Indice
1.
Introducción. El Concepto de Base
2. Sistemas de Numeración
Aditivos
3. El Sistema de Numeración
Egipcio
4. El Sistema de Numeración
Griego
5. Sistemas de Numeración
Híbridos
6. El Sistema de Numeración
Chino
7. Sistemas de Numeración
Posicionales
8. El Sistema de Numeración
Babilónico
1. Introducción. El Concepto de
Base
Cuando los hombres empezaron a contar usaron los dedos,
guigarros, marcas en
bastones, nudos en una cuerda y algunas otras formas para ir
pasando de un número al siguiente. A medida que la
cantidad crece se hace necesario un sistema de
representación más práctico.
En diferentes partes del mundo y en distintas épocas se
llegó a la misma solución, cuando se alcanza un
determinado número se hace una marca distinta
que los representa a todos ellos. Este número es la base.
Se sigue añadiendo unidades hasta que se vuelve a alcanzar
por segunda vez el número anterior y se añade otra
marca de la
segunda clase . Cuando se alcanza un número determinado
(que puede ser diferente del anterior constituyendo la base
auxiliar) de estas unidades de segundo orden, las decenas en caso
de base 10, se añade una de tercer orden y así
sucesivamente.
La base que más se ha utilizado a lo largo de la Historia es 10 según
todas las apariencias por ser ese el número de dedos con
los que contamos. Hay alguna excepción notable como son
las numeración babilónica que usaba 10 y 60 como
bases y la numeración maya que usaba 20 y 5 aunque con
alguna irregularidad.
Desde hace 5000 años la gran mayoría de las
civilizaciones han contado en unidades, decenas, centenas,
millares etc. es decir de la misma forma que seguimos
haciéndolo hoy. Sin embargo la forma de escribir los
números ha sido muy diversa y muchos pueblos han visto
impedido su avance científico por no disponer de un
sistema eficaz
que permitiese el cálculo.
Casi todos los sistemas
utilizados representan con exactitud los números enteros,
aunque en algunos pueden confundirse unos números con
otros, pero muchos de ellos no son capaces de representar grandes
cantidades, y otros requieren tal cantidad de simbolos que los
hace poco prácticos.
Pero sobre todo no permiten en general efectuar operaciones tan
sencillas como la multiplicación, requiriendo procedimientos
muy complicados que sólo estaban al alcance de unos pocos
iniciados. De hecho cuando se empezó a utilizar en
Europa el
sistema de numeración actual, los abaquistas, los
profesionales del cálculo se
opusieron con las más peregrinas razones, entre ellas la
de que siendo el cálculo algo complicado en sí
mismo, tendría que ser un metodo diabólico aquel
que permitiese efectuar las operaciones de
forma tan sencilla.
El sistema actual fue inventado por los indios y transmitido a
Europa por los
árabes;. Del origen indio del sistema hay pruebas
documentales más que suficientes, entre ellas la
opinión de Leonardo de Pisa (Fibonacci) que fue uno de los
indroductores del nuevo sistema en la Europa de 1200. El gran
mérito fue la introducción del concepto y
símbolo del cero, lo que permite un sistema en el que
sólo diez simbolos puedan representar cualquier
número por grande que sea y simplificar la forma de
efectuar las operaciones.
2. Sistemas de
Numeración Aditivos
Para ver cómo es la forma de
representación aditiva consideremos el sistema
jeroglífico egipcio. Por cada unidad se escribe un trazo
vertical, por cada decena un símbolo en forma de arco y
por cada centena, millar, decena y centena de millar y
millón un jeroglífico específico. Así
para escribir 754 usaban 7 jeroglíficos de centenas 5 de
decenas y 4 trazos. De alguna forma todas las unidades
están físicamente presentes.
Los sistemas aditivos son aquellos que acumulan los
símbolos de todas las unidades, decenas… como sean
necesarios hasta completar el número. Una de sus características es por tanto que se pueden
poner los símbolos en cualquier orden, aunque en general
se ha preferido una determinada disposición.
Han sido de este tipo las numeraciones egipcia, sumaria (de base
60), hitita, cretense, azteca (de base 20), romana y las
alfabéticas de los griegos, armenios, judios y
árabes.
3. El Sistema de
Numeración Egipcio
Desde el tercer milenio A.C. los egipcios usaron un
sistema deescribir los números en base diez utilizando los
geroglíficos de la figura para representar los distintos
ordenes de unidades.
Se usaban tantos de cada uno cómo fuera necesario y se
podian escribir indistintamente de izquierda a derecha, al
revés o de arriba abajo, cambiando la orientación
de las figuras según el caso.
Al ser indiferente el orden se escribían a veces
según criterios estéticos, y solían ir
acompañados de los geroglíficos correspondientes al
tipo de objeto (animales,
prisioneros, vasijas etc.) cuyo número indicaban. En la
figura aparece el 276 tal y como figura en una estela en
Karnak.
Estos signos fueron utilizados hasta la incorporación de
Egipto al
imperio romano.
Pero su uso quedó reservado a las inscripciones
monumentales, en el uso diario fue sustituido por la escritura
hierática y demótica, formas más simples que
permitian mayor rapidez y comodidad a los escribas.
En estos sistemas de escritura los
grupos de
signos adquirieron una forma propia, y asi se introdujeron
símbolos particulares para 20, 30….90….200,
300…..900, 2000, 3000…… con lo que disminuye el
número de signos necesarios para escribir una cifra.
4. El Sistema de
Numeración Griego
El primer sitema de numeración griego se
desarrolló hacia el 600 A.C. Era un sistema de base
decimal que usaba los símbolos de la figura siguiente para
representar esas cantidades. Se utilizaban tantas de ellas como
fuera necesario según el principio de las numeraciones
aditivas.
Para representar la unidad y los números hasta el 4 se
usaban trazos verticales. Para el 5, 10 y 100 las letras
correspondientes a la inicial de la palabra cinco (pente), diez
(deka) y mil (khiloi). Por este motivo se llama a este sistema
acrofónico.
Los símbolos de 50, 500 y 5000 se obtienen
añadiendo el signo de 10, 100 y 1000 al de 5, usando un
principio multiplicativo. Progresivamente este sistema
ático fue reemplazado por el jónico, que empleaba
las 24 letras del alfabeto griego junto con algunos otros
símbolos según la tabla siguiente .
De esta forma los números parecen palabras, ya que
están compuestos por letras, y a su vez las palabras
tienen un valor
numérico, basta sumar las cifras que corresponden a las
letras que las componen. Esta circunstancia hizo aparecer una
nueva suerte de disciplina
mágica que estudiaba la relación entre los
números y las palabras. En algunas sociedades
como la judía y la árabe, que utilizaban un sistema
similar, el estudio de esta relación ha tenido una gran
importancia y ha constituido una disciplina
aparte: la kábala, que persigue fines místicos y
adivinatorios.
5. Sistemas de Numeración
Híbridos
En estos sistemas se combina el principio aditivo con el
multiplicativo. Si para representar 500 los sistemas aditivos
recurren a cinco representaciones de 100, los híbridos
utilizan la combinación del 5 y el 100. Pero siguen
acumulando estas combinaciones de signos para los números
más complejos. Por lo tanto sigue siendo innecesario un
símbolo para el 0. Para representar el 703 se usa la
combinación del 7 y el 100 seguida del 3.
El orden en la escritura de las cifras es ahora fundamental para
evitar confusiones, se dan así los pasos para llegar al
sistema posicional, ya que si los signos del 10, 100 etc se
repiten siempre en los mismos lugares, pronto alguien piensa en
suprimirlos, dándolos por supuestos y se escriben
sólo las cifras correspondientes a las decenas, centenas
etc. .Pero para ello es necesario un cero, algo que indique que
algún orden de magnitud está vacío y no se
confundan el 307 con 370, 3070 …
Además del chino clásico han sido sistemas de este
tipo el asirio, arameo, etíope y algunos del subcontinente
indio cómo el tamil, el malayalam y el
cingalés.
6. El Sistema de
Numeración Chino
La forma clásica de escritura de los
números en China se
empezó a usar desde el 1500 A.C. aproximadamente. Es un
sistema decimal estricto que usa las unidades y los distintas
potencias de 10. Utiliza los ideogramas de la figura
y usa la combinación de los números hasta el diez
con la decena, centena, millar y decena de millar para
según el principio multiplicativo representar 50, 700
ó 3000. El orden de escritura se hace fundamental,ya que 5
10 7 igual podría representar 57 que 75.
Tradicionalmente se ha escrito de arriba abajo aunque
también se hace de izquierda a derecha como en el ejemplo
de la figura. No es necesario un símbolo para el cero
siempre y cuando se pongan todos los ideogramas, pero aún
así a veces se suprimían los correspondientes a las
potencias de 10.
Aparte de esta forma que podríamos llamar canónica
se usaron otras. Para los documento importantes se usaba una
grafía más complicada con objeto de evitar
falsificaciones y errores. En los sellos se escribía de
forma más estilizada y lineal y aún se usaban hasta
dos grafías diferentes en usos domésticos y
comerciales, aparte de las variantes regionales. Los eruditos
chinos por su parte desarrollaron un sistema posicional muy
parecido al actual que desde que incorporó el cero por
influencia india en s.
VIII en nada se diferencia de este.
7. Sistemas de
Numeración Posicionales
Mucho más efectivos que los sitemas anteriores
son los posicionales. En ellos la posición de una cifra
nos dice si son decenas, centenas … o en general la potencia de la
base correspondiente.
Sólo tres culturas además de la india lograron
desarrollar un sistema de este tipo. Babilonios, chinos y
mayas en
distintas épocas llegaron al mismo principio. La ausencia
del cero impidió a los chinos un desarrollo
completo hasta la intraducción del mismo. Los sistemas
babilónico y maya no eran prácticos para operar
porque no disponían de simbolos particulares para los
dígitos, usando para representarlos una acumulación
del signo de la unidad y la decena. El hecho que sus bases fuese
60 y 20 respectivamente no hubiese representado en principio
nigún obstáculo. Los mayas por su
parte cometían una irregularidad a partir de las unidades
de tercer orden, ya que detrás de las veintenas no usaban
20×20=400 sino 20×18=360 para adecuar los números al
calendario, una de sus mayores preocupaciones culturales.
Fueron los indios antes del siglo VII los que idearon el sistema
tal y como hoy lo conocemos, sin mas que un cambio en la
forma en la que escribimos los nueve dígitos y el cero.
Aunque con frecuencia nos referimos a nuestro sistema de
numeración cómo árabe, las pruebas
arqueológicas y documentales demuestran el uso del cero
tanto en posiciones intermedias como finales en la India desde el
sss. Los árabes transmitieron esta forma de representar
los números y sobre todo el cáculo asociado a
ellas, aunque tardaron siglos en ser usadas y aceptadas. Una vez
más se produjo una gran resistencia a
algo por el mero hecho de ser nuevo o ajeno, aunque sus ventajas
eran evidentes. Sin esta forma eficaz de numerar y efectuar
cálculos dificilmente la ciencia
hubiese podido avanzar.
8. El Sistema de
Numeración Babilónico
Entre la muchas civilizaciones que florecieron en la
antigua Mesopotamia se
desarrollaron distintos sistemas de numeración. En el ssss
A.C. se inventó un sistema de base 10, aditivo hasta el 60
y posicional para números superiores.
Para la unidad se usaba la marca vertical que se hacía con
el punzón en forma de cuña. Se ponían tantos
como fuera preciso hasta llegar a 10, que tenía su propio
signo.
De este se usaban los que fuera necesario completando con las
unidades hasta llegar a 60.
A partir de ahí se usaba un sistema posicional en el que
los grupos de signos
iban representando sucesivamente el número de unidades,
60, 60×60, 60x60x60 y asi sucesivamente como en los ejemplos que
se acompañan.
El Sistema de Numeración Maya
Los mayas
idearon un sistema de base 20 con el 5 cómo base auxiliar.
La unidad se representaba por un punto. Dos, tres, y cuatro
puntos servían para 2, 3 y 4. El 5 era una raya
horizontal, a la que seañadían los puntos
necesarios para representar 6, 7, 8 y 9. Para el 10 se usaban dos
rayas, y de la misma forma se continúa hasta el 20, con
cuatro rayas.
Hasta aquí parece ser un sistema de base 5 aditivo, pero
en realidad, considerados cada uno un solo signo, estos
símbolos constituyen las cífras de un sistema de
base 20, en el que hay que multiplicar el valor de cada
cifra por 1, 20, 20×20, 20x20x20 … según el lugar que
ocupe, y sumar el resultado. Es por tanto un sistema posicional
que se escribe a arriba abajo, empezando por el orden de magnitud
mayor.
Al tener cada cifra un valor relativo según el lugar que
ocupa, la presencia de un signo para el cero, con el que indicar
la ausencia de unidades de algún orden, se hace
imprescindible y los mayas lo usaron,
aunque no parece haberles interesado el concepto de cantidad
nula. Cómo los babilonios lo usaron simplemente para
indicar la ausencia de otro número.
Pero los científicos mayas eran a la vez sacerdotes
ocupados en la observación astronómica y para
expresar los número correspondientes a las fechas usaron
unas unidades de tercer orden irregulares para la base 20.
Así la cifra que ocupaba el tercer lugar desde abajo se
multiplicaba por 20×18=360 para completar una cifra muy
próxima a la duración de un año.
El año lo consideraban dividido en 18 uinal que constaba
cada uno de 20 días. Se añadían algunos
festivos (uayeb) y de esta
forma se conseguía que durara justo lo que una de las
unidades de tercer orden del sistema numérico.
Además de éste calendario solar, usaron otro de
carater religioso en el que el año se divide en 20 ciclos
de 13 días.
Al romperse la unidad del sistema éste se hace poco
práctico para el cálculo y aunque los conocimiento
astronómicos y de otro tipo fueron notables los mayas no
desarrollaron una matemática
más allá del calendario.
Autor:
Diego Fernando Sanchez.