Estudio de los métodos numéricos (página 3)

Compartir lo que se ha aprendido y el proceso que se siguió para resolver un problema es una experiencia emocionante. Al principio podrías pensar que lo más difícil ya lo has hecho cuando superas el miedo de hablar en público y compartes tu trabajo y el trabajo de tu equipo. Sin embargo, hay otros aspectos mucho más importantes que considerar los cuales te los presentamos en el formato de "Evaluación de presentaciones", lograr un buen desempeño en cada uno de ellos, será aún mucho más satisfactorio que el miedo que ya has superado. Y si eres de los que disfruta de hablar en público, al hacerlo de la mejor forma lo disfrutarás aún más.

Los criterios que sigues para evaluar la presentación de los demás equipos de tu grupo, son aquéllos que también deberás tener en cuenta cuando es tu oportunidad y la de tu equipo de compartir su experiencia resolviendo problemas con todo el grupo.

Mapas conceptuales.

El curso de Cálculo Diferencial te permitirá, entre otras cosas, relacionar los conceptos matemáticos con sus significados en otras ciencias, por ejemplo, Física, y directamente con situaciones cotidianas. Además de las relaciones que hay entre los conceptos matemáticos. Una manera de visualizar estas relaciones es mediante un Mapa conceptual.

Probablemente te preguntarás qué es y cómo puedes hacer un mapa conceptual, consulta la sección de fichas de tus materiales auxiliares para la organización del aprendizaje, en ella encontrarás una ficha que se llama «Cómo construir un mapa conceptual (y sus criterios de evaluación)», la cual te orientará en la construcción de los mapas conceptuales. En principio, un mapa conceptual podría ser una tarea difícil de realizar, pero a medida que comprendas con mayor claridad la relación entre los conceptos, podrás elaborar mapas conceptuales con mayor facilidad y provecho.

Guía para la elaboración de reportes de lecturas.

La capacidad de compartir nuestras ideas por medio del lenguaje, de poder registrarlas, ha sido un gran reto para la humanidad. Sin embargo, conocer el código (el alfabeto y el idioma) no es garantía de entender el significado de los textos que lees o escribes.

Cada vez será más común que necesites consultar artículos recientes de investigación, de su lectura cuidadosa e interpretación fundamentada dependerá la utilidad que puedas darles en tu vida escolar y profesional.

En los materiales auxiliares para la organización de tu aprendizaje está incluida una guía para la elaboración de reportes de lecturas, en ella se incluyen algunas sugerencias que te permitirán tener una lectura profunda. Al seguirlas te darás cuenta que las discusiones de las lecturas con tus compañeros serán más interesantes, porque podrás compartir tus reflexiones con mayor claridad.

Después de consultar la Guía probablemente habrás descubierto que tú conoces otras estrategias que te han resultado útiles para leer textos que en un principio consideraste difíciles de entender. Coméntalas con tus compañeros de grupo, si deciden que ayudarán a obtener una mejor comprensión en las lecturas, entonces pueden agregar dichas estrategias en su Guía para la elaboración de reportes de lectura.

Autoevaluación de actividades, actitudes y valores

Ahora que has concluido el curso de Cálculo Diferencial, es un buen momento para reflexionar sobre las actividades que has realizado, las habilidades, las actitudes y los valores que has desarrollado. Responde el cuestionario de autoevaluación de habilidades, actitudes y valores.

Vuelve a leer el Ensayo que hiciste al inicio del curso sobre "Las matemáticas en mi vida", poniendo especial atención a la parte en la que mencionaste lo que estabas dispuesto a hacer para aprender y cómo pensabas que aprendías matemáticas. Responde a las siguientes preguntas, de preferencia por escrito, ¿Cumpliste con lo que te propusiste hacer para aprender matemáticas? ¿Tuviste una actitud más audaz y estratégica para aprender matemáticas o decidiste continuar con la forma en la que acostumbrabas aprender? ¿Cómo se reflejó esta actitud en las respuestas de tu cuestionario de autoevaluación? ¿Cuáles son tus conclusiones?

Problemas

Introducción

La habilidad para resolver problemas constituye un excelente indicador del nivel de desarrollo matemático que has alcanzado. En este Libro la actividad de resolución de problemas es la parte más importante, ya que te permitirá vincular las herramientas matemáticas con una dimensión de uso, se introducen conceptos matemáticos utilizando contextos, y se formulan y responden preguntas que contribuyen a la conceptualización de los objetos matemáticos.

¿Qué es un problema?

Por problema se entiende una situación matemática o extramatemática que no tiene solución inmediata, admite varias vías de aproximación y posiblemente varias soluciones, puede consumir mucho tiempo, quizás varias clases, o hasta varios cursos y exige esfuerzo mental, imaginación y creatividad. Un problema no se trabaja una vez y ya nos olvidamos de él, tanto profesor como alumnos, sino que puede retomarse en distintos momentos para mejorar su solución o profundizar en alguna cuestión que haya suscitado.

A través de la actividad de resolución de problemas queremos que tú:

• hagas uso de las matemáticas con las que cuentas para dar respuesta a las preguntas planteadas en el contexto de la situación,

• establezcas conexiones entre diferentes representaciones,

• logres diferentes vías de acceso trabajando varios enfoques,

• generalices tus soluciones y reformules, ampliándolo, el problema en otros campos,

• generes criterios para validar las interpretaciones y los modelos matemáticos,

• construyas y hagas evolucionar los conceptos matemáticos como respuesta a tus propias preguntas, y

• desarrolles actitudes que te permitan enfrentar y manejar situaciones complejas con un alto grado de incertidumbre.

La resolución de problemas es un proceso que no se puede encerrar en una receta paso a paso, es en esencia un viaje, una aventura, no un destino, que a ratos sufrimos y a ratos disfrutamos, para el que no tenemos un mapa de antemano, necesitamos aprender a descubrir o construir caminos. Sin embargo, se pueden destacar algunas etapas de esta aventura: hay un deseo de acercarse al problema, de aceptar el desafío, de correr un riesgo, de encontrar la respuesta, de comprender una pregunta, de descubrir nuevos conocimientos o de crear una solución. Alguien ha dicho que en la resolución de un problema, como en la vida, lo que importa es el camino. Si tomas esto en cuenta, podrás aprender a adoptar una actitud que te permita disfrutar y aprovechar la resolución de un problema. No pongas la mira en el éxito o en el fracaso, sino en el proceso. Es el proceso el que te enseña. Un problema resuelto es un problema muerto, mientras no está resuelto vive en ti como problema.

En este Libro se habla de problemas, problemas con guía y proyectos. Todos ellos comparten la misma idea de problema que acabamos de mencionar en los párrafos anteriores. Expliquemos la diferencia que hay entre ellos.

• Problema: Consta de un enunciado en el que se describe la situación y lo que se quiere que hagas y respondas. El tiempo estimado para discutirlo provechosamente es después de una o dos horas de haberlo trabajado.

• Problema con guía: Además del enunciado contiene un cuestionario o una secuencia de pasos que te permiten seguir avanzar en el problema usualmente de situaciones sencillas a otras más complejas. También el tiempo estimado para discutirlo provechosamente es después de una a dos horas de haberlo trabajado.

• Proyecto: Es un problema, o problema con guía, que requiere más de dos horas de trabajo antes de discutirlo provechosamente. Es posible que tengas que generar tú mismo los datos y una parte importante del trabajo la tengas que hacer fuera del salón de clases.

Sobre los proyectos:

Los proyectos te permitirán, más que cualquier otra actividad, profundizar en el aprendizaje de la modelación matemática. Para que tengas una perspectiva más amplia sobre el papel de la modelación matemática en los distintos ámbitos del quehacer humano puedes leer "Aspectos externos" de Reuben y Hersh que se incluye en la sección "Lecturas" del Libro para el Estudiante de Geometría y Trigonometría. Seguramente te suscitará muchas preguntas que puedes discutir provechosamente con tus compañeros y con tu profesora.

Un proyecto es una tarea extraescolar de varias etapas que requiere un trabajo coordinado durante varias semanas, o meses, para llegar a darle una conclusión satisfactoria. Es decir que se logre dar respuesta a las preguntas que se plantearon y una evaluación, que puede incluir preguntas nuevas, de la calidad de la respuesta. En cada proyecto hay algunas partes en las que es muy probable que te atores. En ocasiones te podrás desatorar solo, gracias a que logres una mejor comprensión de alguna idea y así puedas desatar el nudo y avanzar. Pero, más a menudo, requerirás de la asesoría de tus profesores, quienes te ayudarán por medio de preguntas, sugerencias, ejercicios complementarios o lecturas.

La evaluación del proyecto se hará mientras realizas el proyecto, no sólo al presentar el trabajo concluido. Por lo tanto, debes hacer un plan desde el principio y fijar un calendario que especifique las fechas de entrega de los informes parciales y del informe final. Además, deberás considerar la presentación ante el grupo y preparar un guión para la discusión que se realizará durante, o después de, la presentación. Entre mejor entiendas lo que se trata de lograr con los proyectos, más fácil te será hacer el esfuerzo considerable que exigen. Con la evaluación, tanto la continua como la final, queremos obtener información sobre el desarrollo de tus habilidades matemáticas, como, por ejemplo, la capacidad para:

• Formular los problemas que resultan de una situación.

• Identificar los procedimientos matemáticos que te permiten obtener la información necesaria.

• Recopilar y organizar los datos obtenidos.

• Formular conjeturas razonables al considerar los patrones que observas en, o impones a, los datos.

• Poner aprueba tus hipótesis.

• Hacer los cambios necesarios y obtener otras informaciones a partir de las reformulaciones de los problemas.

• Explicar tus métodos de indagación.

• Producir un informe del desarrollo y conclusiones del proyecto sucinto y articulado.

También se considerarán algunas actitudes como:

• La creatividad y la iniciativa.

• La participación en el equipo.

• El liderazgo y la cooperación efectivos.

• La perseverancia y la minuciosidad.

• La flexibilidad y la amplitud de criterio.

• La disposición para ir más allá de las soluciones inmediatas.

Es muy recomendable que uses los paquetes que se incluyen en el disco compacto mientras resuelves los problemas. Algunas muy buenas herramientas para la comprensión son los paquetes de geometría dinámica. Si tienes dudas en su manejo tu profesor te puede orientar.

I. Problemas

• Mercurio volante

Producir 50 copias de un periódico escolar cuesta 2.60 pesos el ejemplar, producir 200 copias cuesta 2.00 pesos. Sean n el número de copias del periódico y c el costo por ejemplar.

• Encuentra la ecuación lineal que se ajuste a estos datos.

• Estima el costo del ejemplar para producir 300 copias.

• ¿Cuántas copias deben producirse para que el ejemplar cueste a lo sumo 1.50 pesos?

• Traza la gráfica.

• Escaleras

Una escalera de 26 metros está apoyada en un edificio alcanzando una altura de 24 metros.

¿Cuánto se tiene que separar el extremo inferior de la escalera para que el extremo superior descienda un metro?

¿Cuánto tiene que disminuir el ángulo que forma la escalera con el piso para que la escalera descienda un metro?

¿Cuánto se tiene que separar el extremo inferior de la escalera para que el extremo superior descienda la misma distancia?

Escribe una función que relacione la distancia del extremo inferior de la escalera al pie edificio con la distancia que desciende el extremo superior. Determina el dominio y el rango. Traza la gráfica.

• Los números poligonales

Los números pentagonales son aquellos números que se pueden representar por puntos en un arreglo pentagonal. En la figura se muestran los primeros cuatro números pentagonales.

• ¿Cuál es el séptimo número pentagonal?

• Encuentra una fórmula para el número pentagonal "n".

Los números hexagonales son aquellos números que se pueden representar por puntos en un arreglo hexagonal. En la figura se muestran los primeros cuatro números hexagonales.

• ¿Cuál es el séptimo número hexagonal?

• Encuentra una fórmula para el número hexagonal "n".

• Cobb-Douglas

La producción z, en toneladas, es una función de x, número de trabajadores, y y, valor del equipo, en unidades de 250000 pesos:

Actualmente hay 80 trabajadores y el equipo está valuado en 7500000.

• ¿Qué efecto en la producción tendrá la contratación de un trabajador más?

• ¿Qué efecto en la producción tendrá la adquisición de equipo por 250000 pesos?

• Si se debe conservar el nivel de producción y es necesario despedir a 10 trabajadores, ¿cuánto se debe invertir en equipo?

• Si se debe conservar el nivel de producción y se debe dar de baja equipo valuado en 1000000 pesos, ¿cuántos trabajadores es necesario contratar?

• Si se debe incrementar en 20 toneladas la producción, ¿qué medidas se tendrán que tomar?

• Representa gráficamente cada respuesta.

• En las entrañas del ángulo

Dadas dos rectas OA y OB, desde un punto de OA se traza una perpendicular a OB; desde el pie de esta perpendicular, se traza una perpendicular a OA; desde el pie de esta segunda perpendicular se traza otra perpendicular a OB y así, sucesivamente, se siguen trazando perpendiculares. El primero y segundo de estos segmentos miden a y b, respectivamente.

Calcula la suma de las longitudes de

• los tres primeros segmentos perpendiculares.

• los seis primeros segmentos perpendiculares.

Continúa trazando segmentos con el mismo procedimiento.

• ¿Es infinita la suma de un número infinito de segmentos?

• Si se traza un número infinito de segmentos perpendiculares, ¿tendrá la suma de las longitudes un valor límite? Explica.

• Pirámides

Se tienen 100000 balines que se pueden acomodar en forma piramidal de base triangular, cuadrangular o hexagonal. ¿Cuál es la diferencia en pisos entre estas pirámides?

• Epifanía

Valentina llegó temprano a su clase de música. A punto estaba de sentarse cuando advirtió, disgustada, que había olvidado su cuaderno en su refugio predilecto: la siempre cómoda y acogedora biblioteca. No podía perderse el comienzo de la clase, así que corrió a la biblioteca, cogió su cuaderno y, corriendo también, regresó a su asiento, a tiempo para comenzar su, muy probablemente disfrutable, clase de música. Pero en el camino se encontró a su bienamado Juan y se detuvo a intercambiar algunas muestras de su muy auténtico cariño, lo que le llevó 4 minutos, pero de los largos. La biblioteca está en un punto diametralmente opuesto del salón de clases de Valentina en el patio circular, que tiene 500 metros de diámetro, de la escuela. Valentina tardó, en total, 9 minutos.

• Construye una gráfica que describa los cambios de posición de Valentina en su trayecto de ida y vuelta con respecto al tiempo.

• Todos hemos escuchado, o hecho, descripciones de objetos en movimiento, que incluyen expresiones como «detenido», «rápido», «lento», «más rápido», «disminuyó su velocidad», «más alejado», «aceleró más» y muchas otras que seguramente te han asaltado la memoria. Identifica en la gráfica algunas partes con estas expresiones y describe las características de la gráfica que les corresponden.

• Ahora convengamos en que la velocidad de Valentina es positiva cuando se dirige a la biblioteca y negativa en sentido contrario. Identifica en la gráfica intervalos en los que la velocidad sea positiva, negativa o nula, y describe las características de la gráfica. Al igual que en el párrafo anterior, introduce matices en la descripción de la velocidad y anota las características correspondientes de la gráfica.

• La gris acera 1

Érase que se era un crudelísimo profesor de matemáticas, de cuyo nombre no quiero acordarme (pero si tú lo recuerdas, anótalo aquí ___________________) que, acosado por insoportables remordimientos, decide dejarse caer desde el techo de un edificio para librar a las generaciones venideras de muchos momentos de tedio y rutina sin sentido. Sus posiciones 2, 3, 4 y 5 segundos después de haber iniciado su descenso eran 220.5, 196, 161.7 y 117.6 metros, respectivamente, con respecto al nivel de la acera.

• ¿Cuál es la altura del edificio?

• Escribe la fórmula que relaciona el tiempo de descenso y la posición.

• ¿Cuánto tiempo tarda en llegar al suelo?

• ¿Qué posición ocupa 10 segundos después de haber iniciado su descenso?

• ¿Cuánto tiempo después de dejarse caer habrá recorrido la mitad de la altura del edificio?

• ¿Con qué velocidad osculará la gris acera el desventurado mentor?

• El negro que no se raja

En un cierto momento, se comienza a introducir agua en un tinaco vacío, con un gasto de 40 litros/minuto. Este gasto se mantiene constante durante dos minutos, hasta que el tinaco contiene 80 litros. En el transcurso de los dos minutos siguientes el gasto se reduce gradualmente hasta los 5 litros/minuto. Este gasto permanece constante durante los dos últimos minutos. En el instante final, al cabo del sexto minuto, el tinaco contiene 135 litros.

• ¿Cuántos litros de agua contiene el tinaco cuando t = 2.5, 3 y 3.7 minutos? ¿Y en cualquier instante t?

Supongamos ahora que se pone a funcionar una bomba en el instante t = 2 y que, durante los cuatro minutos siguientes, se extrae agua del tinaco a un gasto constante de 15 litros/minuto.

• ¿Cuándo alcanza el nivel del agua su máximo valor?

• Vértigo

Se dibuja un triángulo equilátero de lado a. Al unir los puntos medios de los lados se forma otro triángulo equilátero. Se repite la misma operación una y otra vez, por los siglos de los siglos.

• ¿Cuál es la suma de los perímetros de estos triángulos?

• ¿Cuál es la suma de las áreas de estos triángulos?

• Y sin embargo existes, comunión

Y sin embargo existes,

comunión, y nos mueves

en íntimas palabras

que entretejen el mundo.

Nocturno abandonado

Gabriel Zaid

Una persona planea hacer una edición especial de una antología poética de Gabriel Zaid, que titulará "Y sin embargo existes, comunión". La función que relaciona el precio y el número de ejemplares está dada por:

Sus costos se describen en la gráfica:

• a) ¿Cuál es el precio por ejemplar que le dará al editor la ganancia máxima si se agota la edición?

• b) ¿Cuántos ejemplares debe tirar?

• c) ¿Qué ganancia obtendrá?

• d) ¿Cuánto tendrá que invertir en la edición?

• Dulces esferas de luz

En una huerta de Montemorelos, Nuevo León, se estima que si se plantan 75 naranjos, la producción promedio por árbol será de 360 naranjas. La producción disminuirá en 3 naranjas por cada árbol adicional plantado en la misma extensión. ¿Cuál es la producción máxima de naranjas en esta huerta? Las naranjas se acomodan en forma de pirámide (de base triangular o cuadrangular), ¿cuántos pisos tendrá cada pirámide considerando la producción máxima de la huerta?

• Hermes

La demanda semanal de DVD fabricados por la compañía Hermes está dada por:

• Las tres normales

• Non può quel che vuole

Non può quel che vuole

vorrà quel che può

Così fan tutte

Mozart-Da Ponte

Una compañía de discos estima que podrá vender siete mil álbumes de una nueva versión de "Così fan tutte" de Mozart-Da Ponte a $640 cada álbum. Por cada reducción de $20 en el precio por álbum, calcula que venderá 300 álbumes más. A la compañía cada álbum le cuesta $150 y sus costos fijos son de $200,000.

• Encuentra el número de álbumes que dará a la compañía la ganancia máxima.

• Encuentra el número de álbumes que dará a la compañía la ganancia máxima por cada peso invertido.

• Escribe un problema inspirado en éste, con un cuestionario detallado, y resuélvelo.

• ¡Queremos rock!

Por problemas con las autoridades delegacionales se tiene que cambiar el escenario de un concierto de rock. Se debe acondicionar en menos de 8 horas. Una empresa puede instalar los asientos en 12 horas y cobra $20,000, otra se tarda 18 horas y cobra $15,000 por hacer el mismo trabajo.

• ¿Se podrá realizar el concierto si se contrata a las dos empresas?

• ¿En qué términos se debe establecer el contrato para que los organizadores paguen lo menos posible?

• Retrato hablado 1

Bosqueja la gráfica de una función que tiene las características siguientes:

• Retrato hablado 2

Grafica una función que satisfaga todas las condiciones siguientes:

• Un presidente conservador

• Escribe un enunciado que sintetice el conjunto de afirmaciones que formulaste.

• Traza una gráfica que muestre cómo varía el número de desempleados con respecto al tiempo.

• Las relaciones peligrosas

• Hallar en el espejo la estatua asesinada…

Un espejo refleja el cincuenta por ciento de la luz que recibe y deja pasar el cincuenta por ciento restante (produce el mismo efecto por ambas caras). Se colocan n espejos ligeramente separados uno de otro. ¿Qué porcentaje de la luz que llega perpendicularmente al primero sale del último espejo?

• Dédalo y Calipso

En una ciudad chica hay dos misceláneas, «La gruta de Calipso» y «El laberinto de Dédalo» que compiten por 1000 clientes potenciales. Cada mes, el 80% de los clientes de Calipso queda satisfecho y regresa a comprar ahí mismo, mientras que el 20% restante prefiere irse con Dédalo. En cambio, de los clientes de Dédalo, sólo el 70% queda satisfecho, el otro 30% se va con Calipso. El número de clientes en cada miscelánea se estabiliza cuando el número de los que dejan de comprar en una miscelánea es igual a los que vienen a comprar de la otra, ¿cuántos clientes habrá en cada tienda en ese momento?

Resuelve el mismo problema suponiendo que al principio hay 500 clientes en cada tienda y observando cómo evoluciona la situación mes por mes. ¿Qué ocurre si se suponen otros datos iniciales, por ejemplo, 920 clientes en una miscelánea y 80 en la otra, etcétera?

• El hogareño Caronte

Caronte, en su barca, se encuentra a 2 km de distancia de un tramo recto de la costa. A lo largo de la costa, a 5 km del punto más próximo a Caronte, se encuentra su casa. Caronte puede remar a 3.6 km/ h y caminar a 6 km/h.

• ¿Cuál es el tiempo mínimo en que puede llegar a su casa?

• ¿En qué ángulo, con respecto a la perpendicular que va de su barca a la costa, debe dirigirse a la costa?

• Alas y Raíces

Atalanta ha encontrado un hermoso cuartito de azotea en una colonia tranquila y ha llegado a un acuerdo para adquirirlo por $209,000. Planea gastar $1,800 mensuales en vivienda, pero esta cifra es flexible. Tiene $54,000 disponibles para el enganche y puede obtener un préstamo hipotecario a una tasa anual de 9.875%.

Atalanta tiene interés en investigar la relación entre los pagos mensuales que hace, el plazo y el costo total del préstamo para tomar una decisión. ¿Cuál es tu recomendación?

• Farolito de papel: mucho humo y poca luz

Eres la estrella cinematográfica más popular del nuevo siglo. Se te han acercado tres compañías cinematográficas, cada una de las cuales te quiere contratar para que protagonices una de sus próximas películas. Las tres compañías planean rodar sus películas en mayo, por lo que tienes que escoger una de ellas. Las tres compañías te han asegurado que sus películas requerirán entre dos (14 días) y tres semanas (21 días) de filmación. Los tres papeles te gustan, por lo que quieres aceptar la oferta más lucrativa. Las compañías cinematográficas están experimentando con algunos contratos salariales poco usuales. Los contratos que te ofrecen son:

Urano: Un sueldo fijo de $100,000, por cada día de trabajo.

Orión: $10 por el primer día de trabajo y un salario que duplica el del día anterior, para cada uno de los días siguientes.

Cronos: Medio centavo por el primer día de trabajo y un salario que triplica el del día anterior, para cada uno de los días de filmación siguientes.

Cada compañía garantiza que se te pagarán entre 14 y 21 días de trabajo. ¿Qué oferta aceptarías? Justifica tu decisión.

• El joven ecologista

Vitrubio, el joven ecologista, debe atravesar un lago circular, que tiene un kilómetro de radio, para llegar a un punto diametralmente opuesto. Puede cruzarlo de varias formas: remando a 2 km/h o bordeándolo a pie a 4 km/h o una parte remando y otra parte caminando. De qué manera tendrá que cruzar el lago si su propósito es

• ver el máximo de paisaje.

• hacerlo de la forma más rápida.

• Acusmáticos, A.C.

• El granjero

• Sin segundas intenciones

Desde la calle se quiere apoyar una escalera en una pared vertical de un edificio muy alto. Entre el edificio y la calle hay una barda de 2.5 metros de altura paralela al edificio. La distancia entre la barda y el edificio es de 3 metros.

¿Cuánto debe medir, por lo menos, la escalera?

• El tigre en la casa

Algo sangra, el tigre está cerca

Eduardo Lizalde

La casa del tigre está a una distancia de la carretera que va de norte a sur y pasa por la ciudad sagrada. La ciudad sagrada y la casa del tigre están separadas por una distancia Cuando el tigre va de su casa a la ciudad sagrada, debe caminar hasta la carretera y allí tomar el microbús que lo lleva a la ciudad. Las velocidades constantes del tigre y el microbús son, respectivamente, ¿Qué dirección, con respecto a la perpendicular que une la casa del tigre con la carretera, debe tomar el tigre para llegar a la ciudad en el tiempo mínimo?

• Los recipientes

Tres recipientes, uno hemisférico, otro cilíndrico y un tercero cónico, están llenos de agua hasta el tope y sobre su tersa superficie flota una pelotita de ping pong. Comienzan a vaciarse por la parte inferior a razón de 3 litros por cada segundo. Los recipientes tienen un metro de radio de la base y un metro de altura.

• ¿Cuál es la altura de cada pelotita cinco minutos después?

• ¿Cuál es la velocidad de cada pelotita en ese mismo instante?

• ¿Cuánto tiempo tarará en vaciarse completamente cada recipiente?

• Las escaleras cruzadas

Dos escaleras, de 5.4 y 3.6 metros de largo, respectivamente, se apoyan en los lados opuestos de un pasillo que está entre dos edificios, con los pies de las escaleras en las bases de los edificios. Las escaleras se cruzan a una distancia de 0.9 metros por encima del pasillo. ¿Cuál es la anchura del pasillo?

• Por sus derivadas las conoceréis

• Crecimiento superficial

• En el tronco de un árbol

Un árbol aumenta 10 milímetros de diámetro y 50 centímetros de altura cada año. ¿Con qué rapidez cambia su volumen cuando su diámetro es de 80 centímetros y su altura de 12 metros? Puedes suponer que el tronco del árbol es un cilindro recto.

• El mirón

• Hay revoluciones que engendran… conos

Un triángulo rectángulo de 10 unidades de hipotenusa gira alrededor de uno de sus catetos y engendra un cono circular recto. ¿Cuáles son las dimensiones del cono de volumen máximo?

• Cónico y lacónico

De entre todos los conos que tienen un volumen dado, encuentra las dimensiones del cono de menor superficie total.

• El cono enconado

Se inscribe un cono circular recto dentro de otro cono circular recto, de radio de la base y altura dados, con el mismo eje y con el vértice del cono interior tocando la base del cono exterior. ¿Cuáles deben ser las dimensiones del cono inscrito para que su volumen sea el máximo posible?

• Costo por unidad por tiempo

Problemas con guía

• El cafetero

La cafetería de una fábrica tiene una máquina que vende bebidas. En un día típico:

• la máquina comienza medio llena

• no se venden bebidas antes de las 9:00 h ni después de las 17:00 h

• las bebidas se venden a ritmo lento durante el día, excepto en los descansos de la mañana y de la comida (de 10:30 a 11:00 y de 13:00 a 14:30 ) en que aumenta mucho el ritmo de venta

• la máquina se llena justo antes del descanso de la comida y tarda en llenarse de 12:45 a 13:00

Dibuja una gráfica que muestre cómo varía el número de bebidas que hay en la máquina desde las 8:30 hasta las 17:30.

• La enorme distancia

Cada mes, la compañía telefónica cobra una cuota fija de $256 además de las llamadas de larga distancia que se efectúan. El costo de la larga distancia nacional es de $2.50 por minuto si el tiempo de larga distancia es menor de 80 minutos y $1.80 por cada minuto si el tiempo de larga distancia es mayor de 80 minutos.

• Escribe la expresión algebraica que describe la cantidad que pagará una persona que tiene menos de 80 minutos de larga distancia al mes en función del tiempo de larga distancia que ocupa al mes.

• Escribe la expresión algebraica que describe la cantidad que pagará una persona que acumula más de 80 minutos de larga distancia al mes en función del tiempo de larga distancia que ocupa al mes.

• Traza la grafica de ambas expresiones en el mismo sistema de coordenadas.

• ¿Cuál es el número máximo de minutos de larga distancia que puede acumular una persona que tiene un presupuesto de 460 pesos mensuales para el pago del teléfono?

• ¿Cuál es el número máximo de minutos de larga distancia que puede acumular una persona que tiene un presupuesto de 415 pesos mensuales para el pago del teléfono?

• Una persona tuvo un tiempo de larga distancia de 79.9 minutos, ¿cuántos minutos más pudo haber tenido por el mismo dinero que pagó?

• ¿Qué intervalo de tiempo de llamadas de larga distancia no es conveniente para el usuario? ¿Qué recomendación darías a una persona usuaria de esta compañía de teléfono para pagar lo menos posible haciendo un número máximo de llamadas?

• ¿Cómo cambiaría tu recomendación si se modificara el costo por minuto de larga distancia después de los 80 minutos? Justifica tu respuesta. Proporciona ejemplos de mayor o menor costo por minuto o argumentos basados en deducciones matemáticas.

• ¿Cómo modificarías la regla para no tener las inconsistencias que encontraste en el sistema de cobro? ¿Qué recomendación darías a la compañía telefónica? Genera un algoritmo que la pueda orientar.

• Aplica el modelo PER (Propósito, Estrategia, Resultado) con respecto al aprendizaje que lograste en esta actividad.

• En las aras de la salud

Cuando se inyecta un medicamento en el tejido muscular, la sustancia se difunde en el torrente sanguíneo. La concentración del medicamento en la sangre aumenta hasta que alcanza un máximo y luego decrece. La concentración en miligramos por litro del medicamento en la sangre depende de la cantidad de medicamento inyectado, en miligramos, y del tiempo transcurrido desde el instante en que se aplicó la inyección, en horas:

• Ver para saber

¿Cuáles son los valores de a para los cuales el sistema de ecuaciones siguiente tiene 0, 1, 2, 3, 4, ó 5 soluciones?

• Traza las gráficas de las ecuaciones cuando a es 1, 3, 5, 7 y 9.

• Interpreta la pregunta en términos de las gráficas de las ecuaciones.

• Resuelve el problema e interpreta la solución en términos gráficos.

• Resuelve el problema e interpreta la solución en términos de las funciones que se pueden definir a partir de las ecuaciones.

• Inventa un problema similar pero que tenga a otras curvas como protagonistas.

• Aplica el Modelo PER (Propósito, Estrategia, Resultado) a esta actividad de aprendizaje.

• La gris acera 2

Una vez que obtuviste la relación que hay entre la posición del profesor y el tiempo transcurrido desde que se dejó caer queda sólo una pregunta sin respuesta ¿Con qué velocidad osculará la gris acera el desventurado mentor? Este abrasivo ósculo ocurre en un instante (¿cuánto dura un instante?), así que para calcular su velocidad (¿es constante su velocidad durante su descenso?, es decir, ¿desciende con la misma velocidad en cada instante de su recorrido? Explica con un argumento cuantitativo) en ese instante tendríamos que saber la distancia que recorre y el tiempo que transcurre. Vamos a llenar la tabla siguiente para explorar estas cuestiones:

Usa la gráfica que representa el tiempo, en segundos, en el eje horizontal y la posición del profesor, en metros, con respecto al suelo.

Da un tratamiento similar a cada uno de los instantes enteros del descenso del profesor e identifica el patrón que tiene la velocidad en cada instante. Encuentra la fórmula que relaciona la velocidad instantánea del profesor durante su descenso con el tiempo que ha transcurrido desde que comenzó a caer.

• Operaciones gráficas 1

Resume tus observaciones a los ejercicios anteriores en el siguiente cuadro:

• Operaciones gráficas 2

Multiplica gráficamente las rectas siguientes:

• Escribe un algoritmo que permita obtener la gráfica de un conjunto de factores lineales.

Identifica los factores lineales que dan como resultado la parábola siguiente:

• Escribe un algoritmo que permita identificar los factores lineales que dan como resultado la gráfica de un polinomio dado.

• Estimación de pendientes

• Composición de funciones

Completa la tabla siguiente:

Completa la tabla siguiente, usando la gráfica:

Encuentra las ecuaciones de las curvas y verifica los valores que escribiste en la tabla.

• Funciones compuestas y sus derivadas

La tabla siguiente corresponde a los valores de las funciones y y sus derivadas y Si dispones de una hoja de cálculo, por ejemplo Excel, es conveniente que la uses.

• Encuentra fórmulas para cada función, grafícala, y comprueba los valores que obtuviste.

• Aplica el modelo PER (Propósito, Estrategia, Resultado).

• Los pasillos

Dos pasillos hacen esquina en forma perpendicular. Uno tiene 2 m de ancho y el otro 1.5 m.

• ¿Puede pasar horizontalmente una jabalina de 5 m?

• ¿Cuál es la longitud máxima que puede tener una jabalina para pasar horizontalmente de un pasillo a otro?

• ¿Cuál es la longitud máxima que puede tener una jabalina para pasar horizontalmente de un pasillo de metros de ancho a otro de metros?

• La gula ratonil

Un ratón avanza y retrocede en un túnel, atraído por trocitos de queso Oaxaca que se meten y sacan alternadamente desde los extremos (derecho e izquierdo del estrecho túnel). La gráfica de la velocidad v del ratón aparece en la figura, la velocidad es positiva cuando se mueve hacia el extremo derecho del túnel y negativa hacia el izquierdo.

Si se supone que el ratón empieza en el centro del túnel, usa la gráfica para calcular los tiempos en los que:

• El ratón cambia de sentido.

• El ratón se mueve más rápidamente a la derecha (a la izquierda)

• El ratón se encuentra más alejado, a la derecha, del centro (más alejado a la izquierda).

• La rapidez del ratón es decreciente.

• El ratón está en el centro del túnel.

• Escribe una descripción del recorrido del ratón que se representa en la gráfica.

• Modelos

Escribe una ecuación que sea un modelo matemático de cada una de las situaciones que se describen.

• Describe, en cada caso, cuáles son las variables que intervienen.

• ¿Qué tipo de solución tienen estas ecuaciones?

• ¿Qué clase de preguntas se pueden plantear? Escribe algunos ejemplos.

• ¿Cómo se usan las soluciones para responder las preguntas?

• ¿Qué interpretación gráfica se le da a este tipo de problemas?

• Aplica el modelo PER (Propósito, Estrategia, Resultado).

• La razón áurea

1

Cuando los griegos se plantearon la pregunta ¿Cuál es la forma ideal, la más armoniosa, en el arte?, pensaron que la respuesta debían darla las matemáticas. Para responderla apropiadamente la transformaron en otra pregunta

• ¿Cuál deberá ser la razón de la base con respecto a la altura de un rectángulo, de tal forma que si se recorta un cuadrado del rectángulo original, el rectángulo restante tenga la misma forma que el rectángulo original?

Tú, como los griegos, seguramente podrás hallar la respuesta.

2

La forma ideal de un rectángulo en el arte es el rectángulo áureo inventado (¿o descubierto?) por los griegos. Si se recorta un cuadrado de un rectángulo áureo se obtiene un rectángulo menor que conserva la misma razón de largo a ancho que el rectángulo original. Por lo tanto esta razón de largo a ancho es

(Como seguramente ya averiguaste en la primera parte).

Ahora:

(1) Construye un rectángulo áureo. (Sugerencia: construye un segmento, cuya longitud sea la altura del rectángulo que vas a construir, y después construye otro segmento que esté en razón áurea con el primero, este último segmento será la base de tu rectángulo).

(2) Divídelo en un cuadrado, cuyo lado sea igual al ancho del rectángulo original, y en un rectángulo.

(3) Construye un arco de circunferencia con centro en un vértice del cuadrado adyacente al rectángulo.

(4) Prosigue subdividiendo este último rectángulo en un cuadrado y un rectángulo, y construye otro arco de circunferencia en el cuadrado que continúe el primer arco.

(5) Repite esta operación tres veces más.

• Calcula la longitud del primer arco de circunferencia.

• Calcula la longitud de la curva formada por los cinco arcos de circunferencia.

• Si se continúa repitiendo la construcción calcula la longitud de la curva formada por los k arcos de circunferencia.

• Koch y sus curvas inverosímiles

Si comienzas con un triángulo equilátero, ¿cuáles son su perímetro y su área después de la etapa n?, ¿qué ocurre cuando n se hace infinito?

• El crimen es cobarde

El cadáver de la víctima de un crimen se encuentra al mediodía en un cuarto que tiene una temperatura constante de 20° Celsius. Al mediodía la temperatura del cuerpo es 35° C; dos horas después, la temperatura del cuerpo es 33° C. En el momento del crimen, la víctima tenía la temperatura normal de un cuerpo vivo, es decir 37° C. ¿Cuándo ocurrió el crimen?

• Operaciones gráficas 3