Matematicas

Indice
1. El
Plano Real
2. Coordenadas de un
punto
3. Cuadrantes
4. Distancia entre dos
puntos
5. Funciones con valores
reales
6. Bibliografía

1. El Plano
Real

Sistemas de coordenadas cartesianas en el plano real
El Conjunto R de los números reales puede ser representado
mediante una recta real:

Para ello se ha establecido una función
biyectiva entre el conjunto de los números reales R y una
Recta L, de manera tal que:

1. A cada número real le corresponde un punto en
   la Recta
2. A cada punto de la Recta L, le corresponde un
   número real

El conjunto RxR, de todos los pares ordenados (x, y) de
números reales, se puede representar mediante un Plano
Cartesiano o Plano Real.
El Sistema de
Coordenadas Cartesianas o Sistema de Ejes
Cartesianos es una configuración geométrica formada
por dos rectas perpendiculares entre sí que se cortan en
el punto 0.

Sistema de Coordenadas Cartesianas
Al eje horizontal 0x se le conoce como Eje de las Abscisas,
mientras que al eje vertical 0y se le denomina Eje de las
Ordenadas. Es común también referirse a esos ejes
como "Eje de las x" y "Eje de las y". Al punto 0 se le llama
origen del Sistema de Coordenadas. Los puntos de las flechas en
la Figura 1.1. indican las direcciones de incremento sobre los
ejes "x" y "y". Es decir, x aumenta de valor hacia la
derecha, mientras y aumenta de valor hacia
arriba. Al plano, formado por Eje de Abscisas y ordenadas se le
conoce como Plano Real, ya que contiene todos los elementos del
conjunto R de los números reales.
El eje de las abscisas en el Sistema de Coordenadas Cartesianas
es semejante a la Recta Real. A la derecha del origen se
representan los números positivos mientras que a la
izquierda del origen se representan los números negativos.
De manera similar, los puntos que están por arriba del
origen sobre el eje de las ordenadas representan los
números positivos, mientras que los puntos que
están por debajo del origen sobre el eje de las ordenadas
representan los números negativos.

2. Coordenadas de un
punto

Si imaginamos un punto P situado en el Plano definido
por el Sistema de Coordenadas de la Figura 1.2.
¿Cómo podemos establecer con precisión la
ubicación de P en el Plano? Una forma es asociar cada
punto con un par ordenado (a, b), donde la primera componente, a,
está relacionada con el eje x, y se le denomina abscisa
del punto, mientras que la segunda componente, b, se relaciona
con el eje y, y se le denomina ordenada del punto.
La abscisa y la ordenada corresponden a las coordenadas del punto
y pueden tener un valor positivo o negativo.
De lo dicho anteriormente, puede deducirse lo
siguiente:

1. A cada punto P del Plano Real, le corresponde un par
   ordenado.
2. Dado un par ordenado (a, b) en el plano real, existe
   sólo un punto con esas coordenadas.

Al punto P se le puede representar simbólicamente
como P(x, y), donde "x" y "y" son las abscisas y la ordenada de
P. Así, por ejemplo, podemos escribir:
P(3, 4) Abscisa = 3 P(-3, 4) Abscisa = -3
Ordenada = 4 Ordenada = 4
P(-3, -4) Abscisa = -3 P(3, -4) Abscisa = 3
Ordenada = -4 Ordenada = – 4

Ejemplo de ubicación de puntos en el Plano.
Determina la ubicación en el Plano Cartesiano de los
siguientes puntos:
P1(3, 2) P2(-2, -4) P3(-3,
3) P4(1, -2)

 Puntos notables en el sistema de coordenadas
cartesianas

1. Coordenadas de origen: el punto 0, origen del Sistema
   de Coordenadas Cartesianas, tiene abscisa cero y ordenada cero
   y por tanto, puede escribirse como P(0, 0).
2. Coordenadas de un punto situado sobre el eje de las
   abscisas: cualquier punto situado sobre el eje x tiene como
   ordenada cero y por tanto puede escribirse como P(x,
   0)
3. Coordenadas de un punto situado sobre el eje de las
   ordenadas: Cualquier punto situado sobre el eje y tiene como
   abscisa cero y por tanto puede escribirse como P(0,
   y)

3.
Cuadrantes

Los ejes de coordenadas dividen al plano en cuatro
partes llamados "Cuadrantes". Tenemos así, el primero (I),
segundo (II), tercero (III) y cuarto (IV) cuadrante. Observa que
los cuadrantes se definen en sentido contrario a las agujas del
reloj.

El eje de las abscisas en el Sistema de Coordenadas
Cartesianas es semejante a la recta real ya estudiada por ti. A
la derecha del origen se representan los números positivos
mientras que a la izquierda del origen se representan los
números negativos. De manera similar los puntos que
están por arriba del origen el eje de las ordenadas
representan los números positivos, mientras que los puntos
que están por debajo del origen sobre el eje de las
ordenadas representan los números negativos.
(-, +) (+, +)
(-, -) (+, -)

Observa que:

1. En el primer cuadrante (I) están todos los
   puntos de coordenadas (x, y), tales que:

2. x > 0 (abscisa positiva)
   y > 0 (ordenada positiva

   x < 0 (abscisa negativa)
   x > 0 (ordenada positiva)

3. En el segundo cuadrante (II) están todos los
   puntos de coordenadas (x, y) tales que:

   x < 0 (abscisa negativa)
   x < 0 (ordenada negativa)

4. En el tercer cuadrante (III) están todos los
   puntos de coordenadas (x, y) tales que:
5. En el cuarto cuadrante (IV) están todos los
   puntos de las coordenadas (x, y) tales que:

x > 0 (abscisa positiva)
y < 0 (ordenada negativa)

Además;
Todo punto de eje horizontal x tiene ordenada nula. Es de la
forma (x, 0)
Todo punto de eje vertical tiene abscisas nula. Es de la forma
(0, y).
Los resultados anteriores podemos resumirlos en el siguiente
cuadro:

Ejemplo:

1. ¿Cuáles son las coordenadas de un punto
   que está a 4 unidades a la izquierda del eje "y" y a 3
   unidades por encima del eje "x"?

2. Solución:
   La abscisa es – 4 y la ordenada es 3, por lo tanto, las
   coordenadas del punto son (-4, 3)

   Solución:
   Los puntos se presentan en la figura:
   (1, -5) está en el IV Cuadrante
   (3, 4) está en el I Cuadrante
   (-2, 0) está en el eje x
   (5, -1) está en el IV Cuadrante
   (0, -3) está en el eje y
   (-2, -4) está en el III Cuadrante

3. Dibujar los puntos (1, -5), (3, 4), (-2, 0), (5, -1),
   (0, -3), (-2, -4) e indicar en qué cuadrante o eje se
   encuentran.
4. Representar gráficamente el
   conjunto:

A = ﹛ (x, y) / y = 3x –4, para x = 0, 1, 2
y 3 ﹜

Solución:
Los pares (x, y) de A podemos encontrarlos así:
Para:
x = 0, y 3 . 0 – 4 = -4
x = 1, y 3 . 1 – 4 = -1
x = 2, y 3 . 2 – 4 = 2
x = 3, y 3 . 3 – 4 = 5

4. Distancia entre dos
puntos

Si se conocen las coordenadas de dos puntos
P(x1, y1) y Q(x2, y2)
en un plano real entonces es posible hallar la distancia entre
ellos.
Sean dos puntos cualesquiera P(x1, y1) y
Q(x2, y2), entonces considerando los tres
casos siguientes podemos obtener una fórmula para la
distancia d entre P y Q.
Caso 1. Los puntos P(x1, y1) y
Q(x2, y2) están sobre la misma recta
horizontal. En este caso, las ordenadas de P y Q son iguales;
ésto es, y1 = y2 y la distancia
entre ellos es:
d = x2 – x1
Caso 2. Los puntos
P(x2, y2) están sobre la misma
vertical. En este caso, las abscisas de P y Q son iguales,
ésto es,
x1 = x2 y la distancia entre ellos es:
d = / y2 – y1 /
Tal como se muestra en la
figura
Caso 3. Los puntos P(x1, y1) y
Q(x2, y2) están sobre una recta que
no es vertical ni horizontal. En este caso, las abscisas son
distintas y las ordenadas también; y se obtiene un
triángulo rectángulo como se muestra en la
figura.
Si llamamos:
d(P, Q) la distancia de P a Q
d(P, R) la distancia de P a R
d(R, Q) la distancia de R a Q
Por el Teorema de Pitágoras tenemos:
[d(P, Q)]2 = [d(P, R)]2 + [d(R,
Q)]2
= / x2 – x1
/2 + / y2 – y1
/2
= (x2 – x1)2
+ (y2 – y1)2
y así:
d(P, Q) = (x2 – x1)2 +
(y2 – y1)2 o simplemente
d = (x2 – x1)2 + (y2
– y1)2

Llamada fórmula de la distancia en el plano
real.
Es interesante observar que la fórmula d = (x2
– x1)2 + (y2 –
y1)2 también es aplicable en los
casos I y II.
Ejemplos:

1. Representar gráficamente los puntos P(-2, 3) y
   Q(4, 3) y hallar la distancia entre ellos.

2. Los puntos P(-2, 3) y Q(4, 3) se muestran en la
   figura.
   Observa que los puntos P y Q están en una misma recta
   horizontal y la distancia entre ellos es la distancia entre
   las abscisas –2 y 4.
   d(P, Q) = /42 – x1 /
   = /4 – (-2) /
   = 6
   También se puede utilizar la fórmula
   d = (x2 – x1)2 +
   (y2 – y1)2
   d = (4 –
   (-2))2 + (3 – 3)2
   d = 36 =
   6

   Los puntos P(-2, 5) y Q(-2, -3) se muestran en la
   figura. Observa que los puntos P y Q están en una
   misma recta vertical, y la distancia entre ellos es la
   distancia entre las ordenadas 5 y –3.
   d(P, Q) = / y2 – y1 /
   = / – 3 – 5 /
   = 8
   También se puede utilizar la fórmula:
   d = √ (x2 – x1)2 +
   (y2 – y1)2
   = √
   (-2-(-2))2 + (-3-5)2
   = √64
   = 8

3. Representar gráficamente los puntos P(-2, 5) y
   Q(-2, -3), y hallar la distancia entre ellos.

   Los puntos P(-2, 2) y Q(2, 5) se muestran en la
   figura. La distancia entre ellos la calculamos mediante la
   fórmula:
   d(P, Q) = √(x2 – x1)2
   + (y2 – y1)2
   = √
   (2 –(-2))2 + (5 – 2)2
   = √ 42 + 32
   = √ 25
   = 5

4. Representar gráficamente los puntos P(-2, 2) y
   Q(2, 5) y hallar la distancia entre ellos:

   Los puntos P(-3, 3) y Q(4, -2) se muestran en la
   figura. La distancia entre ellos se calcula mediante la
   fórmula:
   d(P, Q) = √(x2 –
   x1)2 + (y2 –
   y1)2
   = √(4 –
   (-3))2 + (-2 – 3)2
   =
   √72 + (-5)2
   = √49 +
   25
   = √74

5. Representa gráficamente los puntos P(-3, 3) y
   Q(4, -2) y hallar la distancia entre ellos.
6. Demostrar que P(-5, 3), Q(3, 2) y R(-1, -4) son los
   vértices de un triángulo
   isósceles:

Representemos gráficamente los tres puntos P, Q,
R y el triángulo ∆ PQR que ellos determinan. El
∆PQR es isósceles si dos de sus lados tienen la
misma longitud.
Hallemos d(P,Q), d(Q, R), y
d(P, R)
d(P, Q)= √[3-(-5)]2 + (2-3)2
=
√64 + 1
= √64
d(Q, R) = √(- 1 – 3)2 + (- 4 –
2)2
√16 + 36
√52
d(P, R) = √[-1 – (-5)]2 + (-4 –
3)2
= √16 + 49
= √65
Comparando los resultados de (1) y (3) vemos que:
d(P, Q) = d(P, R)
Y así, el ∆ es isósceles porque dos de sus
lados tienen la misma longitud.

5. Funciones con
valores
reales

Función: Término usado para indicar la
relación o correspondencia entre dos o más
cantidades. El término función
fue usado por primera vez en 1637 por el matemático
francés René Descartes,
para designar una potencia
xn de la variable x. En 1694 el matemático
alemán Gottfried Wilhelm Leibniz utilizó el
término para referirse a varios aspectos de una curva,
como su pendiente. Hasta recientemente, su uso más
generalizado ha sido el definido en 1829 por el matemático
alemán Peter Dirichlet. Dirichlet entendió la
función como una variable "y", llamada variable
dependiente, cuyos valores son
fijados o determinados de una forma definida según
los valores
que se asignen a la variable independiente "x", o a varias
variables
independientes x1, x2,
x3….xx.
Los valores,
tanto de la variable dependiente, como de las variables
independientes, son números reales o complejos.
La expresión y = f(x), leída "y es función
de x" indica la interdependencia entre las variables "x" e
"y".
El concepto de
función en las matemáticas de nuestros días es:
Sean X e Y dos conjuntos con
elementos cualesquiera; la variable x representa un elemento del
conjunto X, y la variable y representa un elemento del conjunto
Y. Los elementos de ambos conjuntos
pueden ser o no números, y los elementos de X no tienen
que ser necesariamente del mismo tipo de los de Y.
De esta manera:
Si A y B son dos conjuntos, se denomina "función" de A en
B a toda relación que asocia a cada elemento de A con un
solo elemento de B.
Simbólicamente f: A → B o A
→ B
Si un elemento X Є A estб
relacionada por f con un elemento Y Є B, se dice que y es
la imagen de x
mediante la funciуn f.
Se escribe f(x) =
y Se lee: "la imagen de x es
y"
"f de x es igual a y"
"el valor de f en x es y
En toda función, los elementos del dominio y los
elementos del rango determinan pares de la forma:
(X, f(x)), donde X Є Dom f y f(x) Є Rg
f
Recordemos definición de:

1. Dominio: Son los elementos del conjunto de partida
   que tienen salida de flecha (Domf)
2. Rango: Son los elementos del conjunto de llegada (son
   pre imagen de algún elemento del conjunto de partida)
   [Rgf]

Definición de Función Real
Sea A un conjunto cualquiera y R el conjunto de los
números reales. Se denomina función real a toda
función cuyo dominio es A y
cuyo Rango es un sub-conjunto de R.
Es decir: f: A → R y Rgf Ì R
Si el conjunto A es un subconjunto de R, la función f se
determina: Función Real de Variable Real.
Es decir: F: A → R, con A Ì R y Rgf Ì R

Representación Gráfica de un Número
Real
El conjunto de todos los puntos (x, f(x)) del plano cartesiano,
que corresponden al gráfico de una función f, se
llama representación gráfica de f, curva de f o
simplemente gráfica de f.
La unión de todos los puntos en el plano determina la
representación gráfica de dicha función.
Observación: En lugar de f(x) podemos usar
y = f(x) quedando los pares así (x, y).

Ejemplos de Funciones Reales
de Variable Real
Es decir funciones cuyos dominios y rangos son conjuntos de
números reales.

1. Consideremos la función f: R → R definida
   por f(x) = 3x → para todo x Є R. Esto significa que
   la imagen de x se obtiene multiplicando x por 3. determinemos
   algunos pares de esta funciуn y = f(x) = 3x
   y grafiquemos

2. x y = f(x) = 3x
   0 y = f(0)= 3.0 = 0
   1 y = f(1) = 3.1 = 3
   2 y = f(2) = 3.2 = 6
   3 y = f(3) = 3.3 = 9
   -1 y = f(-1) = 3.(-1)= -3
   Domf = R, Rgof = R

3. Consideremos la función f: R → R definida
   por f(x)= x2 – 2x + 1 para todo X
   Є R. Esto significa que la imagen de X se obtiene
   elevando x al cuadrado, restбndole el doble de x y
   sumando 1. Determinemos algunos pares de esta
   funciуn .

Observación:
Una función no está completamente definida sino se
especifica su dominio, sin embargo, al definir funciones con
valores reales mediante expresiones algebraicas es usual no
mencionar de manera explícita sus dominios y sus rangos.
En estos casos si no se da ninguna información adicional, se supone que en el
dominio están incluidos todos los números reales
que conducen a números reales al sustituirlos en la
expresión algebraica.
En los ejemplos presentados hemos hecho la representación
gráfica partiendo de la expresión algebraica que
define a la Función. Sin embargo, hay representaciones
gráficas que se obtienen de datos
estadísticos o experimentales, en cuyos casos no se conoce
previamente la expresión de la función.
Además, en algunos casos, para que la
representación gráfica y la lectura de
los datos sea
más clara, se usan escalas diferentes en los dos ejes X e
Y.
Ejemplos:

1. Duración del Intervalo	Velocidad durante el intervalo
   I 0,10 h	10 Km/h
   II 0,20 h	25 Km/h
   III 0,30 h	20 Km/h
   IV 0,10 h	40 Km/h

2. El movimiento
   de un vehículo, con velocidad
   variable durante distintos intervalos de tiempo, se
   registró en la siguiente tabla:

   T(s)	d(m)
   0	0
   1	14,7
   2	19,6
   3	14,7
   4	0
   5	-24,5

3. Si una pelota se lanza hacia arriba con una velocidad
   inicial de 19,6m/s, se obtienen los siguientes resultados
   registrados en la tabla:
4. De acuerdo con el Anuarip Estadístico 1979
   – Tomo IX, publicado por la Oficina Central
   de Estadística e Informática (OCEI), los accidentes
   de tránsito ocurridos en Venezuela de
   1976 a 1979 fueron los siguientes:

Guía De Ejercicios
En los ejercicios que siguen utiliza papel
cuadriculado o milimetrado.

1. P1(1, 3) P2(-1,
   3) P3(-2, -3) P4(3, -2)
   P5(0, 2) P6(-2, 0) P7(0,
   -4) P8(3, 0)

2. Dibuja la ubicación en el plano de los
   siguientes puntos:

   P1(10, 30) P2(-5,
   10) P3(50, – 40) P4(- 20, –
   50)

3. Ubica los siguientes puntos en el plano:

   P1(1, €
   ) P2(- 2, ¼ ) P3(-
   ¼ , 2) P4(- ½ , – ¼
   )

4. Ubica los siguientes puntos en el plano:

   a) P1(0, 0) P2(1,
   3) P3(-2, 1)
   b) P1(1, 0) P2(-2, 0) P3(0,
   -2)

5. Dibuja los triángulos cuyos vértices
   son:

   a) P1(1, 2) P2(4,
   2) P3(1, -1) P4(4, -1)
   b) P1(-1, 1) P2(3, 1) P3(3,
   -2) P4(-1, -2)
   c) P1(0, 3) P2(2, 1) P3(0,
   -1) P4(-2, 1)

6. Determina las figures que se forman al unir los
   siguientes puntos:

   a) P1(2, 1) P2(0, 3) b)
   P1(1, 3) P2(1, -2)
   c) P1(0, 0) P2(3, 2) d)
   P1(-2, 0) P2(1, 0)

7. Dibuja las líneas rectas que pasan por los
   puntos:

   Recta 1: P1(0, 3) P2(3, 0)
   Recta 2: P1(0, 0) P2(4, 2)

8. Determina gráficamente el punto de
   intersección de las rectas que pasan por los
   puntos:

   (0, 3) (5, 3)
   (5, -4) (2, -4)
   (2, -1) (-1, -1)
   (-1, -7) (-3, -7)
   (-3, 0) (0, 0)

   ¿Qué distancia
   recorrió?

9. Una hormiga se pasea por un plano cartesiano siguiendo
   trayectorias horizontales y verticales. Si parte del origen y
   llega a los siguientes puntos:

   A(0, 0) B(3, 0) C(0, 5)

10. Representa en un sistema de coordenadas, a un
    triángulo cuyas vértices son:

    (5, 4) (-5, 4) (-5, -6) (5, -6)

11. Dibuja un cuadrante cuyos vértices
    son:
12. ¿Cuáles son las coordenadas de un punto
    que está 3 unidades a la derecha del eje Y y 5
    unidades por encima del eje X?

    (-2, -5) (4, 5) (-3, 0)
    (6, -2) (0, -4) (-3, -5)
    e indica en qué cuadrante se encuentra uno.

13. Dibuja los puntos siguientes:

    a) P(2, 4); Q(6,4) y S(6, 8)
    b) P(-6, 4); Q(-1, 7) y S(-3, 9)
    c) P(-2, 2); Q(2, -6) y S(8, -5)

14. Determina en cada caso si el triángulo, cuyos
    vértices se dan, es equilátero,
    isósceles o escaleno.

    a) (6, 8) y (6, 7)
    b) (1, 2) y (4, 6)
    c) (3, 4) y (9, 11)
    d) (2, -7) y (4, -7)
    e) (-2, 3) y (3, -2)
    f) (-1, 1) y (3, -2)

15. Dibuja los siguientes pares de puntos y halla la
    distancia entre ellos.
    1. f(x) = 3x – 2

       x – 1
       f(x) = Ö
       x2 – 1

    2. f(x) = 1 .
    3. f(x) = 1 .

    (x – 2) (x + 5) (x – 6)

16. Halla el dominio y el rango de las siguientes
    funciones:
    1. f(4)
    2. f(-3)
    3. f(h)
    4. f(h + 1)
17. En casa una de las funciones anteriores calcula:
    1. f(x) = x2
    2. f(x) = 2x
    3. f(x) = x2 + 2

    f(x) = Ö x2 – 112

18. ¿Cuáles números del dominio de las
    siguientes funciones tienen a 16 por imagen?

    f: [0, 1] ® R
    definida por: f(x) = x
    f: [0, 1] ®
    R
    definida por f(x) = 1
    x
    f(x) = -2x + 1
    f(x) = -2x
    f(x) = x2 + 1
    f(x) = – 4x
    f(x) = – 2×2
    f(x) = 4x – 2

19. Representa gráficamente las siguientes
    funciones, usando una tabla de valores.

    f(x) = 1 para x < 2
    2 para x ³
    2

    Si x se aproxima a 2 por la izquierda
    ¿qué valor toma f(x)?
    Si x se aproxima a 2 por la derecha ¿qué valor
    toma f(x)?

20. Considera la función:
21. ¿Cuál es el mayor valor que puede tomar
    la función

f(x) = 4x – x2?

Sugerencia:
Haz la representación gráfica.

6.
Bibliografía

• JÚPITER FIGUERA, Yibiris. Matemática 9. Educación Básica.
• SALAZAR, Jorge A. (1995). Matemática 9no Grado de
  Educación Básica. Segunda
  Edición.
• MÓDULO UPEL. Matemática II

Autor:

Argüelles, Lesly (C.I. 12.705.411)
Canelón, Salvador (C.I. 7.321.506)
Mendoza, Jenny (C.I. 13.436.058)
Pernalete, Providencia (C.I. 5.932.016)
Uribe, Xiomara (C.I. 7.319.454)
Valderrama, Liliana (C.I. 4.628.038)
Elizabeth Barboza