Estudio de los métodos numéricos (página 4)

Grafica las siguientes funciones utilizando la misma técnica: encuentra la función base y realiza operaciones con gráficas. Determina su dominio y su rango.

• El cálculo de p según Arquímedes

Para calcular el área, de una figura de contornos rectilíneos, basta dividirla por medio de segmentos de recta, en figuras cuyas áreas se puedan calcular fácilmente, como triángulos o cuadrados. Pero si la figura tiene contornos no rectilíneos, ya no es tan sencillo el cálculo de su área. Entre los griegos, el cálculo del área de una figura se llamaba cuadratura y consistía en encontrar, sólo con regla y compás, el lado de un cuadrado cuya área fuera exactamente la misma que la de la figura en cuestión.

Los tres problemas clásicos de la matemática griega fueron la cuadratura del círculo, la duplicación del cubo y la trisección del ángulo. Más de dos mil años habrían de transcurrir antes de que se demostrara que los tres problemas eran insolubles en la forma en que fueron planteados, es decir, usando sólo regla y compás. Pero, a pesar de lo que podría parecer un final triste para tanto trabajo y dedicación, mucho del mejor pensamiento matemático posterior tuvo su origen en estos esfuerzos por lograr lo imposible.

Hipócrates de Quíos, Eudoxo de Cnido y Arquímedes el siracusano, entre muchos otros geómetras griegos trataron de cuadrar el círculo. Ninguno de ellos vio coronados sus esfuerzos.

Ya hemos tratado, en el curso de Geometría y Trigonometría, la cuadratura de las lúnulas que logró Hipócrates en su intento de cuadrar el círculo. A Eudoxo se le atribuye la primera demostración satisfactoria de que el volumen del cono es la tercera parte del volumen del cilindro que tiene la misma base y la misma altura, mediante su método de exhaución, que establece la igualdad de dos números, probando que su diferencia es menor que cualquier cantidad dada, por pequeña que sea. Ya los matemáticos anteriores habían sugerido que el área del círculo se podría llegar a agotar inscribiendo en el círculo un polígono y aumentando indefinidamente el número de sus lados.

Arquímedes de Siracusa, que logró cuadrar un segmento parabólico, usó estas ideas para realizar el cálculo aproximado del área del círculo, a partir del cual podemos obtener la razón de una circunferencia y su diámetro. Su punto de partida fueron los hexágonos regulares, uno inscrito en y otro circunscrito a la circunferencia. Después calculó las áreas de los polígonos que obtuvo al duplicar sucesivamente el número de lados hasta llegar a los polígonos regulares, inscrito y circunscrito, de 96 lados. El resultado que logró corresponde a una aproximación de p mejor que la de los babilonios o de los egipcios.

Como puedes observar, las áreas de los polígonos inscrito y circunscrito son cada vez más próximas al área del círculo, pero el área de los polígonos inscritos, aunque aumenta siempre, no puede ser mayor que el área del círculo y el área de los polígonos circunscritos, aunque disminuye siempre, no puede llegar a ser menor que el área del círculo, porque el área del círculo es el límite de ambas. Calcula el valor aproximado de p que obtuvo Arquímedes aplicando sus ideas.

Traza una circunferencia de radio unitario.

• Inscribe y circunscribe un hexágono a la circunferencia y calcula sus áreas.

• Inscribe y circunscribe un dodecágono a la circunferencia, relaciona sus dimensiones con las del hexágono y calcula sus áreas.

• Establece las fórmulas de las áreas de los polígonos sucesivos, a partir de los anteriores.

• Escribe la aproximación de Arquímedes en forma de desigualdad y compárala con el valor de p que da tu calculadora.

¿Cuántos lados deben tener los polígonos para que la diferencia entre sus áreas sea menor de

• una centésima?

• una milésima?

• una diezmilésima?

• una millonésima?

• Escribe tus conclusiones sobre el significado e importancia de p.

• Escribe otras aplicaciones que se le puedan dar al método que usaste.

• Inventa un problema inspirado en la actividad.

• Aplica el modelo PER (Propósito, Estrategia, Resultado)

• Incrementos, derivadas y diferenciales

El radio de un globo esférico pasa de 1 m a 1.1 m. Calcula

• El incremento exacto en el volumen.

• La derivada del volumen con respecto al radio cuando el radio es 1 m.

• El valor de la diferencial del volumen cuando el radio es 1 m y el incremento 0.1 m.

• El error que se comete cuándo se estima el incremento usando la diferencial.

• ¿Cómo se relacionan el incremento, la derivada y la diferencial en esta situación?

• Explica la relación usando una gráfica.

• Aplica el modelo PER (Propósito, Estrategia, Resultado).

• Razones y sinrazones relacionadas

• Traza la gráfica de la posición de la nave en los primeros 20 segundos.

• Calcula la velocidad de la nave cuando han transcurrido 5, 10, 15 y 20 segundos.

• Traza las gráficas de la velocidad y la aceleración.

• Encuentra una función que describa el ángulo de elevación desde la posición del observador.

• Calcula la razón de cambio del ángulo de elevación de la nave desde la posición del observador con respecto al tiempo cuando han transcurrido 5, 10, 15 y 20 segundos.

• Aplica el modelo PER (Propósito, Estrategia, Resultado).

• Simetrías y asimetrías

• Epidemias

Proyectos

• Pregunta y responde

Este proyecto es una actividad que combina la formulación de preguntas, la resolución de problemas y la toma de decisiones, se trata de que hagas algo lo suficientemente complicado como para considerarlo un análisis de datos, en donde formules las preguntas que vas a responder y el método de análisis que vas a utilizar. Debe proporcionar evidencias acerca de tus procesos de razonamientos, matemático y estadístico, y de tu capacidad para construir e interpretar argumentos bien estructurados y contribuir a que comprendas, y enfrentes, algunas características de los datos reales, como la incertidumbre y la variabilidad de la información disponible sobre el mundo que te rodea, preparándote para que participes efectivamente en una sociedad saturada de información, que te exige constantemente demostrar que eres capaz de producir y comunicar descripciones, juicios, inferencias y opiniones razonados acerca de conjuntos muy diversos de datos.

En este proyecto puedes formular dos tipos de preguntas: si los datos van a ser generados por el equipo las preguntas pueden ser sobre cualquier tema, pero si van a usar datos generados por otras personas las preguntas tendrán que estar relacionadas con la educación. Una forma de asegurar que el proyecto trata de cuestiones de interés general, consiste en hacer un sondeo informal sobre los "grandes problemas" del individuo, de la escuela, de la ciudad, del país, del mundo, del universo. Sin embargo, el tema del proyecto queda sujeto a la decisión del equipo y a la aprobación del profesor.

El informe deberá incluir las secciones:

• Introducción.

• Formulación de las preguntas alrededor de un problema significativo, con una justificación de por qué es significativo para el equipo.

• Elaboración de un plan.

• Instrumentación del plan.

• Respuestas a las preguntas.

• Evaluación de las respuestas y sugerencias para resolver el problema vinculado a las preguntas.

• Conclusiones y nuevas preguntas

• Cuestionario de Autoevaluación del Modelo PER.

En la evaluación de tu reporte de las actividades se considerarán los aspectos siguientes:

• Uso apropiado del lenguaje y los símbolos matemáticos.

• Construcción y presentación apropiadas de tablas y gráficas.

• Corrección de los cálculos.

• Elección y uso adecuados de tablas, gráficas y sumarios estadísticos cuando se recurre a fuentes de datos contenidas en otros estudios.

• Descripciones razonadas e interpretaciones bien fundamentadas de los datos.

• Obtención de conclusiones adecuadas mediante argumentos explícitos.

Algunos aspectos que conviene tener en cuenta:

En los Benchmarks for Science Literacy (1993) se describen algunos tipos específicos de razonamientos, matemático y estadístico, que conviene tener presentes cuando se realiza un proyecto:

Razonamiento acerca de los datos: reconocer o categorizar los datos como cuantitativos o cualitativos, discretos o continuos y saber cómo el tipo de datos conduce a un tipo particular de tabla, gráfica o medida.

Razonamiento acerca de las representaciones de los datos: comprender la forma en que un diagrama representa los datos, comprender cómo leer e interpretar una gráfica y saber cómo modificar una gráfica para mejor representar un conjunto de datos, ser capaces de ver más allá de los aspectos visibles para establecer relaciones entre las características pertinentes a las preguntas que se tienen que responder.

Razonamiento acerca de las medidas estadísticas: comprender qué dicen las medidas de centro, dispersión y posición acerca de un conjunto de datos, saber cuál es mejor usar en condiciones diferentes y cómo representan o no representan un conjunto de datos, saber que usar los sumarios para las predicciones será más preciso para muestras grandes que para muestras pequeñas, saber que un buen sumario de los datos incluye tanto una medida de centro como una de dispersión y que los sumarios de centro y dispersión pueden ser útiles para comparar conjuntos de datos.

Modelación: En el diseño del proyecto hay que considerar una situación como un sistema con un conjunto de elementos (por ejemplo, personas, máquinas), con ciertas propiedades, que interactúan entre sí; es decir, que están sujetas a un conjunto de relaciones que las vinculan. El estudio del sistema puede permitir rediseñarlo adecuadamente, controlarlo, sacarle máximo provecho, disminuir riesgos, etc. Así, las respuestas a las preguntas que se formulen tendrán consecuencias en cuanto a permitir tomar mejor una decisión, controlar algún aspecto o predecir el curso de alguna característica. Y se requerirá de un modelo matemático explícito -con las inevitables simplificaciones que toman en cuenta, entre otros factores, nuestro interés, el conocimiento existente acerca del sistema, la posibilidad de obtención de datos y la necesidad de obtener resultados en un tiempo razonable.

• La ciencia para todos

Escoge un libro de la colección "La ciencia para todos" y participa en el concurso con el tipo de trabajo que corresponda según tu edad. Si el libro que escogiste no es de matemáticas, entonces, además del texto que entregues para concursar, redacta un informe en el que destaques el uso que se hizo de las matemáticas en el libro.

Los libros de matemáticas publicados son:

75. La cara oculta de las esferas de Luis Montejano Peimbert

77. ¿En qué espacio vivimos? de Javier Bracho

163. Las matemáticas, perejil de todas las salsas de Ricardo Berlanga, Carlos Bosch y Juan José Rivaud

166. Álgebra en todas partes de José Antonio de la Peña

167. Entre el orden y el caos: La complejidad de Moisés Sametbant

168. La caprichosa forma de Globión de Alejandro Illanes Mejía

177. Máthema: El arte del conocimiento de Fausto Ongay

Pero puedes consultar una lista actualizada de la colección en www.fondodeculturaeconomica.com

• La Matemática, ¿se descubre o se inventa? (Filosofía y Matemática)

Lee los diálogos Menón y Taeteto de Platón y extrae las partes que tratan explícitamente de cuestiones matemáticas.

Reelabora las partes e incluye las secciones que juzgues necesarias para la comprensión del fragmento y de los problemas matemáticos y filosóficos que plantea.

Tu trabajo deberá incluir:

Un documento, impreso y en archivo-e, que comprende:

• El objetivo de la actividad.

• El plan de instrumentación.

• El guión de una representación dialogada..

• El guión de la discusión posterior a la representación.

• Las conclusiones.

• Un video de la sesión en que se realizó la representación.

• El que no conoce a Dios, dondequiera se anda hincando

Escoge un artículo en un periódico, o revista, reciente que te interese particularmente y que reporte los resultados de algún tipo de estudio de investigación o que informe de alguna decisión tomada a partir de un estudio. Asegúrate de que el artículo que escogiste proporcione suficiente información para que puedas responder las preguntas siguientes (que deberás usar como encabezados de las secciones de tu reporte) o investiga en las fuentes que cita. Incluye una copia del artículo.

Evaluación crítica:

• ¿Cuál es el propósito del estudio de investigación que se describe en el artículo?

• ¿Qué métodos se utilizaron para responder la pregunta de investigación?

• ¿Qué preguntas le formularías a los investigadores para entender mejor el estudio?

• ¿Hay algún aspecto del estudio que podría hacer que cuestionaras las conclusiones que se presentan en el artículo?

Por ejemplo, a partir de la nota periodística siguiente, se puede plantear la pregunta ¿cuál fue el argumento que sirvió a Profeco para sancionar a las compañías? Y recurrir a otras fuentes que permitan entender el argumento que utilizó la Profeco para sancionar a los productores.

Cualquier noticia, de cualquier medio, puede servir como punto de partida pero hay algunas publicaciones que dedican alguna sección a los resultados de la investigación.

(La nota se consultó en la siguiente dirección:

http://www.reforma.com/nacional/articulo/008789/ )

Sanciona PROFECO productos fraudulentos

La Procuraduría señaló que entre los productos se encuentra el famoso jabón reductor 'Siluet 40', la solución para las varices 'Goicochea', y el enjuague supuestamente para dejar de fumar 'Quit'

Por ANGÉLICA CHÁVEZ/ Reforma/México

Cd de México.-El Procurador Federal del Consumidor, Eduardo Almeida, anunció este miércoles que varios productos comercializados por la empresa QBC de México, que se especializa en servicios de "telemercadeo", han sido retirados del mercado o bien se ha solicitado que su publicidad sea modificada, tras comprobarles que no producen los resultados que prometen.

Entre los productos retirados se encuentran dos de los jabones supuestamente reductores "Siluet 40", la supuesta solución para várices "Goicoechea", el enjuague supuestamente para dejar de fumar "Quit", la goma de mascar "Sexgum", supuestamente afrodisíaca y audiocasetes y discos motivacionales que se anunciaban como "subliminales".

Almeida informó que la empresa ya modificó los anuncios comerciales de los siguientes productos: faja térmica "Saunatronic 2000", regenerador capilar "Cre-C"; y ligas ejercitadoras "Flash 9".

Los comerciales que deberán ser modificados en las próximas semanas son las cápsulas de gel supuestamente contra la celulitis, "Cel-U-tin", y la barra "Fataché", que supuestamente sirve para bajar de peso.

La empresa QBC de México ha recibido hasta la fecha 17 multas por un total de $128 mil pesos, debido a la publicidad engañosa de estos productos.

(Para investigar más sobre la nota se puede consultar la dirección de Internet:

http://www.profeco.gob.mx/ )

• El Modelo Logístico de Verhulst

Investiga las características del Modelo Logístico de Verhulst y plantea una situación que satisfaga las condiciones del modelo, aplícalo y usa una hoja de cálculo-e para estudiar su desarrollo. En "Cambio" de Ian Stewart, incluida en el capítulo de Lecturas puedes encontrar algunas ideas útiles para desarrollar este proyecto.

• Enseña y aprende (Proyecto Descartes)

Escoge un problema que te haya resultado particularmente provechoso desde el punto de vista del aprendizaje logrado y conviértelo en una actividad del Proyecto Descartes. Puedes consultar en el sitio del Proyecto el tutorial para aprender a programar la escena Descartes (http://descartes.cnice.mecd.es/ ). El problema puede ser de este curso o de alguno de los anteriores.

• La cultura matemática

Escoge un tema que te interese relacionado con las matemáticas, que puede ir desde "la demostración en matemáticas", la invención en matemáticas", "las matemáticas, ¿se inventan o se descubren?", "¿cómo se aprenden las matemáticas?" hasta el estudio de algún problema matemático, resuelto o no. Incluimos una nota periodística del 25 de mayo de 2000 que informa sobre un reto que te puede interesar.

(Se consultó en la siguiente dirección de Internet:

http://www.reforma.com/ciencia/nota/20000525/004410.htm )

Hágase millonario con las matemáticas

Instauran un premio para motivar a nuevas generaciones de matemáticos

AP/Francia

Si la idea de sacar raíces cuadradas y resolver problemas algebraicos nunca le hizo muy feliz, considere esta posibilidad: varios de los principales matemáticos del mundo ofrecen 7 millones de dólares a quienes encuentren la solución de algunas de las ecuaciones más difíciles que plantea esa disciplina.

Tras buscar en vano durante años la solución de siete problemas matemáticos de primera fila, una fundación norteamericana presentó las ecuaciones al resto del mundo, en un reto llamado "Los problemas del millón de dólares''.

Los matemáticos afirman que la eventual solución de tales problemas podría dar como resultado avances insólitos en las aplicaciones de la criptografía y la ciencia aeroespacial, y abriría campos matemáticos no imaginados siquiera hoy día.

El Instituto Clay de Matemáticas, que incluye a los matemáticos más preclaros del mundo, anunció el reto durante su reunión anual en París al mismo tiempo que lo anunciaba en su página cibernética.

"Los siete problemas matemáticos descuellan como los grandes problemas no resueltos del siglo XX'', dijo Andrew Wiles, profesor de matemáticas de Princeton famoso por haber resuelto el llamado "último teorema de Fermat'' en 1995.

"Confiamos en que, con la proclamación de los premios, incitaremos e inspiraremos a las futuras generaciones de matemáticos'', dijo Wiles, de 45 años.

El grupo ha puesto un precio de un millón de dólares a cada uno de los problemas.

Pocos científicos confían, empero, que surjan pronto ganadores. "No hay límite de tiempo'', dijo Arthur Jaffe, un profesor de matemáticas de Harvard que es presidente del instituto Clay. El profesor declaró que lo más pronto que podrían conocerse los ganadores sería dentro de cuatro años.

Según las reglas del concurso, las soluciones deben publicarse en una revista especializada en matemáticas y esperar durante dos años la reacción de la comunidad matemática. Una vez lograda esta aceptación, el instituto Clay comenzará su propio proceso de revisión para decidir si otorga el premio.

Pero los matemáticos observaron que unas pocas décadas, o incluso un siglo no es demasiado cuando se trata de resolver los problemas más difíciles que ofrece hoy día la ciencia de los números.

Los siete enigmas que forman parte del reto del Instituto Clay son el problema de P versus NP, la Conjetura de Hodge, la Conjetura de Poincaré, la Hipótesis de Riemann, la Brecha de existencia y masa de Yang-Mills, el Problema de existencia y suavidad de Navier-Stokes, y la Conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer.

• Mi detector infalible

Tú estás diseñando un sistema de seguridad para un hospital. El hospital guarda su provisión de medicinas en un almacén cuya entrada se localiza a la mitad de un pasillo de 12 metros de largo. La entrada es una puerta de 0.9 metros de ancho. El hospital quiere vigilar todo el pasillo y la puerta del almacén. Debes decidir cómo programar un detector que lo haga. El detector se desliza en un carril y lanza un haz de luz dirigido a la pared opuesta. El haz alcanza desde el piso hasta el techo.

Parte 1.

Parte 2.

Ejercicios

Introducción

En matemáticas es usual que se hable de ejercicio y problema y de que en muchos momentos se tomen como sinónimos. En este Libro son cosas diferentes. En otra parte se trató lo relativo a problema, aquí comentamos la idea que en este Libro utilizamos para ejercicio.

Una característica del ejercicio es que con él se pretende que adquieras soltura en el manejo de ciertos procedimientos, o en el tratamiento de ciertas situaciones, que son útiles cuando te enfrentas a problemas.

Cuando te enfrentas a un ejercicio ya sabes lo que tienes qué hacer y, simplemente, hay que hacerlo. Puede tratarse, por ejemplo, de un algoritmo, como la aplicación de la fórmula general para resolver una ecuación de segundo grado. Si ya dominas la aplicación de este algoritmo, cada vez que te encuentres una ecuación que tú reconoces como de segundo grado, no importa cuán complicada sea, ya sabes que puedes resolverla y lo harás. En cambio, si tienes dificultades para aplicar la fórmula general, cada vez que necesites resolver una ecuación de segundo grado tendrás un problema. También puede ser algo más laborioso, como encontrar los extremos relativos o absolutos de una función dada. O bien puede tratarse de modelos que sirven para describir y predecir fenómenos como el movimiento de un objeto o la propagación de una epidemia.

Cuando se te pide hacer un ejercicio, es porque cuentas con la información necesaria para ello. Usualmente consiste en una explicación de los pasos que tienes que seguir y estos son ejemplificados con un ejercicio resuelto, en el que se explican los pasos que se siguen. Esta explicación se puede realizar en el salón de clases (en este caso no sólo debes anotar lo que se te presenta en el pizarrón o algún otro medio, sino tomar las notas adicionales necesarias para que no se te olviden detalles) o puede estar escrita en un libro. No debes preocuparte sólo por reconocer los pasos que tienes que seguir para resolver el ejercicio, sino también busca entender el porqué de estos pasos. De esta forma estás en condiciones de darte cuenta si puedes aplicar algunos de los pasos del ejercicio en una situación parecida al ejercicio que ya sabes resolver.

Hay algo más. Dominas por completo un ejercicio cuando eres capaz de resolverlo sin consultar tus apuntes o la información que tienes del mismo. Por ejemplo, sabes resolver una ecuación de segundo grado por la fórmula general cuando, sin necesidad de consultar en tus apuntes, aplicas la fórmula general. Desde luego, para esto es necesario que tengas aprendida la fórmula de memoria. Pero la memorización se logra al aplicar varias veces la fórmula en ecuaciones de segundo grado.

En cambio, dominas a secas un ejercicio cuando puedes resolverlo consultando parte de la información de la que dispones (usualmente algunas fórmulas).

Si necesitas preguntar algo a un compañero o un profesor para resolver un ejercicio, entonces todavía no dominas el ejercicio y te hace falta más práctica.

Lo ideal es que domines por completo los ejercicios; de esta manera dispondrás de más tiempo para dedicarte a trabajar en los aspectos nuevos o desconocidos del problema al que te enfrentes.

En este Libro se te señalan ejercicios para que los trabajes y en dónde puedes obtener la información que necesitas. En algunos casos los ejercicios señalados son suficientes para que llegues a dominarlos, pero en otros no y tú debes buscar o crear otros ejercicios para que sigas practicando. Hacerlo es parte de tu responsabilidad como estudiante.

Por cierto, tú mismo eres capaz de crear ejercicios cuando resuelves un problema y luego detallas los pasos que deben seguirse para resolver la situación del problema. Es decir, cuando elaboras una información similar a la que tú consultaste para resolver los ejercicios propuestos.

Aquí hay algo más sobre las características de un ejercicio:

¿Qué es un ejercicio?

Un ejercicio está fuertemente relacionado con un algoritmo o rutina, no necesariamente sencillos. Los más complejos pueden requerir la combinación de varios procedimientos con destrezas específicas. En un ejercicio puede requerirse una articulación de registros de representación, pero esta articulación suele estar ya incluida en el algoritmo, en la rutina o en el esquema. La administración de los conocimientos y procedimientos no es compleja, se reduce a organizar las llamadas a una serie de procedimientos ya hechos, generalmente hace poco tiempo. No busca una reconceptualización de los conocimientos sino la frecuentación de una vía ya abierta, la adquisición de una destreza. Su esquema metafórico es la suma no la integración. Puede ser laborioso, raramente difícil.

Tareas del libro-e Descartes

Realiza las siguientes actividades del Proyecto Descartes:

Unidad 1

Funciones y Límites

Funciones. Expresión gráfica y verbal

http://descartes.cnice.mecd.es/3_eso/Interpretacion_graficas/Indice_graficas.htm

El lenguaje de las funciones

http://descartes.cnice.mecd.es/4a_eso/El_lenguaje_de_las_funciones/index.htm

Funciones. Formas de expresar una función

http://descartes.cnice.mecd.es/Bach_HCS_1/Funciones_formas_de_expresar/index.htm

Traslación y dilatación de funciones

http://descartes.cnice.mecd.es/4b_eso/Traslacion_dilatacion_funciones/index.htm

Tipos de funciones. Operaciones con funciones

http://descartes.cnice.mecd.es/Bach_HCS_1/Tipos_de_funciones_operaciones_con_funciones/index.htm

Estudio gráfico de características globales de una función

http://descartes.cnice.mecd.es/4b_eso/Estudio_grafico_caracterisiticas_globales_funcion/index.htm

Familia de funciones. Tipos y operaciones

http://descartes.cnice.mecd.es/Bach_CNST_1/Familia_de_funciones_tipos_operaciones/index.htm

Límite en un punto. Continuidad

http://descartes.cnice.mecd.es/Bach_HCS_1/Limite_en_un_punto_continuidad/Indice_limite_punto_continuidad.htm

Límites y continuidad de funciones

http://descartes.cnice.mecd.es/Bach_CNST_1/Limite_en_un_punto_continuidad/Indice_limite_punto_continuidad.htm

Continuidad. Clasificación de discontinuidades

http://descartes.cnice.mecd.es/Bach_HCS_2/Continuidad_clasificacion_discontinuidades/index.htm

Límites de funciones

http://descartes.cnice.mecd.es/Bach_CNST_2/Limites_de_funciones/index.htm

Propiedades de los límites

http://descartes.cnice.mecd.es/Bach_CNST_2/Propiedades_de_los_limites/index.htm

Unidad 2

La derivada y sus interpretaciones

Tasa de variación media

http://descartes.cnice.mecd.es/4b_eso/Tasa_variacion_media/index_TVM.htm

Estudio del crecimiento de una función

http://descartes.cnice.mecd.es/Bach_HCS_1/Estudio_crecimiento_funcion/index3.htm

Interpretación geométrica de la derivada

http://descartes.cnice.mecd.es/Bach_CNST_2/Interpretacion_geometrica_derivada/index.htm

Función derivada

http://descartes.cnice.mecd.es/Bach_HCS_1/Funcion_derivada/derivada_indice.htm

Derivadas laterales

http://descartes.cnice.mecd.es/Bach_CNST_1/Derivadas_y_derivadas_laterales/indice.htm

Teoremas de Bolzano y de Weierstrass

http://descartes.cnice.mecd.es/Bach_CNST_2/Teoremas_bolzano_weierstrass/continuas_indice.htm

Teoremas fundamentales del cálculo diferencial

http://descartes.cnice.mecd.es/Bach_CNST_2/teoremas_fundamentales/derivables_indice3.htm

Teoremas de Rolle, Lagrange y Cauchy

http://descartes.cnice.mecd.es/Analisis/Teoremas_rolle_lagrange_cauchy/Teoremas_de_rolle_lagrange_cauchy.htm

Unidad 3

Derivadas de funciones algebraicas

Funciones polinómicas (3D)

http://descartes.cnice.mecd.es/4b_eso/Funciones_polinomicas_d3/inicio.htm

Simetría de funciones polinómicas (3D)

http://descartes.cnice.mecd.es/4b_eso/Simetrias_funciones_polinomicas_d3/inicio.htm

Asíntotas

http://descartes.cnice.mecd.es/Bach_CNST_1/Asintotas/index.htm

Límites, continuidad y derivabilidad de funciones definidas a trozos

http://descartes.cnice.mecd.es/Analisis/Limite_continuidad_y_derivabilidad/index.htm

Asíntotas. Horizontales, verticales y oblicuas

http://descartes.cnice.mecd.es/Analisis/Asintotas_horizontales_verticales_oblicuas/Asintotas_horizontales.htm

Procedimiento para analizar una función

http://descartes.cnice.mecd.es/Bach_CNST_2/Procedimiento_analizar_funcion/2bcnst_14_indice.htm

Funciones elementales

http://descartes.cnice.mecd.es/Analisis/Funciones_elementales/Funciones_elementales.htm

Unidad 4

Aplicaciones de la derivada

Derivadas. Aplicaciones. Optimización

http://descartes.cnice.mecd.es/Bach_CNST_1/Derivadas_aplicaciones_optimizacion/index.htm

Aplicaciones de las derivadas

http://descartes.cnice.mecd.es/Bach_CNST_2/aplicaciones_derivada/index_aplicaciones_derivada.htm

Puntos característicos, críticos y singulares

http://descartes.cnice.mecd.es/Bach_CNST_2/Puntos_caracteristicos_criticos_singulares/2bcnst_13_indice.htm

Problemas de optimización (3D)

http://descartes.cnice.mecd.es/Bach_CNST_2/Optimizacion/index.htm

Optimización de funciones

http://descartes.cnice.mecd.es/Analisis/Optimizacion_de_funciones/optimizacion.htm

Problemas de máximos

http://descartes.cnice.mecd.es/Analisis/Problemas_de_maximos/unidad_didactica/Problemas_de_maximos.htm

Análisis

http://descartes.cnice.mecd.es/miscelanea_analisis.php

Unidad 5

Funciones exponenciales

Función exponencial

http://descartes.cnice.mecd.es/Bach_HCS_1/Funcion_exponencial/Indice_funcion_exponencial.htm

La razón áurea

http://descartes.cnice.mecd.es/taller_de_matematicas/razon_aurea/index.htm

Funciones exponencial y logarítmica

http://descartes.cnice.mecd.es/Analisis/Funciones_exponencial_logaritmica/Indice_expolog.htm

Logística y exponencial

http://descartes.cnice.mecd.es/matematicas_aplicadas/Logistica_y_exponencial/logistica.htm

Unidad 6

Funciones circulares

Resolución de triángulos

http://descartes.cnice.mecd.es/Geometria/Resolucion_triangulos/Resolucion_de_triangulos.htm

Trigonometría

http://descartes.cnice.mecd.es/Geometria/Trigonometria/trigonometria1.htm

Razones trigonométricas. Operaciones. Identidades y ecuaciones

http://descartes.cnice.mecd.es/Bach_CNST_1/razones_trigonometricas/indicetri2.htm

Funciones trigonométricas

http://descartes.cnice.mecd.es/Bach_CNST_1/Funciones_trigonometricas/Las_funciones_trigonometricas.htm

Representación gráfica de funciones

http://descartes.cnice.mecd.es/Analisis/Representacion_funciones/LPC1_Final.htm

Unidad 7

Diferenciales y cálculos aproximados

Historia de las matemáticas

http://descartes.cnice.mecd.es/taller_de_matematicas/Historia/historia%20_indice.html

Infinitésimos y diferencial de una función

http://descartes.cnice.mecd.es/Analisis/diferencial_infinitesimos/index.htm

Resolución numérica de ecuaciones

http://descartes.cnice.mecd.es/Analisis/resolucion_numerica_de_ecuaciones/indice.htm

Desarrollo en serie de Taylor

http://descartes.cnice.mecd.es/Analisis/Desarrollo_serie_taylor/Desarrollo_en_serie_de_taylor.htm

Unidad 8

Funciones inversas: derivadas del logaritmo y las funciones circulares inversas

Función logarítmica

http://descartes.cnice.mecd.es/Bach_HCS_1/Funcion_logaritmica/Indice_funcion_log.htm

Funciones trigonométricas e inversas (3D)

http://descartes.cnice.mecd.es/Bach_CNST_1/functrigoneinversas5_d3/index.htm

Funciones inversas

http://descartes.cnice.mecd.es/Bach_CNST_2/Funciones_inversas/Indice_funciones_inversas.htm

Funciones en la Ciencia

http://descartes.cnice.mecd.es/matematicas_aplicadas/Funciones_en_la_Ciencia/index.htm

Unidad 1

• Si sabemos que una varilla de 50 centímetros pesa 40 gramos y suponemos que el peso de una varilla se distribuye igual a lo largo de toda ella.

• Completa la tabla que se presenta a continuación.

• Representa los puntos en una gráfica de largo contra peso.

• ¿Cómo es la gráfica de esta función?

• Grafica las funciones siguientes en los dominios indicados para cada caso.

• ¿Para qué valores de x (dominio) se puede graficar la función

¿Por qué?

• Grafica las funciones siguientes en los dominios indicados para cada caso.

• ¿Cuál es el valor de la función

• ¿Cuál es el valor de la función

• ¿Para qué valores de x (dominio) se puede graficar la función

¿Por qué?

• ¿Para qué valores de x (dominio) se puede graficar la función

¿Por qué?

• ¿Cuál es el valor de la función

• Grafica las funciones siguientes en los dominios indicados para cada caso.

Unidad 2

Unidad 3

• Dada la función p(t):

• Traza la gráfica de p"(t).

• Traza la gráfica de p""(t)

• Considera la función:

b) Encuentra los puntos del intervalo cuya existencia garantiza el teorema del valor medio.

• Calcula la razón de cambio exacta del área A de un cuadrado con respecto a su lado Interpreta geométricamente el resultado que obtuviste e ilústralo con un ejemplo.

• Calcula la razón de cambio exacta del área A de un círculo con respecto a su radio Interpreta geométricamente el resultado que obtuviste e ilústralo con un ejemplo.

• Calcula la razón de cambio exacta del área A de un círculo de radio con respecto al perímetro. Interpreta geométricamente el resultado que obtuviste e ilústralo con un ejemplo.

• Calcula la razón de cambio exacta del volumen V de una esfera con respecto a su radio Interpreta geométricamente el resultado que obtuviste e ilústralo con un ejemplo.

• Expresa simbólicamente los enunciados siguientes:

• La razón de cambio instantánea de y con respecto a x es n veces y.

• La razón de cambio instantánea de y con respecto a x es proporcional a x.

• La razón de cambio instantánea de y con respecto a x es proporcional al cuadrado de x.

• La razón de cambio exacta del área de un círculo y con respecto a su radio x es proporcional al radio.

• Demuestra que las funciones

tienen la misma función derivada. Interpreta geométricamente este resultado. Formula una conjetura análoga sobre los polinomios en general y demuéstrala. Interpreta geométricamente este nuevo resultado.

• La temperatura en grados en un punto que está metros sobre el nivel del mar es

Calcula la razón de cambio de la temperatura con respecto a la altura:

• En el nivel del mar.

• 30 metros sobre el nivel del mar.

• 300 metros sobre el nivel del mar.

• ¿Cómo interpretas el signo negativo de estas razones de cambio?

• De una función f se sabe que la grafica de su función derivada, f ", es:

• Determina de forma razonada los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f.

• Di cuáles son los puntos críticos de f y determina de forma razonada si en cada uno de ellos la función f alcanza un máximo o un mínimo relativo.

• El costo total de producción de cierto artículo depende del número de artículos x.

• En una reacción química se combinan dos estancias distintas para formar una tercera sustancia.

La cantidad, y gramos, que se forma de la tercera sustancia después de x minutos es

Calcula, e interpreta, la razón, en gramos por cada minuto, a la que se forma la tercera sustancia después de:

• 2 minutos.

• 3 minutos.

• 4 minutos.

Unidad 4

• ¿Qué condiciones son suficientes para asegurar que

• Según la información que proporciona la gráfica de la función derivada de y = f(x), haz un análisis de la función y = f(x), es decir, establece los intervalos en donde y = f(x) es creciente, decreciente, cóncava hacia arriba, cóncava hacia abajo, en donde tiene sus extremos relativos y sus puntos de inflexión.

12. Se tiene que construir una caja de base cuadrada cuya capacidad sea 8 dm3. Calcula las dimensiones de la caja para que el material que se utiliza sea mínimo. Calcula las dimensiones de la caja si la base es un triángulo equilátero.

13. Una cisterna cónica con 2 metros de radio de la base y 4 metros de la altura. La cisterna que originalmente está vacía se empieza a llenar de agua a través de una llave que se encuentra en la parte superior, fluye el agua a razón de 0.02 metros cúbicos por minuto (20 litros por minuto).

• ¿Con qué rapidez sube el nivel del agua cuando esta tiene 1.2 m de altura?

• ¿Con qué rapidez sube el nivel del agua cuando esta tiene 2.5 m de altura?

• ¿Es constante la razón de cambio de h con respecto a t?

• ¿Cuál de las siguientes gráficas representa el comportamiento de h en función del tiempo t? Argumenta tu respuesta

• Los frenos de un automóvil pueden producir una desaceleración constante de 24 m/s2. Si el automóvil debe detenerse antes de 20 m después de que se han aplicado los frenos, ¿cuál es la velocidad máxima a la que puede ir el automóvil?

• Un proyectil se dispara verticalmente hacia arriba con una velocidad de 130 metros por segundo. La altura sobre el suelo t segundos después del disparo esta dado por

• ¿Cuánto tiempo tarda el proyectil en alcanzar la altura máxima?

• ¿Cuál es la altura máxima que alcanza el proyectil?

• ¿Cuál es la aceleración en un tiempo t cualquiera?

• Un avión vuela con velocidad constante de 822 km/h y con una inclinación de 43° hacia arriba. Halla la rapidez con que se aleja el avión de un edificio 1 minuto después de haber estado perpendicularmente a ella 3.5 km arriba.

• Supón que una compañía encuentra que el ingreso (I) generado al gastar x dólares en publicidad está dada por I = 1000 + 80x – 0.02×2 para 0 = x = 2000. Encuentra e interpreta dI/dx para x = 1900.

• Traza la gráfica de la función f(x) que cumpla con las siguientes propiedades.

• Que contenga los puntos (1, -3), (3, 0) y (5,3).

• f "(1) = 0 y f "(5) = 0

• f ""(x) >0 para x < 3, f "" (3) = 0, f ""(x) < 0 para x > 3.

• La demanda de un monopolista es

• Antígona mide 1.8 m de estatura y se aleja de la luz de un farol que está en un poste a una altura de 10 m a razón de 0.6 m/s.

• ¿Con qué rapidez crece su sombra cuando Antígona está a 8, 10 y 15 m del poste?

• ¿Con qué rapidez se mueve el extremo de su sombra en esos mismos instantes?

15. Un fabricante de ropa ha estado vendiendo camisas para caballero a $80 la pieza y, a este precio, ha habido una demanda de ocho mil camisas por mes. El fabricante quiere aumentar el precio y estima que por cada $5 de incremento, se venderán cuatrocientas camisas menos cada mes. Calcula el ingreso óptimo del fabricante en estas condiciones.

Unidad 5