se hacen tres preguntas y se contestan por la misma vía, el espacio muestral será: E
= {AAA, AAN, ANA, NAA, NNA, NAN, ANN, NNN}. El evento B: “aprobar el examen”
signi?ca, en este caso, acertar en dos o tres preguntas; es decir, B = {AAA, AAN, ANA,
NAA}. De donde se sigue que P(B) = 4/8 = 1/2.

El proceso de resolución del problema también puede seguir la vía de un diagrama de
árbol, en tres pasos consecutivos, en cada uno de los cuales hay una bifurcación en dos
ramas (A y N), cuyas probabilidades son de 1/2 cada una (hágalo si lo desea).

l) Si un examen consta sólo de pregun-
tas de verdadero o falso y se contesta cada
pregunta al azar, ¿puede ocurrir que la pro-
babilidad de aprobar el examen sea alguna
vez menor que 1/2?

En el problema anterior la probabilidad
fue de 1/2. Se puede veri?car (hágalo cuan-
do la prueba contenga cinco preguntas)
que cuando el número de preguntas de la
prueba es impar, la probabilidad de apro-
bar contestando cada pregunta al azar es
siempre 1/2.

En cambio, si el número de preguntas es
par, la probabilidad de aprobar (ahora hay
que responder correctamente sólo la mitad
de las preguntas, no la mitad de las pre-
guntas más 1) contestando cada pregunta
al azar es mayor que 1/2. Veámoslo para el
caso de una prueba con cuatro preguntas.

El espacio muestral es: E = {AAAA,
AAAN, AANA, ANAA, NAAA, AANN,
ANAN, ANNA, NANA, NNAA, NAAN,
NNNA, NNAN, NANN, ANNN, NNNN}.
El evento B: “aprobar el examen” signi?ca
acertar dos o más preguntas; es decir, B
= {AAAA, AAAN, AANA, ANAA, NAAA,
AANN, ANAN, ANNA, NANA, NNAA,
NAAN}. De aquí se sigue que P(B) = 11/16
= 0,69 (aprox.).

Es decir, la probabilidad de aprobar un
examen compuesto por cuatro preguntas de
verdadero o falso, contestando al azar cada
una, es algo más que 2/3 (0,6); esto signi?-
ca que de cada tres exámenes respondidos
de esa manera, existe la probabilidad de
aprobar en dos.

Moraleja: Si usted es estudiante…, estu-
die y no se apoye en estas elucubraciones.
Y si es profesor, evite colocar pruebas de
verdadero o falso, y más todavía las que
contengan un número par de preguntas…

6. De cómo evitar algu-
nas falacias…
Ya hemos visto algunas formas de cal-
cular las probabilidades de ciertos eventos.
Evidentemente, no estamos haciendo un
estudio exhaustivo del tema de la probabili-
dad; apenas nos estamos introduciendo en
el tema. Pero queremos llamar la atención
y prevenir acerca de ciertas falacias que a
veces pueden llevarnos a engaño.

6.1. Por ejemplo, la llamada falacia del
jugador, que consiste en creer que la suce-
sión de ciertos eventos puede condicionar
el evento siguiente, aun cuando se trata de
sucesos independientes. De acuerdo con
este modo de pensar, un jugador tiende a
considerar que si ha habido una racha de
25

Algunas personas aplican esta falacia a
situaciones de la vida diaria. Por ejemplo,
hay quienes creen que en una familia que
ha tenido dos o más hijos varones seguidos,
la probabilidad de que el siguiente hijo sea
niña es mayor que la de que sea varón, lo
cual no es cierto; ambas probabilidades son
iguales cada vez.
26
caras al lanzar una moneda, la probabilidad Incluso hay personas que llevan como una cierta contabilidad en sus vidas en cuanto
de que la siguiente salga sello es mayor que a éxitos y fracasos, cosas que salen bien y otras que salen mal; y que piensan que si algo
la de salir cara de nuevo. me salió mal, enseguida se verá compensado por algo que me saldrá bien… Sin embargo,
si los sucesos son independientes unos de otros, nada nos garantiza esa compensación;
Psicológicamente tendemos a pensar lo único que sabemos es que nos tenemos que esforzar para “construir” el éxito (que, a
que eso es cierto y tratamos de encontrar veces, ni siquiera llega por esa vía del trabajo).
su fundamento en el hecho de que la pro-
babilidad del evento salir sello es 1/2 y que, 6.2. Veamos este otro ejemplo (citado en Batanero, 2005):
por lo tanto, una racha de caras debe com-
pensarse (sin mayor pérdida de tiempo) con
una racha de sellos.

En este tipo de razonamiento se confun-
den dos cosas: la probabilidad del evento
“salir sello” es teóricamente 1/2 (1 caso fa-
vorable entre dos posibles); también lo es
desde el punto de vista empírico: hay una
estabilización, a largo plazo, de la frecuen-
cia relativa de las apariciones de un sello en
los lanzamientos, y esta estabilización se da
en torno al valor 1/2. En un hospital maternal se lleva un registro del sexo de los recién nacidos. ¿Cuál de los
sucesos siguientes te parece que tiene más probabilidad?
Pero una cosa es la probabilidad de un
evento y otra el carácter de dependientes A. Que entre los próximos 10 recién nacidos haya más de un 70 % de niñas.
o de independientes que tienen los even- B. Que entre los próximos 100 recién nacidos haya más de un 70 % de niñas.
tos que se repiten en secuencia. Y sabemos C. Las dos cosas me parecen igual de probables.
que si estos sucesos son independientes, la
probabilidad en cada nuevo lanzamiento La opción que se nos viene espontáneamente es la C, por cuanto en A y en B no se
sigue intacta, 1/2, sin que tenga nada que altera la magnitud del porcentaje al que se hace referencia: en ambos casos se habla de
ver la forma de la secuencia anterior de re- “más de un 70% de niñas”. Sin embargo, la opción correcta es la A: es más probable que
sultados. entre los próximos 10 recién nacidos haya más de un 70 % de niñas.
¿Por qué razón? Porque la frecuencia relativa tiende a estabilizarse a largo plazo al-
rededor de la probabilidad habitual, que es 1/2 (50% de niños y 50% de niñas). Por eso,
al aumentar el número de casos de 10 a 100, la tendencia es a acercarse al valor de la
probabilidad, al porcentaje del 50%. La desviación hacia “más del 70% de niñas” es más
propia en el caso de pocos nacimientos.

La falacia re?ejada en este último ejemplo proviene de no tomar en cuenta la nece-
sidad del largo plazo asociada a la estabilización de la frecuencia relativa, es decir, a la

construcción empírica de la probabilidad
de un evento (Moore, 1998).

Este hecho es uno de los centros neurál-
gicos de la Teoría de la Probabilidad (y de
la Estadística) y se ha plasmado en enun-
ciados que se conocen como el Teorema
central del límite y la Ley de los grandes
números, establecidas y re?nadas por ma-
temáticos insignes como Jacques Bernouilli
(1654-1705), suizo, y Tchebycheff (1821-
1894), ruso.

La gran conclusión que se deriva de
todo esto es que basta un número limitado
de experiencias para obtener un máximo
de información acerca de la probabilidad;
claro que ese número limitado no debe ser
pequeño.

Esta advertencia acerca de los distintos
valores de las frecuencias relativas según sea
el número de casos considerados (sobre todo
si son pocos), y la tendencia a largo plazo de
esas frecuencias relativas hacia el valor teóri-
co de la probabilidad de un evento, es muy
pertinente. Y sirve para aclarar el signi?cado
de las cosas.

Enesteordendeideasvamosarevisarotro
de los ejemplos propuestos anteriormente.
Probablemente, algún(a) lector(a) esté rumian-
do todavía la artimaña de responder al azar
unapruebaconsistenteenpreguntasdeverda-
dero y falso, artimaña aparentemente exitosa,
ya que la probabilidad de aprobar el examen
por esa vía es siempre mayor o igual a 1/2.

Por lo que acabamos de decir, esto no
signi?ca que si se responden así unos pocos
exámenes, el “promedio” de las notas en
ellos va a ser del 50% de las cali?caciones,
es decir, un “aprobado”. No. Lo que sí sa-
bemos es que ese promedio de exámenes
aprobados por esta vía se acerca a la mitad
sólo si se responde un número relativamen-
te grande de pruebas de este estilo.

De todos modos, en estos cálculos no
entra la ética. Responder un examen re-
quiere del estudio previo del contenido
abarcado, y no tanto de consideraciones
probabilísticas (aunque éstas nunca están
de sobra). El estudio de la matemática,
como cualquier otra actividad, debe estar
orientado hacia objetivos válidos desde el
punto de vista ético…

6.3. Consideremos este ejemplo:

Rosaura es una muchacha que, durante
los años de estudiante, participó en comités
a favor de los intereses estudiantiles. Ahora
trabaja en una empresa. ¿Cuál de estos dos
eventos le parece más probable?

A. Que Rosaura sea una trabajadora de
la empresa.
B. Que Rosaura sea una trabajadora de
la empresa y participe en actividades sin-
dicales.

Usted probablemente está pensando
que el evento B es más probable, dada la
historia de Rosaura como estudiante… Pues
no; es más probable el evento A. ¿Y por
qué? Porque el evento B es un subconjunto
de A; el evento A es más “extenso” que el
B.
En efecto, la condición de “ser una tra-
bajadora de la empresa” posee más gene-
ralidad que cualquiera de estas otras: “ser
una trabajadora de la empresa y formar
parte del sindicato”, “ser una trabajadora
de la empresa y ser defensora de los dere-
chos de la mujer”, “ser una trabajadora de
la empresa y ser soltera”, “ser una trabaja-
dora de la empresa y ser a?cionada al cine”,
“ser una trabajadora de la empresa y seguir
estudiando”, y un etcétera tan largo como
se quiera.

Es decir, los eventos del tipo “ser una
trabajadora de la empresa y…”, son subcon-
juntos del evento “ser una trabajadora de
la empresa”. Y como veíamos en uno de
los principios citados anteriormente, si B es
un evento subconjunto de otro evento A,
entonces P(B) = P(A). Sólo si Rosaura llega
a participar efectivamente en actividades
sindicales, ambos eventos tendrán la misma
probabilidad; pero nunca el evento B será
más probable que el A.

La revisión de las falacias anteriores
tiene por objeto prevenirnos ante ciertas
tendencias intuitivas que nos pueden llevar
a error. No es que el estudio de la probabi-
lidad se convierta en una panacea para re-
solver todas nuestras incertidumbres, pero
sí puede orientarnos en algunos casos.

27

7. Y ahora, otros ejercicios “para la casa”…

9. Se lanzan dos dados y se suman los puntos de las caras que aparecen. ¿Cuál de
estos dos eventos tiene mayor probabilidad de ocurrir: “obtener 9 ó 12”, o bien “obtener
10 u 11”?

10. ¿Cuál es la probabilidad de obtener más de 4 puntos o menos de 3 al lanzar un
dado?

11. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número primo al lanzar dos dados y sumar
los puntos de las caras que salen?

12. Tenemos una caja con cinco varillas de alambre de longitudes 15, 30, 40, 60 y 90
cm. Se toman tres al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que con esas tres pueda construirse
un triángulo?

13. Una moneda se lanza cuatro veces. ¿Cuál es la probabilidad de que salgan al
menos dos caras?

14. Una bolsa contiene tres bolas verdes y otras tres rojas. Si se extraen dos bolas al
azar, hallar la probabilidad de extraer una de cada color.

15. En un juego de azar participan cinco jugadores; el juego se repite tres veces ¿Cuál
es la probabilidad de que uno determinado de ellos no gane ninguno de los tres juegos?

Invente una situación (un experimento o un juego) en el que la probabilidad de un
evento sea: a) 1/7; b) 3/4; c) 5/12; d) 0; e) 1/8. [Como una pequeña ayuda, recuerde
que puede fabricar dados con la forma de los poliedros regulares…].

16. En el piso del patio de la escue-
la está pintado el dibujo que se presen-
ta a la derecha. Si llueve, ¿cuál es la
probabilidad de que una gota de agua
que cae dentro del cuadrado, caiga en
el círculo, cuyo diámetro es la mitad
del lado del cuadrado?

28
17. Tenemos de nuevo una bolsa en
la que hay igual número de bolas grises
y blancas. Si la probabilidad de extraer al
azar 2 bolas blancas es 1/5, ¿cuántas bolas
contiene la bolsa?

18. Tenemos dos bolsas A y B. A con-
tiene 3 bolas rojas, 2 grises y 5 verdes; B
contiene 2 bolas rojas y 3 bolas verdes.
Lanzamos un dado y procedemos así: si
sale un 1 ó un 6, escogemos la bolsa A; en
caso contrario, la bolsa B; y luego extrae-
mos al azar una bola de la bolsa seleccio-
nada. a) ¿Cuál es la probabilidad de que la
bola sea roja?; b) ¿y de que sea verde?; c)
¿y de que sea gris?

19. Se lanza una moneda cargada, de
tal forma que la probabilidad de que salga
sello es el doble de la probabilidad de que
salga cara. Si sale cara, se escoge al azar
un número del 1 al 9; y si sale sello, un
número del 1 al 5. ¿Cuál es la probabilidad
de que se escoja un número par?

29

30
• Batanero, C. (2005). Signi?cados de
la probabilidad en la educación secundaria.
En J. Lezama, M. Sánchez y J. G. Molina
(Eds.), Acta Latinoamericana de Matemáti-
ca Educativa, Vol. 18 (pp. 27-33). México:
CLAME. Disponible en:
http://www.ugr.es/~batanero/publica-
ciones.htm
• Ekeland, I. (1998). Al azar. La suerte,
la ciencia y el mundo. Barcelona: Gedisa.
• La Biblia. Latinoamérica (1995). Ma-
drid: San Pablo, 14a ed.
• Moore, D. (1998). Incertidumbre. En
L. Steen (Ed.), La enseñanza agradable de
las matemáticas, pp. 103-148. México: Li-
musa.
Referencias bibliográ?cas y electrónicas

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Respuestas de los ejercicios propuestos
1. E = {C, S} 2. E = {R, V, N} 3. a) E; b) {2, 3, 4, 5, 6}; c) {2}; d) Ø ; e) {5}; f) {1, 4,
6} 4. No 5. E 6. a) {RR, RV, RG, VV, VR, VG, GG, GR, GV}; b) {RR, VV, GG}; c)
{RV, RG, VR, VG, GR, GV} 7. a) E = {1C, 2C, 3C, 4C, 5C, 6C, 1S, 2S, 3S, 4S, 5S, 6S}; b)
A1 = {2C, 4C, 6C}; c) A2 = {2S, 3S, 5S}; d) A3 = {2C, 3C, 5C}; e) A4 = {1S, 3S, 5S}; f) No;
g) No; h) A4: “no aparecen juntos un sello y un número impar”; A4 = {1C, 2C, 3C, 4C,
5C, 6C, 2S, 4S, 6S}; i) A2 y A4: “aparece un sello y un número primo impar”; A2 A4 =
{3S, 5S}; j) A1 o A2: “aparece una cara y un número par, o un sello y un número primo”;
A1 U A2 = {2C, 4C, 6C, 2S, 3S, 5S}; k) A1 o A4: “aparece una cara y un número par, o
un sello y un número impar”; A1 U A4 = {2C, 4C, 6C, 1S, 3S, 5S}; l) A2 y A3: “aparece
un número primo y una cara, y un número primo y un sello”; A2 A3 = Ø. 8. P(A1) =
31/365; P(A2) = 52/365; P(A3) = 104/365; P(A4) = 92/365; P(A5) = 5/365 = 1/73; P(A6) =
148/365; P(A7) = 2/365 9. Los dos tienen la misma probabilidad: 5/36 10. 2/3 11.
15/36 12. 3/10 13. 11/16 14. 3/5 15. 64/125 16. p/16 ˜ 0,2 17. 6 18.
P(R) = 11/30; P(V) = 17/30; P(G) = 1/15 19. 56/135

4
EQUIPO EDITORIAL
Beatriz Borjas y Carlos Guédez
Dimensión: Desarrollo del pensamiento
matemático
Cuaderno N° 18
Introducción a la Probabilidad
Autor: Martín Andonegui Zabala
Este libro se ha elaborado con el
propósito de apoyar la práctica
educativa de los cientos de educadores
de Fe y Alegría. Su publicación se
realizó en el marco del Programa
Internacional de Formación de
Educadores Populares desarrollado por
la Federación Internacional Fe y Alegría
desde el año 2001.
Diseño y Diagramación: Moira Olivar
Ilustraciones: Corina Álvarez
Concepto grá?co: Juan Bravo
Corrección de textos: Carlos Guédez
y Martín Andonegui
Edita y distribuye: Federación
Internacional de Fe y Alegría. Esquina
de Luneta. Edif. Centro Valores, piso 7
Altagracia, Caracas 1010-A, Venezuela.
Teléfonos: (58) (212)5631776 / 5632048
/ 5647423.
Fax: (58) (212) 5645096
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© Federación Internacional
Fe y Alegría
Depósito legal: lf 60320075192629
Caracas, Julio 2007
Publicación realizada con el apoyo de:
Centro Magis – Instituto Internacional
para la Educación Superior en
América Latina y el Caribe (IESALC) –
Corporación Andina de Fomento (CAF)