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Ejercicios de cálculo vectorial

Enviado por francolupio



  1. Curvas en el espacio, ecuaciones vectoriales paramétricas
  2. Arco de longitud
  3. Cinemática de una particula
  4. Derivación de funciones compuestas
  5. Derivación implícita
  6. Derivada direccional
  7. Derivada parcial
  8. Derivada direccional gradiente
  9. Puntos críticos de una función
  10. Derivadas parciales de orden superior
  11. Funciones diferenciables
  12. Divergencia rotacional y laplaciano
  13. Ecuaciones del plano oscilador, normal y rectificante
  14. Funciones vectoriales
  15. Matriz hesiana
  16. Limites
  17. Dominios
  18. Movimiento circular
  19. Propiedades e dientificación física de la divergencia
  20. Propiedades e identificación del rotacional
  21. Teorema de Lagrange
  22. Vector tangente unitario

I NTRODUCCION

Puesto que el Calculo Vectorial tiene gran aplicación en las áreas de la Ingeniería Mecánica, Industrial, Eléctrica, Electrónica y en la ciencias como la Física, Química , etc.

El presente trabajo es una serie de ejercicios resueltos de un selecto grupo de temas de calculo vectorial que tiene como propósito primordial contribuir a la mejora de la enseñanza de Calculo Vectorial

Al igual que otras asignaturas de Matemáticas, el Calculo Vectorial se aprende resolviendo ejercicios, por lo que se ha tenido el cuidado de seleccionar un gran numero de ellos.

Esta serie puede servir como practica adicional para aquellos quienes estén interesados en las áreas antes mencionadas, ya que se pretende que la misma sea un auxiliar didáctico y convertirse en una colaborador mas de la tarea docente y del aprendizaje

CURVAS EN EL ESPACIO, Ecuaciones vectoriales paramétricas

1- f (t) = 2i + 4 j – 2 k y que pasa por ( -2, 0. 4)

para

(-2, 0, 4) x = xo + tA

Ai + Bj + Ck = 2i + 4 j – 2 k y= yo + tB

Z= zo + tC

x =-2 + 2 t

y = 4t

z = 4 – 2 t

2- f (t) = 4i -3j +7k y que pasa por ( -3, 3 , -3)

x= -3 + 4t

y = 2 – 3t

z = -3 + 7 t

3- f (t) = 4i -3j +7k y que pasa por ( 1,-1, 4)

x= 1 + 4t

y = -1 – 3t

z = 4 + 7t

4- Ai+ Bj + Ck

P ( -3, 3, -3) Q (1 , -1, 4)

x= -3 + 4t

y = 2– 3t

z = -3+7t

5- f (t) = a sent i + b cos t j

x= a sen t

y= b cost

z= 0

ARCO DE LONGITUD

1 - P’T = (-2sen2t, 2 cos2t, ) de (0,4П)

L(p)= (4 (sen2t)2 + 4 (cos2t)2 + 5 )1/2 = 91/2 = 3

L (p) =

2 – f (t) = (1- cost, sent)

f (t) =

2TT

0 = 8

 

3- La longitud del arco de la curva y=f(x) entre a y b es: 

   Para ver el grafico seleccione la opción "Descargar" del menú superior

4 - y=ln(1-x2) en [1/3, 2/3].

Para ver las fórmulas seleccione la opción "Descargar" del menú superior 

5- ( t, t -1/2, 0) en (-1,1) en R3

-1= to < t1 < ½= t2 < 1 = t3

(-1,0), (0,1/2) y (1/2,1)

(-1,0)

x(t) = -t

y (t)= -t

z (t) = 0

ds = 21/2

dt

(0,1/2)

x(t) = t

y (t)= -t + 1/2

z (t) = 0

ds = ( 21/2) 1/2

dt

(1/2, 1)

x(t) = t

y (t)= t – 1/2

z (t) = 0

 

= 2 (2) 1/2

CINEMATICA DE UNA PARTICULA

1. Si Ø : t ( cost, sent, t)

v (t)= Ø’(t)=

v=(-sent, cost, 1)

S (t) = v(t) = ( sen2t+cos2t + 1)1/2 = 2 ½

rapidez =

2. Considerer la patricula movimeindose donde t= Π y hallar la ubicacion en 2 Π

Si Ø : t ( cost, sent, t)

v(Π) = ( 0, -1, 1)

v(Π) = Ψ’(Π)

c(Π)= Ψ= (-1, 0, Π)

w+tv(Π) = w + t ( 0, -1, 1)

 

c(Π)= w + Π ( 0, -1, 1) = Ψ= (-1, 0, Π)

w= (-1, 0, Π)- ( 0- Π- Π) = (-1, Π,0) + t ( 0, -1, 1)

 

c (2Π)= ( -1, Π,0)+2 Π (0, -1, 1)= ( -1, - Π , 2 Π)

 

3. r (t)= 6t2 i – t3j + t2 k

x(t)i + y (t)j + z(t)k

v= x’(t) i + y’ (t) j + z’ (t) k

a= x’’(t) i + y’’ (t) j + z’’ (t) k

v= 12 t i – 3 t2 j + 2t k

a= 12 i – 6t j + 2 k

 

4. r (t) = (3cost)i + (3sent)j + t2 k

v= x’(t) i + y’ (t) j + z’ (t) k

a= x’’(t) i + y’’ (t) j + z’’ (t) k

v= -(3sent)i + (3cost) j + (2t)k = -3sent i + 3cost j + 2t k

a = -(3cost)i -3(sent)j + (2) k = -3 cost i - 3 sent j + 2 k

5- r (t) = (sent) i+ (cost) j + 31/2 k

v= x’(t) i + y’ (t) j + z’ (t) k

a= x’’(t) i + y’’ (t) j + z’’ (t) k

v= (cos t)i - (sen t) j + (o)k = (cos t)i - (sen t) j

a= -(sent) i - ( cost) j + o = -sen t i - cost j

DERIVACION DE FUNCIONES COMPUESTAS

1- g(x,y)= xy, 5x, y3 f(x,y)= 3x2+y2+z2, 5xyz

J(fog)= d (fog)1 d (fog)1 = Jf (g(x,y)) Jg(x,y) =

dx dy

d (fog)2 d (fog)2

dx dy

f1= 3x2+y2+z2 , f2= 5xyz , g1= xy, g2= 5x , g3= y3

6x 2y 2z y x

5xy 5xz 5xy 5 0

0 3y2

sustituyendo las variables y multiplicando por la matriz obtengo:

= 6xy2 + 50x 6x2y+ 6y5

50xy4 100x2y3

 

2- f(x,y)= x2+3y2 f2 (x,y)= 5x3+2y6

Jf= df1 df1 = 2x 6y

dx dy 15x2 12y5

df2 df2

dx dy

3- f(x,y,z)= x2+2, x+y2+z3 g(x,y,z)= x+y+z, xyz, x2+y3 en P(1,1,1)

 

J(fog) (1,1,1) = Jf (g(1,1,1)) Jg(1,1,1) = Jf(3,1,2) Jg(1,1,1)

Jf(3,1,2)= 2x 0 0 = 6 0 0

1 2y 3x2 1 2 12

Jg(1,1,1) = 1 1 1 = 1 1 1

yz xz xy 1 1 1

2x 3y2 0 2 3 0

= 6 0 0 1 1 1 = 6 6 6

1 2 12 1 1 1 27 39 3

2 3 0

 

4- f(x,y)= sen (x+y) f2(x,y)= xex+y f3(x,y)= x+y en P(0,0)

Jf(0,0)= df1 df1 = cos(x+y) cos(x+y) = 1 1

dx dy ex+y(x+1) xex+y 1 0

df2 df2 1 1 1 1

dx dy

df3 df3

x dy

 

5- f(x) = sen (x2) f(g) = sen(g)

Dx[sen(x2)] = Dg[sen(g)]·Dx[g(x)] =

cos(g)·2x =cos(x2)·2x =

2xcos(x2)

DERIVACION IMPLICITA

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DERIVADA DIRECCIONAL

1- f(x,y,z) = 2x3+7y2+9z2 v = (a,b,c)

x = xo+ as

y = yo+bs

z = zo+cs

gs = 2 (xo+ as)3+7(yo+bs)2+9(zo+cs)2

= 2 (xo3+3x2as+3xoa2s2+a3s3)+7(yo2+2 yobs+b2s2)+9(zo2+2 zocs+c2s2)

= 2 xo3+6 x2as+6 xoa2s2+2 a3s3+7 yo2+14yobs+7 b2s2+9 zo2+18 zocs+9 c2s2

g’(s) = 6ax2+12a2xs+6a3s2+14byo+14b2s+18czo+18c2s

= 6ax2+14byo+18czo

2- f(x,y) = 3x-2y v = (1/, 1/)

x = xo+ 1/s

y = yo+ 1/s

gs = 3(xo+ 1/s)-2(yo+ 1/s)

= 3xo+3/ s- 2 yo-2/ s)

g’(s) = 3/ - 2/

= 1/

3- f(x,y) = x2+y2 v = (a,b) p= (0,0)

x = 0+as

y = 0+bs

gs = (0+as)2+( 0+bs)2

= 02+2 0as+a2s2+ 02+2 0bs+b2s2

g’(s) = 2 0a+2 a2s+2 0b+2 b2s

= 0

4- f(x,y) = x y2+ x2y v=(1,0)

x = xo+ s

y = yo+0

gs = xo+ s (yo+0)2+( xo+ s)2 yo+0

g’(s) = (yo+0)2 + yo+0 .2(xo+ s)

= yo2+2 xo yo+2s yo

= yo2+2 xo yo

5- f(x,y,z) = xyz v= (1/3, -2/3,- 2/3)

x = xo+ 1/3s

y = yo-2/3s

z = zo-2/3s

gs = (xo+ 1/3s)( yo-2/3s)( zo-2/3s)

= xo yo- xo 2/3s+1/3s yo-2/9s2(zo-2/3s)

= zo xo yo- zo xo 2/3s+ zo1/3s yo- zo2/9s2 -2/3s xo yo+4/9s2-2/9 yos3+4/27 s3

g’(s) = - zo xo 2/3+ zo1/3 yo-4/9s zo-8/9s-6/9syo+12/27s2

= -2 zo xo + yo zo- 2 xo yo

3

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DERIVADA PARCIAL

1- f(x,y) = x2y3

x2(0)+ y32x

= 2xy3

x2 3 y2+ y3(0)

3 x2y2

2 - f(x,y) = Sen ( )

Cos ( ) . 1/2 ( )-1/2 . 6x2

= 3x2cos( )

( )

Cos ().1/2 ( )-1/2 . 2y

y Cos ()
( )

3- f(x,y) = xy+yx

= yxy-1 + yxlny

xylnx + xyx-1

4- f(x,y) = (2y)x + 2y

si

yxy-1 + yxlny

= (2y)x ln 2y

si

xylnx + xyx-1

x(2y)x-1 + 2y ln 2

5- f(x,y) = x ln y – y ln x

x(0)+lny(1)

-y(1/x)+lnx(0)

= lny – y

x

x(1/y)+(-y)(0)+lnx(-1)

x – lnx

y

DERIVADA DIRECCIONAL GRADIENTE

1- f(x, y, z)= x2y3z4

df = 2xy3z4 df = 3x2y2z4 df = 4x2y3z3

dx dy dz

En el punto (1,1,1) son:

df (1,1,1)= 2 df (1,1,1)= 3 df (1,1,1)= 4

dx dy dz

grad f (1,1,1)= (2,3,4)

2- f(x,y)= 3x2y+cos(xy) en p=(1,1)

df = 6xy -sen (xy) y df = 3x2 –sen (xy) x

dx dy

df (1,1) = 5.982 df (1,1)= 2.98

dx dy

grad f (1,1)= (5.982 , 2.98 )

3- f(x,y)= xy en p= (2,2)

df = yxy-1 df = xy ln x

dx dy

df (2,2) = 4 df (2,2)= 4 ln 2

dx dy

grad f (1,1)= (4, 4 ln 2 )

4- f(x,y)=

df = -x df = -x dx

En el punto (1,1)

df = -1 df = - 1

1 1

df (1,1) = -1 df (1,1)= -1

dx dy

grad f (1,1)= (-1, -1 )

 

5- f(x, y, z)= ln (x, y, z)

En el punto (1,1,1)

df = 1 df = 1 df = 1

dx x dy y dz z

df = 1 df = 1 df = 1

dx 1 dy 1 dz 1

df = 1 df = 1 df = 1

dx dy dz

 grad f (1,1,1)= (1, 1, 1 )

PUNTOS CRITICOS DE UNA FUNCION

1- f(x,y)= 3x+ 8y – 2xy + 4

df = 3 – 2y= 0 -2y =-3 y= 3

dx 2

df = 8 – 2x = 0 -2x= -8 x= 4

dy

pc= ( 4, 3 )

2

2- f(x,y)= x2+x+ y2+1

df = 2x+1 = 0 2x = -1 x= -1

dx 2

df = 2y = 0 2y= 0 y= 0

dy

pc= ( -1 , 0 )

2

3- f(x,y)= x2 + 2x + y2 – 4y + 10

df = 2x+2 = 0 2x = -2 x= -1

dx

df = 2y- 4 = 0 2y= -4 y= -2

dy

pc= ( -1 , -2 )

 

4- f(x,y)= 2x3 + 3x2 + 6x +y3 + 3y + 12

df = 6x2+6x +6 = 0 6x2= -6x – 6 x2 = -x -1 raiz negativa

dx

df = 3y2+3y = 0 3y( y + 1) = 0 y = -1

dy y= 0

No hay puntos criticos

5- f(x,y)= x2y – x2 – 3xy + 3x + 2y -2

df = 2xy – 2x – 3y +3= 0 2x (y -1 ) -3 (y -1) = 0 y= 1

dx x= 1

df = x2 – 3x + 2 = 0 x(x-3) +2 = 0

dy

pc= ( 1 , 1 )

DERIVADA DIRECCIONAL GRADIENTE

1- f(x, y, z)= x2y3z4

df = 2xy3z4 df = 3x2y2z4 df = 4x2y3z3

dx dy dz

En el punto (1,1,1) son:

df (1,1,1)= 2 df (1,1,1)= 3 df (1,1,1)= 4

dx dy dz

grad f (1,1,1)= (2,3,4)

2- f(x,y)= 3x2y+cos(xy) en p=(1,1)

df = 6xy -sen (xy) y df = 3x2 –sen (xy) x

dx dy

df (1,1) = 5.982 df (1,1)= 2.98

dx dy

grad f (1,1)= (5.982 , 2.98 )

 

3- f(x,y)= xy en p= (2,2)

df = yxy-1 df = xy ln x

dx dy

df (2,2) = 4 df (2,2)= 4 ln 2

dx dy

grad f (1,1)= (4, 4 ln 2 )

 

DERIVADAS PARCIALES DE ORDEN SUPERIOR

(Teorema de Schwarz)

1- f(x,y) = x2+y2 si df = 2x , df = 2y

dx dy

d2f = d ( df ) = d (2x) = 2 d2f = d ( df ) = d (2y) = 0

dx2 dx dx dx dxdy dx dy dx

d2f = d ( df ) = d (2x) = 0 d2f = d ( df ) = d (2y) = 2

dydx dy dx dy dy2 dy dy dy

 

2- f(x,y) = x2e x2+y2 si df = x2e x2+y2 (2x) + 2xe x2+y2 = 2xe x2+y2(x3+x)

dx

df = x2e x2+y2 (2y) = 2x2ye x2+y2

dy

d2f = d ( df ) = d 2x (x3+x) = 2xe x2+y2(3x2+1)+4 x2e x2+y2 (x3+x)=

dx2 dx dx dx

2 e x2+y2(2x4+5x2+)

d2f = d ( df ) = d (2x e x2+y2(x3+x)= 4y e x2+y2(x3+x)

dydx dy dx dy

d2f = d ( df ) = d (2x2 ye x2+y2) = 2x2 ye x2+y2(2x)+ 4x ye x2+y2= 4y e x2+y2(x3+x)

dxdy dx dy dx

d2f = d ( df ) = d (2x2 ye x2+y2) = 2x2 ye x2+y2(2y)+ 2x2 e x2+y2 = 2x2 e x2+y2(2y2+1)

dy2 dy dy dy

3- f(x,y) = x3+6x2y4+7xy5+10x3y

si df = 3x2+12xy4+7y5+30x2y

dx

df = 24y3x2+35xy4+10x3

dy

d2f = d ( df ) = d (3x2+12xy4+7y5+30x2y ) = 6x+12y4+60xy

dx2 dx dx dx

d2f = d ( df ) = d (24y3x2+35xy4+10x3) = 48xy3+35y4+30x

dxdy dx dy dx

d2f = d ( df ) = d (3x2+12xy4+7y5+30x2y ) = 6x+12y4+60xy

dydx dy dx dy

d2f = d ( df ) = d (24y3x2+35xy4+10x3) = 72x2y2+140xy3

dy2 dy dy dy

 

4- f(x,y) = x+y Verificar que satisfaga lo siguiente: d2f + d2f = 0

x2+y2 dx2 dy2

df = y2-2xy-x2

dx (x2+y2)2

d2f = d ( df ) = 2x3-2y3+6x2y-6xy2

dx2 dx dx (x2+y2)3

df = x2-2xy-y2

dy (x2+y2)2

d2f = 2y3-2x3+6y2x-6xy2

dy2(x2+y2)3

 

d2f + d2f = 2x3-2y3+6x2y-6xy2 + 2y3-2x3+6y2x-6xy2 = 0

dx2 dy2 (x2+y2)3 (x2+y2)3

 

5- f(x,y) = xy

df = yxy-1 df = xy lnx

dy dx

d2f = xy-2(y2-y) d2f = xyln2x

dy2 dx2

d2f = xy-1(ylnx+1) d2f = xy-1(ylnx+1)

dx dy dydx

 

FUNCIONES DIFERENCIABLES

1- f(x,y) = xy2

Δf= (x+Δx) (y+Δy)2= x+Δx (y2+2y ∆y + (∆y)2) - xy2=

xy2+2xy∆y+x(∆y)2+ Δx y2+ Δx2y ∆y+ Δx(∆y)2- xy2=

2xy∆y+x(∆y)2+ Δx y2+ Δx2y ∆y+ Δx(∆y)2

Si es diferenciable

2-f(x,y) = x2+y2

Δf= (x+Δx)2+(y+ Δy)2 –( x2+y2) =

x2+2x Δx+( Δx)2+ y2+2y ∆y + (∆y)2)- ( x2+y2)=

2x Δx+( Δx)2+2y ∆y + (∆y)2

Si es diferenciable

3- f(x,y) = e-(x2+y2)

df = -2xe-(x2+y2)

dx

df = -2y e-(x2+y2)

dy

Si es diferenciable

 

4- f(x,y,z) = cos (x+y2+z3)

df = -sen (x+y2+z3)

dx

df = -2ysen (x+y2+z3)

dy

df = -3z2 sen (x+y2+z3)

dz

Si es diferenciable

 

5- f(x,y) = 3x

Δf= 3(x+Δx)-3x =

3x+3 Δx-3x = 3 Δx

Si es diferenciable

DIVERGENCIA Y ROTACIONAL

Y LAPLACIANO

1. f (xyz) = x i + xy j + k

∇ x F = i j k

d d d =(0-0)i- (0-0)j + (y-0)k

dx dy dz

x xy 1

 

 

∇ x F = yk

2. f (xyz) = -wy i + wx j

rot = i j k

d d d = 2wk

dx dy dz

-wy wx 0

 

 

rot = 2w

 

3. F = x 2y i + z j + xyz k

div F = d (x 2y) + d (z) + d(xyz) = 2xy + 0 + xy = 3xy

dx dy dz

2xy + xy = 3xy

4. F = F1i + F2 j + F3 k

∇2 f = ∇. (∇f) = d2f + d2f + d2f

d x 2dy 2 dz 2

∇2 f = ∇2 F1i +∇2 F2 j + ∇2F3 k

5. F = 3 x 2y i + 5xz3j – y2k

div F = d (x 2y) + d (z) + d(xyz) = 5xy + 0 + xy = 6xy

dx dy dz

5xy + xy = 6xy

ECUACIONES DEL PLANO OSCULADOR, NORMAL

Y RECTIFICANTE

1- F (s) = cos s , sen s , s p= f (П) = (0 ,1, П)

T (s) = f’’(s) = -1 sen s , 1 cos s , s

f’’ (s) = -1 cos s , -1 sen s , 0

2 2

k ( s) = ½

N (s) = 1 f’’ (s) = 1 -1 cos s , -1 sen s , 0

k ( s) ½ 2 2

= - cos s , - sen s , 0

B (s) = T (s) x N (s) = det i j k

-1 sen s 1 cos s s

- cos s - sen s 0

= 1 sen s , -1 cos s , 1

T (П)= 0 , -1 , 1 N (П) = ( 1, 0, 0)

B ( П ) = 0 , 1 , 1

 

0 ( x-0) + 1 ( y-1) + 1 ( z- П) = 0 y+ z = П +1 Osculador

0 ( x-0) - 1 ( y-1) + 1 ( z- П) = 0 -y+ z = П +1 Normal

1 ( x-0) + 0 ( y-1) + 0 ( z- П) = 0 x = 0 Rectificante

  

2- F (t) = ( t , t2 , t3 ) p= f (2) = ( 2, 4, 8 )

u = f’(t) = (1, 2t, 3t2 ) , f’’’(t) =( 0, 2, 6t)

v= f’(t) x f´´(t) = det i j k

1 2t 3t2 = ( 6t2 – 6t, 2)

0 2 6t

  

w = v x u = det i j k

6 t 2 – 6t 2 = ( 18t3-4t, 3 – 18 t4, 12 t3 + 6t)

1 2t 3t2

 24 ( x-2) – 12 ( y – 4) + 2 ( z – 8 ) = 0 Osculador

12x – 6y + z = 8

1 ( x-2) + 4 ( y – 4) + 12 ( z – 8 ) = 0 Normal

x + 4y + 12 z = 114

-152 ( x-2) – 286 ( y – 4)+ 108 ( z – 8 ) = 0 Rectificante

76x + 143 y – 54z= 292

 

3- f ( t) = ( cost, sent , 2 ) p= (1 , 1, 2 )

f’(t) x f´´(t) = (- sent, cost , 0 ) x (- cost, -sent , 0)

= det i j k

- sent cost 0 = ( 0, 0, 2)

- cost -sent 0

 

0 ( x-1) + 0 ( y-1) + 2 ( z-2) = 0 Osculador

4 - si T ( - 3/5, 0, 4/5) ; p ( 0, 3 , 2 П)

-3 ( x-0) + 0 ( y-3) + 4 (z- 2 П) = 0

5 5

-3 x- + 0 + 4 z- 8 П = 0

5 5 5

- 3x + 4z – 8 П = 0

3x – 4z + 8 П = 0 Normal

4x + 3z – 6 П =0 Osculador

 

5- x= t – cost y= 3 + sen 2t z= 1 + cos 3 t p= t= П

2

x’ = 1 + sen t = 2

y’= 3 + sen2t = -2

z’= 1 + cos 3t = 3

x= t – cos t = П - cos П = П

2 2 2

y= 3 + sen 2t = 3

z= 1 + cos 3t = 1

2x- П – 2y + 6 + 3z – 3 = 0

2x- 2y + 3z + 3 – П = 0 Normal

 

FUNCIONES VECTORIALES

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MATRIZ HESIANA

1. f(x,y)= 2 (x-1)2 + 3(y-2)2

df = 4 (x-1) = 0 df = 6(y-2) = 0

dx dy

x= 1 y= 2

d2f d2f 4 0

dx2 dydx = 0 6

d2f d2f

dxdy dy2

 

(1,2 ) mínimo local

2 - f(x,y,z)= senx + sen y + sen z – sen (x+y+z)

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LIMITES

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El dominio del logaritmo mayor que cero.

Solo puede tomar valores positivos (x,y), entonces:

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MOVIMIENTO CIRCULAR

1. Considrear el punto con funcion de posicion ס : t (1- cost, sent) hallar la velocidad, rapidez y longitud de arco

ס (t) =

1- cost = 2 sen2 t y sen t > 0 en ( 0 ,2 П)

2 2

2TT

0 = 8

 

2. Considerar una particula de masa m moviendose con rapidez constante S en una trayectoria circular de radio ro . ro = 5 s= 2 m= 3 t=1

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a (t)= r’’(t) = - s2 cos ts, - s2 sen ts = - S2 r (t)

ro ro ro ro ro2

 r (t) = 5 cos 2, 5 sen 2

5 5

 r (t) = .9 , .03

a (t)= r’’(t) =.8

 3. De la helice definida p: (0, 4П) hallar longitud de arco. si el vector velocidad es:

P’T = (-2sen2t, 2 cos2t, )

 L(p)= (4 (sen2t)2 + 4 (cos2t)2 + 5 )1/2 = 91/2 = 3

L (p) =

4. f (t) = (1- cost, sent)

f (t) =

2TT

0 = 8

 

5. Si Ө = 200 y ro= 5, de la posicion de la particula

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PROPIEDADES E DIENTIFICACION FISICA

DE LA DIVERGENCIA

1. fF tiene componenete f Fi i= 1,2,3

div F = d (fF1) + d (fF2) + d(fF3) =

dx dy dz

f df1 + df2 + df3 + F1 df + F2 df + F3 df

dx dy dz dx dy dz

 

= f (∇.F)+ F. ∇f

 2. r (x,y,z) = (x,y,z)

∇r = (x/r, y/r, z/r)

div (∇fx∇g) = ∇g. (∇fx∇) - ∇f. (∇gx∇) = 0

∇fx∇ = 0

∇gx∇= 0

 

3. v= (x+3y)i + (y-2z)j + (x+az) k

∇x V = = d (fF1) + d (fF2) + d(fF3) =

dx dy dz

 

∇x V = = d (x+3y) + d (y-2z) + d(x+az) =

dx dy dz

∇. V = 1 +1 + a = 0

2+a= 0+a= -2

. v= (x+3y)i + (y-2z)j + (x+az) k

 

4. V= (x+2y)i + (z+y)j + (x+az)

∇x V = = d (fF1) + d (fF2) + d(fF3) =

dx dy dz

∇x V = = d (x+2y) + d (y+z) + d(x+az) =

dx dy dz

∇. V = 1 +1 + a = 0

2+a= 0+a= -2

 

5. F = x 2y i + z j + xyz k

div F = d (x 2y) + d (z) + d(xyz) = 2xy + 0 + xy = 3xy

dx dy dz

si x=1 y =2

2xy + xy = 3xy

= 6

PROPIEDADES E IDENTIFICACION

DEL ROTACIONAL

1. Verificar que el campo vectorial es irrotacional en cada punto (x,y) ≢ 0

V(x,y) = yi - x j = y , - x

x2+y2 x2+y2 x2+y2x2+y2

 

 ∇ x V = i j k

d d d =

dx dy dz

y - x 0

x2+y2x2+y2

  

= 0i + 0 j + d -x - d y k

dx x2+y2 dy x2+y2

= -( x2+y2) + 2x2 + - ( x2+y2) + 2y2 k

( x2+y2)2 ( x2+y2)2

 

= 0

2. V(x,y,z) = yi – xj

 

rot(V) = i j k

d d d =

dx dy dz

y -x 0

 = - 2k ≢ 0

 

3. f (xyz) = -wy i + wx j

 

rot = i j k

d d d = 2wk

dx dy dz

-wy wx 0

 

 = 2w ≢ 0

 

4.. A(xyz) = x i + xy j + k

rot ( A) = i j k

d d d =(0-0)i- (0-0)j + (y-0)k

dx dy dz

x xy 1

 

 = yk ≢ 0

 

5. F = - ∇Ø

∇ x V = 0

∇ x F = i j k

d d d =

dx dy dz

-kx -ky -kz

 ∇ x F = d -kz + d ky i - d –kz + d -kx j + d -ky + d -kz k

dy dz dx dz dx dy

 

= 0 i + 0j + 0k

 

TEOREMA DE LAGRANGE

1- f ( x, y, z) = x2 + y2 +z2

sujeto a

x2 + 1 y2 + 1 z2 = 1

4 9

f ( x,y,z, λ) = x2 + y2 + z2 + λ ( x2 + 1 y2 + 1 z2 – 1)

4 9

df = 2x + 2 λx = 0

dx

df = 2y + 1 λy = 0

dy 2

df = 2z + 2 λz = 0

dz 9

df = x2 + 1 y2 + 1 z2 -1 = 0

dλ 4 9

p1( 1, 0, 0 ) p2 (0, 2, 0) p3(0, 0, 3) p4 ( -1, 0, 0 ) p5(0, -2, 0) p6(0, 0, -3)

x2 + 1 y2 + 1 z2 = 1 p1( 1, 0, 0 ) = 1

4 9 p4 ( -1, 0, 0 ) =1

p2 (0, 2, 0 ) = 4

p5 (0, -2, 0) = 4

p3 (0, 0, 3) = 9

p6 (0, 0, -3) = 9

minimo ( 1, 0, 0 ) , ( -1, 0, 0 ) = 1

maximo (0, 0, 3) , (0, 0, -3) = 9

2- f ( x, y, z) = xyz

sujeto a

g1( x, y, z) = x2 + y2 +z2 -1 = 0 y g2 = ( x, y, z) = x + y +z = 0

f ( x,y,z, λ1, λ2) = xyz + λ1 (x2 + y2 +z2 -1) + λ2 (x + y +z )

df = yz + 2 λ1x + λ2 = 0

dx

df = xz + 2 λ1y + λ2 = 0 (z-y) (x-2 λ1)= 0 z= y x = 2 λ1

dy

df = xy + 2 λ1z + λ2 = 0

dz

df = x2 + y2 +z2 -1 = 0 x2 + 2 y2 = 1

dλ1 x = + 2 y = + 1

df = x + y +z = 0 x+ 2y = 0

dλ2

 

p1( -2, 1, 1 ) p2 (2, -1, -1) p3(1 , 1, -2 ) p4 (-1, -1 , -2 ) p5(-2 , 1 , 1 )

 

p6(2, -1, -1)

maximos p2, p4 , p6 = 1 minimos p1, p3 , p5 = - 1

3 3

 

3- f ( x, y, z) = 2xz+ 2yz + xy

sujeto a

g( x, y, z) = xyz- v

f ( x,y,z, λ) = 2xz + 2yz + xy + λ (xyz- v)

df = 2z + y + λyz = 0 (y-x ) ( λ +1)= 0 x= y

dx

df = 2z + x + λxz = 0 z= x

dy 2

df = 2y + 2 y + λxy = 0 λ = -4

dz x

df = xyz - v = 0 x (x) ( x ) = V

dλ 2

 

minimo = 3 (2v)2/3

4 - f ( x, y, z) = d2 = (x-xo)2 + (y-yo)2 + (z-zo)2

sujeto a

Ax + By +Cz = D

f ( x,y,z, λ) = (x-xo)2 + (y-yo)2 + (z-zo)2 + λ ( D – Ax – By – Cz )

df = 2 (x-xo)2 - λA = 0

dx

df = 2 (y-yo)2 - λB = 0

dy

df = 2(z-zo)2 - λC= 0

dz

df = D – Ax – By - Cz = 0

f ( x, y, z) = (x-xo)2 + (y-yo)2 + (z-zo)2 = (D –Axo – Byo – Czo)2

( A2 +B2 + C2 )1/2

minimo = AxO +By0 + Czo - D

( A2 +B2 + C2 )1/2

5- f ( x, y, z) = Ax + By +Cz

sujeto a

xaybzc = N

f ( x, y, z, λ ) = Ax + By +Cz + λ (xaybzc-N)

df = A + λaxa-1ybzc = 0

dx

df = B+ λ bxa yb-1zc= 0 y= bA x z= cA x

dy aB aC

df = C + λcxa yb zc-1 = 0

dz

df = xaybzc –N = 0 xa (bA ) xb (cA)c xc = N

dλ aB aC

x = (bA ) -b (cA)-c N 1/a+b+c

aB aC

y = (bA ) –b+1 (cA)-c N 1/a+b+c

aB aC

z= (bA ) –b (cA)-c +1 N 1/a+b+c

aB aC

VECTOR TANGENTE UNITARIO

1- r (t) = (cost) i + (sent) j + t k

v= (-sent)i + (cost)j + k

v = (-sent)2 + (cost)2 + 12 ½ = 21/2

T = v = -sent i + cost j + 1 k

v 21/221/221/2

 

2- r (t) = (cost + tsnet) i + (sent – tcost)j, t > 0

v = dr = ( -sent + sent + cost)i + ( cost- cost + tsent)j

dt

= (tcost)i + (tsent) j

2

v = ( t2cos2t + t2sen2t )1/2 = (t2) ½ = t

T = (cost)i + ( sent) j

3- r (t) = (cost) i + (sent) j

v= (-sent)i + (cost)j

es un vector unitario entonces

T = V

T= (-sent)i + (cost)j

4- r (t) = (2cost)i + (2sent)j + 51/2t k

v= (-2sent) i + (2cost) j + 51/2

v = (-2sent)2 + (2cost)2 +5 ½ = 4sen2t + 4 cos2t +5 ½ = 3

 

T= ( - 2 sent ) i + (2 cos t) j + 51/2 k

3 3

5- r (t) = ti + (sen2t)j + (cos 2t) k en p = (Π/4)

= i + 2 cos Π/2 j – 2 sen Π/2 k

= i + 2 (0) – 2 ( 1)

v = 51/2

T = 1 i - 2

51/2 51/2

 

 

 

 

Trabajo enviado por;

FRANCO LUPIO BOBADILLA

 


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