Números primos entre sí o números primos relativos

Enviado por Raquel Maria Oliveira Pinto

Al descubrir Euclides[1]la infinitud de la serie de los números primos, alcanzo su máximo desarrollo la teoría de los números entre los griegos. No se volvieron a hacer progresos en este campo, hasta que Fermat, en 1830-65, propuso su teorema sobre los exponentes primos. L. S. Dickson afirma en su "History of theory of numbers" que los chinos ya conocían este problema en el 500 A. C., cuando el numero era dos.

Los números primos entre sí o números primos relativos

Los números primos entre sí o números primos relativos son dos o más números que no tienen más divisor común que 1.

El mayor divisor común o máximo común divisor de varios números primos entre si es 1. Así, 8 y 15 son primos entre si o primos relativos porque su único factor común es 1, porque 8 es divisible por 2, pero 15 no, y 15 es divisible por 3 y por 5, pero 8 no.

7, 12 y 15 son primos entre sí porque 7 no divide a 12 ni a 15; 2 divide a 12, pero no a 7 ni a 15; 3 divide a 12 y a 15, pero no a 7; 5 divide a 15, pero no a 7 ni a 12; luego, su único divisor común es 1.

12, 14 y 18 no son primos entre sí porque 5 los divide a todos.

Obsérvese que para que dos o más números sean primos entre si no es necesario que sean primos absolutos. Así, 8 no es primo, 15 tampoco, y sin embargo, son primos entre sí; 7 es primo, 12 no lo es y 25 tampoco y son primos entre sí. Ahora bien, si dos o más números son primos absolutos cada uno de ellos, evidentemente serán primos entre sí.

Los números primos entre sí dos a dos

Los números primos entre sí dos a dos son tres o más números tales que cada uno de ellos es primo con cada uno de los demás.

Así, 8, 9 y 17 son primos dos a dos, porque el 8 es primo con 9 y con 17, y el 9 es primo con 17; 5, 11, 14 y 39 son primos dos a dos, porque 5 es primo con 11, con 14 y con 39; 11 es primo con 14 y con 39; y 14 es primo con 39.

10, 15, 21 y 16 son primos entre sí, porque el único número que los divide a todos es 1, pero no son primos dos a dos, porque 15 y 21 tienen el factor común 3.

Si varios números son primos dos a dos, necesariamente son primos entre sí, pero siendo primos entre sí pueden no ser primos dos a dos.

Números consecutivos

Números consecutivos son dos o más números enteros tales, que cada uno se diferencia del anterior en una unidad.

Los números consecutivos representan conjuntos que se diferencian en un elemento.

Ejemplos:

5 y 6

21 y 22

7, 8 y 9

18, 19, 20 y 21

Dos números enteros consecutivos se expresan por las formulas n y n = 1.

Así, si n es 5, n + 1 será 6 y n – 1 será 4. Evidentemente, 5 y 6 o 4 y 5 son consecutivos.

De dos números consecutivos, uno es par y otro impar.

Dos números enteros consecutivos son primos entre sí. En efecto: Si los números consecutivos n y n + 1 tuvieran un divisor común distinto de la unidad, este divisor común dividiría a su diferencia, porque todo divisor de dos números divide a su diferencia; pero la diferencia entre n y n + 1 es la unidad, luego ese divisor tendría que dividir a la unidad, lo cual es imposible.

Las formulas para expresar tres o más números enteros consecutivos son, n, n + 1, n + 2, n + 3,… o también, n, n – 1, n – 2, n – 3,… Tres o más números enteros consecutivos son primos entre sí.

Ejercicio

a) Escribir dos números, tres números, cuatro números primos entre sí.
b) Escribir dos números compuestos, tres números compuestos primos entre sí.
c) Escribir cuatro números compuestos primos entre sí.
d) Escribir cuatro números impares, seis números impares, primos entre sí.
e) ¿Es posible que varios números pares sean primos entre sí?
f) ¿Puede haber varios números múltiplos de 3 que sean primos entre sí?
g) Diga si los siguientes grupos de números son o no primos entre sí:

i. 9, 14 y 21.
ii. 12, 24 y 42.
iii. 35, 18, 12 y 28.
iv. 26, 39, 42 y 65.
v. 22, 33, 44, 55 y 91.
vi. 14, 21, 28, 35 y 26.
vii. 34, 51, 68, 85 y 102.

h) Los números 23, 46 y 69 no son primos entre sí porque …
i) 42, 63, 91 y 105 no son primos entre sí porque …
j) ¿Son primos dos a dos los siguientes grupos de números?:

i. 5, 8 y 10.
ii. 6, 35 y 18.
iii. 9, 25 y 14.
iv. 18, 45 y 37.
v. 13, 17, 16 y 24.
vi. 22, 35, 33 y 67.

k) Escribir tres números, cuatro números primos entre sí dos a dos.
l) Escribir tres números compuestos, cuatro números compuestos, primos entre sí dos a dos.
m) Los números 8, 9, 10 y 15, ¿son primos entre sí? ¿Y primos dos a dos?
n) Decir si los siguientes grupos de números son primos entre sí y si lo son dos a dos:

i. 10, 18 y 21.
ii. 14, 26, 34 y 63.
iii. 19, 38, 57 y 76.
iv. 24, 36, 42, 60 y 81.
v. 7, 9, 11, 13, 15 y 17.
vi. 5, 7, 17, 10, 14 y 32.

o) De los nuneros24, 31, 27, 36, 42, 53 y 14 formar: Un grupo de cuatro números que no sean primos entre sí, un grupo de cuatro que sean primos entre sí; un grupo de cuatro que sean primos dos a dos.
p) De los números 28, 35, 17, 14, 26 y 15 formar un grupo de tres números que no sean primos entre sí; un grupo de cinco que sean primos entre sí y un grupo de tres que sean primos dos a dos.
q) Escribe cinco números impares primos entre si dos a dos.
r) Diga si los números 14, 18, 24, 35 y 56 son primos entre sí y sí lo son dos a dos.
s) Diga si los números 17, 24, 35, 59 y 97 son primos entre sí y si lo son dos a dos.
t) De los números 24, 31, 35, 37, 45, 47, 49, 57, 67, 83 y 87 formar un grupo de cinco números que sean primos entre sí y un grupo de tres números que sean primos entre sí dos a dos.
u) De los números 24, 31, 35, 37, 45, 47, 57, 67, 83 y 86 formar un grupo de cinco números primos entre sí dos a dos.
v) Las edades de Pedro y Juan son dos números enteros consecutivos cuya suma es 51. Si Pedro es el menor, ¿Cuál es la edad de cada uno?
w) Si Enrique tiene un año menos que Basilio y ambas edades suman 103 años. ¿Cuál es la edad de cada uno?
x) Las edades de Pedro, Juan y Enrique que son tres números enteros consecutivos, suman 87 años. Si Enrique es el menor y Pedro el mayor, ¿Cuál es la edad de cada uno?
y) Un comerciante compro el lunes cierto número de sacos de frijoles; el martes compro un saco más que los que compro el lunes; el miércoles uno más que el martes, y el jueves uno más que el miércoles. Si en los 4 días adquirió 102 sacos, ¿cuántos compro cada día?
z) ¿Qué factor común tienen 8 y 9; 10, 11 y 12; 84, 83, 82 y 81?

Autor:

Raquel Maria Oliveira Pinto

[1] Euclides – fue un matem?tico y ge?metra griego (325 a. C.- 265 a. C.). Se le conoce como "El Padre de la Geometr?a".