Modelado de sistemas dinámicos
1. Introducción a sistemas
2. Modelado de sistemas dinámicos LIT
3. Bibliografía
UNIDAD I. INTRODUCCIÓN A SISTEMAS
I.1.
Introducción a sistemas
El concepto de sistemas, es el primer paso crítico en la construcción de un modelo físico. Un
sistema puede definirse a través de sus componentes e interconexiones, el modelo físico puede
construirse representando de manera gráfica a los componentes que conforman el sistema y sus
interacciones, una vez que se deducen del comportamiento global – observadas del sistema, ya
sea el real o el deseado.
La dinámica de sistemas trata del modelado matemático y el análisis de la respuesta de los
sistemas dinámicos.
I.2.
Conceptos básicos.
El concepto de sistemas implica el proceso de aislamiento conceptual de una parte del
universo que sea de interés, al que llamaremos el sistema, y a las especificaciones de las
interacciones entre este sistema y el resto del mundo, lo llamaremos, el entorno.
Un modelo físico se construye aislando una parte del universo como el sistema de interés y
luego se divide conceptualmente su comportamiento en componentes conocidos.
I.2.1.
Definición de sistema
SISTEMA. Proceso (físico ó no) que transforma entradas (causas) en salidas (efectos).
Causas
Efectos
Sistema-> Subsistemas-> componentes
Un sistema es una combinación de componentes que actúan conjuntamente para alcanzar un
objetivo específico. Un componente es una cantidad particular en su función en un sistema.
?
?
SISO
MIMO
SISO: Una entrada una salida.
MIMO: Múltiples entradas
múltiples salidas
Sistema en malla abierta ó sistemas programados.
Sistema
Sistema realimentado o de malla cerrada.
Sistema
(Proceso
Planta)
Descripción de la relación causa-efecto
Definiciones de sistema (malla abierta y cerrada, una o varias entradas y salidas) y señal.
SISO (del inglés Single Input Single Output). Una entrada, una salida.
MIMO (del inglés Multiple Input Multiple Output). Múltiples entradas múltiples salidas
Entrada
Salida
x(t)
I.2.2.
Sistema dinámico: Un sistema se llama dinámico si su salida en el presente depende de una
entrada en el pasado; en un sistema dinámico la salida cambia con el tiempo cuando no está en
su estado de equilibrio.
Sistema estático: Un sistema se llama estático si su salida en curso depende solamente de la
entrada en curso; en un sistema estático la salida permanece constante si la entrada no cambia
y cambia solo cuando la entrada cambia.
I.3.
Linealidad en los sistemas dinámicos
LINEALIZACIÓN
Linealización es el proceso matemático que permite aproximar un sistema no-lineal a un sistema
lineal.
Esta técnica es ampliamente usada en el estudio de procesos dinámicos y en el diseño de
sistemas de control por las siguientes razones:
1. Se cuenta con métodos analíticos generales para la solución de sistemas lineales. Por lo tanto
se tendrá una solución general del comportamiento del proceso, independientemente de los
valores de los parámetros y de las variables de entrada. Esto no es posible en sistemas no-
lineales pues la solución por computadora da una solución del comportamiento del sistema
valida solo para valores específicos de los parámetros y de las variables de entrada.
2. Todos los desarrollos significativos que conllevan al diseño de un sistema de control ha sido
limitado a procesos lineales.
I.4.
I.4.1.
I.4.2.
I.4.3.
Representación de sistemas
Clasificación de los sistemas
Clasificación de comportamientos
Clasificación de tipos de entrada (señales de prueba).
CLASIFICACION DE TIPOS DE ENTRADA
La entrada se define como una señal fluyendo al interior de un sistema, generalmente
proviene de otro sistema. En general, una entrada es un agente que puede excitar un sistema y
generar una respuesta en la salida.
1er Nivel de Clasificación
1. Señales externas
2. Energías iniciales almacenadas
3. Excitación paramétrica
Por ejemplo, el sistema eléctrico conformado por el circuito RLC que se ilustra en la
Figura 1.2, esta conformado por las siguientes señales:
vC(t)
L
C
R
+
–
i(t)
+
–
V
t ? 0
Figura 1.2
X
Y
+
e
Sistema
_
H(s)
SEÑAL. Es una función que representa el comportamiento de un sistema; es la salida de un
sistema cuya excitación no se conoce.
Sistema
Concepto de sistemas dinámicos o estáticos
dt
Todas estas entradas causan variaciones dinámicas en el modelo del circuito.
2do Nivel de Clasificación
Esta asociado a la naturaleza de las entradas de excitación externas y paramétricas
(señales que están caracterizadas porque su comportamiento tiene variaciones temporales).
1. Determinística
a) Periódicas
b) Transitorias
c) Casos especiales (moduladas y demudadas)
2. Randómicas (“estocásticas”)
a) Estacionarias
b) No estacionarias
· Un modelo de entrada determinística tiene prescrita una historia en el tiempo por una
formula matemática, curva, gráfica, o una tabla de datos y puede ser reproducida en cualquier
tiempo.
– Una entrada periódica tiene como característica fundamental que es cíclica, repetitiva en el
tiempo, por ejemplo: Turbinas, motores rotatorios, bombas, compresores y en general maquinas
reciprocantes.
– Una entrada transitoria generalmente se produce en los instantes de "swicheos" o
interrupciones para arrancar, parar o eventualmente durante cambios provocados
en las condiciones de operación. Por ejemplo: al acelerar un carro.
· Las señales randómicas como su nombre lo indica no se pueden reproducir exactamente en
cualquier tiempo, sin embargo es posible conocer algunas características según su
comportamiento.
– Si las características estadísticas de distribución de amplitud, valor medio cuadrático y
contenido de frecuencia se reproducen de una muestra a otra se dice que la entrada randómica
es estacionaria.
– Si las características estadísticas varían significativamente de un subregistro a otro, la entrada
randómica es no estacionaria.
I.4.4.
I.4.5.
Descripción externa e interna
Ecuaciones diferenciales y en diferencias
MODELO MATEMÁTICO. Descripción matemática de las características dinámicas del sistema
basada en una predicción de su funcionamiento antes de que el sistema pueda diseñarse en
detalle o construirse físicamente.
ECUACIONES DIFERENCIALES Y EN DIFERENCIAS.
Los modelos matemáticos se describen en términos de ecuaciones diferenciales.
Ecuación Diferencial Lineal e Invariante en el Tiempo, es aquella en la cual una variable
dependiente y sus derivadas aparecen como combinaciones lineales; ejemplo:
x ?6x ? 0
d
dt
x ?3
d 2
2
Posee coeficientes constantes en todos los términos, por lo que también se llama ecuación
diferencial lineal de coeficientes constantes.
Ecuación Diferencial Lineal Variante en el Tiempo, es aquella en la cual una variable
dependiente y sus derivadas aparecen como combinaciones lineales; a diferencia con la anterior,
algunos de los coeficientes de los términos pueden involucrar a la variable independiente,
ejemplo:
dt
dt
x ??1?cos4t?x ? 0
d 2
dt 2
Recordar. Una ecuación es lineal, cuando no contiene potencias, productos u otras funciones de
las variables dependientes y sus derivadas.
Una ecuación diferencial se denomina no lineal cuando no es lineal, ejemplo:
x? 2x ? 0
d
dt
x ??x2 ?1?
d 2
2
x ? x ? x3 ? 0
d
dt
x ?
d 2
2
CLASIFICACION DE LOS SISTEMAS
SISTEMAS LINEALES. Las ecuaciones que constituyen al modelo son lineales; a estos sistemas
se les puede aplicar el principio de superposición (la respuesta producida por la aplicación
simultánea de dos funciones de excitación diferentes o entradas, es la suma de las dos
respuestas individuales).
Como resultado del principio de superposición, las complicadas soluciones de las ecuaciones
diferenciales lineales se pueden obtener de la suma de soluciones simples.
SISTEMAS NO LINEALES, son aquellos que se representan mediante ecuaciones no lineales, la
característica mas importante es que el principio de superposición no es aplicable.
A causa de la dificultad matemática que representan los sistemas no lineales, con frecuencia es
necesario linealizarlos alrededor de una condición de operación.
En un sistema dinámico, si la causa y el efecto son proporcionales, eso implica que el principio
de superposición se mantiene y se concluye que el sistema se puede considerar lineal.
Un estudio demuestra que los sistemas lineales son realmente lineales dentro del rango de
operación limitado.
Una vez que un sistema no lineal se aproxima mediante un modelo matemático lineal se deben
usar términos lineales para propósitos de análisis y diseño.
I.4.6.
1.4.6.1
1.4.6.2
1.4.6.3
1.4.6.4
Ecuaciones y evolución temporal
Sistemas dinámicos lineales de primer orden
Sistemas dinámicos lineales de segundo orden
Respuesta ante escalón
Sistemas de orden n
DEFINICIÓN DE FDT
La función de transferencia de un sistema lineal e invariante en el tiempo (SLIT) se define como
la transformada de Laplace de la salida dividida entre la transformada de Laplace en la entrada
con condiciones iniciales nulas, o sea:
h(t)
H(s)
(SLIT)
x(t)
x(S)
y(t)
y(s)
; C.I ? 0
Y?s?
X?s?
H?s??
ECUACIONES Y EVOLUCION TEMPORAL
Sistemas de Primer Orden:
Sea G?s??
1
?s ?1
y x?t?? u0?t?, obtener a y (t).
?
?
y?t?? ? ?1?e ?
?u0?t?
?
1 ??
e u0?t?
Y?s? ?n
G?s??
X?s?
? 2
?
?
A
s
Y?s??
B
?s ?1
1
s??s ?1?
? ??
1
?
s??
s?0
?1; B ?Y?s????s ?1?
A ?Y?s??s
?
1
s
Y?s??
?
?s ?1
u0?t?
t
?
?
y?t?? u0?t??e
t
?
?
?
Por lo que su respuesta al escalón será:
1
Pendiente inicial =
?
?
t
Tiempo
?
2?
3?
4?
5?
y(t)
0.632
0.865
0.95
0.982
0.993
Y su respuesta al impulso:
d
dt
t
?
y?t?? h?t??
2
Sistemas de 2do. Orden.
2
s ? 2?? n s ??n
donde ; ?= relación de amortiguamiento,
?n = frecuencia natural.
Empleando la fórmula General para obtener las raíces de la ecuación característica:
2
1?? ? cos ? ? tan
2 2
?2? ?n ? 4? 2?n ?4?n
2
s ?
?? ? ???n
?
?n
Plano s
? j?d
?
s ? ??n? ? j?n 1?? 2 ? ?? ? j?d
Ubicación de las raíces de la ecuación característica en el plano s:
j?
j?d
donde:
1?? 2
?
?1
2 ?1
?1
? ? sen
Se observa que cuando: ? = 0; No amortiguado
0 < ? < 1; Subamortiguado
? = 1; Críticamente amortiguada.
? > 1; Sobreamortiguado.
Si
x?t?? u0?t?, su respuesta al escalón del sistema de segundo orden será:
2
2
?n
s?s2 ? 2?? n s ??n?
Y?s??
Antitransformando para cada caso:
1.Caso no amortiguado ?=0; c(t)=1-cos(?nt)
?1?b?
?1 ?
2.Caso subamortiguado 0 < ? < 1;
?
?
2
sen?n 1?? 2t ??
e???nt
1??
y?t??1?
o bien:
c(t) ?1?ae?ot sin(wdt ??)
3.C
aso críticamente amortiguado
? = 1;
[1??nt]
c(t) ?1?e
??t
?
e??1t ?
?
?e??2t
? ? 2
4.Caso sobreamortiguado ? > 1;c(t)
Amplitude
To: Y(1)
?
s ? 2s ?9
Time (sec.)
0
3
6
9
12
15
18
En la respuesta al escalón de un sistema subamortiguado se encuentran los siguientes
parámetros:
Step Response
From: U(1)
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
??
1?? 2
?
M p ? e
Máximo sobreimpulso o sobrepico
l
?
?d
? ??
?d
?
?
Ta ?
Tp ?
T ?
2
2
3 3
?? n ?
?
?n 1??
? ??
?n 1??
Tiempo de Asentamiento (±5%)
Tiempo pico
Tiempo de levantamiento o elevamiento
9
2
Ejercicio : Obtener Mp, ta, tp, y tl de G?s??
1
3
Mp=0.33=33% , ta = 3 seg, tp= 1.11 seg, ? = 1.23 rad.=70.528o , tl= 0.676 seg
I.5.
Construcción de los modelos
PROCEDIMIENTO PARA LA ELABORACIÓN DE MODELOS MATEMÁTICOS (modelado
matemático).
1.
Dibujar un diagrama esquemático del sistema y definir las variables.
2.
Utilizando las leyes de la física, escribir ecuaciones para cada componente,
combinándolos de acuerdo con el diagrama del sistema y obtener un modelo matemático.
3.
Para verificar la validez del modelo, la predicción acerca del funcionamiento obtenida al
resolver las ecuaciones del modelo, se compara con resultados experimentales.
Si los resultados experimentales se alejan de la predicción en forma considerable, debe
modificarse el modelo; hasta obtener una concordancia satisfactoria entre la predicción y los
resultados experimentales
I.6.
Validación de los modelos
CLASIFICACION DE COMPORTAMIENTO
DESCRIPCIÓN EXTERNA E INTERNA
UNIDAD II. MODELADO DE SISTEMAS DINAMICOS LIT
II.1.
Introducción al modelado de sistemas dinámicos (LIT ) en tiempo continuo.
La función de transferencia de un sistema lineal e invariante en el tiempo (SLIT) se define como
la transformada de Laplace de la salida dividida entre la transformada de Laplace en la entrada
con condiciones iniciales nulas, o sea:
h(t)
H(s)
(SLIT)
x(t)
x(S)
y(t)
y(s)
; C.I ? 0
Y?s?
X?s?
H?s??
Para el caso de linealidad
Ts?x1?t?? x2?t???Ts?x1?t???Ts?x2?t??
Invariancia
y?t?? h?t?*x?t? ó y?t??? h???x?t ???d?
x(t)
y(t)
t
t
x(t-to)
y(t-to)
t
t
Si x(t) = d(t) ? X(s) = 1
? H(s) = Y(s)
L?1?H?s??? h?t?? y?t?, donde h(t)= Respuesta al impulso.
Convolución lineal y sus propiedades.
x(t)
y(t)
Integral de convolución:
t
0
Nota: Los límites de la integración se aplica para sistemas causales y el símbolo *, representa a
la convolución lineal.
Sistema Causal. En un sistema causal su respuesta al impulso es h(t) = 0 ; t< 0
d(t)
h(t)
t
Sistema no causal. En un sistema no causal su respuesta al impulso es h(t) ? 0 para t< =0
d(t)
h(t)
t
t
Propiedades de la convolución (*)
t0
t0
h(t)
SLIT
?f *g?? f ? *g ? g ? * f
1.
2.
3.
4.
5.
6.
II.2.
f *g ? g* f
L?f *g?? F?s? G?s?
f *? ? f
f *??t ?t0?? f?t ?t0?
d
dt
f *?g1 ? g2?? f *g1 ? f *g2
Modelado matemático
Con la finalidad de no operar con dispositivos (electromecánicos, hidráulicos, neumáticos,
electrónicos, etc.) o componentes físicos, se les reemplaza por sus modelos matemáticos.
Un modelo matemático debe representar los aspectos esenciales de un componente físico. Las
predicciones sobre el comportamiento de un sistema basadas en el modelo matemático deben
ser bastantes precisas. Se utilizan ecuaciones diferenciales lineales, invariantes en el tiempo,
funciones de transferencia y ecuaciones de estado, para modelos matemáticos de SLIT y de
tiempo continuo.
Aunque las relaciones entrada- salida de muchos componentes son no-lineales, normalmente
esas relaciones se linealizan en la vecindad de los puntos de operación, limitando el rango de las
variables a valores pequeños.
II.3.
Descripción interna / externa: Modelo de estado.
El modelo de espacio de estados es una opción para la representación matemática ya que es de
extenso uso en teoría de sistemas y control.
El método de FDT solo es válido para los SLIT, mientras que las ecuaciones de estado, que son
ecuaciones diferenciales de primer orden pueden utilizarse para describir tanto sistemas lineales
como no lineales.
El estado de un sistema se refiere a las condiciones pasadas, presentes y futuras del mismo.
Para describir las características dinámicas de un sistema es conveniente definir un conjunto de
Las variables de estado deben satisfacer las siguientes condiciones:
1.
iniciales del sistema en el tiempo inicial seleccionado.
2.
Una vez que se especifican las entradas al sistema para t? t0 y se definen los estados
iniciales como se acaba de describir, las variables de estado deben definir totalmente el
comportamiento futuro del sistema.
Definición:
Variables de estado: Son un conjunto mínimo de variables x1(t), x2(t)…,xn(t) tal que
su conocimiento en t = to y la entrada para t?t0, caracterizan el comportamiento del sistema para
t?t0.
Ejemplo: Dado el siguiente sistema, representarlo en variables de estado.
3
d 2
dt 2
d 3
dt3
y ?6y ? 3u?t?
Sistema
Planta
Proceso
u(t)
U(s)
y ?2
y(t)
Y(s)
x ?1 ? y ? x2
x2 ? y
x2 ? y ? x3
x3 ? y
x3 ? y ? u ?
x ? Ax ? Bu
? ?
?
?x2? ? ?0 0
?
?x3? ?2 0
0??x1?
?0?
1?? 2?
?x ? ? ?0?u
2?
??x3? ?1?
3y'''?2y''?6y ? 3u
. …
..
. ..
.
2
3
x3 ? 2×1
x1 ? y
.
.
y ? Cx
?
x2
?
x1
?
? ?
x3
? ?
? ? ?
? ?
.
?
3?
.
?x1? ?0 1
? . ?
?x1?
y ??1 0 0??x2?
?x3?
Las ecuaciones diferenciales de primer orden, llamadas ecuaciones de estado, pueden
expresarse de manera conveniente en forma matricial.
.
y ? Cx ? Du
En general para un sistema lineal de orden n para el que hay n variables de estado, n
ecuaciones de estado y p entradas, se tiene:
A
B
C
?
?
?
U
Y
x
x
donde:
D
x = Vector de estado, formado por una matriz columna de (n x 1)
A = Matriz del sistema (n x n)
B = Matriz de entrada (n x p)
C = Matriz de salida (1 x n)
u = Vector de entrada (p x 1)
La representación anterior se generaliza para sistemas MIMO.
A un sistema coordenado n dimensional donde las coordenadas son las variables de estado se
le llama “espacio de estados”.
DESCRIPCIÓN INTERNA/ EXTERNA.
VARIABLES EXTERNAS := { Entradas, Salidas }
VARIABLES INTERNAS = VARIABLES DEPENDIENTES
3
2
2
3
Y(s)
2
U(s)
x2
s-1
x3
X(s) s-1
Diagrama de lazo
x1
s-1
1
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