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Teoría de juegos - Punto de silla

Enviado por mcatalan



  1. Construir matriz de juego
  2. Convertir en ecuaciones agregando variables de holgura
  3. Determinar la transpuesta
  4. Construir primer tablero simplex, agregándole 1 matriz identidad

 

El punto de silla consiste en localizar el mínimo valor de las filas y al lado derecho de cada fila y el máximo de las columnas al pie de cada columna, luego se determina el máximo de los mínimos y el mínimo de los máximos. Si el máximo de los mínimos es igual al mínimo de los máximos entonces se ha encontrado el punto de silla que se convertirá automáticamente en el valor del juego

C

Y1

Y2

< FILA

R

X1

5

7

5

MAXMIN = 5

X2

4

6

4

> COLUMNA

5

7

MINMAX = 5

MAXMIN = MINMAX PUNTO DE SILLA = 5

VALOR DE JUEGO 5

VALOR DE + R

JUEGO - C

 Si gana R: Utiliza la estrategia de X1 (+5 )

Si pierde C: Utiliza la estrategia de Y1 ( -5 )

0

NOTA:

  • CUANDO UN PROBLEMA NO TIENE PUNTO DE SILLA, SE UTILIZA EL METODO SIMPLEX PARA DETERMINAR EL VALOR DE JUEGO.
  • PRIMERO SE DEBE DETERMINAR QUIEN ES "R" Y QUIEN ES "C". LA BASE ES "R" (es AQUEL QUE SIRVE PARA COMPARAR).

EJERCICIO:

Dos bancos del sistema compiten por atraer el mayor número de cuenta habientes en un poblado del occidente del país: Banco "Le cuido su pisto" el primero, y Banco " Le Guardo su Plata" el segundo; para el logro de su objetivo cada uno aplica las estrategias siguientes:

  1. Sorteo de electrodomésticos
  2. Tasa de interés más alta
  3. Sorteo de dinero en efectivo

Si el segundo banco ofrece sorteo de electrodomésticos atrae 200 cuenta habientes más que el primero, cuando este ofrece lo mismo, 1000 más cuando el primero ofrece tasa de interés mas alta y 800 menos cuando el primero ofrece sorteo de dinero en efectivo. Si el segundo banco ofrece una tasa de interés más alta atrae 1300 más cuando el primero ofrece sorteo de electrodomésticos, 700 más cuando el primero ofrece lo mismo y 900 menos cuando el primero ofrece sorteo de dinero en efectivo. Si el segundo banco ofrece sorteo de dinero en efectivo atrae 2000 menos cuando el primero ofrece sorteo de electrodomésticos, 1500 más cuando el primero ofrece tasa de interés más alta y 850 menos cuando el primero ofrece lo mismo.

  1. ¿Que banco es el ganador del juego?
  2. ¿Qué estrategia debe aplicar cada banco?
  3. ¿En un año cuantos meses debe aplicar cada estrategia?
  4. ¿Cuántos cuenta habientes atrae más el banco ganador?
  5. Si el primer banco ofrece sorteo de dinero en efectivo y el segundo sorteo de electrodomésticos, el segundo atrae 800 cuenta habientes más que el primero. ¿Cuales serán las nuevas respuestas?

R = BCO. "LE CUIDO SU PISTO"

C = BCO. "LE CUIDO SU PLATA"

Estrategias: X1 Y1 – sorteo de electrodomésticos

X2 Y2 – tasa de interés más alta

X3 Y3 – sorteo de dinero en efectivo

CONSTRUIR MATRIZ DE JUEGO

C

CF

Y1

Y2

Y3

< FILA

X1

-200

-1300

2000

-1300

MAXMIN = 800

R

X2

-1000

-700

-1500

-1500

X3

800

900

850

800

> COLUMNA

800

900

2000

MINMAX = 800

MAXMIN = MINMAX PUNTO DE SILLA = 800

800 = 800 VALOR DE JUEGO = 800

RESPUESTAS:

  1. Favorece al Bco. "Le cuido su pisto".

    C= Utiliza estrategias Y1 = sorteo de electrodomésticos

  2. R = Utiliza estrategias X3 = sorteo dinero en efectivo

    C = 12 meses

  3. R = 12 meses
  4. 800 Clientes
  5. R => X3

C => Y1

C

CF

Y1

Y2

Y3

< FILA

X1

-200

-1300

2000

-1300

MAXMIN = - 800

R

X2

-1000

-700

-1500

-1500

X3

800

900

850

800

> COLUMNA

800

900

2000

MINMAX = 800

MAXMIN = MINMAX PUNTO DE SILLA = no hay

-800 = -200 VALOR DE JUEGO = si hay SIMPLEX

SIMPLEX

EN FUNCION "Y" (MAXIMIZACIÓN)

F.O.MAX = Y1 + Y2 + Y3

SUJETO A: (Restricciones)

  1. –200Y1 + (-1300) Y 2 + 2000 Y 3 £ 1 Ü siempre será 1 porque la probabilidad no
  2. –1000Y1 - 700 Y 2 - 1500 Y 3 £ 1 puede ser mayor a 1
  3. -800 Y1 + 900 Y2 + 850 Y 3 £ 1

    CONVERTIR EN ECUACIONES AGREGANDO VARIABLES DE HOLGURA

  4. Y1; Y2 & Y3 ³ 0
  5. –200Y1 + (-1300) Y 2 + 2000 Y 3 = 1 Ü siempre será 1 porque la probabilidad no
  6. –1000Y1 - 700 Y 2 - 1500 Y 3 = 1 puede ser mayor a 1
  7. -800 Y1 + 900 Y2 + 850 Y 3 = 1
  8. Y1; Y2 & Y3 ³ 0

Y1

Y2

Y3

Y4

Y5

Y6

C

-200

-1300

2000

1

0

0

1

-1000

-700

-1500

0

1

0

1

-800

900

850

0

0

1

1

-1

-1

-1

EN FUNCIÓN "X" (MINIMIZACIÓN)

F.O.MINZ = X1 + X2 +X3

SUJETO A:

  1. –200Y1 + (-1300) Y 2 + 2000 Y 3 £ 1
  2. –1000Y1 - 700 Y 2 - 1500 Y 3 £ 1
  3. -800 Y1 + 900 Y2 + 850 Y 3 £ 1
  4. Y1; Y2 & Y3 ³ 0

CON LOS COEFICIENTES DE LAS DESIGUALDADES LA MATRIZ INICIAL

Y1

Y2

Y3

C

-200

-1300

2000

1

-1000

-700

-1500

1

-800

900

850

1

-1

-1

-1

DETERMINAR LA TRANSPUESTA

Y1

Y2

Y3

C

-200

-1300

2000

1

-1000

-700

-1500

1

-800

900

850

1

-1

-1

-1

 CONSTRUIR PRIMER TABLERO SIMPLEX, AGREGÁNDOLE 1 MATRIZ IDENTIDAD

Y1

Y2

Y3

Y4

Y5

Y6

C

-200

-1300

2000

1

0

0

1

R/MAX

-1000

-700

-1500

0

1

0

1

-800

900

850

0

0

1

1

-1

-1

-1

0

0

0

0

MIN Z Þ VALOR DE

JUEGO

SE SUMA UNA CONSTANTE PARA ELIMINAR LOS SIGNOS NEGATIVOS

(EN ESTE 1500 Þ K 1500 QUE ES EL MÁS NEGATIVO)

E.P.

Y1

Y2

Y3

Y4

Y5

Y6

C

1300

200

3500

1

0

0

1

(1/3500)

500

800

0

0

1

0

1

700

2400

2350

0

0

1

1

-1

-1

-1

0

0

0

0

C.P.

Y1

Y2

Y3

Y4

Y5

Y6

C

13/35

2/35

1

1/3500

0

0

1/350

(2350)(1)

500

800

0

0

1

0

1

-1210/7

15860/7

0

-47/70

0

1

23/70

(7/15860)

-22/35

-33/35

0

1/3500

0

0

1/3500

C.P.

1/3500 2/35 = 0.005

1 800 = 0.000125

23/70 15860/7 = 0.0000145

Y1

Y2

Y3

Y4

Y5

Y6

C

298/793

0

1

6/19825

0

-1/39650

11/39650

444900/793

0

0

188/793

1

-280/793

701/793

-121/1576

1

0

-47/158600

0

7-15860

23/158600

(-2/35)(-80)

-111/1586

0

0

1/158600

0

33/79300

67/158600

(33/35)

A B C D

C.P. PARA COMPROBAR LA SUMA DE LAS VARIABLES (A+B+C)

DEBE SER IGUAL A & D

11/39650 / 298/793 = 0.0007382

= 0.00157

Y1

Y2

Y3

Y4

Y5

Y6

C

1

0

793/298

3/3725

0

-1/14900

11/14900

(-444900/793) (121/1586)(1111/1586)

0

0

222450/149

-32/149

1

-47/149

70/149

0

0

121/596

-7/29800

0

13/29800

0.00020134

0

0

1111/596

0.000570469

0

0.000369127

0.000939597

X1 X2 X3

A. VALOR DE JUEGO = 1/ Z = 1/0.000939597 = 1064.286072 –k = - 435.71

1500

GANA EL BANCO C (LE CUIDO SU PISTO)

  1. ¿QUÉ ESTRATEGIAS VAN APLICAR C/U DE LOS COMPETIDORES?
  2. R X1 = 0.00570469 sorteo electrodomésticos

    X2 = 0

    X3 = 0.00369127 sorteo de dinero en efectivo

    C Y1 = 11/14900 sorteo de electrodomésticos

    Y2 = 0.00201342 tasa de interés más alta

    Y3 = 0

    EL BANCO R PARA MINIMIZAR SUS MÁXIMAS PÉRDIDAS UTILIZARÁ LAS ESTRATEGIAS SORTERO DE ELECTRODOMÉSTICOS Y SORTEO DE DINERO EN EFECTIVO.

    EL BANCO C PARA MAXIMIZAR SUS MÁXIMAS GANANCIAS UTILIZARÁ LA ESTRATEGIA DE SORTEO DE ELECTRODOMÉSTICOS Y LA DE TASA DE INTERÉS MÁS ALTA.

  3. EN UN AÑO CUANTOS MESES APLICARÁ CADA ESTRATEGIA

EN FUNCIÓN DE "R"

ESTRATEGIA RESULTADOS DEL SIMPLEX

XN = XN (VJ) Valor de Juego: Se utiliza el valor que

resulte antes de restarle K

en función de "c"

Yn = Yn (VJ)

X1 = 0.0057069 (1064.286072) = 0.607142211

X2 = 0 estos deben sumar 1

X3 = 0.00369127 (1064.286072)=0.328

1.00

X1 = 61% Þ 7 mesas

X2 = 0

X3 = 39% Þ 5 meses

12 meses (1 año)

 Y1 = 11/14900 (1064.286072) = 0.79 Þ 9 meses

Y2 = 0.000020 (1064.286072) = 0.21 Þ 3 meses

  1. 12 meses

0.79 * 12 = 9

0.21 * 12 = 3

  1. CUANTOS CUENTAHBIENTES MÁS ATRAE

436 CUENTAHABIENTES MÁS (ES EL V.J. FINAL)

 

  

 

Marisol Catalan


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