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Teoría de la factorización




  1. Factorización
  2. Factor comun
  3. Factor comun polinomio
  4. Factor comun por agrupamiento
  5. Factorizacion de un polinomio de segundo grado
  6. Factorizacion de la diferencia de dos cuadrados
  7. Factorizacion de un trinomio cuadrado perfecto
  8. Factorización avanzada
  9. Factorización usando la regla de Ruffini
  10. Factor comun monomio
  11. Factor comun polinomio
  12. Factor comun por agrupamiento
  13. Factorizacion de un trinomio de la forma
  14. Factorizacion de un trinomio de la forma
  15. Factorizacion de la diferencia de dos cuadrados
  16. Factorizacion de un trinomio cuadrado perfecto
  17. Factorización para los futuros matemáticos

Factorización

Factorizar un polinomio consiste en escribirlo como un producto de polinomios de inferior grado. Todo polinomio mediante la factorización puede expresarse en productos de polinomios de primer y segundo grado.

Cuando realizamos las multiplicaciones :

1. 2x(x2 – 3x + 2) = 2x3 – 6x2 + 4x 2. (x + 7)(x + 5) = x2 + 12x + 35 entonces vemos que las expresiones de la izquierda son los factores y las de la derecha son las expresiones a factorizar, es decir , la factorización es el proceso inverso de la multiplicación.

La factorización es de extrema importancia por sus aplicaciones en las matemáticas. -Simplificación de expresiones algebraicas.

-Resolución de ecuaciones e inecuaciones.

-Estudio del signo de un polinomio y de una fracción algebraica.

Existen varios procedimientos para llevar a cabo la factorización.

1. Factor comun

Factor común: es el factor que está presente en cada término del polinomio :

Ejemplo N( 1: ¿ cuál es el factor común en 12x + 18y - 24z ? Entre los coeficientes es el 6, o sea, 6(2x + 6(3y - 6( 4z = 6(2x + 3y - 4z )

Ejemplo N( 2 : ¿ Cuál es el factor común en : 5a2 - 15ab - 10 ac El factor común entre los coeficientes es 5 y entre los factores literales es a, por lo tanto 5a2 - 15ab - 10 ac = 5a(a - 5a(3b - 5a ( 2c = 5a(a - 3b - 2c )

Ejemplo N( 3 : ¿ Cuál es el factor común en 6x2y - 30xy2 + 12x2y2 El factor común es " 6xy " porque 6x2y - 30xy2 + 12x2y2 = 6xy(x - 5y + 2xy ) Realiza tú los siguientes ejercicios :

EJERCICIOS. Halla el factor común de los siguientes ejercicios :

  • 1.  6x - 12 =

  • 2.  4x - 8y =

    • 3.  24a - 12ab =

  • 4.  10x - 15x2 =

    • 5.  14m2n + 7mn =

  • 6.  4m2 -20 am =

    • 7.  8a3 - 6a2 =

  • 8.  ax + bx + cx =

    • 9.  b4-b3 =

  • 10.  4a3bx - 4bx =

    • 11.  14a - 21b + 35 =

  • 12.  3ab + 6ac - 9ad =

    • 13.  20x - 12xy + 4xz =

  • 14.  6x4 - 30x3 + 2x2 =

    • 15.  10x2y - 15xy2 + 25xy =

  • 16.  12m2n + 24m3n2 - 36m4n3 =

    • 17.  2x2 + 6x + 8x3 - 12x4 =

  • 18.  10p2q3 + 14p3q2 - 18p4q3 - 16p5q4 =

    • 19.  m3n2p4 + m4n3p5 - m6n4p4 + m2n4p3 =

    • 20.  Monografias.com

    • 21.  Monografias.com

    • 22.  Monografias.com

    2. Factor comun polinomio

    Es el polinomio que aparece en cada término de la expresión :

    EJEMPLO N (1. Factoriza x(a + b ) + y( a + b ) = Existe un factor común que es (a + b ) = x(a + b ) + y( a + b ) = = ( a + b )( x + y )

    EJEMPLO N ( 2. Factoriza 2a(m - 2n) - b (m - 2n ) = = 2a(m - 2n) - b (m - 2n ) = (m - 2n )( 2a - b )

    EJERCICIOS

    • 23.  a(x + 1) + b ( x + 1 ) =

  • 24.  m(2a + b ) + p ( 2a + b ) =

    • 25.  x2( p + q ) + y2( p + q ) =

  • 26.  ( a2 + 1 ) - b (a2 + 1 ) =

    • 27.  ( 1 - x ) + 5c( 1 - x ) =

  • 28.  a(2 + x ) - ( 2 + x ) =

    • 29.  (x + y )(n + 1 ) - 3 (n + 1 ) =

  • 30.  (a + 1 )(a - 1 ) - 2 ( a - 1 ) =

    • 31.  (a( a + b ) - b ( a + b ) =

  • 32.  (2x + 3 )( 3 - r ) - (2x - 5 )( 3 - r ) =

  • 3. Factor comun por agrupamiento

    Se trata de extraer un doble factor común.

    EJEMPLO N (1. Factoriza ap + bp + aq + bq Se extrae factor común "p" de los dos primeros términos y "q" de los dos últimos p(a + b ) + q( a + b ) Se saca factor común polinomio ( a + b ) ( p + q ) EJERCICIOS :

    • 33.  a2 + ab + ax + bx =

  • 34.  ab + 3a + 2b + 6 =

    • 35.  ab - 2a - 5b + 10 =

  • 36.  2ab + 2a - b - 1 =

    • 37.  am - bm + an - bn =

  • 38.  3x3 - 9ax2 - x + 3a =

    • 39.  3x2 - 3bx + xy - by =

  • 40.  6ab + 4a - 15b - 10 =

    • 41.  3a - b2 + 2b2x - 6ax =

  • 42.  a3 + a2 + a + 1 =

    • 43.  ac - a - bc + b + c2 - c =

    • 44.  6ac - 4ad - 9bc + 6bd + 15c2 - 10cd =

    • 45.  ax - ay - bx + by - cx + cy =

    • 46.  3am - 8bp - 2bm + 12 ap =

    • 47.  18x - 12 - 3xy + 2y + 15xz - 10z =

    • 48.  Monografias.com

    • 49.  Monografias.com

    4. Factorizacion de un polinomio de segundo grado.

    Ax2+ bx + c Se realiza resolviendo la ecuación de segundo grado correspondiente. Si las soluciones son A y B puede escribirse ax2+ bx + c = a (x-A). (x-B)

    ACTIVIDAD: Factorizar:

    • 50.  x2 + 4x + 3 =

  • 51.  a2 + 7a + 10 =

    • 52.  b2 + 8b + 15 =

  • 53.  x2 - x - 2 =

    • 54.  r2 - 12r + 27 =

  • 55.  s2 - 14s + 33 =

    • 56.  h2 - 27h + 50 =

  • 57.  y2 - 3y - 4 =

    • 58.  x2 + 14xy + 24y2 =

  • 59.  m2 + 19m + 48 =

    • 60.  x2 + 5x + 4 =

  • 61.  x2 - 12x + 35 =

  • EJERCICIOS :

    • 62.  5x2 + 11x + 2 =

  • 63.  3a2 + 10ab + 7b2 =

    • 64.  4x2 + 7x + 3 =

  • 65.  4h2 + 5h + 1 =

    • 66.  5 + 7b + 2b2 =

  • 67.  7x2 - 15x + 2 =

    • 68.  5c2 + 11cd + 2d2 =

  • 69.  2x2 + 5x - 12 =

    • 70.  6x2 + 7x - 5 =

  • 71.  6a2 + 23ab - 4b2 =

    • 72.  3m2 - 7m - 20 =

  • 73.  8x2 - 14x + 3 =

    • 74.  5x2 + 3xy - 2y2 =

  • 75.  7p2 + 13p - 2 =

    • 76.  6a2 - 5a - 21 =

  • 77.  2x2 - 17xy + 15y2 =

    • 78.  2a2 - 13a + 15 =

    5. Factorizacion de la diferencia de dos cuadrados

    EJEMPLO: Factorizar 9x2 - 16y2 = Para el primer término 9x2 se factoriza en 3x ( 3x y el segundo término - 16y2 se factoriza en +4y ( -4y luego la factorización de 9x2 - 16y2 = ( 3x + 4y )( 3x - 4y ) EJERCICIOS:

    • 79.  9a2 - 25b2 =

  • 80.  16x2 - 100 =

    • 81.  4x2 - 1 =

  • 82.  9p2 - 40q2 =

    • 83.  36m2n2 - 25 =

  • 84.  49x2 - 64t2 =

    • 85.  169m2 - 196 n2 =

  • 86.  121 x2 - 144 k2 =

    • 87.  Monografias.com

  • 88.  Monografias.com

    • 89.  3x2 - 12 =

  • 90.  5 - 180f2 =

    • 91.  8y2 - 18 =

  • 92.  3x2 - 75y2 =

    • 93.  45m3n - 20mn =

  • 94.  2a5 - 162 a3 =

  • 6. Factorizacion de un trinomio cuadrado perfecto

    Ejemplo: Factorizar 9x2 - 30x + 25 = 1( Halla la raíz principal del primer término 9x2 : 3x ( 3x 2( Halla la raíz principal del tercer término 25 con el signo del segundo término -5 ( -5 luego la factorización de 9x2 - 30x + 25 = (3x - 5 )( 3x - 5 ) = ( 3x - 5 )2

    EJERCICIOS:

    • 95.  b2 - 12b + 36 =

  • 96.  25x2 + 70xy + 49y2 =

    • 97.  m2 - 2m + 1 =

  • 98.  x2 + 10x + 25 =

    • 99. 16m2 - 40mn + 25n2 =

  • 100. 49x2 - 14x + 1 =

    • 101. 36x2 - 84xy + 49y2 =

  • 102. 4a2 + 4a + 1 =

    • 103. 1 + 6ª + 9a2 =

  • 104. 25m2 - 70 mn + 49n2 =

    • 105. 25a2c2 + 20acd + 4d2 =

  • 106. 289a2 + 68abc + 4b2c2 =

    • 107. 16x6y8 - 8 x3y4z7 + z14 =

    EJERCICIOS DIVERSOS:

    • 108.  2ab + 4a2b - 6ab2 =

  • 109. 2xy2 - 5xy + 10x2y - 5x2y2 =

    • 110. b2 - 3b - 28 =

  • 111. a2 + 6a + 8 =

    • 112. 5a + 25ab =

  • 113. bx - ab + x2 - ax =

    • 114. 6x2 - 4ax - 9bx + 6ab =

  • 115. ax + ay + x + y =

    • 116. 8x2 - 128 =

  • 117. 4 - 12y + 9y2 =

    • 118. x4 - y2 =

  • 119. x2 + 2x + 1 - y2 =

    • 120. (a + b )2 - ( c + d)2 =

  • 121. a2 + 12ab + 36b2 =

    • 122. 36m2 - 12mn + n2 =

  • 123. x16 - y16 =

  • 7. Factorización avanzada

    a) DIFERENCIA DE CUBOS : a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) Ejemplo : 8 – x3 = (2 – x)(4 + 2x + x2) b) SUMA DE CUBOS: a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2) Ejemplo: 27a3 + 1 = (3a + 1)(9a2 – 3a + 1)

    • 125.  64 – x3 =

  • 126.  8a3b3 + 27 =

    • 127.  27m3 + 6n6 =

  • 128.  x6 – y6 =

    • 129.  Monografias.com=

  • 130.  Monografias.com

  • 8.- Factorización usando la regla de Ruffini

    Usando el método de Ruffini explicado en clase para hacer la división de un polinomio cualquiera por otro de primer grado del tipo (x-A) , puede lograrse hacer la factorización en el caso de encontrar valores para A que hagan la división exacta.

    ACTIVIDAD.

    Resuelve las siguientes ecuaciones utilizando la regla de Ruffini .A partir de esas soluciones factoriza el polinomio que da origen a la ecuación.

    • 1) 

    • 2) 

    • 3) 

    • 4) 

    • 5) 

    • 6) 

    • 7) 

    • 8) 

    • 9) 

    • 10) 

    • 11) 

    • 12) 

    • 13) 

    • 14) 

    • 15) 

    Soluciones: 1) Monografias.com2) Monografias.com3) Monografias.com4) Monografias.com5) Monografias.com6) Monografias.com7) Monografias.com8) Monografias.com9) Monografias.com10) Monografias.com11) Monografias.com12) Monografias.com13) Monografias.com14) Monografias.com15) Monografias.com NM1: FACTORIZACIÓN Factorizar una expresión algebraica consiste en escribirla como un producto.

    Cuando realizamos las multiplicaciones :

    1. 2x(x2 – 3x + 2) = 2x3 – 6x2 + 4x 2. (x + 7)(x + 5) = x2 + 12x + 35 entonces vemos que las expresiones de la izquierda son los factores y las de la derecha son las expresiones a factorizar, es decir , la factorización es el proceso inverso de la multiplicación.

    La factorización es de extrema importancia en la Matemática, así es que debes tratar de entender lo más que puedas sobre lo que vamos a trabajar.

    Existen varios casos de factorización :

    Factor comun monomio

    Factor común monomio: es el factor que está presente en cada término del polinomio :

    Ejemplo N( 1: ¿ cuál es el factor común monomio en 12x + 18y - 24z ? Entre los coeficientes es el 6, o sea, 6(2x + 6(3y - 6( 4z = 6(2x + 3y - 4z )

    Ejemplo N( 2 : ¿ Cuál es el factor común monomio en : 5a2 - 15ab - 10 ac El factor común entre los coeficientes es 5 y entre los factores literales es a, por lo tanto 5a2 - 15ab - 10 ac = 5a(a - 5a(3b - 5a ( 2c = 5a(a - 3b - 2c )

    Ejemplo N( 3 : ¿ Cuál es el factor común en 6x2y - 30xy2 + 12x2y2 El factor común es " 6xy " porque 6x2y - 30xy2 + 12x2y2 = 6xy(x - 5y + 2xy ) Realiza tú los siguientes ejercicios :

    EJERCICIOS. Halla el factor común de los siguientes ejercicios :

    • 124.  6x - 12 =

  • 125.  4x - 8y =

    • 126.  24a - 12ab =

  • 127.  10x - 15x2 =

    • 128.  14m2n + 7mn =

  • 129.  4m2 -20 am =

    • 130.  8a3 - 6a2 =

  • 131.  ax + bx + cx =

    • 132.  b4-b3 =

  • 133.  4a3bx - 4bx =

    • 134.  14a - 21b + 35 =

  • 135.  3ab + 6ac - 9ad =

    • 136.  20x - 12xy + 4xz =

  • 137.  6x4 - 30x3 + 2x2 =

    • 138.  10x2y - 15xy2 + 25xy =

  • 139.  12m2n + 24m3n2 - 36m4n3 =

    • 140.  2x2 + 6x + 8x3 - 12x4 =

  • 141.  10p2q3 + 14p3q2 - 18p4q3 - 16p5q4 =

    • 142.  m3n2p4 + m4n3p5 - m6n4p4 + m2n4p3 =

    • 143.  Monografias.com

    • 144.  Monografias.com

    • 145.  Monografias.com

    Factor comun polinomio

    Es el polinomio que aparece en cada término de la expresión :

    EJEMPLO N( 1. Factoriza x(a + b ) + y( a + b ) = Existe un factor común que es (a + b ) = x(a + b ) + y( a + b ) = = ( a + b )( x + y )

    EJEMPLO N( 2. Factoriza 2a(m - 2n) - b (m - 2n ) = = 2a(m - 2n) - b (m - 2n ) = (m - 2n )( 2a - b )

    EJERCICIOS

    • 146.  a(x + 1) + b ( x + 1 ) =

  • 147.  m(2a + b ) + p ( 2a + b ) =

    • 148.  x2( p + q ) + y2( p + q ) =

  • 149.  ( a2 + 1 ) - b (a2 + 1 ) =

    • 150.  ( 1 - x ) + 5c( 1 - x ) =

  • 151.  a(2 + x ) - ( 2 + x ) =

    • 152.  (x + y )(n + 1 ) - 3 (n + 1 ) =

  • 153.  (a + 1 )(a - 1 ) - 2 ( a - 1 ) =

    • 154.  (a( a + b ) - b ( a + b ) =

  • 155.  (2x + 3 )( 3 - r ) - (2x - 5 )( 3 - r ) =

  • 3. Factor comun por agrupamiento

    Se trata de extraer un doble factor común.

    EJEMPLO N (1. Factoriza ap + bp + aq + bq Se extrae factor común "p" de los dos primeros términos y "q" de los dos últimos p(a + b ) + q( a + b ) Se saca factor común polinomio ( a + b ) ( p + q ) EJERCICIOS :

    • 156.  a2 + ab + ax + bx =

  • 157.  ab + 3a + 2b + 6 =

    • 158.  ab - 2a - 5b + 10 =

  • 159.  2ab + 2a - b - 1 =

    • 160.  am - bm + an - bn =

  • 161.  3x3 - 9ax2 - x + 3a =

    • 162.  3x2 - 3bx + xy - by =

  • 163.  6ab + 4a - 15b - 10 =

    • 164.  3a - b2 + 2b2x - 6ax =

  • 165.  a3 + a2 + a + 1 =

    • 166.  ac - a - bc + b + c2 - c =

    • 167.  6ac - 4ad - 9bc + 6bd + 15c2 - 10cd =

    • 168.  ax - ay - bx + by - cx + cy =

    • 169.  3am - 8bp - 2bm + 12 ap =

    • 170.  18x - 12 - 3xy + 2y + 15xz - 10z =

    • 171.  Monografias.com

    • 172.  Monografias.com

    4. Factorizacion de un trinomio de la forma

    x2 + bx + c El trinomio de la forma x2 + bx + c se puede descomponer en dos factores binomiales mediante el siguiente proceso :

    EJEMPLO N( 1. Descomponer x2 + 6x + 5 1( Hallar dos factores que den el primer término x ( x 2( Hallar los divisores del tercer término, seccionando aquellos cuya suma sea "6" 1 ( 5 ó -1 (-5 pero la suma debe ser +6 luego serán (x + 1 )( x + 5 ) EJEMPLO Nº 2: Factorizar x2 + 4xy - 12y2 1º Hallar dos factores del primer término, o sea x2 : x ( x 2º Hallar los divisores de 12y2 , éstos pueden ser : 6y ( -2y ó -6y ( 2y ó 4y ( -3y ó -4y ( 3y ó 12y ( -y ó -12y ( y pero la suma debe ser +4 , luego servirán 6y y -2y, es decir x2 + 4xy - 12y2 = ( x + 6y )( x - 2y ) EJERCICIOS:

    Factoriza los siguientes trinomios en dos binomios :

    • 173.  x2 + 4x + 3 =

  • 174.  a2 + 7a + 10 =

    • 175.  b2 + 8b + 15 =

  • 176.  x2 - x - 2 =

    • 177.  r2 - 12r + 27 =

  • 178.  s2 - 14s + 33 =

    • 179.  h2 - 27h + 50 =

  • 180.  y2 - 3y - 4 =

    • 181.  x2 + 14xy + 24y2 =

  • 182.  m2 + 19m + 48 =

    • 183.  x2 + 5x + 4 =

  • 184.  x2 - 12x + 35 =

  • 5. Factorizacion de un trinomio de la forma

    ax2+ bx + c EJEMPLO Factoriza 2x2 - 11x + 5 1º El primer término se descompone en dos factores 2x ( x 2º Se buscan los divisores del tercer término 5 ( 1 ó -5 ( -1 3º Parcialmente la factorización sería ( 2x + 5 )( x + 1 ) pero no sirve pues da : 2x2 + 7x + 5 se reemplaza por ( 2x - 1 )( x - 5 ) y en este caso nos da : 2x2 - 11x + 5 EJERCICIOS :

    • 185.  5x2 + 11x + 2 =

  • 186.  3a2 + 10ab + 7b2 =

    • 187.  4x2 + 7x + 3 =

  • 188.  4h2 + 5h + 1 =

    • 189.  5 + 7b + 2b2 =

  • 190.  7x2 - 15x + 2 =

    • 191.  5c2 + 11cd + 2d2 =

  • 192.  2x2 + 5x - 12 =

    • 193.  6x2 + 7x - 5 =

  • 194.  6a2 + 23ab - 4b2 =

    • 195.  3m2 - 7m - 20 =

  • 196.  8x2 - 14x + 3 =

    • 197.  5x2 + 3xy - 2y2 =

  • 198.  7p2 + 13p - 2 =

    • 199.  6a2 - 5a - 21 =

  • 200.  2x2 - 17xy + 15y2 =

    • 201.  2a2 - 13a + 15 =

    6. Factorizacion de la diferencia de dos cuadrados

    EJEMPLO: Factorizar 9x2 - 16y2 = Para el primer término 9x2 se factoriza en 3x ( 3x y el segundo término - 16y2 se factoriza en +4y ( -4y luego la factorización de 9x2 - 16y2 = ( 3x + 4y )( 3x - 4y ) EJERCICIOS:

    • 202.  9a2 - 25b2 =

  • 203.  16x2 - 100 =

    • 204.  4x2 - 1 =

  • 205.  9p2 - 40q2 =

    • 206.  36m2n2 - 25 =

  • 207.  49x2 - 64t2 =

    • 208.  169m2 - 196 n2 =

  • 209.  121 x2 - 144 k2 =

    • 210.  Monografias.com

  • 211.  Monografias.com

    • 212.  3x2 - 12 =

  • 213.  5 - 180f2 =

    • 214.  8y2 - 18 =

  • 215.  3x2 - 75y2 =

    • 216.  45m3n - 20mn =

  • 217.  2a5 - 162 a3 =

  • 7. Factorizacion de un trinomio cuadrado perfecto

    Ejemplo: Factorizar 9x2 - 30x + 25 = 1( Halla la raíz principal del primer término 9x2 : 3x ( 3x 2( Halla la raíz principal del tercer término 25 con el signo del segundo término -5 ( -5 luego la factorización de 9x2 - 30x + 25 = (3x - 5 )( 3x - 5 ) = ( 3x - 5 )2 EJERCICIOS:

    • 218.  b2 - 12b + 36 =

  • 219.  25x2 + 70xy + 49y2 =

    • 220.  m2 - 2m + 1 =

  • 221.  x2 + 10x + 25 =

    • 222. 16m2 - 40mn + 25n2 =

  • 223. 49x2 - 14x + 1 =

    • 224. 36x2 - 84xy + 49y2 =

  • 225. 4a2 + 4a + 1 =

    • 226. 1 + 6ª + 9a2 =

  • 227. 25m2 - 70 mn + 49n2 =

    • 228. 25a2c2 + 20acd + 4d2 =

  • 229. 289a2 + 68abc + 4b2c2 =

    • 230. 16x6y8 - 8 x3y4z7 + z14 =

    EJERCICIOS DIVERSOS:

    • 231.  2ab + 4a2b - 6ab2 =

  • 232. 2xy2 - 5xy + 10x2y - 5x2y2 =

    • 233. b2 - 3b - 28 =

  • 234. a2 + 6a + 8 =

    • 235. 5a + 25ab =

  • 236. bx - ab + x2 - ax =

    • 237. 6x2 - 4ax - 9bx + 6ab =

  • 238. ax + ay + x + y =

    • 239. 8x2 - 128 =

  • 240. 4 - 12y + 9y2 =

    • 241. x4 - y2 =

  • 242. x2 + 2x + 1 - y2 =

    • 243. (a + b )2 - ( c + d)2 =

  • 244. a2 + 12ab + 36b2 =

    • 245. 36m2 - 12mn + n2 =

  • 246. x16 - y16 =

  • **************************************

    Factorización para los futuros matemáticos

    1. DIFERENCIA DE CUBOS : a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) Ejemplo : 8 – x3 = (2 – x)(4 + 2x + x2) 2. SUMA DE CUBOS: a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2) Ejemplo: 27a3 + 1 = (3a + 1)(9a2 – 3a + 1)

    • 131.  64 – x3 =

  • 132.  8a3b3 + 27 =

    • 133.  27m3 + 6n6 =

  • 134.  x6 – y6 =

    • 135.  Monografias.com=

  • 136.  Monografias.com

  • TEORIA DE LA FACTORIZACION

    Enviado por: Ing.+Lic. Yunior Andrés Castillo S.

    "NO A LA CULTURA DEL SECRETO, SI A LA LIBERTAD DE INFORMACION"®

    www.monografias.com/usuario/perfiles/ing_lic_yunior_andra_s_castillo_s/monografias

    Santiago de los Caballeros, República Dominicana, 2015.

    "DIOS, JUAN PABLO DUARTE Y JUAN BOSCH – POR SIEMPRE"®

     

     

     

    Autor:

    Ing.+Lic. Yunior Andrés Castillo S.


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