Estudio de los métodos numéricos (página 5)

• Un fabricante puede producir cafeteras a un costo de 25,000 pesos por cada unidad y estima que, si se venden a p miles de pesos cada una, los consumidores comprarán 2,300e-0.024p cafeteras por semana. Los costos fijos semanales son de 8 millones de pesos.

• Calcula el precio por cafetera que maximiza las utilidades semanales.

• Encuentra las utilidades semanales y la demanda correspondientes.

• Traza la gráfica.

• ¿Cuántas palabras escribe una persona después de cinco días de instrucción?

• ¿Cuánto tiempo necesita una persona para llegar a escribir 60 palabras por cada minuto?

Encuentra:

• El instante en que el número de bacterias por cada ml de agua es mínimo.

• El número mínimo de bacterias por cada ml de agua.

• El instante en que el número de bacterias es máximo.

• El número máximo de bacterias por cada ml de agua.

Unidad 6

5 Describe el funcionamiento de un pistón, establece la función que da las coordenadas del punto que conecta el pistón con el cigüeñal y la fórmula que da la velocidad instantánea del pistón.

6 Encuentra la derivada de las funciones siguientes:

11 Para construir un canalón se usa una lámina de 18 centímetros de ancho. Se divide en tres partes de 6 centímetros y se doblan los dos extremos hacia arriba formando un ángulo x con la horizontal para formar las paredes del canalón. Encuentra el ángulo x que maximiza el área de la sección transversal del canalón y, por consiguiente, el volumen de agua que puede conducir.

12 Encuentra la función cuya gráfica se muestra a continuación, calcula sus derivadas, primera y segunda, y utiliza la información que aportan para determinar sus intervalos de crecimiento y decrecimiento, sus extremos, sus intervalos de concavidad y sus puntos de inflexión.

13 Encuentra la función cuya gráfica se muestra a continuación, calcula sus derivadas, primera y segunda, y utiliza la información que aportan para determinar sus intervalos de crecimiento y decrecimiento, sus extremos, sus intervalos de concavidad y sus puntos de inflexión.

14 Sobre un gran edificio, que se levanta 90 metros sobre el nivel de la calle, se encuentra un cartel de 9 metros de altura. Una niña cuyos ojos están a 1.3 metros del suelo mira el cartel. ¿A qué distancia de la base del edificio se debe colocar si quiere mirar el cartel con la mayor claridad? Para ver el cartel con claridad el ángulo que forman los ojos de la niña y los extremos inferior y superior del cartel debe ser lo más grande que se pueda.

15 Encuentra la función cuya gráfica se muestra a continuación, calcula sus derivadas, primera y segunda, y utiliza la información que aportan para determinar sus intervalos de crecimiento y decrecimiento, sus extremos, sus intervalos de concavidad y sus puntos de inflexión.

´

16 Un cuerpo vibra verticalmente de acuerdo con la ecuación

donde s es la distancia en centímetros del origen cuando han transcurrido t segundos. Se conviene que el sentido positivo es hacia arriba. Determina la velocidad y la aceleración del movimiento para cualquier t.

Unidad 7

• Encuentra los puntos donde se debe cortar un sólido semiesférico con dos planos paralelos a la base para que quede dividido en tres partes de igual volumen.

• Se vacía arena sobre el suelo a razón de 20 metros cúbicos por cada minuto. El montón que se forma es cónico y su altura es siempre igual a dos terceras partes del radio de su base. Calcula la razón a la que aumenta la altura cuando ésta alcanza los tres metros.

• Un triángulo rectángulo variable tiene un vértice en el origen, otro vértice sobre el eje Y y el tercero sobre la elipse

• El volumen de una cáscara esférica de 2 cm de espesor es la mitad del volumen de la esfera interior. ¿Cuál es el radio exterior de la cáscara? ¿Cuáles son los volúmenes de la cáscara y de la esfera interior?

• Encuentra el aumento de área de una burbuja de jabón cuando su radio aumenta de 7 centímetros a 7.025 centímetros usando diferenciales y calcula el error con respecto al valor exacto.

• Una arista de un cubo se midió como 11.4 cm con un posible error de (0.05 cm.

• Evalúa el volumen del cubo y proporciona una estimación para el posible error en el volumen.

• Evalúa el área superficial del cubo y proporciona una estimación para el posible error en esta área.

• Un globo se está inflando introduciendo aire a razón de 100 cm3/s. ¿A qué razón crece el radio del globo cuando su diámetro es de 50 cm?

• Un depósito de agua tiene la forma de un cono circular invertido con un radio de la boca de 2 m y una altura de 4 m. Se está introduciendo agua al depósito a razón de 2 m3/min. Calcula la razón a la que el nivel del agua sube cuando la profundidad del agua es de 1, 2, 3 y p metros.

• La teoría especial de la relatividad de Einstein afirma que la masa m está relacionada con la velocidad v por medio de la formula

Aquí, m0 es la masa en reposo y c es la velocidad de la luz. Utiliza diferenciales para determinar el aumento porcentual en la masa de un objeto, cuando su velocidad aumenta de 0.9c a 0.92c.

Unidad 8

• Un anuncio de 12 m de altura está 4 m por encima del nivel visual de una persona. Calcula la distancia a la que se debe colocar la persona para que el ángulo que forman las líneas visuales del observador sea máximo.

• Se escogen dos puntos A y B sobre un lado de un ángulo dado. Encuentra el punto C, sobre el otro lado del ángulo, que hace que el ángulo ACB sea máximo.

• Se considera la función:

• ¿Es continua en x=0?

• ¿Es derivable en x=0?

• ¿Tiene algún extremo relativo?

• Una escalera de 5 m está apoyada contra una pared. El extremo inferior de la escalera comienza a resbalar a razón de 0.5 m/s. ¿a qué razón baja el extremo superior de la escalera cuando su extremo inferior está a 2 m de la pared?

• Del fondo de un depósito hemisférico de 2.4 m de radio está goteando agua a razón de 5.4 litros por hora. El depósito se encontraba lleno al principio. ¿A qué razón baja el nivel del agua cuando la altura es de 1 m? (El volumen de un casquete esférico de altura h y radio de la esfera r es

• Para construir el cono de un embudo se dispone de un círculo de hojalata. ¿Cómo se debe cortar para que la capacidad del embudo sea máxima?

• Calcula la derivada de y con respecto a x, si

Lecturas

Introducción

En este material se cuenta con algunas lecturas sobre temas de matemáticas. No se trata de un material de relleno, simplemente para introducir o motivar el estudio de ciertos temas. La comprensión de la matemática no se limita al conocimiento y adquisición de soltura en el uso de ciertos procedimientos, principalmente algebraicos. También incluye la discusión de ideas y conceptos.

La lectura te exige un esfuerzo que debes realizar si quieres lograr comprender su significado. Por ejemplo, la expresión "yo sólo sé que no sé nada" es atribuida a Sócrates. Sin embargo, en la Apología de Sócrates lo que se dice es "yo sólo sé que lo que sé es nada". ¿Son equivalentes ambas expresiones? ¿Puedes explicar sus diferencias de significado?

Es posible que tengas compañeros que digan que ya entendieron algún tema de matemáticas, digamos ecuaciones de segundo grado, de manera que si les dan una ecuación no tienen dificultad para resolverla, pero que si de lo que se trata es leer un texto y a partir de él plantear una ecuación que deben resolver para responder lo que se les pregunta, entonces no pueden hacerlo, pues no entienden cómo se puede saber la ecuación que sirve para lo que dice el texto. Aquí se tiene un problema de comprensión de lectura y no porque el alumno no pueda darse una idea de lo que dice el texto, sino porque él mismo se bloquea y no sabe leer. En este Libro un problema se inicia con un texto y lo primero que debes hacer cuando te enfrentes a uno es leer el enunciado y buscar darle un sentido y significado coherente a la situación planteada.

Si nos sentimos bien al momento de leer es porque nos interesa el tema que estamos leyendo y ya sabes que cuando realizamos alguna actividad que nos gusta, no nos pesa tanto el trabajo que debemos hacer para ello. Cuando decimos que una lectura nos permite descansar, hacer una pausa de nuestras actividades o deberes cotidianos, relajarnos, no es porque la lectura sea una actividad sin chiste y que aprende cualquier niño en los primeros años de primaria al reconocer las letras del alfabeto y cómo deben pronunciarse.. De manera que no se trata de hacer complicada una lectura, pero la verdadera comprensión de la lectura no es una actividad sencilla.

Para leer un libro de matemáticas necesitas al menos de lápiz y papel a un lado para realizar anotaciones, cálculos, dibujar figuras, o representaciones de lo que se está estudiando en el libro. Para leer un artículo o ensayo, es recomendable tener a la mano un diccionario para consultar con facilidad las palabras de las que se desconoce su significado. Ser un buen lector es una habilidad que desarrollamos poco a poco.

Cuando has leído un artículo y dices que lo has comprendido, es porque eres capaz de señalar sus ideas principales sin recurrir a la simple cita textual y cuando puedes identificar tus acuerdos y desacuerdos con el autor del texto.

Discutir una lectura también permite desarrollar nuestra capacidad de comunicación y argumentación. No basta decir que ya entendimos algo; si no somos capaces de expresar y comunicar a otros esta comprensión no logramos el principio básico de una discusión: se logra convencer a los otros a partir de la elaboración y exposición de argumentos coherentes y no por hablar más tiempo, más fuerte o por ocupar un puesto más alto que los otros.

Debemos saber comunicar nuestras ideas, pero también escuchar cuidadosamente los argumentos de otros, tratando de entender lo que nos están diciendo, reflexionar en los argumentos que nos presentan y aceptarlos si nos parecen convincentes.

La lectura de un artículo y luego la discusión del mismo nos permite reflexionar el tema tratado y enriquecer la comprensión del mismo. La lectura es una actividad que realizamos constantemente, en los periódicos, en el cine, en la televisión, en internet y en los mensajes que recibimos de estos medios tan diversos siempre hay una dimensión matemática que no podemos ignorar. Si algo de lo que lees llama tu atención por la importancia que las matemáticas tienen en su interpretación, ya sea un fragmento de película o de novela, una noticia o un reportaje, puedes elaborar un guión y organizar y conducir una discusión en la clase.

Lecturas

"Cálculo" de John Allen Paulus.

El cálculo infinitesimal, descubierto independientemente a finales del siglo XVII por Isaac Newton y Gottfried Wilhelm von Leibniz, es la rama de las matemáticas que trata de los conceptos fundamentales de límite y variación. Al igual que la geometría axiomática de los antiguos griegos, casi desde sus comienzos tuvo un profundo efecto en el pensamiento científico, matemático y del público en general. Ello se debe parcialmente a la potencia, elegancia y versatilidad de sus técnicas y también a su asociación con la física newtoniana y a la metáfora del universo como mecanismo gigantesco gobernado por el cálculo y unas ecuaciones diferenciales eternas. En las últimas décadas los avances de la física moderna han quitado bastante fuerza a esta imagen, a la vez que los progresos de los ordenadores han cuestionado la posición, otrora indiscutida, del cálculo en los planes de estudio. A pesar de todo, el cálculo sigue siendo una de las ramas más importantes de la matemática para el científico y el ingeniero, y cada vez más para el economista y el hombre de negocios.

Aunque sea un poco simplista, es útil dividir la materia en dos partes: el cálculo diferencial, que trata de las tasas de variación, y el cálculo integral, que se ocupa de sumar cantidades que varían. Empezando por el cálculo diferencial, como hacen la mayoría de tratados, supongamos que después de comer salimos de Filadelfia en dirección a Nueva York por la autopista de Nueva Jersey. El coche lleva reloj y cuentakilómetros, pero no velocímetro, aunque notamos que la velocidad cambia debido a la intensidad del tráfico, la música o el estado de ánimo del conductor. Una pregunta que se nos plantea de manera natural es: ¿cómo podríamos determinar la velocidad instantánea en un momento dado, la una, por ejemplo? Supongamos que nos interesa más una definición teórica que una manera práctica de realizarlo.

Una primera respuesta aproximada podría consistir en tomar la velocidad media entre la 1:00 y la 1:05.

No se trata de un método demasiado eficaz, pero sirve para llevarnos a la definición teórica de velocidad instantánea. La velocidad instantánea en un instante dado es, por definición, el límite de las velocidades medias sobre intervalos de tiempo cada vez más cortos que contengan el instante en cuestión. Empleado aquí, "límite" es un término delicado, pero parece que en este caso su aplicación es bastante intuitiva. Además, y esto es importante, si la distancia que hemos recorrido por la autopista de Nueva Jersey viene dada por una fórmula que depende sólo del tiempo que llevamos viajando, el cálculo nos proporciona técnicas que nos permiten determinar la velocidad instantánea a partir de dicha fórmula. Si representáramos gráficamente esta fórmula que relaciona la distancia recorrida (sobre el eje con el tiempo empleado (sobre el eje la velocidad en cualquier instante correspondería a lo empinado de la gráfica en el punto dado, es decir, a su pendiente en ese punto.

La definición y las técnicas son muy generales y son las que aparecen de un modo natural siempre que uno se plantea la pregunta genérica: ¿a qué velocidad está cambiando esto? Como en el caso anterior, a menudo nos interesa saber cómo cambia una cierta cantidad con el transcurso del tiempo. ¿A qué velocidad conducíamos a la una? ¿A qué velocidad se estará extendiendo la mancha de petróleo al cabo de tres días? ¿A qué velocidad se alargaba la sombra hace una hora? Aunque a menudo nos interesan también otras tasas de cambio más generales. ¿Cuándo aumentarán nuestros beneficios con respecto al número de artículos fabricados si producimos 12 000 diarios? ¿Cuánto aumentará la temperatura de un gas contenido en un recipiente con respecto al volumen, si éste es de 5 litros? ¿Cuánto aumentarán las ganancias con respecto al capital invertido si éste es de 800 millones de dólares (suponiendo que los demás factores se mantienen constantes)?

Muchos tipos de problemas resultan fáciles una vez que se ha comprendido el concepto de derivada. Como los beneficios, por ejemplo, acostumbran a aumentar y después a disminuir en función del número de artículos producidos, sabemos que la tasa de variación del beneficio con respecto a los artículos primero es positiva (aumento del beneficio con el número de artículos producidos) y luego negativa (disminución de los beneficios si seguimos fabricando más). Si conocemos la relación precisa entre beneficios y artículos podemos determinar cuántos productos hemos de fabricar para maximizar nuestros beneficios, encontrando cuándo se anula el valor de la tasa de variación. Podemos emplear la misma técnica para optimizar recursos escasos.

Para hacerse una ligera idea de los que es el cálculo integral, supongamos que estamos otra vez en la autopista de Nueva Jersey (el camino real al cálculo), pero que esta vez el coche está equipado con un reloj (pongamos que marca las 2:00) y un velocímetro, pero no tiene cuentakilómetros. La monotonía de conducir nos ha hecho caer en un talante reflexivo y nos preguntamos cómo podríamos saber la distancia recorrida durante la próxima hora en función de la velocidad. Si mantenemos una velocidad constante de 80 kilómetros por hora, el problema es trivial: habremos recorrido exactamente 80 kilómetros.

La variación de la velocidad de nuestro coche será menor en un minuto que en cinco. Por lo tanto, si queremos una aproximación mejor, emplearemos intervalos de un minuto en vez de cinco y, como antes, sumaremos todos los pequeños trozos de distancia. O también podríamos sumar todas las distancias recorridas en intervalos de diez segundos sucesivos, con lo que obtendríamos un resultado más aproximado para la distancia recorrida durante esa hora. La distancia recorrida exacta se define como el límite de este procedimiento, y dicho límite se conoce con el nombre de "integral definida" de la velocidad. El resultado de la suma dependerá, naturalmente, de la velocidad y del modo exacto como ésta varíe a lo largo de la hora.

Como en el caso de las tasas de variación, el procedimiento es completamente general y se presenta cuando uno se pregunta acerca de una cantidad variable: ¿A cuánto asciende en total? Por ejemplo, una aproximación de la fuerza total que ejerce un embalse sobre la presa que lo contiene la podemos obtener sumando la fuerza contra el estrato inferior de un metro de altura a la fuerza contra el estrato de un metro de altura inmediatamente superior, luego a la fuerza sobre el estrato siguiente y así sucesivamente hasta llegar a la parte superior de la presa. Hemos de hacerlo así porque la presión del agua, y por tanto la fuerza que ejerce, aumenta con la profundidad. Se obtiene una mejor aproximación dividiendo la presa en estratos de un centímetro de altura y sumando las fuerzas que actúan sobre cada uno de ellos, y la fuerza exacta se obtiene encontrando el límite de este procedimiento (la integral definida(.

La utilidad de la integral indefinida procede en gran parte del llamado teorema fundamental del cálculo, según el cual esta operación y la otra operación fundamental que hemos presentado, la de hallar la tasa de variación o derivada de una cantidad respecto a otra, son de hecho operaciones inversas, es decir, cada una deshace los efectos de la otra. El teorema y las técnicas que se desprenden de las dos definiciones nos proporcionan los útiles necesarios para comprender las cantidades que varían continuamente. Las ecuaciones diferenciales (ecuaciones en las que aparecen derivadas) son un ejemplo particularmente valioso de la aplicación de estos útiles.

Estas ideas estimularon en gran manera el desarrollo del análisis matemático; el cálculo y las ecuaciones diferenciales se convirtieron en el lenguaje de la física y el mundo cambió para siempre. Recuérdelo la próxima vez que conduzca por una autopista con un velocímetro o un cuentakilómetros estropeado.

Ecuaciones Diferenciales" de John Allen Paulos

El análisis (el cálculo infinitesimal y sus descendientes) ha sido una de las ramas predominantes de la matemática desde que fue inventado por Newton y Leibniz. Las ecuaciones diferenciales son su núcleo principal. Esta materia ha sido tradicionalmente la clave para comprender las Ciencias Físicas y, en los temas más profundos sugeridos por ella misma, ha sido el origen de muchos de los conceptos y teorías que constituyen el análisis superior. Es también una de las herramientas prácticas esenciales de que disponen los científicos, los ingenieros, los economistas y otros para manejar tasas de variación. (Una de sus cualidades es el placer menor que produce a algunos estudiantes de segundo año de matemáticas cuando hablan de su curso de difi-q.[1] Una vez conocí a un estudiante de farmacia que escogió esta asignatura porque le encantaba pasarse el día diciendo difi-q.)

La derivada de una cantidad (véanse las entradas sobre Cálculo y Funciones) es una función matemática que mide la tasa de variación de dicha cantidad.

Y así como la idea de la resolución de ecuaciones algebraicas es determinar un número a partir de ciertas condiciones que deben satisfacer, resolver una ecuación diferencial consiste en determinar el valor de una cantidad variable en cualquier instante de tiempo a partir de ciertas condiciones sobre la derivada (y las derivadas de orden superior) de dicha cantidad. Dicho llanamente, el estudio de las ecuaciones diferenciales se ocupa de los métodos y técnicas para determinar el valor de una cantidad en cualquier instante cuando se conoce cómo cambian dicha cantidad y otras relacionadas con ella.

Veamos algunos ejemplos de situaciones que conducen a ecuaciones diferenciales: Nicolae parte al mediodía de Bucarest en dirección Oeste y mantiene una velocidad constante de 80 kilómetros por hora; determinar su posición en cualquier instante de esa tarde. Un gran depósito contiene 400 litros de agua en la que se han disuelto 100 kilogramos de sal; si entra agua pura a razón de 12 litros por minuto y la mezcla, que es agitada para que se mantenga uniforme, fluye fuera del depósito a razón de 8 litros por minuto, ¿cuánto tiempo ha de transcurrir para que el contenido de sal del depósito sea de 50 kilogramos? Un conejo corre en dirección Este a 7 kilómetros, y 1000 metros al norte de la posición inicial del conejo hay un perro que empieza a perseguirlo a 9 kilómetros por hora dirigiéndose siempre hacia el conejo; determinar la trayectoria seguida por el perro. Una cuerda elástica ideal está atada por ambos extremos y tiramos de ella, encontrar su posición en cualquier instante posterior.

Las derivadas primera y segunda de una cantidad tienen significados marcadamente distintos. Si la cantidad en cuestión es una distancia o una altura, la primera derivada es su velocidad y la segunda su aceleración. Como los problemas de la Física no son corrientes en la vida cotidiana, consideraremos el siguiente ejemplo tomado del telediario: Con voz sonora, el comentarista de televisión informa que determinado índice económico sigue subiendo, aunque no tan rápidamente como el mes pasado. Quizá sin saberlo está diciendo que la derivada del índice es positiva (la tasa de variación del índice es positiva), pero la derivada segunda del índice es negativa (la tasa de variación de la tasa de variación del índice es negativa). El alza está «llegando a un máximo». Siguiendo bastante más allá por este camino se llega a conjuntos de ecuaciones diferenciales que relacionan los valores, sus tasas de variación y las tasas de las tasas de variación de varios indicadores económicos. Estos conjuntos de ecuaciones constituyen un modelo econométrico y se pueden manejar para hacerse una idea de cómo funciona el mundo real.

Al aplicar las ecuaciones diferenciales a menudo nos interesa introducir más de una variable; a veces no conocemos cómo cambia una cantidad con respecto al tiempo sino cómo cambia con respecto a alguna otra variable; muchas situaciones sólo se pueden describir mediante un conjunto de ecuaciones diferenciales interrelacionadas. Los progresos matemáticos realizados en el tratamiento de estos problemas durante los últimos 300 años se cuentan entre las mayores glorias de la civilización occidental. Las leyes del movimiento de Newton, la ecuación del calor de Laplace y la ecuación de ondas, la teoría del electromagnetismo de Maxwell, la ecuación de Navier-Stokes de la dinámica de fluidos y los sistemas depredador-presa de Volterra no son más que una pequeña parte de los muchos frutos que han dado estas técnicas (aunque, tristemente, la mayoría de sus autores son desconocidos para cualquier persona medianamente instruida).

En los últimos tiempos la investigación ha abandonado este campo clásico de las difi-q. Ahora se concentra más en las aproximaciones y el cálculo numérico, y no tanto en los métodos tradicionales en los que intervienen los límites y procesos infinitos.

"Alicia en el Jardín de los Infinitos" de Alfredo Raúl Palacios

Capítulo 4 del libro: A. R. Palacios, P. L. Barcia, J. E. Clemente, J. E. Bolzán, E. A. Imbert. La Matemática del Laberinto: hacia la integración del saber. Magisterio del Río de la Plata: Argentina

Un sorbo de té caliente templó su garganta y con firme voz Alicia Liddell comenzó la lectura del amarillento manuscrito.

"Era una mansa y lenta tarde de verano. Entré a la Biblioteca Nacional; a mano derecha del vestíbulo una escalera curva me invitó a descender, en el sótano estaban los periódicos y los mapas. Aproveché un descuido de los empleados para tomar, de uno de los húmedos anaqueles, un extraño libro. Era un volumen, en octavo, encuadernado en tela. Sin duda había pasado por muchas manos. Lo examiné. En el lomo decía Holy Writ y abajo Bombay. Lo abrí al azar y entre las páginas 55 y la siguiente numerada 1073, encontré un curioso mapa que, según referencia expresa, correspondía al Jardín de los Infinitos. Sorprendido traté de analizar la extraña forma registrada por el plano, gastado y de pobre tipografía. Mi atención fue fácil presa de aquel inusual contorno. ¡Era un limes perimetral tan geométricamente bello! Cerré el volumen y busqué mi anotador con intenciones de calcar la forma. Inmediatamente abrí el libro. En vano busqué el mapa del Jardín de los Infinitos. No lo volví a ver.

Absorto en la difusa imagen de su frontera, bajo árboles fatigados, medité en ese mapa perdido; lo imaginé con su armónico borde en la pared secreta de una cabaña montañesa, lo imaginé borrado por tiempos o transitado por teorías, lo imaginé extravagante… Pensé en un laberinto de laberintos, en un sinuoso laberinto creciente. Me sentí por un tiempo indeterminados, perceptor abstracto de una idea…"

Aquí se interrumpe la narración -dijo Alicia y luego de un silencio agregó- siento profundo interés por ese mapa del Jardín de los Infinitos.

-Toma un poco de vino -dijo la Liebre de Marzo en tono conciliador.

-Alicia miró por toda la mesa, pero no había más que té.

-Yo no veo vino -comentó.

-Entonces no es muy cortés de tu parte ofrecérmelo -dijo Alicia con enfado.

-Tampoco es por la tuya y proponernos mirar un bello mapa ¡sin tener el mapa!

-Yo se quienes son los que pueden mostrarnos ese mapa -dijo el Sombrerero, que miraba a Alicia con mucha curiosidad.

-¿Quieres decir que piensas que conoces a quienes nos pueden mostrar el mapa? -dijo la Liebre de Marzo.

-Exactamente -dijo el Sombrerero.

-Entonces debes de decir lo que piensas -prosiguió la Liebre de Marzo.

-Lo hago -replicó el sombrerero apresuradamente-; al menos… al menos pienso lo que digo… que es lo mismo.

-¡Ni mucho menos! Dijo el Lirón-, que pareció hablar en sueños.

-¡Es como si dijeses que "respiro cuando duermo" es lo mismo que "duermo cuando respiro"!

-¡Es como si dijeses -añadió la Liebre de Marzo-, que "me gusta lo que tengo" es lo mismo "tengo lo que me gusta"!

Aquí cesó la conversación y el grupo se quedó en silencio durante unos minutos.

Luego Alicia le preguntó al sombrerero: -¿Quiénes son los que crees que pueden mostrarnos el mapa?

-Dos entrañables amigos que tienen mucha Matemática e Imaginación -contestó el sombrerero.

-¿Y cómo se llaman? -preguntó la Liebre de Marzo.

-Edward le llama a James, Newman, y James lo llama a Edward, Kasner -respondió el Sombrerero.

-¿Edward y James? -repreguntó la Liebre.

-Sí, sí… Kasner y Newman -ratificó el sombrerero. Y agregó -Y allí están bajo el frondoso árbol charlando con el Gato de Cheshire.

El grupo fue en busca de los dos amigos y ambos, gentilmente, les enseñaron a construir el buscado mapa del Jardín de los infinitos.

-Así es la historia -dijo Kasner. Se comienza con un triángulo equilátero de lado igual a la unidad. Este triángulo es la curva C1 (Fig. 1).

-Divídase ahora cada uno de sus lados en tres partes iguales -dijo Newman- y en cada tercio medio constrúyase un triángulo equilátero dirigido hacia fuera. Bórrense las partes comunes a los triángulos nuevos y viejos. Esta simple curva poligonal, se llama C2 (Fig. 2).

Así hemos logrado la segunda etapa de la construcción del borde o frontera del mapa del Jardín de los Infinitos.

-Le toca el turno al tercer paso -dijo Kasner. Dividimos en tres partes iguales cada lado de C2 y nuevamente, en cada tercio medio, construimos un triángulo equilátero y dirigido hacia afuera. Borrando la parte de las curvas comunes a las figuras nuevas y viejas, logramos completar el tercer paso. Esta curva simple se llama C3 (Fig. 3).

-¡Esto se pone lindo! -exclamó el Sombrerero.

-¿Se animan a continuar solos? -preguntó Newman.

-¿Hasta cuando? -dijo la Liebre de Marzo.

-Tanto como deseen -respondió Kasner.

Alicia pensó que su pensamiento transitaba por un laberinto matemágico. En profundo silencio vio aparecer ante sus ojos, como resultados de un procedimiento análogo iterado, las curvas C4, C5 y C6.

-¡Sí, sí,!… ¡Está apareciendo la forma! Exclamó Alicia comenzando a salir de su asombro.

-¡Parece un copo de nieve! -dijo el Sombrerero.

-¿Y ya está terminado el mapa? -preguntó la Liebre de Marzo.

-Si así lo deseas,…sí -contestó Newman-; pero si no lo deseas,… no.

-Es buena respuesta -murmuró el Gato de Cheshire mirando desde la rama del árbol en la que estaba sentado.

-En realidad… -pensó en voz alta Kasner-, el mapa del Jardín de los Infinitos estará completo si repetimos el mismo procedimiento hasta ahora utilizado, indefinidamente y obtenemos así la curva límite.

¿Indefinidamente? -preguntó desconsolado el lirón-. ¡Eso es mucho!

-Cada nueva etapa nos acercará a la curva límite -continuó diciendo Kasner- y la curva límite de esta sucesión de curvas (C1, C2, C3,…) es algo verdaderamente notable.

-¿Por qué dice Ud. "notable"? -inquirió Alicia.

-Mi querida Alicia -contestó Newman; sencillamente notable porque: ¡su longitud es infinita, pero la superficie que limita es finita!

El silencio de Alicia se escuchaba por todo el jardín y podía leerse el asombro en los rostros de sus compañeros de búsqueda.

-De acuerdo -se escuchó decir al Gato de Cheshire.

-¡Es increíble! -fue el decir del Sombrero-. Estamos ante un hecho sorprendente: una curva de longitud infinita que puede dibujarse en una pequeña hoja de papel

-Sin embargo… -completó la Liebre de Marzo -¿dice Ud. que su perímetro es infinito?

-Así es -afirmó Newman-. En cada etapa de la construcción el perímetro aumenta. Veámoslo. Comenzamos suponiendo que cada lado del triángulo equilátero tiene una unidad de longitud. Entonces, el perímetro de C1 es 3 unidades. Luego, para construir C2 añadimos 6 segmentos, siendo cada uno de ellos de longitud 1/3, y restamos al borrarlas 3 líneas siendo cada una de ellas de longitud 1/3. es decir, que en definitiva añadimos una unidad de longitud al perímetro anterior. Por tanto, la longitud de la curva C2 es 3 + 1. ¿Vamos bien? -preguntó Newman.

-De acuerdo -afirmó el Gato de Cheshire.

-Bien, entonces continuamos -dijo Newman-. Para construir C3 añadimos 24 segmentos, siendo cada uno de ellos de longitud 1/9, y restamos al borrarlas 12 líneas, siendo cada una de ellas también de longitud 1/9. En definitiva el perímetro de la curva C3 será igual a la suma de 3 + 1 + (4/3).

Por el mismo procedimiento, y cambiando lo que hay que cambiar, se obtiene la longitud de C4, que es igual a la suma de 3 + 1 + (4/3) + (4/3)2.

Continuando así estamos en condiciones de afirmar que el perímetro de la curva límite estará dado por la suma de la serie 3 + 1 + (4/3) + (4/3)2 + (4/3)3 + (4/3)4 + …

Los términos de esta serie aumentan en magnitud y la suma se puede hacer "tan grande como se quiera" sin más que tomar un número "suficientemente grande" de términos. Por consiguiente, la longitud de la curva límite es infinita.

¡Una curva de longitud infinita que encierra una superficie finita!…

¡Esta es una idea muy grande! -exclamó Alicia.

¡Es una ideota! -proclamó el Sombrerero.

¡Es una re-idea! -gritó la Liebre de Marzo.

¡Es un sueño! -postuló el Lirón.

-De acuerdo -dijo el Gato; y esta vez se desvaneció muy despacio, empezando por el extremo de la cola y terminando por la sonrisa, que permaneció un rato después de que el resto hubiese desaparecido.

-¡Bueno! He visto muchas veces a un gato sin sonrisa -pensó Alicia- pero ¡una sonrisa sin gato! ¡Es otra cosa rara que me ha ocurrido en mi vida!

Bebiendo su té, en un extremo de la larga mesa, el bueno del maestro Bertrand Russell murmuró en voz baja para ser buen escuchado por todos: "abstracciones que pertenecen a otro reino, alejado de las pasiones humanas, alejadas incluso de la despreciable realidad de la Naturaleza… Un cosmos, donde el pensamiento puro puede habitar como en su hogar natural, y donde uno de nuestros más nobles impulsos puede, al menos escapar del exilio monótono del mundo real."

Alicia lo besó en la mejilla y partió con la idea que, finalmente, era el buscado mapa del Jardín de los Infinitos.

El Sombrerero recitaba en el jardín los versitos apócrifos de Benoît Mandelbrot:

Por reglas de un arte

Muchos mapas hay

De borde infinito

¿Por fractalidad!

La tarde del tiempo caía lentamente sobre el jardín de los infinitos.

Bibliografía

Borges, Jorge Luis, El libro de arena, Buenos Aires, EMECÉ, 1975.

Carroll, Lewis, Alicia en el País de las Maravillas, en Alicia anotada, edición de Martin Gardner, Madrid, Akal, 1984.

Kasner, E. y Newman, J., Matemáticas e imaginación, Buenos Aires, Hachette, 1951.

"La naturaleza de las Matemáticas"

Proyecto 2061. Capítulo 2 de "Ciencia: Conocimiento para todos" de la American Association for the Advancement of Science, Proyecto 2061.

La Naturaleza de las Matemáticas

Las matemáticas dependen tanto de la lógica como de la creatividad, y están regidas por diversos propósitos prácticos y por su interés intrínseco. Para algunas personas, y no sólo para los matemáticos profesionales, la esencia de esta disciplina se encuentra en su belleza y en su reto intelectual Para otros, incluidos muchos científicos e ingenieros, su valor principal estriba en la forma en que se aplican a su propio trabajo. Ya que las matemáticas juegan ese papel central en la cultura moderna, es indispensable una comprensión básica de ellas en la formación científica. Para lograr esto, los estudiantes deben percatarse de que las matemáticas forman parte del quehacer científico, comprender la naturaleza del pensamiento matemático y familiarizarse con las ideas y habilidades de esta disciplina. Este capítulo aborda las matemáticas como parte del quehacer científico y luego como proceso o forma de pensamiento. Las recomendaciones relacionadas se presentan en el capítulo 9, y aquéllas sobre las habilidades matemáticas se incluyen en el capítulo 12.

Pautas y Relaciones

Las matemáticas son la ciencia de las pautas y las relaciones. Como disciplina teórica, exploran las posibles relaciones entre abstracciones, sin importar si éstas tienen homólogos en el mundo real. Las abstracciones pueden ser cualquier cosa, desde secuencias de números hasta figuras geométricas o series de ecuaciones. Si se propone, por ejemplo, "¿forma una pauta el intervalo entre números primos?" como pregunta teórica, los matemáticos se interesarán sólo en encontrar la pauta o probar que ésta no existe, pero no en buscar la utilidad que podría tener tal conocimiento. Cuando se deriva, por ejemplo, una expresión para el cambio en el área de cualquier cuerpo regular cuando su volumen se aproxima a cero, los matemáticos no manifiestan interés en la concordancia entre los cuerpos geométricos y los objetos físicos del mundo real.

Una línea fundamental de investigación en las matemáticas teóricas es identificar en cada campo de estudio un pequeño conjunto de ideas y reglas básicas a partir de las cuales puedan deducirse, por lógica, todas las demás ideas y reglas de interés en ese campo. Los matemáticos, como otros científicos, gozan en particular cuando descubren que partes de esa ciencia sin relación previa pueden ser derivables entre sí o a partir de una teoría más general. Parte del sentido de belleza que muchas personas han percibido en esta ciencia no radica en hallar la más grande perfección o complejidad, sino al contrario, en encontrar un gran ahorro y sencillez en la representación y la comprobación. A medida que las matemáticas avanzan, se han encontrado más y más relaciones entre partes que se habían desarrollado por separado por ejemplo, entre las representaciones simbólicas del álgebra y las representaciones espaciales de la geometría. Estas interconexiones hacen posible que surjan intuiciones que deben desarrollarse en las diversas partes de la disciplina; juntas, fortalecen la creencia en la exactitud y unidad esencial de toda la estructura.

Las matemáticas son también una ciencia aplicada. Muchos matemáticos dedican sus energías a resolver problemas que se originan en el mundo de la experiencia. De igual manera, buscan pautas y relaciones; en el proceso utilizan técnicas similares a las que se emplean en esta ciencia puramente teórica. La diferencia es en gran medida de propósito. En contraste con las matemáticas teóricas, las aplicadas, en los ejemplos anteriores, podrían estudiar la pauta del intervalo de los números primos para desarrollar un nuevo sistema para codificar información numérica, más que como un problema abstracto. También podrían abordar el problema sobre el área/volumen como un paso en la concepción de un modelo para el estudio del comportamiento del cristal.

Los resultados de las matemáticas teóricas y aplicadas con frecuencia influyen entre sí. A menudo los descubrimientos de los matemáticos teóricos tienen un valor práctico no previsto algunas veces décadas después. Por ejemplo, el estudio de las propiedades matemáticas de acontecimientos que ocurren al azar condujo al conocimiento que más tarde hizo posible mejorar el diseño de los experimentos en las ciencias naturales y sociales. Por el contrario, al tratar de solucionar el problema del cobro justo a los usuarios del teléfono de larga distancia, los especialistas hicieron importantes descubrimientos sobre las matemáticas de redes complejas. Las matemáticas teóricas, a diferencia de otras ciencias, no están restringidas por el mundo real, pero a la larga contribuyen a entenderlo mejor.

Matemáticas, Ciencia y Tecnología

Debido a su abstracción, las matemáticas son universales en un sentido en que no lo son otros campos del pensamiento humano. Tienen aplicaciones útiles en los negocios, la industria, la música, la historia, la política, los deportes, la medicina, la agricultura, la ingeniería y las ciencias naturales y sociales. Es muy amplia la relación entre las matemáticas y los otros campos de la ciencia básica y aplicada. Ello obedece a varias razones, incluidas las siguientes:

• La relación entre la ciencia y las matemáticas tiene una larga historia, que data de muchos siglos. La ciencia le ofrece a las matemáticas problemas interesantes para investigar, y éstas le brindan a aquélla herramientas poderosas para el análisis de datos. Con frecuencia, los modelos abstractos que han sido estudiados por los matemáticos, por el puro interés que despiertan han resultado ser muy útiles para la ciencia tiempo después. La ciencia y las matemáticas están tratando de descubrir pautas y relaciones generales, y en este caso ambas son parte del mismo quehacer.

• Las matemáticas son el principal lenguaje de la ciencia. El lenguaje simbólico matemático ha resultado ser en extremo valioso para expresar las ideas científicas sin ambigüedad. La declaración a = F/m no es sólo una manera abreviada de decir que la aceleración de un objeto depende de la fuerza que se le aplique y de su masa; sino que es un enunciado preciso de la relación cuantitativa entre esas variables. Más importante aún, las matemáticas proporcionan la gramática de la ciencia las reglas para el análisis riguroso de ideas científicas y datos.

• Las matemáticas y la ciencia tienen muchas características en común. Estas incluyen la creencia en un orden comprensible; una interacción de imaginación y lógica rigurosa; ideales de honestidad y franqueza; la importancia decisiva de la crítica de los compañeros; el valor atribuido a ser el primero en hacer un descubrimiento clave; abarcar el ámbito internacional; e incluso, con el desarrollo de poderosas computadoras electrónicas, ser capaz de utilizar la tecnología para abrir nuevos campos de investigación.

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