2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
13.
14.
20.
21.
Ejercicios de cálculo vectorial
1.
12.
15.
16.
17.
18.
19.
22.
23.
Introducción
Curvas en el espacio, ecuaciones vectoriales paramétricas
Arco de longitud
Cinemática de una particula
Derivación de funciones compuestas
Derivación implícita
Derivada direccional
Derivada parcial
Derivada direccional gradiente
Puntos críticos de una función
Derivadas parciales de orden superior
Funciones diferenciables
Divergencia rotacional y laplaciano
Ecuaciones del plano oscilador, normal y rectificante
Funciones vectoriales
Matriz hesiana
Limites
Dominios
Movimiento circular
Propiedades e dientificación física de la divergencia
Propiedades e identificación del rotacional
Teorema de Lagrange
Vector tangente unitario
I NTRODUCCION
Puesto que el Calculo Vectorial tiene gran aplicación en las áreas de la Ingeniería Mecánica,
Industrial, Eléctrica, Electrónica y en la ciencias como la Física, Química , etc.
El presente trabajo es una serie de ejercicios resueltos de un selecto grupo de temas de calculo
vectorial que tiene como propósito primordial contribuir a la mejora de la enseñanza de Calculo
Vectorial
Al igual que otras asignaturas de Matemáticas, el Calculo Vectorial se aprende resolviendo
ejercicios, por lo que se ha tenido el cuidado de seleccionar un gran numero de ellos.
Esta serie puede servir como practica adicional para aquellos quienes estén interesados en las
áreas antes mencionadas, ya que se pretende que la misma sea un auxiliar didáctico y convertirse
en una colaborador mas de la tarea docente y del aprendizaje
CURVAS EN EL ESPACIO, Ecuaciones vectoriales paramétricas
1- f (t) = 2i + 4 j – 2 k
para
y que pasa por ( -2, 0. 4)
(-2, 0, 4)
Ai + Bj + Ck = 2i + 4 j – 2 k
x = xo + tA
y= yo + tB
Z= zo + tC
x =-2 + 2 t
y = 4t
z=4 – 2t
2- f (t) = 4i -3j +7k
x= -3 + 4t
y = 2 – 3t
z = -3 + 7 t
y que pasa por ( -3, 3 , -3)
3- f (t) = 4i -3j +7k
y que pasa por
( 1,-1, 4)
x= 1 + 4t
y = -1 – 3t
z = 4 + 7t
4- Ai+ Bj + Ck
P ( -3, 3, -3) Q (1 , -1, 4)
x= -3 + 4t
y = 2– 3t
z = -3+7t
5- f (t) = a sent i + b cos t j
x= a sen t
y= b cost
z= 0
ARCO DE LONGITUD
1 – P’T = (-2sen2t, 2 cos2t,
5 )
de (0,4?)
L(p)= (4 (sen2t)2 + 4 (cos2t)2 + 5 )1/2 = 91/2 = 3
4TT
4TT
L (p) =
0
IIp ' tIIdt
0
3dt 12
2 – f (t) = (1- cost, sent)
f (t) =
(1 cost ) 2
sen2 t
2 2 cost
2TT
l (t )
2tt
0
2 2 cost dt
2TT
0
1 cost
2
dt
2
2TT
0
t
sen dt
2
4
cos
t
2
0
= 8
3- La longitud del arco de la curva y=f(x) entre a y b es:
4 – y=ln(1-x2) en [1/3, 2/3].
5- ( t, t -1/2, 0) en (-1,1) en R3
-1= to < t1 < ½= t2 < 1 = t3
(-1,0), (0,1/2) y (1/2,1)
(-1,0)
x(t) = -t
y (t)= -t
z (t) = 0
ds = 21/2
dt
2 ½
3.
(0,1/2)
x(t) = t
y (t)= -t + 1/2
z (t) = 0
ds = ( 21/2) 1/2
dt
(1/2, 1)
x(t) = t
y (t)= t – 1/2
z (t) = 0
= 2 (2) 1/2
CINEMATICA DE UNA PARTICULA
1. Si Ø : t ( cost, sent, t)
v (t)= Ø’(t)=
v=(-sent, cost, 1)
S (t) = v(t) = ( sen2t+cos2t + 1)1/2 =
rapidez =
2
2. Considerer la patricula movimeindose donde t= ? y hallar la ubicacion en 2 ?
Si Ø : t ( cost, sent, t)
v(?) = ( 0, -1, 1)
v(?) = Ø’(?)
c(?)= Ø= (-1, 0, ?)
w+tv(?) = w + t ( 0, -1, 1)
c(?)= w + ? ( 0, -1, 1) = Ø= (-1, 0, ?)
w= (-1, 0, ?)- ( 0- ?- ?) = (-1, ?,0) + t ( 0, -1, 1)
c (2?)= ( -1, ?,0)+2 ? (0, -1, 1)= ( -1, – ? , 2 ?)
r (t)= 6t2 i – t3j + t2 k
x(t)i + y (t)j + z(t)k
v= x’(t) i + y’ (t) j + z’ (t) k
a= x’’(t) i + y’’ (t) j + z’’ (t) k
=
=
v= 12 t i – 3 t2 j + 2t k
a= 12 i – 6t j + 2 k
4. r (t) = (3cost)i + (3sent)j + t2 k
v= x’(t) i + y’ (t) j + z’ (t) k
a= x’’(t) i + y’’ (t) j + z’’ (t) k
v= -(3sent)i + (3cost) j + (2t)k
a = -(3cost)i -3(sent)j + (2) k
5- r (t) = (sent) i+ (cost) j + 31/2 k
v= x’(t) i + y’ (t) j + z’ (t) k
a= x’’(t) i + y’’ (t) j + z’’ (t) k
v= (cos t)i – (sen t) j + (o)k =
a= -(sent) i – ( cost) j + o
= -3sent i + 3cost j + 2t k
= -3 cost i – 3 sent j + 2 k
(cos t)i – (sen t) j
-sen t i – cost j
DERIVACION DE FUNCIONES COMPUESTAS
1- g(x,y)= xy, 5x, y3
f(x,y)= 3×2+y2+z2, 5xyz
J(fog)=
d (fog)1
dx
d (fog)1
dy
= Jf (g(x,y)) Jg(x,y) =
d (fog)2 d (fog)2
dx
dy
f1= 3×2+y2+z2 , f2= 5xyz , g1= xy, g2= 5x , g3= y3
6x
5xy
2y
5xz
2z
5xy
y x
5 0
0 3y2
sustituyendo las variables y multiplicando por la matriz obtengo:
6xy2 + 50x
50xy4
2- f(x,y)= x2+3y2
6x2y+ 6y5
100x2y3
f2 (x,y)= 5×3+2y6
Jf=
df1
dx
df1
dy
=
2x 6y
15×2 12y5
df2
dx
df2
dy
3- f(x,y,z)= x2+2, x+y2+z3
g(x,y,z)= x+y+z, xyz, x2+y3
en P(1,1,1)
2
=
+v
J(fog) (1,1,1)
= Jf (g(1,1,1)) Jg(1,1,1) = Jf(3,1,2) Jg(1,1,1)
Jf(3,1,2)= 2x
1
0 0
2y 3×2
=
6
1
0 0
2 12
Jg(1,1,1) = 1
1
1
=
1
1 1
yz xz xy
2x 3y2 0
1
1 1
3 0
=
6
1
0
2
0
12
1 1
1 1
1
1
=
6
27
6
39
6
3
2 3
0
4- f(x,y)= sen (x+y)
f 2 (x,y)= xex+y
f3(x,y)= x+y
en P(0,0)
Jf(0,0)=
df 1
dx
df 2
df 1
dy
df2
= cos(x+y)
ex+y(x+1)
1
cos(x+y)
xex+y
1
1 1
1 0
1 1
dx
df 3
x
5- f(x) = sen (x2)
dy
df 3
dy
f(g) = sen(g)
Dx[sen(x2)] = Dg[sen(g)]·Dx[g(x)] =
cos(g)·2x =cos(x2)·2x =
2xcos(x2)
DERIVACION IMPLICITA
1- f(x,y,u,v)= xeu+v+uv-1= 0
g(x,y,u,v)= yeu-v-2uv-1=0
df = eu+v
dx
df= 0
dy
df= xeu+v +v
du
df= xeu+v+u
dv
dg= 0
dx
dg= eu-v
dy
dg= yeu-v-2u
du
dg=-yeu-v
dv
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