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Teoria del error




  1. Teoría del error
  2. Tipo de errores
  3. Series de Taylor
  4. Teorema de Taylor

Teoría del error

Los métodos numéricos deben ser lo suficientemente exactos o sin sesgo para satisfacer los requisitos de un problema particular de ingeniería. También deben ser lo suficientemente preciso para ser adecuados al diseño de la ingeniería.

En estas notas se usara el término error para representar tanto la inexactitud como la imprecisión en los cálculos numéricos en las imprecisiones. Con dichos conceptos como antecedentes, ahora analizaremos los factores que contribuyen al error.

Tipo de errores

  • EXPERIMENTALES: Proviene de los datos o equivocaciones aritméticas en el cálculo manual.

  • DE TRUNCAMIENTO (CORTE): Representa la diferencia entre una formulación matemática exacta de un problema y la aproximación dada por un método numérico.

  • REDONDEO: Se debe a que una máquina sólo puede representar cantidades con un número finito de dígitos.

Existen dos maneras de representarlos:

  • I. Punto fijo: Los números se representan con un número fijo de cifras decimales.

  • Ej. 62.358, 0.013.

  • II. Punto flotante: Los números se representan con un número fijo de dígitos significativos.

Dígito Significativo: De un número "C"; es cualquier dígito dado de este, excepto posiblemente aquellos ceros a la izquierda del primer dígito diferente de cero y que solo sirven para fijar la posición del punto decimal (entonces cualquier otro cero es un dígito significativo de C), Ej. 1360, 1.360; 0.001360; tiene cuatro dígitos significativos.

  • EXACTITUD: Se refiere a la aproximación de un número o de una medida al valor verdadero que se supone representa.

  • PRECISIÓN

  • I. Número De cifras significativas que representan una cantidad.

  • II. La extensión en las lecturas repetidas de un instrumento que mide alguna propiedad física.

  • ERROR ABSOLUTO

Se da cuando se aproxima el valor real con un valor aproximado

Monografias.com Donde Monografias.com Monografias.com

  • ERROR RELATIVO PORCENTUAL

Suele ser un mejor indicador de la precisión, es más independiente de la escala usada, y esto es una propiedad más que deseable.

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Ejemplo Planteamiento del problema: Suponga que se tiene que medir la longitud de un puente y la de un remache, y se obtiene 9999 y 9 cms respectivamente. si los valores son 10000 y 10 cmm, calcule el error absoluto y error relativo porcentual.

Solución:

El error absoluto en la medición del puente es:

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Y para el remache es

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El error relativo porcentual en la medición del puente es

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Y para el remache es

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Aquí observamos que el error absoluto es el mismo en las dos mediciones y si no se tiene la magnitud de la cantidad que se esta midiendo no podríamos dar ninguna conclusión; pero al conocer esta magnitud podemos observar que en la medición del remache se genero un error muy grande.

En las mediciones científicas es usualmente el error relativo el que resulta relevante. La información acerca del error absoluto suele ser poco útil si no se conoce la magnitud de la cantidad que se esta midiendo; por esta razón es importante el error normalizado que se define como sigue:

  • ERROR NORMALIZADO PORCENTUAL

En situaciones reales a veces es difícil contar con el valor verdadero, para dichos casos, una alternativa es normalizar el error, usando la mejor estimacion posible al valor verdadero; es decir. Para la aproximación misma.

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Corrección Monografias.com Valor verdadero Monografias.com Aproximación + Corrección Cota de error para a es un número Monografias.comes decir Monografias.com A menudo cuando se realizan cálculos, no importa mucho el signo del error sino mas bien que su valor absoluto porcentual sea menor que una tolerancia porcentual prefijada.

  • TOLERANCIA

Monografias.comDonde n es el número de cifras significativas En el momento en que se realizan las aproximaciones y se cumpla que .

Monografias.comsi se conoce el valor real

Monografias.comsi no se conoce el valor real Se garantizan " n " cifras significativas.

Series de Taylor

EJEMPLO 1

  • Encuentre el polinomio de grado 2, que cumple Monografias.comMonografias.comMonografias.comentonces si seguimos la observación anterior, llegamos a:

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Vemos

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Es fácil ver que Monografias.comcumple las condiciones iniciales. Al hacer el mismo análisis para un polinomio de grado Monografias.comllegamos a:

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En general, esto sigue para cualquier polinomio, la ventaja de esto es que a partir de cierta derivada el crecimiento es cero.

Pensemos en el caso, que no sea un polinomio, por ejemplo Monografias.comes fácil justificar que esta función NO es un polinomio, ahora como a partir de ningún crecimiento se vuelve cero, este proceso lo debemos extender hasta "infinito" así:

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Donde Monografias.comMonografias.com Haciendo esto para Monografias.comtenemos:

Monografias.com Y así Monografias.com

Sustituyendo obtenemos

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Denotemos esta serie por Monografias.comasí:

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¿La pregunta natural es Monografias.com

Para analizar este caso veamos otro ejemplo

EJEMPLO 2

  • Sea Monografias.comse puede verificar que

Monografias.comY así Monografias.com

Sustituyendo en Monografias.comobtenemos que:

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¿La pregunta es?

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Para esto consideramos algunos valores particulares

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Por lo anterior, para el valor Monografias.com

argumentos geométricos muestran que Monografias.comy

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ahora si vemos Monografias.comes claro que

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sin embargo a esta suma se le puede dar algún sentido ya que Monografias.comtiene como sumas parciales Monografias.comy Monografias.comy Monografias.comes el promedio de estas dos y por ultimo para Monografias.com

Monografias.com Es claro que Monografias.comy Monografias.comMonografias.com

NO están definidas, pero se comportan de manera similar Monografias.comsin embargo para Monografias.comno tiene nada que ver Monografias.comy Monografias.com

La explicación sencilla radica en el signo Monografias.comMonografias.com

De lo anterior podemos concluir que Monografias.comse cumple para ciertos valores de x, ahora la cuestión es ¿para cuáles? Analicemos que paso con la función Monografias.com, esta función tiene problemas de domino en Monografias.comsin embargo recordemos que estamos centrados en Monografias.comasí:

Monografias.com Al ir hasta el problema, tomaremos un intervalo con centro en cero y cuyo extremo sea el problema

1. Así tenemos el intervalo Monografias.com

Como vimos antes, en este intervalo Monografias.comen los extremos no se sabe y por fuera son diferentes, para hacer esto formal, debemos ver la convergencia de la serie, esto se ve con el CRITERIO DEL COCIENTE así:

Monografias.com Así: Y por tanto

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es decir Monografias.compara los valores de Monografias.comen los cuales se tiene la convergencia absoluta y uniforme de

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Volviendo a la función Monografias.com, al aplicar

CRITERIO DEL COCIENTE:

Monografias.com Tenemos que para cualquier Monografias.comla serie converge así:

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Teorema de Taylor

Como buscamos desarrollar numéricamente, las Series de Taylor no son de ayuda, ya que no podemos realizar "sumas" infinitas, para esto tenemos que aproximarlas, es decir tenemos que troncar las Series de Taylor y así para Monografias.comMonografias.com, tenemos

Monografias.com Sin embargo, si Monografias.comno es un polinomio, es posible queMonografias.comde todas maneras es una aproximación puntual de este así:

Monografias.com Donde Monografias.com

es un error que se comete. (El cual obviamente nunca vamos a conocer)

Y es dado por: Monografias.com con Monografias.comentre Monografias.comy Monografias.com

Ese valor

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no lo conozco y así Monografias.comtampoco, pero podemos acotarlo, es decir encontrar alguna función tal que

Monografias.com Y así: Monografias.com Con lo cual podemos fijar un máximo error y así determinar el Monografias.comdonde se debe troncar la serie para obtener una buena aproximación.

Ejemplo Dada la serie de Taylor de Monografias.comcon centro en cero, hallar la aproximación de Monografias.com

Con cinco cifras significativas.

Solución:

Lo primero que hallamos es el criterio de error, el cual asegura que el resultado sea correcto con al menos cinco cifras significativas; donde n=5:

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Es decir se evaluara la serie de Taylor hasta que el error normalizado se menor que 0,0005%.

Realizando el desarrollo de la serie de Taylor obtenemos:

Monografias.com Donde la primera aproximación es Monografias.com Segunda aproximación es Monografias.com Tercera aproximación es Monografias.com

En la siguiente tabla se colocaran los resultados; buscando que el error normalizado porcentual sea menor que la tolerancia; también colocaremos el error relativo porcentual partiendo del hecho que el valor real de Monografias.com

Monografias.com Ejemplo: Se requiere una aproximación de Monografias.comcon un error no mayor Monografias.com

Para solucionarlo podemos tomar varias funciones; lo que cambiaria seria el valor de la x, podemos tomar las siguientes funciones:

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Monografias.com

Monografias.com

Monografias.com es decir debemos parar la serie en Monografias.com

ya que entre mas alejado estén

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y

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mas grande debe ser el valor de

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Ejercicios:

  • 1) encuentre Monografias.comcon error no mayor de Monografias.com

  • 2) Encuentre Monografias.comcon un error no mayor a Monografias.com

  • 3) Donde se debe troncar la Serie de Taylor de Monografias.compara que la aproximación de Monografias.comtenga un error no mayor a Monografias.com

  • 4) Donde se debe troncar la Serie de Taylor de Monografias.compara que la aproximación de Monografias.comtenga un error no mayor a Monografias.comconcluya.

Monografias.com

Monografias.com

Así

Monografias.com

TEORÍA DEL ERROR

Enviado por: Ing.+Lic. Yunior Andrés Castillo S.

"NO A LA CULTURA DEL SECRETO, SI A LA LIBERTAD DE INFORMACION"®

www.monografias.com/usuario/perfiles/ing_lic_yunior_andra_s_castillo_s/monografias

Santiago de los Caballeros, República Dominicana, 2015.

"DIOS, JUAN PABLO DUARTE Y JUAN BOSCH – POR SIEMPRE"®

 

 

 

Autor:

Ing.+Lic. Yunior Andrés Castillo S.


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