Nociones elementales de la teoría de conjuntos
– Si A = B y B = C entonces A = C.
Conjuntos equipotentes: Denominamos a dos conjuntos finitos A y B como
conjuntos equipotentes (en símbolos: A ? B)
si poseen el mismo número de
elementos. Es evidente que conjuntos iguales son también equipotentes, y que los
conjuntos equipotentes no tienen que ser necesariamente iguales.
Inclusión de conjuntos: Se dice que A está incluido en B, si y solo si, cada
elemento de A es elemento de B. (se escribe: A ? B) y se dice que A es
subconjunto de B, o que, A es una parte de B.
Subconjunto propio: A ? B no excluye A = B, si se quiere precisar que A ? B
pero A ? B se escribe A ? B y se dice que A es subconjunto propio de B
En lo adelante utilizaremos para la inclusión el símbolo ?, sin distinguir
subconjunto ni subconjunto propio.
Propiedades:
– ?A, A ? A.
– ?A, B, A ? B y B ? A ? A = B.
– ?A, B, C, A ? B y B ? C ? A ? C.
Ocurre a veces que los elementos de un conjunto son a su vez conjunto; por
ejemplo, el conjunto de todos los subconjuntos de un conjunto A. Es por ello que
los conceptos conjunto y elemento tienen un carácter relativo. A este tipo de
conjuntos se le llama clase de conjuntos.
Ejemplo 7:
El conjunto A = {{2, 3}, {2}, {5; 6}} es una clase de conjuntos. Sus elementos son
los conjuntos {2; 3}, {2} y {5; 6}
También a la
clase de conjuntos formada por todos los subconjuntos de un
conjunto A se le llama conjunto potencia.
Conjunto potencia: Conjunto formado por los subconjuntos de un conjunto A y se
denota P(A), o sea:
P(A) = {x ?x ? A}
Para todo conjunto A se tiene ? ? A y A ? A
Nociones elementales de la teoría de conjuntos
Ejemplo 8:
Si M = {a; b}, entonces P (M) = {{a; b}, {a}, {b}, ?}
El conjunto potencia de un conjunto dado de n elementos, posee 2n elementos.
Ejemplo 9:
Si T = {4; 7; 8} entonces P (T) tiene 23 = 8 elementos.
Ejemplo 10:
Sean los conjuntos: A = {a; b; c; d; e};
B = {b; c; d}; C = {d; c; b}; D = {2; 4; 6}
a) Compare los conjuntos dados. R/ B ? A, C ? B, D ? C, B ? C, D ? B, B = C
b) Escribe P(A)
R/ P(A) = {?; {a}; {b}; {c}; {d}; {e}; {a; b}, {a; c};
{a; d}; … {a; b; c; d; e}}
c) ¿Cuántos elementos posee P(A)? 25 = 32
Se logra ilustrar de manera sencilla e instructiva las relaciones entre conjuntos
mediante los llamados diagramas de Venn – Euler, o de Venn, simplemente.
Ejemplo 11:
Si A = B. Entonces A y B se describen con el siguiente diagrama:
Si A ? B y A ? B. Entonces A y B se describen con el siguiente
diagrama:
Si A ? B se les puede representar de la siguiente forma:
Sean A = {a; b; c; d} y B = c; d; e; f}. Ilustramos mediante un diagrama de Venn
ambos conjuntos
Nociones elementales de la teoría de conjuntos
PARA LA AUTOEVALUACIÓN
1. ¿Cuándo son iguales dos conjuntos C1 y C2?
a) ¿Qué significa M1 es equipotente a M2? ¿Dónde puede verse la aplicación de la
equipotencia de conjuntos al introducir conceptos de la escuela primaria?
b) ¿A qué llamamos subconjuntos? Ponga ejemplos de subconjuntos propios.
c) Explique las relaciones de inclusión que se pueden establecer entre los
diferentes tipos de triángulos, según sus lados.
2. Colocar un signo = o ? según convenga:
a) {5 +1,7,34+1} ___ {5,50,6,8-1}
b) {34, 2°, 52, 25} ____ {92, 1, 25} ___ {81, 37°, 25, 25}
c) {O, 1, 2°, 3 – 3,1°} ___ {O, 1}
según
3. Completa la tabla siguiente , colocando el símbolo de ?, ?, ?
convenga:
4. Sean R y S conjuntos cualesquiera, ¿qué condiciones deben ocurrir para que R
= S, R ? S, R ? S, R ? S y P(A) tenga 64 elementos? Ejemplifica cada caso
PONTE A PRUEBA
1. Determina el valor de verdad de las siguientes proposiciones
sobre los
conjuntos solución de las siguientes formas proposicionales, en todos los casos el
dominio básico es N. Fundamenta cada valor asignado.
Nociones elementales de la teoría de conjuntos
A(x): 13 < x < 18; B(x): 20 < 5x < 40; C(x): x es divisor de 12; D(x): x es un número
par divisor de 15, E(x): x · 1 = x
a) ___845 ? E
b) ___ B? E
c) ___ ?14; 15; 16; 17? ? E
d) ___ B ? C e) ___ B ? E
f) ___ D ? A
g) ___ B ? B
h) ___ A es equipotente con ?m; n; r?
i) ___ Los conjuntos B y C son conjuntos disjuntos.
j) ___ D es un conjunto unitario k) ___ B = ?x; 16 < 12 + x < 20; x?N?
2. Anota sobre la línea si los enunciados siguientes son verdaderos o falsos:
a) ___ {P}= {P; 0} b) ___ {?; 0; 1} = {?; 1}
c) ___ {?}= {0}
d) ___ {2 – 2} = {0}
e) ___ ? = {O}
f) ___ ? = {?}
g) ___ {5}=5
h) ___ 5 ? ?
i) ___ {x ? x ? N; x ? 3} = {2; 1}
j) ___ {x ? x ? N; 1 < x < 2} = {0}
3. Define en el conjunto de los números naturales de 0 a 20 tres conjuntos F, G y
H que cumplan F ? G; F ? H; H ? G
4. Escribe simbólicamente las afirmaciones siguientes:
a) v pertenece al conjunto M
b) El conjunto T contiene como subconjunto al conjunto H
c) Entre los elementos del conjunto G no está el numero 2
d) El conjunto Z no es un subconjunto del conjunto A
e) El conjunto X no contiene al conjunto K
f) El conjunto H es un subconjunto propio del conjunto K
5. De entre los siguientes conjuntos, señala los que son el conjunto vacío:
A = {x ? R / x 2+ x + 1 = 0};
B
=
{x
?
R
/
x
<
4
?
x
>
6};
C = {x ? R / x2+ x – 1 = 0};
D= {x ? R / x + 5 = 5};
E= {x ? R / x < 4 ? x > 6};
F= {x ? R / x > 4 ? x no es mayor que 6}
6. Consideremos el conjunto A= {r, s, m, e}. Razona la veracidad de las siguientes
afirmaciones:
a) c ? A,
b) {r; c; m} ?A,
c) {m} ?A,
d) {e; m; r} ?A,
e) {s; e} ?A
f) {s; e} ?A
7.
Nociones elementales de la teoría de conjuntos
En el conjunto de las figuras geométricas del plano se consideran los
conjuntos:
C= {x / x es un cuadrilátero},
R= {x / x es un rectángulo},
M= {x / x es un rombo},
Q= {x / x es un cuadrado}.
Decir que conjuntos son subconjuntos propios de los otros.
8. Justifica razonadamente que el conjunto A= {2; 3; 4, 5} no es un subconjunto
del
C= {x?N/ x es par}.
9. Sean los conjuntos: V = {d}, W = {c, d}, X = {a; b; c}, Y = {a; b} y Z = {a; b; d}.
Establece la veracidad de las siguientes afirmaciones, justificando en cada caso tu
respuesta:
e) V ? Y,
f) Z ? X,
a) Y ? X,
g) V ? X,
b) W ? V,
h) Y? Z,
c) W ? Z,
i) X = W;
d) Z ? V,
j) W ? Y
10. a) ¿Es el conjunto A= {1; 3; 5; 7} un subconjunto del conjunto
B = {x ? Z / x = 2n, n ? Z}? ¿Y del C = {x ? N / x = 2n + 1, n ? N}? ¿Por qué?
b) ¿Y D= {2; 4; 6; 7; 8} es subconjunto de alguno de los conjuntos A o B del
apartado anterior? ¿Por qué?
11. Escribe todos los posibles subconjuntos del conjunto y clasifícalos según sean
propios o impropios:
a) M= {r; s; t}, b) B= {a; b}, c) C= {a}, d) Ø.
12. Teniendo en cuenta los siguientes diagramas de Venn, expresa por extensión
y por descripción los conjuntos A y B y compáralos según la relación de inclusión:
B = {u; v; w; x; y; z },
13. Sean los conjuntos A = {r ; s; t; u; v; w},
C = {s; u; y; z },
Nociones elementales de la teoría de conjuntos
Determina en cada caso, con las informaciones dadas y con ayuda de un
diagrama de Venn, cuál de los conjuntos dados es X:
a) X ? A y X ? B;
b) X ? B y X ? C;
c) X ? A y X ? C
y
d) X ? B y X ? C
14. Sean A = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9},
B = {2; 4; 6; 8},
C = {1; 3; 5; 7; 9},
D = {3; 4; 5}.
Determina en cada caso, con las informaciones dadas y con ayuda de un
diagrama de Venn, cuál de los conjuntos dados es X:
a) X y B son disjuntos;
b) X ? D y X ? C;
c) X ? A y X ? C
y
d) X ? C y X ? A
15. Sean A, B y C conjuntos tales que A ? B y B ? C. Suponiendo que
a ? A, b ? B, c ? C y d ? A, e ? B y f ? C, ¿cuáles de las siguientes informaciones
son ciertas?
a)A ? C, b) b ? A, c) c ? A, d) d ? B, e) e ? A f) f ? A.
16. Consideremos los conjuntos A = {x ? N / 2 ? x ? 9} , B = {2; 4; 6; 8}, C = {3;5;
7},
D = {2; 4} y E = {1; 3}. Indica en cada caso cuál de estos conjuntos
puede ser el conjunto X:
a) X ? A y X ? B,
b) X ? B y X ? E
c) X ? C y X ? D
d) X ? A y X ? E
17. Establecer todas las posibles relaciones entre los
conjuntos representados en el siguiente diagrama de
Venn:
Nociones elementales de la teoría de conjuntos
3. UNIÓN E INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS.
Definición:
Se llama conjunto intersección de dos conjuntos A y B al conjunto formado por
los elementos que están en A y en B simultáneamente.
Se denota: A ? B
Se lee: A intersección B
Es decir, que x ? A ? B significa que x ? A y x ? B.
Ejemplo 1:
Sea N el universo formado por el conjunto de los números naturales y
C: Conjunto de los números pares menores que 20
D: Conjunto de los múltiplos de 3 menores que 20
Se tiene que: C = {0; 2; 4; 6; 8; 10; 12; 14; 16; 18}
D = {0; 3; 6; 9; 12; 15; 18}
Entonces: C ? D = {0; 6; 12; 18}
Definición:
La operación que a los conjuntos A y B hace corresponder el conjunto A ? B se
llama intersección de conjuntos.
A ? B
A ? B=B
A ? B= ?
Definición:
Se llama conjunto unión de dos conjuntos A y B al conjunto formado por los
elementos que están en A o en B simultáneamente.
Se denota: A ? B
Se lee: A unión B
Es decir, que x ? A ? B significa que x ? A o x ? B
Nociones elementales de la teoría de conjuntos
Ejemplo 2:
Sea N el universo formado por el conjunto de los números naturales,
A = {0; 1; 2; 3; 4; 5} y B = {0; 2; 4; 6}
Entonces: C ? D = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6}
Definición:
La operación que a los conjuntos A y B hace corresponder el conjunto A ? B se
llama unión de conjuntos.
A ? B
A ? B
A ? B=A
A ? U=U
A ? A=A
Propiedades de las operaciones con conjuntos:
Sea U un conjunto y sean A, B, C ? P (U)
Ejemplo 3:
Sea A = {1; 2; 3}, B = {2; 4; 5}, obsérvese: A ? B = B ? A = {1; 2; 3; 4; 5}
Nociones elementales de la teoría de conjuntos
Recuerde que: E = F ?1 E ? F y F ? E.
Para probar que A ? B = B ? A se prueba que x ? A ? B ? x ? B ? A
x ? A ? B ? ?x, x ? A o x ? B
? x ? Box ? A
? x ? B ? A
– A ?? =AyA ?? = ?
– A ? (A ? B), (A ? B) ? A y B ? (A ? B), (A ? B) ? B
– A ? U=U
x ? A ? U ? x ? U (por A ? E y por la definición de unión de conjuntos)
x ? U ? x ? A ? E (por definición de unión de conjuntos)
– A ? (A ? B)
? x, x ? A ? x ? (A ? B) ? x ? A ? (A ? B) ? A ? (A ? B)
– (A ? B) ? A
?x, x ? (A ? B) ? x ? A ? x ? B ? x ? A ? (A ? B) ? A
– (A ? B) = ?
(A ? B) = ? ? A = ? ? B = ?
Una de las relaciones más utilizadas en las aplicaciones de la teoría de conjuntos
es aquella que permite conocer la cantidad de elementos de un conjunto a partir
de la cantidad de elementos de otros conjuntos.
Ejemplo 4:
En una unidad habitacional viven 120 familias y se sabe que 70 de ellas tienen
automóvil, que 30 poseen un reproductor de DVD y que 17 tienen ambas cosas.
Se desea conocer:
a) ¿Cuántas familias tienen exclusivamente automóvil?
b) ¿Cuántas familias son dueños exclusivamente de un reproductor DVD?
c) ¿Cuántas familias son propietarias de un automóvil o de un reproductor DVD?
1
Significa “implica a”
Nociones elementales de la teoría de conjuntos
d) ¿Cuántas familias no poseen ni automóvil ni reproductor DVD?
Solución:
Sea
A: Conjunto formado por las familias que poseen automóvil
D: Conjunto formado por las familias que poseen DVD
A ? D: Conjunto formado por las familias que poseen automóvil y DVD
Dibujando
un
diagrama
de
Venn
para
establecer
relaciones:
Podemos ver que A ? D = 17
a) Para determinar cuántas familias tienen nada más
automóvil, hay que restarle al total de familias que tienen
automóvil las que también tienen DVD, es decir, 70 – 17 = 53
b) Para determinar cuántas familias tienen nada más DVD, hay que restarle al total
de familias que tienen DVD las que también tienen automóvil, es decir, 30 – 17 =
13
c) Para determinar cuántas familias son propietarias o de un automóvil o de un
DVD, hay que sumar la cantidad de familias que son propietarias de un automóvil
y los que son propietarios de un DVD, restándole los que son propietarios de
ambos objetos pues se repiten, es decir, 70 + 30 – 17 = 83
d) Para determinar los que no poseen ni automóvil ni DVD habría que restar al
total de personas las que son propietarias de uno de uno solo de los objetos, es
decir, 120 – 83 = 37
ACTIVIDADES DE AUTOCONTROL
1. ¿Escriba en notación tabular dos conjuntos P y Q cuya intersección sea no
vacía y halle su unión e intersección?
Nociones elementales de la teoría de conjuntos
2. En un diagrama de Venn, como el que se presenta, pinte la parte
correspondiente a cada una de las operaciones que se señalan. Utilice un
diagrama para cada operación.
c) (A ? B) ? C
f) (A ? B) ? (A ? C)
a) (A ? B) ? C
a) A ? (B ? C)
g) A ? (B ? C)
b) A ? (B ? C)
e) A ? (B ? C)
h) (A ? C) ? (A ? C)
3. Sean los conjuntos: A = {x ? N ? x ? 10}, B = {0; 2; 4; 6; 8},
C: Conjunto formado por los números pares menores que 10
D = {0; 3; 6; 9; 12}, E = {x ? N?0 ? x ? 10}, F = {4; 9; 16; 25; 36;
49; 64; 81; 100} y G = {9; 25; 49; 81}
a) Identifique las formas de representar los conjuntos A, B y C
b) Escribe los conjuntos A, C y E en forma tabular.
c) Escriba en la línea el signo ?, ?, ?, ?, ?, = , ? según convenga:
B ___ A, 0 ___ A, D ___ A, C ___ B, 3 ___ G, G ___ F, E ___ A
d) Forma un conjunto H que sea subconjunto del conjunto C.
e) Halla en forma tabular y represente en diagramas de Venn las operaciones
siguientes:
D ? B, B ? D, F ? G, F ? G, F ? E, A ? E.
PONTE A PRUEBA
1. Sea U el universo formado por los divisores de 36 y sean los conjuntos:
A: Conjunto formado por los elementos de U que son pares.
B: Conjunto formado por los elementos de U que son múltiplos de 3
C: Conjunto formado por los elementos de U que son múltiplos de 6
1.1 Forme los conjuntos indicados anteriormente.
1.2 Compruebe que A ? B ? C = (A ? B) ? C = A ? (B ? C), A ? B = B ? A y A
? (B ? C) = (A ? B) ? (A ? C)
2. De los 34 alumnos de un grupo escolar hay 21 que saben montar bicicleta, 25
que saben nadar y 19 que hacen las dos cosas. ¿Cuántos alumnos no saben
nadar ni montar bicicletas?
Nociones elementales de la teoría de conjuntos
3. En un grupo de 100 alumnos de sexto grado, 60 estudiantes están en equipos
deportivos, 40 participan en baile y 45 participan en un coro. Se sabe además que:
10 estudiantes participan en las tres actividades.
25 estudiantes participan en deporte y el baile.
17 estudiantes participan en el deporte y el coro, y
20 estudiantes participan en el coro y el baile
a) ¿Cuántos estudiantes participan solo en el deporte? ¿Baile? ¿Coro?
b) ¿Cuántos no participan en ninguna de las tres manifestaciones?
4. Sea: U = {x? x ? N y x = 9}, A = {1, 2, 3}, B = {x? x ? N y 0 < x = 8},
D= {x? x ? N, x = 2n+1; n ? N y x < 9} y C= {5, 6, 7, 8}
a) Selecciona dos conjuntos que estén en la relación:
– “… es subconjunto de…”
“…es equipolente con…”
“…es subconjunto propio de…”
b) Represéntalos en un diagrama de Venn.
c) Halla A n B, A n C, B ? D, B n D n C.
d) Selecciona dos operaciones de las realizadas que sean diferentes y
represéntalas en un diagrama.
5. Dados los conjuntos
M = {x ? N: x ? 12}
N = {x ? N: x ? 4}
Q: Conjunto de los números naturales impares.
P = {x ? N: 4 ? x ? 5}
Determina:
a). M ? N.
e). N ? Q.
i). N ? Q ? P
m). N ? P.
b). M ? P.
f). P ? Q.
j). M ? N
n). N ? Q.
c). M ? Q.
g). M ? N ? P.
k). M ? P.
ñ). P ? Q.
d). N ? P
h). M ? N ? Q.
l). M ? Q.
o). M ? N ? P.
Nociones elementales de la teoría de conjuntos
4. DIFERENCIA DE CONJUNTOS Y COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO
Definición:
Se llama conjunto diferencia de dos conjuntos A y B al conjunto formado por los
elementos que están en A y no están en B.
Se denota: A
BoA-B
Se lee: A diferencia B
Es decir, que x ? A – B significa que x ? A ? x ? B
Ejemplo 1:
Si A = {3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} y B = {0; 1; 4; 5; 7; 8}
Entonces A – B = {3; 6; 9} y B – A = {0; 1}
Definición:
La operación que a los conjuntos A y B hace corresponder el conjunto A – B se
llama diferencia de conjuntos.
A – B
B – A
Definición:
Se llama conjunto complemento del conjunto A al conjunto formado por los
elementos del universo que no están en el conjunto A.
Se denota: Ac, A´, U – A, ¯
Se lee: Complemento de A
Es decir, que x ? A´ significa que x ? A
Ejemplo 2:
Si U = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} y A = {0; 1; 4; 5; 7; 8}
Entonces Ac = {2; 3; 6; 9}
Nociones elementales de la teoría de conjuntos
Si U es el conjunto de las vocales del alfabeto español y V es el conjunto de las
vocales fuertes, entonces
Vc = {i; u}
Si el conjunto A coincide con todo el universo U, entonces Ac = ?
Si el conjunto A =?, entonces Ac = U
Propiedades de las operaciones con conjuntos:
Sea U un conjunto y sean A, B, C ? P (U)
La operación de diferencia no es conmutativa ni asociativa.
Además:
– (A – B) ? B = ?
Supongamos que exista x ? (A – B) ? B, entonces:
?x, x ? (A – B) ? C ? x ? (A – B) ? x ? B ? x ? A, x ? B ? x ? B)
! Contradicción ¡
– A – B´= A ? B
?x, x ? (A – B´) ? x ? A ? x ? B´ ? x ? A ? x ? B ? x ? (A ? B)
– (A – B) ? B´
?x, x ? (A – B) ? x ? A ? x ? B ? x ? A ? x ? B´? x ? B´? (A – B) ? B´
– A´- B´= B – A
?x, x ? (A´- B´) ? x ? A´? x ? B´? x ? A ? x ? B ? x ? (B – A)
– (A ? B)´= A´ ? B´
?x, x ? (A ? B)´? x ? A ? B ? x ? A ? x ? B ? x ? A´? x ? B´ ? x ? (A´? B´)
– (A ? B)´ ? A´ ? B´
Nociones elementales de la teoría de conjuntos
?y, y A´? B´? y ? A´? y ? B´? y ? A ? y ? B ? y ? (A ? B) ? y ? (A ? B)´
(A ? B)´ ? A´ ? B´ ? A´ ? B´ ? (A ? B)´ ? (A ? B)´= A´ ? B´
Ejemplo 3:
Sea E = {personas}, A = {adultos} y B = {gente que toma café}
¿Cómo describir con palabras los cuatros conjuntos siguientes?
A ? B, Ac ? B, Ac ? Bc, Ac ? Bc
Solución:
A ? B: Adultos que toman café
Ac ? B: Jóvenes y niños que toman café
Ac ? Bc: Jóvenes y niños que no toman café
Ac ? Bc: Gentes que no toman café
Ejemplo 4:
Sean U= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} el conjunto universal y sus subconjuntos A= {0, 1, 2,
3}, B= {0, 2, 4, 6}, C= {1, 3, 5, 7}, D= {7}, aplicando las definiciones de operaciones
obtener: Ac; Bc, Cc, (A ? B) c, (A)'
Solución:
Ac= {4, 5, 6, 7}, Bc= {1, 3, 5, 7}, Cc= {0, 2, 4, 6}
(A ? B) c= {5, 7}, A-.9 = {1, 3}
(Ac) c= {0, 1, 2,3}
PARA LA AUTOEVALUACIÓN
1. ¿Escriba en notación tabular dos conjuntos P y Q cuya intersección sea no
vacía y halle su diferencia y complemento de ambos?
Nociones elementales de la teoría de conjuntos
2. En un diagrama de Venn, como el que se presenta, pinte la
parte correspondiente a cada una de las operaciones que se
señalan. Utilice un diagrama para cada operación.
a) (A – B) – C
b) A – (B ? C)
c) A – (B ? C)
d) (A – B) ? (A – C )
PONTE A PRUEBA
1. Sea el conjunto universo U = {a; b; c; d; e; f; g} y los conjuntos A = {a; b; c; d; e};
B = {a; c; e; g}, C = {b; c; f; g}
1.1 Hallar a) B ? A, b) A ? B, c) Bc, d) B – A, e) B ? C, f) (A ? C)´, g) A´? C, h) (B
– C´)´
i) (A – B)´? C´
1.2 Representa en diagramas de Venn las operaciones que aparecen en los
incisos a), d), f) e i)
2. Si M = {x ? N?x ? 5}, N = {x ? Z?-3 ? x ? 5} y P = {x ? Q?2x – 6 = 0}
2.1 ¿En qué forma están dados los conjuntos? Justifique
2.2 Hallar: (considere a N como conjunto universo)
a) M ? N
b) N ? P
c) N – M
d) N ? M´
e) (M – P) ? N
f) (M – N) ? P
3. Si sabes que los conjuntos K y L son tales que (K ? L) – L = K. ¿Qué
conclusión puedes obtener de esta información?
4. Se tienen 10 cajas: 5 contienen lápices, 4 contienen bolígrafos y en 2 cajas hay
lápices y bolígrafos. ¿cuántas cajas están vacías?
5. En un aula hay 30 alumnos, de ellos 4 que están en danza, teatro y canto; 8 en
danza y teatro; 8 en canto y danza y 8 en canto y teatro. Se sabe que hay 14 que
están solo en danza; y hay tantos en canto como en teatro. ¿Cuántos están solo
en canto? ¿cuántos solo en teatro?
6. Dados los siguientes conjuntos:
A = {5; 7; 9; 11; 13; 15; …; 21}
B = {0; 4; 8; 12; 16; …;
I = {2; 3; 5; 7; 11}
36}
Nociones elementales de la teoría de conjuntos
C = a; b; c; …; z}
D = {a; l; f; a; b; e; t; o}
6.1 Escribe los conjuntos A y B en forma constructiva y los otros en forma
descriptiva.
6.2 Clasifica cada uno de los conjuntos. Fundamenta.
6.3 Diga V o F según corresponda. Justifique las falsas
a) ___ t ? C b) ___ A ? I c) ___ I ? A d) ___ B ? Ne) ___ A ? B f) ___ d ? C
g) ___ D ? Ch) ___ D ? c i) A = B
7. Escriba las operaciones dadas en las siguientes representaciones con
diagramas de Venn.
8. Sean los conjuntos:
M = {x ? N?x ? 7}
N = {0; 2; 4; 6; 8; 10; 12}
P = {0; 3; 6; 7}
8.1 Escriba de forma tabular y represente mediante diagramas de Venn:
a) N ? M
b) P ? M
c) N – P
9. Sea U = {1; 2; 3; …9} y sean los conjuntos A = {1; 2; 3; 4}, B = 2; 4; 6; 8} y C = {
3; 4; 5; 6}
Hallar: a) Ac b) B – C
c) (A ? C)c
d) (A ? B)c
e) (Ac)c
10.
De los 20 alumnos de un aula, 14 usan portaminas y 8 usan lápices.
¿Cuántos usan ambas cosas si todos usan al menos uno de ellos?
1. Sean los conjuntos A= {x ? N? 13 < x < 18}; B = {x ? N? 20 < 5x < 40};
D = {x ? N? x es un número par divisor de 15};
C = {x ? N? x es divisor de 12};
E= {x ? N? x · 1 = x}
11. Hallar:
a) B ? C
b) B ? C
c) B C
d) C B
e) D´
e) E´ f)
B´
g) P(B)
12. Identifica en cada diagrama de Venn la operación entre conjuntos
representada. Fundamenta en cada caso.
Nociones elementales de la teoría de conjuntos
13. Sea los conjuntos G, H, I generados por las formas proposicionales siguientes:
G(X) = 2 < x2 < 30; H(x) = x | 18; I(x) = x es un dígito.
Hallar:
a) (G ? H) ? I,
b) (G H) ? I
c) I´ ? H
d) P(G)
14. En un grupo escolar 7 alumnos prefieren la Matemática, 8 la Lengua española,
10 otras asignaturas y hay 4 que les gusta lal Matemática y la Lengua española a
la vez. ¿Cuántos alumnos tiene el grupo?
15. Sea E un conjunto, A ? E, B ? E, C ? E, D ? E. Probar que:
a). A ? ? = A.
b). A ? ? = ?.
c). Si A ? B, entonces A ? B = A.
d). A (B C) = (A B) ? (A ? C).
e). (A B) ? B = ?.
Nociones elementales de la teoría de conjuntos
OTROS EJERCICIOS
Nociones elementales de la teoría de conjuntos
Nociones elementales de la teoría de conjuntos
Nociones elementales de la teoría de conjuntos
19.
Si para expresar en notación constructiva la unión de dos conjuntos A y B
escribimos
A ? B = {x ? x ? A ? x ? B} y para la intersección A ? B = {x ? x ? A
? x ? B}, ¿cómo escribirías la diferencia AB?
20.
El equipo de baloncesto de la 3er año de Primaria está formado por Pedro,
Diego, Hugo, Carlos, Roberto, Rolando y Edgar. El equipo de Olimpiadas de
Matemáticas de dicha clase está formado por Andrea, Diego, Cristina, Jose
Rolando y Edgar. ¿Quiénes están en ambos equipos? ¿Quiénes están en al
menos uno de los dos equipos? ¿Quiénes están en el equipo de futbol-sala pero
no en el de las olimpiadas? ¿Quiénes están únicamente en el equipo de las
olimpiadas? ¿Quiénes están solo en uno de esos dos equipos? Una vez
respondidas las preguntas, expresa la situación y respuestas en términos de
conjuntos.
21.
Laura tiene discos de diferentes géneros musicales: pop, rock, punk, gothic,
clásica y jazz. Su amiga Diana tiene discos de salsa, gothic, hip-hop, pop, metal e
industrial.
a) Luis, un amigo común, quería escuchar la música que le gusta a cada una de
ellas, así que le prestaron un disco de cada uno de los géneros. ¿De qué géneros
le han prestado los discos?
b) Si Luis se decide a oír primero los discos que le gustan a ambas, ¿qué discos
ha de oír? Expresa la situación en términos de conjuntos.
22.
Se preguntó a 50 padres de alumnos sobre los deportes que practicaban,
obteniéndose los siguientes resultados: 20 practican solo futbol, 12 practican futbol
y natación y 10 no practican ninguno de estos deportes. Con estos datos averigua
Nociones elementales de la teoría de conjuntos
el número de padres que practican natación, el número de ellos que solo practican
natación y el de los que practican alguno de dichos deportes.
22. Se preguntó a 11 profesores del instituto acerca de sus preferencia por dos
marcas de café instantáneo A y B y se obtuvieron los siguientes resultados: 7
prefirieron solo una de dichas marcas; el número de personas que prefirieron
ambas marcas fue igual al número de personas que no prefirió ninguno de las dos;
3 personas manifestaron que no prefieren la A pero si la B. Se desea saber: a)
¿Cuantas personas prefirieron la marca A? b) ¿Cuantas personas prefirieron solo
la B? c) ¿Cuantas personas manifestaron que les eran indistintas ambas marcas?
23. Se le pregunto a un grupo de 10 estudiantes sobre sus preferencias por dos
marcas de refrescos, Tukola y Tukola like y se obtuvieron los siguientes
resultados: todos admitieron que les gusta alguno de los dos refrescos, 3
estudiantes manifestaron que les gusta Tukola pero no Tukola like, 6 dijeron que
no les gusta Tukola like. Se desea saber: a) ¿cuántos de los encuestados les
prefirieron Tukola like? b) ¿cuántos de los encuestados prefirieron Tukola? c)
¿Cuantos de los encuestados prefirieron Tukola o Tukola like?
24. Se hizo una encuesta entre mil personas de Bratislava para determinar el
medio de comunicación empleado para para conocer las noticias del día. 400
respondieron que se enteran de forma regular de los sucesos del día a través de
la televisión, 300 lo hacen a través de la radio. De las cantidades anteriormente
mencionadas, 275 corresponde al número de personas que utilizan ambos medios
para estar al día en los acontecimientos del mundo. a) ¿Cuantas de las personas
encuestadas se enteran de las noticias solo a través de la televisión? b) ¿Cuantas
de las personas entrevistadas lo hacen únicamente a través de la radio? c)
¿Cuantas de las personas investigadas no hacen uso de ninguno de los dos
medios?
25. A una prueba de ingreso a la Universidad se presentaron 100 alumnos, de los
cuales 65 aprobaron el examen de Matemáticas, 25 el de Matemáticas y Física y
15 aprobaron solo el de Física. ¿Cuantos no aprobaron ninguno de los exámenes
mencionados?
Nociones elementales de la teoría de conjuntos
26. De un total de 60 alumnos del primer curso del I. B. Todo estudiado: 15
estudian solamente ruso, 11 estudian ruso e inglés, 12 estudian solo alemán; 8
estudian ruso y alemán; 10 estudian solo inglés; 5 estudian inglés y alemán; y 3
los tres idiomas.
Determina: a) ¿Cuantos no estudian ningún idioma? b) ¿Cuantos estudian
alemán? c) ¿Cuantos estudian solo alemán e inglés? d) ¿Cuantos estudian ruso?
27. Se preguntó a unas cuantas madres de alumnos de nuestro instituto sobre si
leen o no alguna de las revistas “Mujeres”, “Mar y Pesca” y “Bohemia” y se
obtuvieron los siguientes resultados: 48 leen “Mujeres“, 40 leen “Mar y Pesca”, 34
leen “Bohemia”, 25 leen “Mujeres” y “Mar y Pesca”, 14 leen “Mar y Pesca” y
“Bohemia”, 23 leen “Mujeres” y “Bohemia” y 3 madres leen las tres revistas. Se
pide ilustrar el problema con un diagrama de Venn, el número de madres
entrevistadas, y ¿cuántas de ellas leen solo una de las tres revistas?
28. En una encuesta realizada a 150 personas, sobre sus preferencias de tres
productos A, B y C, se obtuvieron los siguientes resultados: 82 personas
consumen el producto A, 54 el producto B, 50 consumen únicamente el producto
A, 30 solo el producto B, el número de personas que consumen solo B y C es la
mitad del número de personas que consumen solo A y C, el número de personas
que consumen solo A y B es el tripe del número de las que consumen los tres
productos y hay tantas personas que no consumen los productos mencionados
como las que consumen solo C. Determina a)el número de personas que
consumen solo dos de los productos, b) el número de personas que no consumen
ninguno de los tres productos, c) el número de personas que consumen al menos
uno de los tres productos.
29.
Un club consta de 78 personas, de las cuales 50 juegan al futbol, 32 al
baloncesto y 23 al voleibol. Seis figuran en los tres deportes y 10 no practican
deporte alguno. ¿Cuantas personas practican solo un deporte? ¿Cuantas
practican solo dos deportes? ¿Cuantas practican al menos dos deportes?
¿Cuantas practican a lo sumo dos deportes?
30. En un Congreso Internacional de Medicina, se debatió el problema de la
eutanasia y se planteó una moción. Los resultados fueron los siguientes: 115
Nociones elementales de la teoría de conjuntos
europeos votaron a favor de la moción, 75 cardiólogos votaron en contra, 60
europeos votaron en contra, 80 cardiólogos votaron a favor. Si el número de
cardiólogos europeos excede en 30 al número de americanos de otras
especialidades y no hubo abstenciones. ¿Cuántos médicos participaron en el
congreso?
31. Se hizo una encuesta a 160 alumnos de un internado sobre las preferencias
de cuatro carreras profesionales: Secretariado Internacional (S), Enfermería (E),
Computación (C) y Biología, obteniéndose los siguientes datos: ninguno de los
que prefieren (C) simpatizan con (B), 22 solo con (S), 20 solo con (E), 20 solo con
(C), 20 con (S) y (B) pero no con (E), 6 solo con (C) y (E), 4 con (S) y (C), 24 con
(B) y (E), 28 solo con (B). ¿Cuantos prefieren solo (S) y (E), si a todos les gusta
por lo menos una de esas tres carreras?
32. Se llevó a cabo una investigación con 1000 personas, para determinar que
medio utilizan para conocer las noticias del día. Se encontró que 400 personas
escuchan las noticias en forma regular por TV, 300 personas escuchan las noticias
por la Radio y 275 se enteran de las noticias por ambos medios.
a. ¿Cuántas de las personas investigadas se enteran de las noticias solo por la
TV?
b. ¿Cuántas de las personas investigadas se enteran de las noticias solo por
Radio?
c. ¿Cuántas de las personas investigadas no escuchan ni ven las noticias?
33. Se realizó una encuesta a 11 personas, sobre sus preferencias por dos tipos
de productos A y B. Obteniéndose lo siguientes resultados:
El número de personas que prefirieron uno solo de los productos fueron 7.
El número de personas que prefirieron ambos productos fue igual al número de
personas que no prefirió ninguno de los dos productos.
El número de personas que no prefieren el producto A y prefirieron el producto B
fueron 3.
Se desea saber:
a) ¿Cuantas personas prefieren el producto A?
b) ¿Cuantas personas prefieren el producto B solamente?
Nociones elementales de la teoría de conjuntos
c) ¿Cuantas personas prefieren ambos productos?
34. Se le pregunto a un grupo de 10 estudiantes sobre sus preferencias por dos
marcas de refrescos Pepsi y Coca Cola. Obteniéndose lo siguientes resultados: El
número de estudiantes que prefirieron Pepsi pero no Coca Cola fue de 3.El
número de estudiantes que no prefirieron Pepsi fueron 6.
Se desea saber:
a) ¿Cuantos de los encuestados prefirieron Pepsi?
b) ¿Cuantos de los encuestados prefirieron Coca Cola?
c) ¿Cuantos de los encuestados prefirieron Pepsi o Coca Cola?
35. Determina el número de alumnos de una clase, si se sabe que cada uno
participa en al menos una de los tres seminarios de ampliación de las asignaturas
Matemáticas, Física o Química. 48 participan en el de Matemáticas, 45 en el de
Física, 49 en el de Química, 28 en el de Matemáticas y Física, 26 en el de
Matemáticas y Química, 28 en el de Física y Química y 18 en los tres seminarios.
¿Cuántos alumnos participan en los seminarios de Física y Matemáticas, pero no
en el de Química? ¿Cuantos participan solo en el de Química?
36. La empresa Kia ha decidido aumentar su producción de coches, por lo que
saca a concurso 22 plazas de trabajo para titulados en ingeniería. Los aspirantes
han de ser ingenieros mecánicos, ingenieros en electricidad o ingenieros
químicos. Los ingenieros en mecánica han de ser 11, los ingenieros en
electricidad han de ser 12 y en química han de ser 10. Algunos puestos han de ser
ocupados por ingenieros con doble titulación, en concreto, 5 han de ser ingenieros
mecánicos y en electricidad, 4 han de serlo en mecánica y química, y 4 en
electricidad y química. Algunas de las plazas ofrecidas deben ser ocupadas por
ingenieros con triple titulación. ¿Cuántos ingenieros han de poseer triple
titulación? ¿Cuántos puestos hay para ingenieros que tengan únicamente la
especialidad en electricidad? ¿Cuántas plazas se ofrecen para ingenieros
especializados en electricidad y química pero no en mecánica?
37. Una farmacia rebajo el precio de una loción y el de una crema. La contabilidad
al final de un día indico que 66 personas habían comprado crema; 21 compraron
loción y 21 ambos productos.
Nociones elementales de la teoría de conjuntos
a) ¿Cuantas personas aprovecharon la oferta?
b) ¿Cuantas compraron solamente la loción?
c) ¿Cuantas compraron solamente la crema?
38. Una encuesta realizada a un grupo de empleados revelo que 277 tenían casa
propia; 233 poseían automóvil; 405 televisor; 165 automóvil y televisor; 120
automóvil y casa; 190, casa y televisor y 105 tenían casa, automóvil y televisor.
a. ¿Cuantas personas fueron encuestadas?
b. ¿Cuantas personas tienen solamente casa propia?
c. ¿Cuantas personas tienen solamente casa y televisor?
39. En un curso compuesto por 22 alumnos; 12 estudian alemán; 11 estudian
inglés y 11 francés, 6 estudian alemán e inglés; 7 estudian inglés y francés; 5
estudian alemán y francés y 2 estudian los tres idiomas. ¿Cuántos alumnos
estudian solo inglés?
40. En una encuesta sobre preferencias de los canales de T.V., 7, 9 y 13 se
obtuvo la siguiente información: 55 Encuestados ven el canal 7, 15 Solo ven el
canal 7 y el canal 9, 33 Ven el canal 7 y el canal 13, 3 Solo ven el canal 13, 25
Ven los tres canales, 46 Ven el canal 9, 6 No ven T.V, 2 Solo ven el canal 13 y el
canal 9. Averigua:
a) La cantidad de personas encuestadas. b) La cantidad de personas que ven solo
el Canal 9.
41. En un total de 250 personas encuestadas sobre su desayuno se obtuvieron las
siguientes respuestas, 30 personas tomaban té con leche, 40 personas tomaban
café con leche, 80 personas tomaban leche, 130 personas tomaban te o leche y
150 tomaban café o leche.
a) ¿Cuantas personas tomaban te puro?
b) ¿Cuantas personas tomaban leche pura?
c) ¿Cuantas personas tomaban café puro?
d) ¿Cuántas personas no tomaba ninguna de estas tres cosas al desayuno?
42. Un hotel recibe 60 visitantes, de los cuales 37 permanecen como mínimo 1
semana,43 gastan como mínimo $30.000
diarios, 32 están completamente
satisfechos del servicio; 30 permanecieron como mínimo una semana y gastaron
Nociones elementales de la teoría de conjuntos
como mínimo $ 30.000 diarios, 26 permanecieron como mínimo una semana y
quedaron completamente satisfechos, 27 gastaron como mínimo $30.000 diarios
y quedaron completamente satisfechos y 24 permanecieron como mínimo una
semana, gastaron como mínimo 30,000 € diarios y quedaron completamente
satisfechos.
a) ¿Cuántos visitantes permanecieron como mínimo una semana, gastaron como
mínimo $30.000 diarios pero no quedaron completamente satisfechos?
b) ¿Cuantos visitantes quedaron completamente satisfechos, pero permanecieron
menos de una semana y gastaron menos de $30.000
diarios? c) ¿Cuantos
visitantes permanecieron menos de una semana y gastaron menos de $30.000
diarios y no quedaron completamente satisfechos?
43. Se encuesta a 100 personas obteniéndose la siguiente información:
-Todo encuestado que es propietario de automóvil también lo es de una casa.
– 54 encuestados son hombres.
– 30 de los encuestados que son hombres no son propietarios de un automóvil.
– 30 de los encuestados que son mujeres son propietarios de una casa.
– 5 de los encuestados que son mujeres son solamente propietarios de una casa.
– 15 encuestados que son propietarios de una casa no lo son de un automóvil.
a) Hacer un diagrama adecuado a la situación e indicar la cardinalidad
correspondiente a cada región.
b) ¿Cuantos encuestados que son hombres son solamente propietarios de casa?
c) ¿Cuantas mujeres no son propietarios de casa?
44. Una tienda de artículos electrónicos vende en un día 44 equipos de música,
todos los que tienen lector de CD (C.D.) tienen lector de casetes (T.C.). Algunos
tienen control remoto (C.R) y otros ninguna de las tecnologías nombradas. Si se
vendieron: 16 equipos con (C.R) pero sin (C.D), 12 equipos con (TC) pero sin (CD)
ni (CR), 24 equipos sin (C.R), 9 equipos con (C.R) y (T.C), 16 equipos con (T.C)
pero sin (C.R):
a) ¿Cuantos equipos que tenían alguna de estas tecnologías se vendieron? b)
¿Cuántos equipos se vendieron con (CD) y (CR)? c) ¿Cuantos equipos con (CR)
pero sin (TC) se vendieron?
Nociones elementales de la teoría de conjuntos
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