15
2
_Propiedad distributiva en el primer miembro de la igualdad.
_Sumar 6 y restar X en ambos miembros de la igualdad.
_Sumar términos semejantes
_Dividir por 3 en ambos miembros de igualdad.
_Realizar la división y obtener el valor de x.
?
Verificación:
Ejercicio:
Escriba en forma coloquial la siguiente ecuación y resuélvala.
2?2??3??6??
4??6 ? 6? ?
4??? ? 6?6
3? ?12
12
3
3
3
x ?
x ? 4
2?2?4?3?? 6?4
5 ? 5
8. Propiedad distributiva de la ecuación
Para resolver la siguiente ecuación debe aplicarse la propiedad distributiva y luego resolver.
Ejemplo:
Planteo:
Ejemplo: Planteen la ecuación y resuelvan el problema.
a) La base y la altura de un rectángulo miden 4x-1cm y 2x+3cm, respectivamente. Si
el perímetro es 52cm. ¿Cuál es la superficie del rectángulo?
b
a
c
d
P=52cm
P=52cm
P=52cm
P=52cm
Sumar y restar los términos semejantes
Reemplazar el valor de P.
Restar 4 a ambos miembros
Dividir por 12 a ambos miembros.
P=
52cm=
52cm – 4=
48cm: 12=
P=52cm
Paso 1: Es necesario calcular el valor de la incógnita (x) para luego saber la longitud de los lados, entonces
4=
Paso 2: Se reemplazar en valor de x en la ecuación de cada lado, obteniendo así sus longitudes, entonces:
En un rectángulo los lados opuestos son paralelos y de
igual longitud.
Paso 3: la superficie es igual a la base por la altura del rectángulo, entonces:
Superficie=
Superficie=
La superficie del rectángulo es de 165cm2
16
17
8.1.
Solución
En los ejemplos anteriores cada ecuación tenía una solución única pero hay ecuaciones que
no tienen solución y también hay otras que tienen más de una.
? Observar los siguientes ejemplos.
4(??1)?? ?3??2
4??4?? ?3??2
_Propiedad distributiva en el primer miembro de la igualdad.
_Restar
4??? Y sumar 4 a ambos miembros
3? ? 3??2?4 _Restar a ambos miembros 3x
0? ? 6
¿Qué dice este resultado?
Como no hay ningún número que multiplicado por 0 se igual a 6, la ecuación no tiene
solución
Ejercicios:
1
a)
Agrupar términos semejantes:
Operar en cada miembro
Como 0 ? 5 entonces, la ecuación no tiene solución.
18
La ecuación ?2? ?8
2
Si la expresión ?2?es positiva entonces:
?2? ?8
Para resolver
, dividir entre dos ambos miembros se obtiene:
ya que el módulo de
es igual a 8.
? ? ?4
Si la expresión-2× es negativa, entonces:
Por regla de signos se tiene:
Luego dividiendo ambos miembros por 2 se obtiene:
¿Qué dice este resultado?
Esta ecuación tiene más de una solución. La ecuación tiene dos soluciones
19
3
Comparar ahora con la siguiente ecuación.
3???2??1?7?3?
Se procede a resolver aplicando lo que ya se sabe.
3???2??1?7?3?
Propiedad distributiva en el primer miembro de la igualdad.
6?1
3??6?1?7?3?
3??7 ? 7?3?
Sumar términos semejantes
Restar en ambos miembros -7
3? ? 3?
¿Qué dice este resultado?
Esta ecuación tiene infinitas soluciones, cualquier valor que le dé a × hace cierta la
igualdad.
a)
Ejercicio:
Propiedad distributiva en el primer miembro
Operar términos semejantes
Sumar 6 a ambos miembros
Dividir por 3 ambos miembros
Como x=3 entonces, la ecuación tiene solución única.
20
9. Ecuación Lineal que involucra módulos
Cuando tenemos una ecuación lineal donde la incógnita forma parte del argumento de un
valor absoluto, hay que utilizar la definición de módulo para poder despejar la incógnita.
?
El módulo de un número, representa la distancia entre ese número y cero. Por lo
tanto, al resolver:
Ejemplo 1:
?
Ejemplo 2:
Suponer que se quiere encontrar el valor de ×
? ?1 ? 2
Se busca los números que al restarles 1 unidad se encuentran a
Se busca los dos números que se encuentran a dos unidades de
distancia de 0.
Esos números son -2 y 2:
?2
?1
0
1
2
2 unidades
2 unidades
x ? 2
Interpretación
en la recta
numérica
dos unidades de distancia de 0. Los números son -1 y 3
También se puede resolver de la siguiente manera
? ?1 ? 2
“Se posiciona” en el 1 y desplaza 2 unidades a la derecha o 2 unidades a la
izquierda, así se obtiene los valores buscados: -1 y 3
21
??1 ? 2
????1? ? 2
?
Ejemplo 3:
Para resolver
?
Se tiene la siguiente consideración:
??1? ????1?
Trabajando de la misma forma
“Me posiciono” en el -1 y desplaza 2 unidades a la derecha o 2 unidades a la
izquierda, así “se obtiene” los valores buscados: -3 y 1
Ejemplo 4:
Ahora se quiere encontrar el valor de × para el siguiente ejemplo
2 unidades
2 unidades
?3
?2
?1
0
1
2
3
4
5
6
1
7
? ?4 ? 3
3 unidades
“Se posiciona” en el 4 y desplaza 3 unidades a la izquierda o 3
unidades a la derecha, así se obtiene los valores buscados: -1
y 7.
3 unidades
a. ? ?9
? ? 9
b. ? ?8
? ? 8
? ?16
? ? 4 16
22
10. Ecuaciones con potenciación y radicación
Analizar ecuaciones en las cuales la incógnita está como base
elevado a un exponente.
Tener en cuenta:
Si el exponente es par:
v
4
4
4
? ? 2
? ? 2
? ? ?2
V
c.
?2x?3?2 ? 49
? 49
?2x ?3?2
2x?3 ? 49
2x?3?3? 7?3
2x:2 ?10:2
x ?5
d.
d. ?x2 ?3?:2 ?14
2
x2 ?3? 28
x2 ?3?3? 28?3
x2 ? 25
x ?5
2
2
? ? 3
? ? 3
? ? ?3
3 3
3
? ? 2
? ??
? ??
?
?
? ?? ??12?
2
?
?
5x?1 ? 22
23
Se analizan ecuaciones en las cuales la incógnita está afectada
por un exponente.
Tener en cuenta:
Si el exponente es par:
? ? 5
2
? 52
a.
b.
4
? ? 25
? ? 3
c.?4 ??4 ? 34
? ? 81
d.
e.
2
? ?12 ? 0
2
? ?12?12 ?12
2
2
x ?144
f.
3
3
? 43
3
? ? 4
4
5x?1 ? 2
4
4
5x?1?16
5x?1?1?16?1
5x ?15:5
x ?3
2
? ? 64
3??2 ? 5
2
2
2
3? ? 2
??5?
3x?2 ? 25
3x?2?2 ? 25?2
3x ? 27
? 27:3
3x
3
x ? 9
24
?14?3??1? 2?4
45
5
? 4 ? 6?1
3? ??5 ?3??8
??3?8
??2a ?1?a
6.
ACTIVIDAD
1. Igualdades numéricas
Averigüen si las siguientes expresiones son igualdades numéricas
a) 6?1? 5
b)
c)
3. Ecuaciones
Resuelvan las siguientes ecuaciones y verifiquen la validez de los resultados
a) ??6 ? 2?
b
)
4. Ecuaciones Equivalentes.
Escriban dos ecuaciones equivalentes a las siguientes
a) 1?3a ? 2a ?7
a)
b) 4??3??2??1?? ??6
a)
b) 7?? ? ? 4??8
5. Propiedades de las operaciones aritméticas
Resuelvan las siguientes ecuaciones aplicando propiedades
Reducción de términos semejantes.
Resuelvan las siguientes ecuaciones aplicando propiedades
25
? ? 4
a)
3?4? ??? 3??1
b)
2???3??4? ? 6???1?
c)
5?? ? ????5?
a)
b) ??6 ? 4
8. Ecuaciones Lineales. Solución
Indica si la ecuación tiene infinitas soluciones o no tiene soluciones
9. Ecuaciones Lineales que involucran módulos
Resuelve las siguientes ecuaciones
Actividades Extraes
PARA TRABAJAR CON LO QUE YA SABEMOS.
1. Rodeen con un círculo el valor que verifica la ecuación.
a.
;
:
2. Resuelvan las siguientes ecuaciones y verifíquenlas.
a.
b.
c.
3. Resuelvan las siguientes ecuaciones aplicando la propiedad que corresponda.
a.
c.
b.
d.
26
? 4 ? 6?1
? ?
27
??3?8
6?1? 5
5 ? 5
?14?3??1? 2?4
11?1?12
45
5
9?4 ? 45
? ? 6
3? ??5 ?3??8
??8?8 ?3??8?8
??8?8 ?3??8?8
??3? ?3??3?
?2? ? 0
0
? 2
? ? 0
??1? 2 ? 8
?? 4?1? 8
1. Igualdades numéricas
6?6 ?12
12 ?12
5. Ecuaciones Equivalentes.
a)
b)
c)
3. Ecuaciones
a) ??6 ? 2?
??6?6?2??6
??2? ? 2??2??6
?? ? ?6
b
)
a)
12 ?12
La Expresión es una igualdad numérica
13 ? 5
La Expresión NO es una igualdad
numérica
VERIFICACIÓN
VERIFICACIÓN
3?0?5 ? 3?0?8
8 ?8
?
28
2
2
? ?
? ?1
??2?a ?1?a
??2?2 ?1?2
? ? ?1
8
4
4
4
? ?
? ? 4
6. Propiedades de las operaciones aritméticas.
7. Reducción de términos semejantes.
8. Ecuaciones Lineales. Solución
a) 1?3a ? 2a ?7
1?3a?1? 2a?7?1
3a ? 2a?6
3a?2a ? 2a?6?2a
a ? 6
b) 4??3??2??1?? ??6
4??2??1? ??6
2??4?4 ? ??6?4
2? ? ??2
2??? ? ??2??
a)
b) 7?? ? ? 4??8
8? ? 4??8
8??4? ? 4??8?4?
4? ?8
3?4????3??1
12?3? ?3??1
3??12?12?3??1?12
3? ?3??13
?3??3? ?3??13?3?
0? ? ?13
No existe ningún número
que multiplicado por 0
sea igual a -13.
NO TIENE SOLUCIÓN
2???3??4? ?6???1?
2??6?4? ?6`?6
6??6?6??6
TIENE INFINITAS SOLUCIONES
Cualquier valor que dé a X
hace cierta la igualdad.
5?? ? ????5?
5?? ? ???5
5???5? ???5?5
???? ????10??
?? ? ???10
0? ? ?10
No existe ningún número
que multiplicado por 0
sea igual a -10.
NO TIENE SOLUCIÓN
29
9. Ecuación Lineal que involucran módulos
? ? 4
a)
Busco los números que se
encuentran a 4 unidades de
distancia del 0
Ellos son -4 y 4.
4 unidades
4 unidades
?1
0
1
2
3
?4
?3
?2
4
??6 ? 4
b)
Se tiene la siguiente
consideración x+6 = x-(-6). Se
posiciona en -6 y se desplaza
4 unidades hacia la derecha o
4 unidades hacia la izquierda.
Ellos son -10 y -2.
4 unidades
4 unidades
?6
?5
?4
?3
?2
?9
?8
?7
?10
30
? ?10
5?
5
?14
?14
? ?
?14
?14
? ?1
6???5??5? ? 25
6??30?5? ? 25
??30 ? 25
??30?30 ? 25?30
? ? ?5
10. PARA TRABAJAR CON LO QUE YA SABEMOS
1.
5??8? 2
5??8?8? 2
5? ?10
? ? 2
Verifica para el valor de X=2
6??30?5? ? 25
??30 ? 25
??30?30 ? 25?30
? ? ?5
??4?3? ? ?10?6
?2??4 ? ?4
?2??4?4 ? ?4?4
?2? ? 0
? ? 0
3?3???3??3?? 23??22
3?3??9?3?? 23??22
3?3??12?? 23??22
9??36 ? 23??22
9??23? ? 22?36
14? ? ?14
2. a.
b.
b
c.
3.a.
c. 3??? ?1?? ?27
?3? ?3? ?27
?3? ?3?3? ?27?3
?9 ?18
?3? ? ?24
?3?3 ?24
? ? 3 8
?
?
???2?
31
? ? 2
3
3
?
3
3
?3 ?3
3
3
? ? 2
23 ??2 ? ?4
?4
2
?
23 ? ? 2
2
3
??2 ? ?2
3
3
3
??2
??2 ? ?8
??2?2 ? ?8?2
? ? ?10
b. ?3???1??4 ? 6???1??5
?3??3?4 ? 6??6?5
?3??3?4 ? 6??6?5
?3??7 ? 6??11
?3??6? ? ?11?7
? ?
?9 ?9
d.
32
BIBLIOGRAFÍA
? PUERTO DE PALOS – MATEMÁTICA ACTIVA 8vo EGB. RAÚL A. GONZÁLEZ –
Primera edición- Buenos Aires – Enero 2001
? PITÁGOTAS 7 – MATEMÁTICA. CLAUDIO SALPETER – Primera edición,
segunda reimpresión – -Buenos Aires – Enero de 2005
? SANTILLANA HOY- MATEMÁTICA 8. PABLO J. KACZOR; MÓNICA VALERIA
MACHIUNAS – Primera edición – Buenos Aires – Marzo 2005
? NUEVAMENTE SANTILLANA – MATEMÁTICA II. ANDREA MÓNICA BERMAN –
Buenos Aires – Enero 2011
? KAPELUSZ 7 – MATEMÁTICA. JULIA SEVESO DE LAROTONDA – ANA
RENATA WYKOWSKI – GRACIELA FERRARINI – Buenos Aires – Noviembre
1996.
? AIQUE MATEMÁTICA 8. MIRTA BINDSTEIN; MIRTA HANFLING – Tercera
edición – Marzo 1999
PROFESORA:
Martínez, Susana
ALUMNO:
Baptista, Emanuel
CARRERA:
Profesorado de Matemáticas
Curso:
3er Año Profesorado en Matemáticas
INSTITUTO TERCIARIO DON ORIONE
PRESIDENCIA ROQUE SAENZ PEÑA (CHACO)
AÑO LECTIVO 2015
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