La evaluación de proyectos (página 3)

Partes: 1, 2, 3

tales que los ahorros de costos de inversión y operación más que
compensen las pérdidas de beneficios al realizar los dos proyectos en conjunto. También puede
ocurrir que un par de proyectos tenga sustitubilidad en los costos pero una complementariedad en
los beneficios tales que más que compensen los incrementos de costos de realizar ambos en
conjunto.
Proyectos sustitutos si:
?
VPN I+II ? VPN I + VPN II
Nuevamente puede darse que proyectos sustitutos tengan grados de complementariedad en los
beneficios o en los costos pero que esta complementariedad sea anulada por la de los costos y la
de los beneficios respectivamente.
Proyectos independientes si:
?
VPN I+II = VPN I + VPN II
2. Criterios de toma de decisión sobre proyectos en una cartera según los distintos tipos de
interrelaciones.
El principal riesgo de evaluar una cartera de proyectos como un paquete en lugar de evaluar cada
uno de los proyectos integrantes de la cartera, es el riesgo de que un proyecto o varios proyectos
no rentables queden "ocultos" dentro de una cartera rentable. A modo de ejemplo, supongamos
que el Sr. Flores desea evaluar el proyecto de invertir un terreno de su propiedad, de 10.000
metros cuadrados en dos negocios: 5.000 metros cuadrados serán destinados al cultivo de
tomates y en los 5.000 restantes se edificarán 4 casas y se pondrán a la venta junto sus
respectivos terrenos. La rentabilidad conjunta es de 20 millones de pesos (VPN) y por ende el Sr.
Flores tiene un proyecto rentable. Sin embargo bien puede ocurrir que detrás de esa rentabilidad
positiva tuviésemos una pérdida de 10 millones en el negocio agrícola y una ganancia de 30
millones en el negocio inmobiliario que compensa las pérdidas del agrícola. Desde luego que al
desagregar se ve claro que es mejor dedicar los 10.000 metros cuadrados al negocio inmobiliario
con una rentabilidad de ¡60 millones de pesos!, (en lugar de 20 millones).
El ejemplo anterior supone que los proyectos son independientes y por tanto sus VPN son
sumables. La considerable pérdida de rentabilidad que muestra el ejemplo es una muestra típica
de la magnitud del error en la asignación de recursos a la que puede llevar el análisis de carteras

sin desagregar en los proyectos integrantes. En este caso el error significaría obtener un VPN de
sólo un tercio del VPN potencial (20 millones en lugar de 60).
En algunos casos, la inclusión de un proyecto no rentable (como el agrícola del ejemplo), se puede
justificar cuando tiene relaciones de complementariedad con los otros proyectos de la cartera.
Vemos que se hace necesario analizar metodologías de selección en los tres casos posibles:
independencia, sustitubilidad y complementariedad de proyectos.
Caso de proyectos independientes.
Si se enfrenta una cartera de proyectos independientes, con restricciones de capital17 una primera
idea de ranking sería ordenar las inversiones por VPN de mayor a menor y luego seleccionar las
primeras del ranking hasta que se agote el capital. Esta idea que intuitivamente parece acertada
nos lleva a decisiones no óptimas según podemos ver en el ejemplo siguiente:
Se puede ver que los proyectos están estrictamente ordenados por VPN: Suponiendo que nuestra
restricción de capital para la inversión es de 10 unidades monetarias, según este ranking se
debería ejecutar sólo el proyecto A, es el primero del ranking y su ejecución agota totalmente el
capital disponible. Sin embargo, dado que los proyectos son independientes, se cumple que:
VPN B+C = VPN A + VPN B
En este caso VPN B+C es igual a nueve (cinco de B más cuatro de C), ¡ y VPN A es igual a seis!,
es decir, el VPN conjunto de B y C es mayor que el de A, luego ordenar por VPN nos lleva a una
solución no óptima para asignar nuestras 10 unidades monetarias. En este caso nos podemos dar
cuanta fácilmente al observar las tres filas del cuadro. Sin embargo, si en lugar de tres alternativas
hubiésemos tenido cuatro, cinco o más, tendríamos que haber analizado todas las combinaciones
posibles, ese tipo de análisis nos lleva a un número combinatorio de alternativas el cual es muy
alto y hace costoso el análisis de combinaciones de a pares, tríos , etc19.
Como solución para evitar el análisis combinatorio se utiliza el indicador IVAN = VPN / Inversión
?2?. . Calculemos dicho indicador para el mismo ejemplo anterior.
17
El análisis sin restricciones de capital se excluye por ser poco realista, en todo caso dicho
análisis concluye que se deben ejecutar todos los proyectos de VPN positivo, lo cual implica que se
debe determinar la rentabilidad individual a cada uno.
18
perpetuos de monto B, es igual a B / r, donde r es la tasa de descuento.
19
sólo C, A+ B, B+C, A+C y A+B+C. El número 7 se obtiene de los números combinatorios 3!/(1!*2!)
+ 3!/(2!*1!) + 3!/3!. Si tuviésemos 4 proyectos, las combinaciones posibles serían 4!/(1!*3!)+
4!/(2!*2!) + 4!/(3!*1!) + 4!/4! = 15. Se puede ver que para carteras de más de 5 proyectos el número
de alternativas a analizar hace bastante complejo el análisis.
20
perpetuos de monto B, es igual a B / r, donde r es la tasa de descuento.

Se puede ver que el indicador IVAN genera el siguiente ranking distinto al del VPN: primero B,
segundo C y último A. Entonces si ordenamos por IVAN seleccionaremos primero B que consume
5 de nuestras 10 unidades de capital disponible, luego C que consume las 5 restantes y por tanto
el proyecto A queda fuera de la selección, de esta forma se ejecutaría B y C que efectivamente son
la combinación de mayor VPN posible (VPN B+C = 9).
Nótese que para poder calcular el IVAN, y hacer la combinación de inversiones que genere el
máximo VPN, es condición necesaria que se calcule la rentabilidad individual de cada una, ya que
el VPN individual es un dato necesario para el cálculo del IVAN. En síntesis, no es posible hacer
una selección correcta de inversiones independientes sin hacer previamente la evaluación a nivel
individual de cada una.
En el ejemplo todas las inversiones eran individualmente rentables. Con mayor razón es necesario
el análisis proyecto a proyecto cuando hay probabilidades de que algún proyecto individualmente
sea no rentable, para no incurrir en el mala asignación de recursos del ejemplo del Sr. Flores con
su terreno y sus usos agrícolas o inmobiliarios.
Vemos entonces, que tanto en el caso de que todos los proyectos independientes de la cartera son
rentables, como en el caso en que algunos no tienen rentabilidad positiva, el análisis proyecto a
proyecto es necesario para una correcta asignación de recursos.
Caso de proyectos dependientes.
Tanto en el caso en que los proyectos son complementarios como en el caso en que son
sustitutos, la decisión tomada en base a la rentabilidad de la cartera conjunta puede llevar a
errores en términos de pérdidas de VPN, según se muestra a continuación.
–INVERSIONES COMPLEMENTARIAS
Dado un proyecto a con VPNa > 0, si se evalúa un segundo proyecto b con VPN b> 0, entonces
se debe considerar además que la ejecución del proyecto b mejorará la rentabilidad de a (como en
el ejemplo del shampoo y el bálsamo ), le llamaremos
D VPNa al incremento del VPN de a debido a la ejecución de b. El criterio entonces sería:
»SI VPNB + D VPNA > 0 => HACER B Y A

Nótese que la complementariedad en algunos casos puede llegar a significar la conveniencia de
aceptar proyectos con rentabilidad negativa, siempre que los incrementos de rentabilidad que le
provoquen al (o los) otros compensen la pérdida que generaría por sí sólo.
Por ejemplo, supongamos que el proyecto "a" (Shampoo) tiene una rentabilidad individual de 10
unidades monetarias, (VPNa=10) mientras que el del bálsamo tiene una rentabilidad negativa de 5
unidades monetarias (VPNb=-5) pero le incrementa la rentabilidad al proyecto del Shampoo en 6
unidades monetarias (D VPNa=6) con lo que el VPN a sube a 16. En este caso convendría ejecutar
ambos con una rentabilidad de 11 unidades monetarias (10-5+6). Sin embargo si la mejora del
proyecto de Shampoo fuera sólo de 3 unidades monetarias, no compensaría la pérdida del
proyecto bálsamo, en este segundo caso la rentabilidad conjunta de a y b sería 8 unidades
monetarias (10-5+3).

En el segundo caso, si se evaluase sólo en forma conjunta a y b, sólo calcularíamos este VPN total
de 8 y nunca detectaríamos el VPN individual de "a" de 10 ¡mayor!. La única forma de no cometer
este error es evaluar proyecto a proyecto y luego calcular las rentabilidades conjuntas para poder
finalmente optar por la alternativa de mayor VPN.
A modo de resumen de los ejemplos anteriores:
La necesidad de evaluar proyecto a proyecto se refuerza si se desea diseñar políticas de inversión
dependientes del tipo de complementariedad o sustitubilidad entre proyectos. En efecto,
recordemos que los proyectos pueden ser complementarios en beneficios, en costos o en ambos a

la vez, también pueden ser sustitutos en costos, en beneficios o en ambos. Una forma de diseñar
carteras de inversiones es: priorizar proyectos individualmente rentables complementarios en
costos o en beneficios o en ambos y desincentivar la ejecución conjunta de proyectos sustitutos en
costos, o en beneficios o en ambos. Obviamente para poder detectar las complementariedades o
sustitubilidades anteriores es necesario evaluar cada uno individualmente para luego pasar a
detectar los efectos positivos o negativos en los otros proyectos.
–INVERSIONES SUSTITUTAS

Supongamos que la inversión "a" es la represa para embalse de generación de energía y el
proyecto "b" es la represa para regadío con VPNa = 10 si se destina exclusivamente a energía y
VPNb = 8 si se destina exclusivamente a regadío. El uso conjunto de la represa para ambos fines
suboptimiza el uso del agua tanto para "a" como para "b", de forma que el VPNa = 8 y VPNb= 6 ,
es decir el VPN conjunto sería 14. En este caso todavía el VPN conjunto es mejor que el VPN de
cada uno por separado.
Sin embargo, si el grado de sustitubilidad es muy fuerte, el VPN conjunto podría llegar a ser menor
que el VPNa (o inlcuso menor que el VPNb). La regla en este caso debiera ser
»SI VPNAB > 0 => HACER A Y B SSI VPNAB>VPNA Y VPNAB>VPNB

Nuevamente necesitamos evaluar cada proyecto individualmente para poder tomar la decisión
correcta, si la ejecución conjunta disminuye el VPNa hasta 6 el VPNb hasta 3, entonces VPNab=9,
es decir, menor que el de hacer sólo "a", En este segundo caso no conviene hacer ambos, se
incurriría en una pérdida de rentabilidad de 1 unidad monetaria respecto a la alternativa de hacer
sólo "a". El cuadro siguiente resume los casos anteriores.
EN SÍNTESIS SI LAS INVERSIONES SON DEPENDIENTES ENTRE SÍ:
–"RECETA": CALCULAR VPNA, VPNB, VPNAB
–ELEGIR EL MAYOR

Vemos que tanto para proyectos independientes como para proyectos dependientes, se hace
necesaria la evaluación de inversiones a nivel individual ?3?.
Los ejemplos para proyectos dependientes, se ilustraron (por simplicidad) con carteras de sólo dos
proyectos. Para carteras mayores, y para incluir además las restricciones de capital, se hace
necesario trabajar con modelos de optimización de tipo programación lineal o no lineal ?4?., el
análisis de los mismos escapa a los objetivos de este documento, no obstante en dichos modelos
se mantiene la necesidad de identificar costos y beneficios proyecto a proyecto.

Bibliografía.

?1?."Project Evaluation for the Next Decade", Arnold Harberger.

?2?."Evaluación Social del Proyectos", Ernesto Fontaine.

?3?."Inversión Pública Eficiencia y Equidad", MIDEPLAN.

?4?."Operations Research", Hiller Liberman.

INTRODUCCIÓN A RIESGO E INCERTIDUMBRE

1.12 DOS CONCEPTOS:
Se dice que una inversión es riesgosa cuando una o varias variables del flujo de caja son
aleatorias en vez de determinísticas. En estos casos no existirá certeza en los flujos de cada
período. Y, como los indicadores de evaluación de proyectos, por ejemplo el VPN y la TIR, se
calculan a partir de estos flujos, entonces estos indicadores serán también variables aleatorias.
En este caso ya no sirve aplicar directamente el criterio básico que se ha utilizado hasta ahora:
maximizar el VPN de los flujos relevantes, ya que bajo incertidumbre este indicador es una variable
aleatoria. A continuación se analizan dos conceptos de utilidad: incertidumbre y riesgo.
¿Qué es la incertidumbre?
Se entenderá que existe incertidumbre cuando las probabilidades de ocurrencia de un evento no
están cuantificadas, es decir, no se conocen las funciones de distribución de probabilidades. Las
fuentes básicas de incertidumbre radican en falta de información histórica, o bien, en que
existiendo dicha información, no puede ser bien empleada, ya que la información es incompleta,
inexacta, sesgada, falsa o contradictoria.
¿Qué es riesgo?
Se ha señalado que los eventos que sucederán en el futuro no son determinísticos, sino que existe
un grado de incertidumbre acerca de lo que sucederá.
Este grado de incerteza es sólo parcial debido a la historia, la que permite conocer los resultados
obtenidos anteriormente en alguna experiencia y sirve para estimar la probabilidad de que ocurra
un evento específico sometido a iguales condiciones, es decir, en este caso se pueden estimar
funciones de distribución de probabilidades.
Fuentes de Riesgo:
Poco conocimiento de la industria
Dinámica de los precios
Dinámica de la demanda
Gustos y modas
Costos de insumos
Tecnologías
Uso de fuentes de información poco confiables
Errores de interpretación de datos
Errores en la manipulación de información
1.13 ENFOQUES PARA LA INCORPORACIÓN DEL RIESGO
El riesgo y retorno de una inversión se puede analizar individualmente para luego si es necesario
incorporarlo en el riesgo retorno de un portafolio de inversiones
?
Análisis individual de una inversión: existen diversos métodos de incorporación del riesgo. La
elección de cada uno de ellos depende de la información existente (su calidad), de la exactitud
exigida al pronóstico, etc. Conozcamos algunos de ellos:
?
?
?
?

?
?
?
1.1 Análisis Probabilístico
1.2 Análisis de Sensibilidad y de Escenarios
1.3 Ajuste simple en la tasa de descuento
1.4 Simulación

Análisis del Riesgo de portafolio
2.1 Diversificación y en modelo CAPM
2.2 Análisis de Decisiones Secuenciales y Arboles de Decisión
1.14 DISTINTOS NIVELES DE RIESGO
?
?
?
Riesgo País: Variabilidad del PGB
Riesgo Sectorial: Variabilidad del PGB sectorial (del mercado objetivo y de insumos)
Riesgo de una Inversión: Apalancamiento Operativo (Niveles mínimos de operación) y
Apalancamiento Financiero (Riesgo de quiebra)

V(X) ? E??X ? E(X)? ?
1.15 ANÁLISIS INDIVIDUAL DE UNA INVERSIÓN
Este enfoque consiste en evaluar la conveniencia de cada alternativa de proyecto de inversión
separadamente. Dentro de este enfoque existen diversos métodos para determinar la conveniencia
de un proyecto:
1.15.1
ANÁLISIS PROBABILÍSTICO DE UNA INVERSIÓN.
?
Una forma de interpretar el Riesgo y medirlo es la desviación estándar, la variabilidad de los
flujos de caja que implica la variabilidad del VAN
–
Ahora los flujos de caja son variables Aleatorias
Consiste en calcular estimadores de tendencia central y de dispersión del VPN (variable aleatoria)
de un proyecto de inversión a través de su función de distribución de probabilidades.
Breve repaso de probabilidades.
Si se tiene una variable aleatoria (v.a.) continua llamada X, con función densidad f(X), entonces su
valor esperado o esperanza es:
(1)
(2)
(4)
(5)
F1
F3
F4
F2
F
n
F7
F6
F5
…
.
F8
F8
Con X variando en todo su espacio muestral. Si X es discreta entonces:
m

n?1
Es importante recordar que el valor esperado es un operador lineal, es decir:
E(aX ?bY) ? aE(X)?bE(Y)
(3)
?
Por otro lado, la varianza de X es:
2
? E?X 2 ?2* X *E(X)? E 2(X)
? E(X 2)? E 2(X)
La varianza no es un operador lineal, en efecto:

V(aX ?bY) ? a2V(X)?b2V(Y)?2abCOV(X,Y)
?
?
??X
f (X)dX
E(X) ?

E(VPN(X)) ? E(F0(X))??
?
??VPN?? ? 2? ?F0 ??
? ?
? 2?Ft?
?(1? r)
?
Ft
??VPN?? ? ? ??
? ? ?
? ? i 0? ? j 0
? ??Ft?
? ??
? t?0 (1? r)
??Ft?
?
n
? ? ??
t?0 (1? r)
?
Donde:
(6)
La covarianza será no nula entre las variables aleatorias cuando ellas tienen algún grado de
correlación entre ellas. Se define el coeficiente de correlación entre X e Y como
xy:
(7)
¿Cuál es el criterio de decisión para este enfoque?. Determinar si es conveniente o no hacer un
(2)
Desviación estándar del VPN
Existen tres casos posibles: En primer lugar, podría ocurrir que los flujos de caja de cualquier
periodo sean estadísticamente independientes de los flujos de los periodos restantes. En segundo
lugar, podría ocurrir que los flujos de cualquiera de los periodos tuviesen correlación perfecta con
los flujos de los periodos restantes. Los dos casos anteriores son los menos probables, lo que
probablemente se encuentre en la realidad de un proyecto, son flujos que no son independientes y
tampoco tienen correlación perfecta, es decir, el caso intermedio de flujos con correlación
imperfecta.
i) Flujos de caja independientes:
(11)
Luego:
(12)
ii) Flujos de caja perfectamente correlacionados:
(13)
Luego:
(14)
proyecto riesgoso requiere de elementos algo más complejos que la evaluación de proyectos
determinística. Como primer paso debemos conocer los conceptos de valor esperado y desviación
estándar del VPN.

VPN esperado
Se parte del supuesto de que se tiene una variable aleatoria X que está presente en todos los
flujos, luego tienen un flujo de caja aleatorio con un horizonte de n períodos Fo(X), F1(X),
F2(X),…,Fn(X). A partir de ellos pueden obtener un VPN aleatorio VPN(X). Luego el VPN esperado
será la esperanza de ese VPN aleatorio:
(1)
n

t
n

t?1
E(Ft(X))
(1?r)t
COV(X,Y) ? E??X ?E(X)??Y ?E(Y)??
,con? X ? V(X) y?Y ? V(Y)
COV(X,Y)
? X?Y
? X ,Y ?
COV(Fi,Fj) ? ??Fi,Fj?? 0, ?i ? j
?
n
n

t?0
2t
? t?1
Ft ?
(1? r)t ?
?i, j
?1,
COV (Fi,Fj )
? (Fi)?(Fj )
??Fi,Fj??
?
?
?
t
n
t
n n
t
2
2
n
? t?0 (1? r)
??Fi???Fj?
(1? r)i? j

??VPN?? ? ? ??
? ? ?
? 2?Ft?
? ? t 0 (1?r)2t
?2?
?
iii) Flujos de caja imperfectamente correlacionados:
(15)
Función de distribución de probabilidad del VPN.
Teorema del Límite Central
Si una variable aleatoria X puede ser expresada como la suma de n variables aleatorias
independientes, entonces para un “n grande” la variable aleatoria X sigue aproximadamente una
distribución normal.
Figura 1: Distribución de probabilidades del VPN

f(VPN)

Distribución de Probabilidades

del VPN

?(VPN)

VPN [$]
E(VPN)

Fuente: Elaboración Propia.
El VPN es en efecto una variable aleatoria que es igual a la suma (ponderada) de (n+1) variables
aleatorias: los flujos de caja.
Por lo que con las funciones de distribución de los flujos de caja se puede obtener el
comportamiento probabilístico del VPN. La forma funcional de la distribución de probabilidad del
VPN dependerá del número de flujos, de la distribución de cada uno y de la independencia que
exista entre ellos.
No obstante, como ya se ha dicho, por el Teorema Central del Límite, se sabe que
independientemente de las distribuciones de los flujos de cada período, la distribución del VPN
tenderá a ajustarse a una distribución normal, para proyectos con largos horizontes de evaluación
(muchos variables aleatorias Ft).
?
?
n?1 n

i?0 j?i?1
n
t
2? n Ft
? t?0 (1?r)
??Fi,Fj???Fi???Fj?
(1?r)i? j

?
¿ Que inversión elegir?
?
?
< ?
La decisión depende del “comportamiento” del inversor frente al riesgo el cual puede ser
Neutro, Amante o Adverso
?
¿Cómo se define el comportamiento de un inversionista ante el riesgo?
Sometemos al inversionista a la siguiente pregunta:
¿ Por cuanto dinero estaría dispuesto a vender el boleto de la siguiente lotería?
50 % de probabilidad de ganar $ 1.000.000
50 % de probabilidad de ganar $ 500.000

El valor esperado (E) de la lotería es:
E = 0,5 * 1.000.000 + 0,5 * 500.000 = 750.000
?
?
?
?
Si para el precio (E’) que esta dispuesto a vender se cumple:
E’< E Adverso al riego
E’ = E Neutro al Riesgo
E’ > E Amante del riesgo
$
Probabilidad
Distribución de probabilidades

del VAN
m
s
$
Probabilidad
Distribución de probabilidades

del VAN
???
???
???
???

Aunque como comentario debemos mencionar que casi todos los agentes económicos son
adversos al riesgo
?
Por otro lado, una medida del riesgo relativo (para comparar distintas alternativas riesgosas)
nos la entrega el Coeficiente de Variabilidad (CV), el que se obtiene como CV =
, indicador
que nos entrega unidades de riesgo asociadas a cada unidad monetaria de incremento de riqueza.
Por lo tanto, un inversionista adverso al riesgo optaría por la inversión de menor CV, uno
preferente al riesgo el de mayor CV y uno neutro optaría por el mayor retorno esperado (para ver
ejemplos y problemas propuestos ir a Anexo 5).
1.15.2
ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD Y DE ESCENARIOS
Análisis de sensibilidad.
Primero se realiza la evaluación del proyecto en una situación base, tomando los valores
esperados o medios de las variables aleatorias. Después se determinan las variables más
significativas que afectan los indicadores de conveniencia del proyecto, entre ellos:
– precio de venta
– precios de insumos
– costos de producción
– volúmenes de venta
– coeficientes tecnológicos
– inversión.
Se busca sensibilizar los indicadores ante variaciones en las variables significativas más inciertas.
Tabla 1: Análisis de sensibilidad.
Fuente: Elaboración propia.
Por ejemplo, se puede evaluar la situación base para el horizonte t1 del proyecto. Y evaluar precios
de venta inferiores en un x% a los de la situación base, precio de uno o varios insumos importantes
un y% más caros, ventas un z% inferiores, o costos de operación un w% más caros. Además, se
puede evaluar el proyecto con un horizonte t2 < t1.
Lo relevante es determinar cuáles son las variables críticas que hacen que el proyecto sea o no
conveniente, y si para variaciones o errores de esos parámetros, el proyecto sigue siendo atractivo.
Por ese motivo, también pueden ser consideradas variables como la inversión fija, el valor residual
de ésta al momento de liquidación del proyecto, inversión en capital de trabajo, etc.
Si el impacto de una variable riesgosa en el VPN es importante, entonces el proyecto es riesgoso.
El nivel de riesgo se determina en la medida que el VPN se hace negativo para valores probables
de la variable.
En este caso, se debe hacer una evaluación costo-beneficio de la conveniencia de comprar
certidumbre. Por ejemplo, seguros o precios futuros.
Una de las formas en las que se suele presentar los resultados de un análisis de sensibilidad, es
mediante el cálculo de elasticidades del VAN respecto a cada una de las variables riesgosas:
(?VAN / VAN ) / (?X / X), donde X es cualquiera de las variables riesgosas sujeto de análisis.

Con ese indicador, el cuadro de análisis se puede presentar de la siguiente forma:
Tabla 2: Cálculo de elasticidades
Fuente: Elaboración Propia.
A continuación se presenta (Tabla 3) un ejemplo de aplicación de este método a un proyecto de
riego. En esta tabla, a través del análisis de sensibilidad, se determina que en ese proyecto las
variables más relevantes de analizar, son los precios de las papas, las remolachas, las
frambuesas, la carne y la leche.

Tabla 3: Ejemplo de aplicación al proyecto Victoria – Vilcún
Cultivo

Trigo
Cebada
Avena
Papa
Remolacha
Frambuesa c.v. Meeker*
Frambuesa c.v. Heritage*
Manzano c.v. Fuji
Manzano c.v. Royal Gala
Carne*
Leche*

Todoslosprecios

Inversión($)
Xo
$/Kg.

89.9
77.3
54.2
65.3
22.2
791.2
615.3
68.7
53.9
492.1
101.2

898.716.320
X1
$/Kg.

98.9
85.0
59.6
71.8
24.4
870.4
676.9
75.5
59.2
541.3
111.3

988.587.952
VAN o
$

5.863.332.018
5.863.332.018
5.863.332.018
5.863.332.018
5.863.332.018
5.863.332.018
5.863.332.018
5.863.332.018
5.863.332.018
5.863.332.018
5.863.332.018

5.863.332.018

5.863.332.018
VAN1
$

5.812.634.841
5.862.526.161
5.843.866.248
6.079.568.812
6.002.695.748
6.004.683.604
5.862.264.932
5.930.782.371
5.920.210.860
6.005.528.845
6.552.122.261

7.243.564.502

5.773.460.386
Delta VAN
$

-50.697.177
-805.856
-19.465.770
216.236.794
139.363.730
141.351.586
-1.067.086
67.450.353
56.878.842
142.196.828
688.790.244

1.380.232.484

-89.871.632
Delta VAN
VAN o

-0.86%
-0.01%
-0.33%
3.69%
2.38%
2.41%
-0.02%
1.15%
0.97%
2.43%
11.75%

23.54%

-1.53%
DeltaX
Xo

10.00%
10.00%
10.00%
10.00%
10.00%
10.00%
10.00%
10.00%
10.00%
10.00%
10.00%

10.00%

10.00%
Elasticidad

-8.65%
-0.14%
-3.32%
36.88%
23.77%
24.11%
-0.18%
11.50%
9.70%
24.25%
117.47%

235.40%

-15.33%
*Enelcaso de las frambuesas,carne y leche no hay una única proyecciónde precio.
Fuente: Elaboración propia a partir del Estudio de Factibilidad Habilitación Canal La Victoria de
Vilcún, Geotécnica Consultores, 1997.
Ventajas del método:
– Fácil aplicación
– Fácil de entender
Desventajas del método:
– Sólo permite analizar variaciones de un parámetro a la vez.
– No utiliza información como las distribuciones de probabilidad del parámetro a
sensibilizar.
– No entrega distribución de probabilidades de los indicadores de rentabilidad (VPN o TIR),
como se hace en el caso del análisis probabilístico y la simulación21.
Más allá de estas críticas, deben considerarse los siguientes argumentos (a favor del método):
– Es el análisis más factible cuando se carece de información histórica sobre el comportamiento de
las variables riesgosas. Esa información es necesaria para determinar las funciones de distribución
de probabilidad de dichas variables, y es uno de los datos de entrada necesarios para hacer
análisis probabilística o simulación, sin ellos la aplicación de ese tipo de métodos es menos
rigurosa.
– Es un buen paso, previo al análisis probabilístico o la simulación, ya que ayuda a detectar las
variables críticas desde el punto de vista del riesgo, siendo esas las que posteriormente debiesen
tener prioridad en el proceso de modelamiento, de esa forma se hace más eficiente el análisis
probabilístico o la simulación, al permitir la focalización en las variables más importantes.
Análisis de Escenarios
Este método permite resolver el problema de la unidimensionalidad del análisis de sensibilidad.
Esto se logra a través de definir escenarios para las distintas variables riesgosas que afectan la
inversión.
Cada escenario está determinado por los valores que supuestamente tomarían las variables
riesgosas en estos. Habitualmente se definen 3 escenarios: optimista, medio (también llamado
escenario base o neutro) y pesimista.
Ejemplo de un escenario optimista:
–
–
–

21
precio del producto es un 20% superior al estimado en la situación base
precio de los insumos se mantienen
el volumen de producción y venta es un 10% superior al de la situación base.

Que se presenta más adelante.

Es decir, un escenario es un cambio coherente en las variables riesgosas, ya que no todas las
combinaciones de variables aleatorias son igualmente probables. La definición de los escenarios
posibles debe ser realizada por la propia organización que está evaluando el proyecto o por
expertos de ese sector industrial.
Este método es levemente mejor que el de sensibilidad ya que considera que hay varias variables
que pueden variar en forma conjunta (no necesariamente una a la vez), pero mantiene las
desventajas y sesgos del análisis anterior.
1.15.3
ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD CON 2 VARIABLES
?
Sensibilidad con respecto a Precio – Producto, a la inversión
1. Se impone VPN = 0
2. El análisis se hace sensible a 2 variables (I,P)
3. Se despeja P = P(I), I = I(P)
4. También se puede hacer extensivo el modelo a otras variables como por ejemplo: costo
variable unitario y cantidad de producto.
1.15.4
EQUIVALENTE CIERTO
Es una cantidad determinística (no aleatoria) que deja indiferente al adverso al riesgo con respecto
a un evento de riesgo.
Equivalente
Cierto
E'
= ? *

= ? E
Valor esperado de la
variable riesgosa
Con ? menor que 1
?
Para inversión o un préstamo, otro método de incorporar sería "castigar" los flujos con un
ponderador de ? ? 1
?
Encontrar flujo futuro equivalente cierto:
? t=0
F t
E(VPN)
=
————
( 1+ r) t
VPN
? t=0
?t F t
=
Equivalencia
Cierto
————
( 1+ r) t
Donde
?t=
( 1+ r)t
( 1+ r + p) t

Desde el punto de vista teórico, este enfoque se sustenta en la teoría de preferencias sobre
contingencias (Von Neumann – Morgenstern) y en la utilidad esperada:
Regla de Utilidad Esperada
Este enfoque supone que aunque el aumento en el VPN de una persona u organización aumenta
siempre su bienestar (suponiendo todo lo demás constante), éste no lo hace linealmente, sino que
su aporte marginal es positivo pero decreciente.
Además, con incertidumbre se tiene que maximizar el bienestar (lo relevante) no necesariamente
es equivalente a maximizar la riqueza como ocurre en bajo certidumbre.
Esto se muestra con un ejemplo. Supongamos que un proyecto riesgoso tiene dos posibles
resultados VPN1 y VPN2, cada uno con una probabilidad de ocurrencia de p y (1-p). Y que la
función de utilidad del dueño del proyecto es U(VPN). Con:
(17)
Es decir, U(VPN) es cóncava. Cumpliendo de esa manera con que la utilidad siempre aumenta con
la riqueza, pero este aumento es marginalmente decreciente.
? 0
? 0,
?2U
?VPN 2
?U
?VPN

Figura 5: Función de utilidad y aversión al riesgo
t t
(18)
E(VPN) ? pVPN1 ?(1? p)VPN2
En tanto que la utilidad esperada es igual a:
E(U(VPN)) ? pU(VPN1)?(1? p)U(VPN2)
(19)

Se puede ver que debido a que U(VPN) es cóncava ocurre que E(U(VPN)) < U(E(VPN)).
Es decir la utilidad que otorga recibir E(VPN) con probabilidad 1 es mayor que la utilidad que
otorga el proyecto aleatorio. Es decir, el riesgo hace disminuir la utilidad, aunque el valor esperado
sea el mismo.

Lo anterior lleva al concepto de equivalente cierto (EC). Este valor es tal, que si se obtiene con
probabilidad 1 y es evaluado en la función de utilidad entrega el mismo bienestar que el proyecto
riesgoso. Aunque con un menor aporte esperado a la riqueza.
Podemos definir el concepto de equivalente cierto o equivalencia a la certidumbre, como la
cantidad sin riesgo que a un inversionista le resulta indiferente con respecto a un valor esperado de
una variable aleatoria riesgosa. Para un averso al riesgo se cumple que ese equivalente cierto es
menor que el valor esperado de la variable riesgosa.
Esta diferencia en la riqueza (E(VPN)-EC) es el premio por riesgo exigido por realizar el proyecto.
El concepto de equivalente cierto puede ser aplicado también al flujo de caja, de forma que:
(20)
EC(F ) ? E(F )? premio por riesgo
De forma que la función de utilidad cóncava explica el comportamiento adverso al riesgo. Por lo
tanto, una función de utilidad lineal representará un comportamiento neutro al riesgo.
VPN
U(VPN)
VPN1
p
Fuente: Elaboración Propia

El proyecto aleatorio entrega un VPN esperado de:
VPN2
1-p
E(VPN)
U(VPN2)
U(E(VPN))

E(U(VPN))

U(VPN1)
EC

Consecuentemente, una función de utilidad convexa representa el comportamiento amante del
riesgo, es decir, que en vez de exigir un premio adicional en la riqueza por correr riesgo, se está
dispuesto a sacrificar riqueza por él. En general, el resultado anterior se puede presentar
alternativamente como:
EC(Ft) =
E(Ft) con
< 1
(21)
Con
: grado de aversión al riesgo
¿Cómo se determina
?
Depende de la función de utilidad del inversionista, la cual no es observable, esa es una dificultad
de aplicación de este método, ya que el parámetro de aversión al riesgo sólo se revela en la toma
de decisiones, esta dificultad es aún mayor cuando el tomador de decisiones es un organismo
público, dado que el inversionista en ese caso es al conjunto de la sociedad.
¡Para ver ejemplo ir a Anexo 5!
AJUSTE SIMPLE EN LA TASA DE DESCUENTO
1.15.5
Sean:
Ejemplo:
Otra forma de incorporar el riesgo en una inversión individual es considerar que ante dos proyectos
de inversión de diferente riesgo, los flujos esperados del proyecto más riesgoso se deben
descontar con una mayor tasa, ya que se le “debe” exigir una mayor rentabilidad.
??????????
Alto
?
4500
4500
10000
4500
???
?????
Es decir, se debe exigir un premio por riesgo, el que se refleja en una mayor tasa de descuento:
rRiesgo ? rLibrede Riesgo ? premio por riesgo

(22)
Problemas del Método:

EC(Ft)
VPN ? EC(F 0)??
–
El premio por riesgo se fija arbitrariamente. Esta crítica es válida para el método tal y como se
ha presentado hasta este punto. Más adelante, cuando se presente el tema de Riesgo y carteras,
se verá como el premio por riesgo puede ser calculado con el sustento teórico en el modelo CAPM.
–
–
No se utiliza información valiosa como la distribución de probabilidades de los flujos futuros.
El riesgo aumenta a medida que pasa el tiempo. Lo que no necesariamente será siempre
(24)
Dado que se encontraran flujos ciertos que son equivalentes a los riesgosos, se deben descontar
con el costo de oportunidad del dinero que está libre de riesgo.
Lo anterior permite relacionar el método de los equivalentes ciertos con el ajuste a la tasa de
descuento. La demostración de esta relación se presenta a continuación. Cabe señalar que en
dicha demostración se utiliza el cálculo del premio al riesgo con el modelo CAPM que se presenta
más adelante en 8.5:
Sean F y EC el flujo incierto y el equivalente cierto respectivamente, y sean r y rf las tasas con
riesgo y sin riesgo (la primera determinada según CAPM). Debe cumplirse que:
VA = EC / (1+rf) = F / (1+r)
(25)
de donde F / VA = (1+r). Luego,
F / VA = 1+rf + ? (rm –rf) (1)
(26)
Pero
? = COV (r, rm) / VAR (rm) = COV (F / VA – 1, rm)/ VAR (rm)
(27)
dado que VA es el precio actual (valor cierto):
? = COV (F , rm)/ VA*VAR (rm)
reemplazando en (1)
=> F / VA = 1+rf + ?COV (F , rm)/ VA*VAR (rm)? (rm –rf)
=> F = (1+rf)*VA + ?COV (F , rm)/ VAR (rm)? (rm –rf) (29)
=> VA = ?F – COV (F , rm) *(rm-rf)/ VAR (rm) ? / (1+rf)
De donde se concluye que el flujo equivalente cierto es:
EC = F – COV (F , rm) *(rm-rf)/ VAR (rm)
(28)

(30)
La expresión anterior permite encontrar el flujo equivalente cierto sin necesidad de conocer los
datos del modelo CAPM. Sin embargo, si ya se ha calculado la tasa de descuento con CAPM, se
puede determinar EC de una forma alternativa (más simple), ya que si
VA = EC / (1+rf) = F / (1+r)
(31)
=> EC = (1+rf) F / (1+r)
Entonces en general, para un período t cualquiera se tiene que:
EC = ?t F (32)
donde ?t =? (1+rf) / (1+r)? t < 1

Nótese que en todos los casos, llegar a obtener el parámetro de equivalencia a la certidumbre,
implica que se debió desarrollar previamente el método de ajuste a la tasa de descuento, lo que
plantea el cuestionamiento de la utilidad del método de equivalencia a la certidumbre, dado que si
ya se calculó la tasa de descuento ajustada por riesgo, deja de ser necesario incluir el riesgo en los
flujos vía equivalencia a la certidumbre.
t t
verdadero.
Alternativamente como ya se vio, se ha propuesto adaptar el concepto de equivalente cierto al flujo
de caja. Es decir:
(23)
EC(F ) ? E(F )? premio por riesgo

Luego, el VPN del proyecto con este método se calcula como:
t
n
t?1 (1?rlibre deriesgo)

1.15.6
SIMULACIÓN
Surge como respuesta a las limitaciones del modelo probabilístico, este último:
probabilidades
–
–
»
»
Requiere conocimientos y manejo acabado de conceptos de
Es de difícil formulación matemática debido a la necesidad de:
Modelación de las relaciones entre flujos
Modelación de la relaciones entre variables
Por lo tanto en algunos casos se llega a la imposibilidad de llegar a una solución analítica. La
solución práctica ha sido la Simulación Computacional
Esta técnica surgió a partir del desarrollo de la computación e informática que les permite hacer
una gran cantidad de cálculos en poco tiempo. La idea tras la simulación es ”recrear" numérica y
reiteradamente la experiencia aleatoria que interesa analizar, por medio de un modelo que
describa el comportamiento del sistema (no es optimizante) y mida las variables de desempeño del
sistema bajo distintos parámetros dados.
La simulación permite la evaluación de un gran número de escenarios generados aleatoriamente,
de acuerdo a las distribuciones de probabilidades de las variables riesgosas y de las relaciones de
interdependencia entre ellas.
Procedimiento : Se puede representar en el siguiente esquema
Datos de entrada :

– Tasa descuento

– Tasa Impositiva

– Definición Probabilística
de variables riesgosas

– Relación entre variables
Generador de

variables

aleatorias.
de
Modelo
Inversión
Criterios de
Evaluación :

– VAN

– TIR

– Pay-Back
Distribución de

Probabilidades
De los criterios

seleccionados.
Análisis estadístico

de la distribución
de los criterios de

Evaluación.

Resultado de la simulación: Obtienen un Histograma, que representa en forma aproximada la
Distribución de Probabilidades del VAN (suponiendo que ese es el criterio de evaluación
seleccionado):

Nótese de la figura, que uno de los datos de entrada necesarios es la definición de las
distribuciones probabilísticas de las variables riesgosas. En la propuesta metodológica, éstas
deben de ser previamente identificadas mediante análisis de sensibilidad.
Las Distribuciones de Probabilidad más usadas :
–

–

–

–
Uniforme

Triangular

Normal

Binomial
Si

No

Values x 10^-4
–
“ad hoc”
Ejemplo: Evaluación Proyectos de Riego

Figura 4: Obtención de la función de distribución para un producto agrícola.

Distribuciónde precios arveja
LogLogistic(991,68,7470,5,4,0674)
X< =4614
5,0%
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
5
10
15
20
25
X< =16399
95,0%

@RISK Student Version
For Academic Use Only
Values in Thousands

Fuente: Elaboración Propia.

1.16 RIESGO Y RENTABILIDAD DE PORTAFOLIO
La teoría del portafolio considera como pilar básico los beneficios de la diversificación. En este
sentido Markowitz se preocupa del grado de covarianza entre las rentabilidades de los activos
componentes de un portafolio. La idea central es combinar en un portafolio, activos que no estén
perfectamente correlacionados, con el propósito de disminuir el riesgo sin sacrificar rentabilidad.

Sean
E(ri)
?i
?ij
Ep
: valor esperado de la rentabilidad del activo i
: varianza de la rentabilidad de i
: coeficiente de correlación entre los retornos de los activos i y j
: valor esperado de la rentabilidad del portfolio
2
?p
Xi
n
: varianza de la rentabilidad del portafolio
: proporción de la riqueza invertida en el activo i
: numero total de alternativas de inversión
El modelo de Markowitz plantea la minimización del riesgo del portafolio (medido por medio de la
varianza del mismo) sujeto a un nivel mínimo de rentabilidad esperada por el inversionista.
Alternativamente, se puede plantear el problema dual de maximización de la rentabilidad esperada
sujeto a un nivel máximo de riesgo del portafolio. En el óptimo las soluciones de ambos problemas
coinciden.

El modelo de optimización en el primer caso es:
Min
?
p
2
sujeto a
Ep >= E0
? Xi ? 1
Xi >=< 0
Eo es el nivel mínimo de rentabilidad exigida. Los Xi son la variable del problema y están
expresados como proporción (porcentaje) respecto a la riqueza total del inversionista, por lo tanto
la suma de dichas proporciones debe ser igual al 100% de la riqueza, esto se traduce en la
segunda restricción. Por último, la tercera restricción indica que las soluciones no deben ser
necesariamente mayores que cero, en caso de que un Xi resulte positivo en el óptimo, significa que
el inversionista deberá invertir en ese activo una proporción Xi, en el caso de que resulta negativo
deberá endeudarse en ese activo (por ejemplo vendiendo bonos).
Por definición se tiene además que
rp ?? Xi*ri
es decir, la rentabilidad del portfolio es igual al promedio de las rentabilidades de cada inversión
ponderadas por la proporción de la riqueza invertida en cada una.
Por propiedad de la esperanza matemática:
Ep ? E(rp) ??Xi*E(ri)
mientras que la varianza
?p2 ?V(rp)
???p2 ?? Xi2*?i2??? Xi*XjCov(Xi,Xj)
La solución del problema se puede ilustrar intuitivamente de forma gráfica. Considerando que
Cov(Xi,Xj)??ij*?i*?j
Se tiene que en el caso de dos alternativas de inversión el problema se reduce a:
Min?p ? X12*? 22 ? X 22*? 22?2?12X1X 2?1? 2

sujeto a
Ep ? X1E(r1) ? X 2E(r2) ?? E0
X 1? X 2 ?1
De las dos restricciones se puede despejar X1 y X2 en función de Ep, E(r1) y E(r2), reemplazando
en ?p2 obtenemos
Ep = E(rp) = f(?p ) ??p ? f(Ep)

La rentabilidad esperada es función del riesgo o viceversa, más aún, en el caso en que el
coeficiente de correlación es igual a más o menos uno, la varianza del portafolio (desviación
estándar al cuadrado es igual a un binomio cuadrado perfecto, por lo que en esos casos extremos
de correlación perfecta positiva o negativa la función implícita “f” es una función lineal con modulo
(es decir simétrica). Si graficamos estos comportamientos extremos en los ejes rentabilidad
esperada vs. riesgo obtenemos lo siguiente:

Se demuestra que en el caso más general en que -1< ? < 1 se obtienen curvas intermedias entre
las rectas de los valores extremos que representan el riesgo en función de la rentabilidad o
viceversa. Se llama a estas curvas frontera de carteras eficientes.
En esta deducción hemos considerado solamente inversiones riesgosas. Si agregamos ahora la
posibilidad de invertir en un activo de cero riesgo (por ende situado sobre el eje de la rentabilidad
esperada) con rentabilidad Rf, tenemos que el inversionista podrá combinar la inversión en activos
riesgosos con el de cero riesgo. Cualquier combinación de un punto de la frontera de carteras
eficientes con el activo de cero riesgo será una combinación lineal. La combinación óptima será
aquella en la que la recta de la combinación de activos riesgosos con el de cero riesgo sea
tangente a le frontera de carteras eficientes.

Si imponemos que la pendiente de la recta sea igual a la derivada de la curva en el punto M de
tangencia tenemos:
(E(Rm)?Rf )/?m??E(rp)/??p
? = -1
? =1

-1< ? < 1
E(r)

E(r2)

E(r1)
?1
?2
?

donde el par ( E(Rm),?m ) representa la rentabilidad esperada y el riesgo de la combinación de
activos riesgosos. Usamos la letra “m” para denominarle cartera de mercado y levantamos el
supuesto de que solamente esté compuesto por dos activos.
Para el cálculo de ?E(rp) / ??p se expresa E(rp) como
E(rp) = a*E(ri) + (1-a)*E(rm)
donde E(ri) es la rentabilidad esperada de la inversión en un activo i cualquiera, es decir, la
rentabilidad de la cartera de se expresa como la combinación de un activo i cualquiera y el resto de
los inversiones.

Análogamente
?p ? a2?i2?(1?a)2?m2?2a(1?a)Cov(i,m)
Se calcula
?E(rp)/??p ??E(rp)/?a*?a/??p ??E(rp)/?a*(1/??p /?a)
Luego en la condición de óptimo anteriormente planteada se llega a:
(E(rm) ? Rf ) /?m ? ?E(rp)/?? ? (E(ri)? E(rm))*?m /(Cov(i,m)??m2)
Reordenando términos se obtiene el modelo de valoración de activos de capital:
E(ri)?Rf ?Cov(i,m)/?m2*(E(rm)?Rf)
Siguiendo el modelo de valoración de activos de capital, más conocido como CAPM (capital asset
pricing model), el retorno esperado de un activo riesgoso puede expresarse como la suma del
retorno de un activo libre de riesgo y del premio por asumir ese riesgo. El precio es (en el modelo
CAPM) el producto del factor beta por el precio del riesgo descrito arriba.
Analíticamente el CAPM se puede expresar como:
–
donde:
Rf
i
:
:
:
:
retorno esperando sobre el activo riesgoso i;
tasa libre de riesgo;
coeficiente de riesgo sistemático del activo i; y
retorno esperado sobre el portafolio de mercado m.
El coeficiente de riesgo sistemático o factor beta se define por:
?i ?
Cov(Ri,Rm)
Var(Rm)
:
donde:
,
Cov (Ri Rm)

Var(Rm) :
covarianza entre el activo riesgoso i y el portafolio de mercado m; y

Varianza del portafolio de mercado m.
El valor de beta puede ser positivo o negativo, dependiendo de cómo covaríen el activo riesgoso y
el portafolio de mercado. Usualmente es mayor que cero, y se sitúa en el entorno de la unidad. El
beta asociado al portafolio de mercado es igual a uno. Si el beta del activo i es mayor que uno,
entonces se dice que el activo es más volátil que el mercado.
El coeficiente de riesgo sistemático representa el riesgo no diversificable, es decir, el riesgo de la
economía como un todo. El riesgo total se puede definir como:
Riesgo Total = Riesgo sistemático + Riesgo no sistemático
El riesgo no sistemático se puede eliminar mediante la diversificación de las inversiones de los
individuos, por lo tanto el único riesgo relevante y no diversificable es el sistemático1-2 se descarta
pues al mismo riesgo se puede obtener mejor rentabilidad
?
En efecto, la varianza del portafolio (riesgo total) es:

Siendo X la fracción de riqueza invertida en cada activo riesgoso,
?
NOTA: ?p2= VAR (rp)
Vemos como los beneficios de la diversificación del riesgo, disminuyen al aumentar el número de
activos
Sabemos que la relación más típica entre riesgo y rentabilidad es lineal, lo que significa que la
rentabilidad de un activo se “explica” en función de la cantidad de riesgo que tiene.
?
?
Cov (Ri,RM) /Var(RM) = Bi representa la cantidad de riesgo y se denomina riesgo sistemático.
Por definición sabemos que BM = 1 = Cov(RM,RM)/Var(RM) = Var(RM)/ Var(RM) = 1.
?
?
Activo más volátil o sensible que el "mercado"
Activo menos volátil o sensible que el "mercado"
En definitiva veamos para que sirve el modelo:

?
?
Aplicando el modelo veamos como determinamos ciertos parámetros:
Tasa libre de riesgo: candidatos Papeles del Banco Central de Chile (PRC’s van desde 2 a
20 años)
?
Rentabilidad esperada de mercado: primer problema ¿Cuál es el portafolio de mercado?
Teóricamente representa el valor de mercado de todos los activos de la economía (debidamente
ponderados).
Candidatos para RM : índices bursátiles (IPSA, IGPA), índices sectoriales, PIB, consumo agregado
real.
?
?
Estimación de Betas
El beta de una compañía es típicamente estimado a través de una regresión con datos
históricos, por lo cual es importantísimo la calidad de la información.
?
ML estimó el beta para Hewlett Packard a partir de 60 observaciones de retornos de su acción
y S&P 500 y obtuvo

=1.81 significa alto riesgo. Claramente mayor que la volatilidad del portafolio de mercado.
?
El costo de capital promedio ponderado (WACC) asume que la estructura de capital es
replicable y nos permite descontar los flujos generados por el proyecto puro, es decir el valor
económico del activo o de una empresa.
WACC =
Re
C
+ i
D
D+C
D+C

i = Rd ; WACC = Ra
BA =
BE
C
+ Bd
D
D+C
D+C
BA = Activos
BE = Patrimonio
Bd = Deuda
?
?
RA = RLR + BA (Rm – Rf)

Tanto el CAPM como el WACC “aproximan” el costo de capital para efectos de valoración.
Una aproximación más exacta consiste en valorar cada componente del flujo de caja de
acuerdo a su propio costo de capital.
Esto se conoce como valoración por componentes o valor presente neto ajustado.
Si se usa el WACC, se deben descontar los flujos de la inversión “pura” (sin deuda). Se obtiene un
Valor Presente de los activos. Si se desea estimar el Valor Presente del Patrimonio, al valor
anterior se le resta el Valor Presente de la deuda. Es equivalente a descontar los flujos con deuda
(“inversión financiada”), con la tasa de costo del patrimonio Re (ó cost of equity ó rentabilidad
patrimonial ó rentabilidad sobre el capital).
CAPM INTERNACIONAL (CAPITAL ASSETS PRICING MODEL)
ALTERNATIVA AL PORTAFOLIO DOMÉSTICO

Una manera de evitar el problema de trabajar con un portafolio no observable es un portafolio
“mundial”. Un proxy típicamente usado para estos efectos es un índice proveniente de los países
que permiten un libre flujo de capitales (OECD). Bajo este esquema, estaríamos interpretando a la
OECD como un solo gran país.
No obstante lo anterior, no debemos dejar de reconocer el Riesgo cambiario dado que
inversionistas internacionales están expuestos a riesgos de tipo de cambio real. Más aún,
inversionistas de diferentes países no tienen expectativas homogéneas debido a que el retorno
para ellos puede ser diferente dependiendo del país donde se encuentren.
Inversionistas chilenos estarán preocupados de su rentabilidad en pesos chilenos.
Si por ejemplo, ellos tienen un portafolio de acciones en Estados Unidos, su retorno en pesos será:
1+rpeso = (1+rdólares)(1+speso/dólar)
s corresponde al cambio en el tipo de cambio.
Inversionistas chilenos se preocuparán ahora de la distribución conjunta del retorno del portafolio
en pesos y del tipo de cambio.
Esto quiere decir que el valor esperado y la varianza del portafolio no son suficientes para rankear
portafolios.
Específicamente, debemos considerar la covarianza entre el retorno del portafolio y el tipo de
cambio.
Para incorporar el efecto del riesgo cambiario, debemos capturar el premio que espera recibir un
inversionista por tomar este riesgo.
En un modelo de dos países (Estados Unidos y Chile), podemos usar como premio por riesgo
cambiario la diferencia entre los bonos del tesoro de Estados Unidos y bonos libre de riesgo en
Chile.
?
Reformulando CAPM obtenemos:

Esta reformulación puede ser estimada a través de la siguiente ecuación:
La extensión al modelo a muchos países se obtiene incorporando los restantes tipos de cambio:

ANEXO CASOS

CASO “GALVANIZADO”

Eduardo Contreras V.
29.09.01

Se tiene una planta ubicada sobre un predio agrícola, en la cual se procesan metales
sometiéndolos a procesos de galvanización (principalmente barreras de contención de carreteras y
torres de alta tensión), el valor de mercado de la planta es de 4,5 millones de U$. Su valor libro es
cero. Para los próximos 4 años se espera que los resultados sean los siguientes:
Ventas
Costo variable planta
Costo fijo planta
Depreciación planta
16,5 MM U$
8,4 MM U$
3,3 MM U$
0 MM U$
Al final del período el valor residual de la planta es 0 (de mercado). Se desea evaluar las siguientes
alternativas:

a) Arrendar el predio a 3 MM$ anuales y vender la planta inmediatamente a 4,5 MM$

b) Modificar la planta para que además produzca tubos de metal extruídos, se produce en base a
las mismas materias primas anteriores, con ello las ventas serían el doble y los costos variables de
la planta se incrementarían a 12,87 MMU$, el resto de los costos permanecen iguales. Las nuevas
instalaciones cuestan 12 MMU$ y se financian en un 50% con un crédito pagadero en 4 cuotas con
amortizaciones iguales y un interés sobre el saldo de 10% anual (real). La vida útil de las nuevas
instalaciones es de 4 años, el valor residual sigue siendo cero al cabo de 4 años.

La tasa de descuento relevante es de 8%

a) Construya el flujo de caja de las dos alternativas
b) ¿Cuál es la alternativa más conveniente?
c) Considerando que en la alternativa (b) no hay financiamiento con crédito (todo con recursos
propios) ¿conviene postergar el proyecto?, ¿cuál sería en ese caso el momento óptimo?

CASO IANSA
IANSA es la mayor empresa agroindustrial del país, su principal negocio es la producción de
azúcar refinada. Otras actividades incluyen la distribución de insumos agrícolas y la producción de
derivados de tomate, jugos de frutas y alimentos para animales.
La empresa fue creada por la Corporación de Fomento de la Producción (CORFO) en 1953. En la
actualidad (1996) cuenta con más de 2.300 trabajadores, cinco plantas azucareras, una planta
productora de alcohol, dos plantas de jugo de frutas, dos fábricas de derivados del tomate, tres
plantas de alimentos para bobinos, dos plantas de alimentos para peces, una planta de alimentos
para mascotas, tres plantas procesadoras de fertilizantes y una planta elaboradora de pastas de
tomate en Perú.
Los negocios antes mencionados son llevados por las cuatro empresas especializadas que
componen el holding IANSA, estas son Iansa Azúcar, Iansafrut, Biomaster y Iansagro.
IANSA fue privatizada durante la época del régimen militar y acualmente es controlada por el grupo
Pathfinder a través de su propiedad de un 36% de Sociedad de Inversiones Campos Chilenos, la
cual a su vez es dueña de un 46% de empresas IANSA. Entre 1992 y 1994 con la llegada de este
grupo a la propiedad de la empresa se dio inicio a una nueva estrategia de organización de la
Compañía en base a las áreas de negocios antes mencionadas, realizándose las siguientes
inversiones:
– Ampliación y automatización de las plantas azucareras.
– Tres plantas procesadoras de fertilizantes.
– Apertura de nuevas oficinas comerciales y centros de distribución
– Adquisición del 20% de la propiedad de Anagra.
– Expansión de la planta procesadora de tomate de Talca.
– Nueva planta elaboradora de tomate en Curicó.
– Línea de tomate cubeteado aséptico en Talca.
– Planta de jugos de fruta en Temuco.
– Planta de alimentos extruído para peces y mascotas en Rapaco.
– Planta de alimentos para bobinos en Los Angeles.
– Adquisición de la licencia para producir y vender alimentos para mascotas marca Doko en Chile,
Argentina y Perú, así como la opción de ampliar esta licencia a toda Latinoamérica.
– Adquisición de los activos y la marca Suralim, orientada al mercado de alimentos para bovinos.
Asimismo durante este período la Compañía disminuyó en forma importante su nivel de
endeudamiento gracias a sus mejores resultados operacionales y a un cambio en su política de
dividendos (disminuyendo de 85% a 50%). Lo anterior junto con una reestructuración de pasivos
(deuda) con bancos e instituciones financieras desde el corto al largo plazo, se tradujo en una
mejor liquidez de la Compañía. La razón deuda/activos bajó de 52% en 1992 a 27% en 1994.
Durante 1995, Empresas IANSA inició la internacionalización de sus operaciones constituyendo la
sociedad Iansa Perú S.A., la cual inició a fines de dicho año la producción de pasta de tomates en
ese país.
Del análisis de los estados financieros de la empresa se desprende que la gran expansión de la
escala de operaciones ha sido financiada principalmente con capital social y reservas, ambas
partidas suman casi el 60% de las fuentes de recursos.
La capacidad de Iansa para generar utilidades ha mejorado sensiblemente. Tanto la productividad
como la rotación de activos han mejorado y las ventas crecen en forma sostenida.
Los dos puntos anteriores llevan a pensar en la posibilidad de autofinanciamiento para futuras
inversiones que complementen el proceso de internacionalización de la empresa.
En este contexto, se les pide analizar la siguiente idea de proyecto de inversión para las Empresas
IANSA:
Las autoridades de Macondolandia, un país latinoamericano en pleno apogeo de la fiebre
privatizadora, han llamado a presentar propuestas para adjudicarse el 100% del capital accionario
de una empresa estatal, productora de azúcar, con capacidad para abastecer el mercado local.
Los datos relevantes para la evaluación y presentación de la propuesta son los siguientes:
1. Valor Mínimo de la empresa (fijado por la autoridad): 20.000 Unidades Monetarias (UM) del país
en cuestión.

2. Subsidio de 25% del valor de la inversión (entregable al final del primer año) para las propuestas
que se comprometan a fijar un precio de 0,5 UM por cada unidad vendida en el mercado doméstico
(precio 10% inferior al precio internacional del saco).
3. Pronósticos de demanda interna:
AÑO
1
2
3 y después
UNIDADES
130.000
175.000
200.000
4. Costos fijos de producción de UM 2000/año
5. Costos variables de producción de 0,4 UM/unidad.
6. Gastos generales se estiman en:
AÑO
1
2
GASTO
UM 3.000
UM 4.000
3 y posteriores UM 5.000
7. Gastos de comercialización: 1.000 UM/ año.
8. IANSA actualmente exporta Azúcar a Macondolandia (que no tiene capacidad para
autoabastecerse), las cifras de incremento de ventas para la empresa en privatización suponen
que dicha empresa capta todo el aumento de la demanda interna. Esto implica que las
estimaciones de exportaciones de IANSA a Macondolandia se ven afectadas por las siguientes
disminuciones (efecto canibalización):
AÑO
1
2
3 y después
DISMINUCION DE UTILIDADES
UM 3.500
UM 4.500
UM 5.000
9. La depreciación anual es del 20%, el valor de la inversión a considerar para la depreciación es el
neto de subsidios.
10. Impuesto a las utilidades de las empresas del 30%.
11. La deuda actual de la empresa a comprar es cero. Dadas las políticas de autofinanciamiento de
IANSA puede considerarse como aproximación que los futuros gastos financieros serán
despreciables respecto al flujo de caja de la nueva empresa.
12. IANSA desea evaluar la conveniencia de la inversión en un horizonte no superior a 6 años.
Dada cierta inestabilidad política de Macondolandia, pareciera conveniente evaluar la alternativa de
operar cinco años y vender los activos de la empresa (a valor libro del año 5) durante el año 6.
Se le solicita a Ud.:
a) Construir los flujos de caja de la inversión.
b) Calcular el VPN después de impuestos de esta inversión, asumiendo tasas de descuento de
10% y de 20%. Calcule también la TIR.
b) Aconseje a IANSA respecto a la conveniencia o no de invertir bajo las condiciones que
establece el gobierno de Macondolandia.
c) ¿Resulta conveniente postular al subsidio o es mejor renunciar a este a cambio de vender al
precio internacional de mercado?.
d) ¿Conviene endeudarse en un 50% de la inversión, si la tasa de interés es del 10%.

I.- Anexo : EJERCICIOS RESUELTOS y PROPUESTOS MATEMATICAS FINANCIERAS
(CAPÍTULO 2)

2.1- Si la tasa de Interés de mercado es del 10% anual. Calcule:
a) El valor de $115 en el año 1
b) El valor actual de $180 que se recibirán en el año
1
c) El valor de la riqueza actual de un individuo que tiene hoy un ingreso de $1.000 y de $1.500
En el próximo periodo.

Respuesta
a) 115*(1+0.1) = 126.5
b)180/(1.01) = 163.64
c) 1.000 + (1500/1.1) = 2.363,64

2.2- Una empresa está considerando invertir en un proyecto que genera flujos semestrales de
US$2.200 por tres años. La inversión inicial es de US$10.000. ¿Cuál es el valor actual neto de
Los flujos generados por el proyecto, si la tasa de descuento es de un 8% semestral?
¿Le conviene a la empresa invertir en este proyecto? Si la tasa de descuento es ahora de un 11% semestral,
¿Conviene llevar a cabo el proyecto?

Respuesta

VAN = -Inv. Inicial + VP de los flujos futuros

El valor actual neto con una tasa de descuento del 8%, es de US$170,34, por lo tanto, conviene realizar
El proyecto. Con un factor de descuento del 11%, el VAN es de (692,82), por consiguiente, no
Es conveniente llevar a cabo el proyecto con esta tasa de
descuento
2.3 Una persona solicita un préstamo de $8.000.000 a un interés de un 7%. Desea pagar la deuda
en 12 cuotas semestrales, la primera de las cuales abonaría dentro de tres meses. Si los pagos
tienen incrementos de $500 cada vez, determine el monto del primer pago.

2.4 Usted desea adquirir un televisor que tiene un valor de $100.000 y que en el comercio se
vende con un 20% de pie y cuatro cuotas mensuales de $22.456 cada una. Usted tiene $20.000
disponibles y su ejecutivo bancario le ofrece la posibilidad de pedir un préstamo a un interés de un
5% mensual. Decida que hará.

2.5 Su Tío, un agricultor del Valle del Lauca, sabiendo de sus conocimientos en finanzas e
ingeniería económica, le solicita que lo ayude a tomar una importante decisión.
El banco de la esquina le ofrece dos alternativas de préstamos para financiar un nuevo un
programa de riego:
a)
El préstamo tipo A, en pesos chilenos, sin reajuste de ningún tipo y a un interés del 25%
anual capitalizando intereses trimestralmente.
b)
El préstamo tipo B, en U.F. (unidades de fomento) con un interés del 9% anual capitalizado
anualmente.

La amortización de los préstamos se realiza en los mismos períodos y de acuerdo con lo que le
indica su Tío, no son relevantes para la decisión.
¿Qué le aconseja a su Tío?

2.6 Usted está considerando dos oportunidades de inversión, A y B. Se espera que A pague 300
dólares al año durante los 10 primeros años y 700 dólares al año durante los 15 años siguientes (y
nada después de esta fecha). Se espera que B sólo pague 1.000 dólares al año durante 10 años y
nada después de esta fecha. Otras inversiones de riesgo similar al de A y B otorgan una
rentabilidad de un 8% y 14% anual respectivamente para los 10 primeros años y de ahí en
adelante un 10% anual. Encuentre el valor esperado presente de cada inversión.

EJERCICIOS RESUELTOS y PROPUESTOS VALORACIÓN DE EMPRESAS – PROYECTOS

4.1 En este problema se presenta un cambio de maquinaria para lo cual se solicita a usted la
evaluación económica del proyecto.
Se analiza un cambio de maquinaria, la implementación permite un ahorro de costos de 2.000 UF
al año. El precio de mercado de la nueva máquina es de 5.000 UF, valor que puede ser depreciado
en 5 años sin valor residual. Respecto al financiamiento, la empresa puede negociar un contrato de
leasing con una empresa arrendadora. El valor de contrato de leasing ascendería a un 95% del
valor de mercado actual de la máquina. El contrato estipula el pago anticipado de una cuota de
arriendo por 1.120 UF y 4 cuotas adicionales cada una por este monto al final de los siguientes
años. Con el pago de la última cuota se ejercería la opción de compra. Por otra parte, los
préstamos de largo plazo con garantía prendaria se encuentran a 12% + UF anual. Si la empresa
tiene un costo promedio ponderado de capital del
25% real anual y la tasa de impuestos
sobre sus utilidades asciende a un
15%.
Se pideevaluar económicamente el proyecto

Solución
Ahorro de costos
–
–
1
2.000
2
2.000
3
2.000
4
2.000
5
2.000
Depreciación
–
–
1.000
–
1.000
–
1.000
–
1.000
–
1.000
Utilidad Bruta
–
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
Impto
–
–
150
–
150
–
150
–
150
–
150
Ut después de impto.
–
850
850
850
850
850
Inversión
–
5.000
Depreciación

Flujo de Caja

Valores Actuales
–

–
5.000

1
5.000
1.000

1.850

1
1.480
1.000

1.850

2
1.184
1.000

1.850

2
947
1.000

1.850

2
758
1.000

1.850

3
606
Van = -25
Negativo, no conviene realizar el proyecto

4.2 En este ejercicio se presentan dos proyectos alternativos y se solicita a usted elegir cual de los
dos proyectos se debe efectuar a una tasa de descuento dada y cual es la tasa a la que ambos
proyectos son indiferentes.
Se tienen dos proyectos excluyentes.
Años
Proyecto
A
0
$20.000
1
$10.000
2
$5.000
3
$4.000
4
$6.000
5
$5.000
Proyecto
$20.000
$2.000
$8.000
$7.000
$8.000
$9.000
B

a) ¿ Qué proyecto conviene a una tasa de descuento de 12%?
b) ¿ A qué tasa se está indiferente entre ambos proyectos?

Solución

a) Calculemos los respectivos VAN
-20.000
8.929
3.986
2.847
3.813
2.837
22.412
VAN Proyecto 1 =
$2.412
-20.000
1.786
6.378
4.982
5.084
5.107
23.337
VAN Proyecto 2 =
$3.337
El proyecto que conviene
realizar es el Proyecto B.

b) Debemos actualizar las diferencias de flujos y luego calcular la TIR, que representa ahora la tasa de
"indiferencia"
Difer.
$0
$8.000
$3.000
$3.000
$2.000
$4.000
Flujos
Tasa de equilibrio
17,86%
(Van = 0)

4.3.- A continuación se muestran los rendimientos al vencimiento y las tasas implícitas a plazo de
bonos que se espera tengan el mismo riesgo de dos proyectos que una empresa está
considerando invertir.
Año
Rendimiento al
Tasa a
Flujo efectivo Flujo efectivo
0
1
2
3
Vencimiento (%)

0,2
0,17
0,15
plazo

0,2
0,1408
0,111
Proyecto 1
-1000
587
265
200
Proyecto 2
-1000
400
352
270
a) Si se utiliza como tasa de descuento para estos proyectos el rendimiento al vencimiento de los
bonos a tres años, ¿cuál es el VAN de cada proyecto?
b) Si ahora se utiliza la tasa a plazo como tasa de descuento, ¿cuál será el VAN de cada
proyecto?
c) ¿Cuál de los dos procedimientos es el correcto?

4.4 Un empresario se ve ante las siguientes alternativas de inversión, que son excluyentes, no
repetibles ni duplicables:
Además:
?
Rentabilidad alternativa del capital propio 10% anual, tax de un 50%, la inversión no tiene valor
comercial al final de su vida útil. La inversión en su totalidad se deprecia linealmente en su vida útil.

Utilidad U(x)
?
El empresario dispone de $ 500.000. de capital propio pudiendo conseguir el resto a la tasa de
descuento pertinente si se trata de la alternativa A, o bien a un interés de un 5% anual concedido
por el fabricante en el caso de la alternativa B.
?
El crédito del fabricante se cancela en amortizaciones iguales, en tanto que el crédito del
fabricante se amortiza al final de la vida útil del proyecto.
¿Qué alternativa le recomienda al empresario?. Determine el rendimiento de cada inversión y la
rentabilidad de los fondos propios en cada caso.

EJERCICIOS RESUELTOS RIESGO E INCERTIDUMBRE (análisis individual)

5.1.- Defina y explique con ejemplos el método del equivalente cierto.
Es un método indirecto de ajuste de flujos de caja por riesgo. Basado en la suposición de la
existencia de una función de utilidad para cada inversionista, consiste en trasformar los
flujos de caja esperados que entrega el proyecto, que incorporan el factor riesgo a través de
su distribución probabilística, en flujos libres de riesgo, que entregan igual nivel de utilidad
para el inversionista en cuestión.

Para un mejor entendimiento de la situación se tiene el siguiente ejemplo:
–
Se tiene un proyecto que entrega un ingreso de 1 con una probabilidad de 0,5 y 2,8 con
Co
mo
se
ha
plan
tead
o,
se
deb
e encontrar el valor del ingreso libre de riesgo que entregue el mismo nivel de utilidad que el
ingreso esperado (que posee un cierto riesgo asociado). Por lo tanto, sólo se debe proyectar el
valor de U(x) en el eje X tal que U(x) = E. Esta condición se ha graficado en la figura Nº2.

Cabe consignar finalmente dos ideas relevantes; primero que nada, que dado que el ingreso
equivalente cierto ya ha sido ajustado por riesgo, cualquier descuento para transformarlo en
VP, debe sólo considerar un interés libre de riesgo (risless interest rate). Segundo, queda
claro que este equivalente cierto es inversamente proporcional al riesgo asociado al
proyecto, y por lo tanto, mientras mayor sea este, menor será el ingreso libre de riesgo
exigido por el inversionista.
probabilidad también de 0,5, por lo que el ingreso esperado asciende a 1,9. El inversionista a
evaluar posee una función de utilidad f(x). Así, la situación caracterizada se puede apreciar en la
siguiente figura.

Función de Utilidad
0
1
2
4
5
6
3
Ingreso
f(x)
Inversión Propuesta
Ingreso Esperado
E

Utilidad U(x)
Activo B:

E(VAN) = $3.945.000
Desviación estándar del VAN = $2.530.000
Inversión inicial = $2.500.000

Activo C:

Si la tasa libre de riesgo es de un 10% anual, ¿qué inversión escogerá el gerente de proyectos si
es preferente, indiferente o adverso al riesgo?. Justifique su respuesta.

RESPUESTA:

E: valor esperado
DS: desviación estándar
CV: coef. de variabilidad

Activo A:
Inv.
= 6.000.000
Función de Utilidad
0
1
2
3
4
5
6
Ingreso

5.2 Una empresa de área inmobiliaria debe adquirir cierto activo fijo y posee tres alternativas
excluyentes (para cada una de ellas asuma flujos independientes)

Activo A:
f(x)
Inversión Propuesta
Ingreso Esperado
Equivalente Cierto

E(F1)
E(F2)
E(F3)
= 5.375.000
= 4.750.000
= -300.000
E(Van) = 2.586.589, se espera conveniencia
DS(0) = 0
DS(1) = 2.265.364
DS(2) = 1.250.000
DS(3) = 3.100.000
DS (Van) = 3.276.129
CV
= 1,26
Activo B:
CV
= 0,64
Activo C:
E(inv.) = 9.500.000
E(F1)
E(F2)
E(F3)
= 4.800.000
= 5.300.000
= 7.800.000
E(Van) = 5.104.057, se espera conveniencia
DS(0) = 0
DS(1) = 2.250.000
DS(2) = 2.800.000
DS(3) = 3.430.000
DS(Van) = 4.022.398
CV
= 0,78
Si es preferente al riesgo opto por el activo A (mayor CV), si es adverso opto por el activo B (menor
CV) y si es indiferente opto por el activo C (mayor E(Van)).

5.3 Considere las siguientes inversiones y sus probabilidades asociadas:
Inversión A
VAN Probabilidad
Inversión B
VAN
Probabilidad
500
1000
1500
0.125
0.75
0.125
800
1000
1200
0.125
0.75
0.125
a) Calcule el valor esperado del VAN de cada inversión.
b) Calcule la varianza para cada
c) Cual de las dos inversiones escogería. Justifique su respuesta.