Nuevas Relaciones

Indice

2. Relaciones Entre Polígonos Regulares
3. Relaciones Particulares Entre Polígonos Regulares Semejantes.
4. Relaciones Entre Polígonos Regulares Y Los Círculos
5. Relaciones Entre Los Círculos Inscritos Y Circunscritos
6. Relaciones Entre Estrellas Planas Y Polígonos Regulares.
7. Conclusiones.
8. Bibliografía.

1. Introducción

La fórmula para el cálculo de áreas de los polígonos regulares: An = kn ap2 (ver Area de los Polígonos - Enfoque para el Cálculo-, En monografías.com, URL: http://www.monografias.com/trabajos11/areas/areas.shtml ) nos permite establecer una serie de relaciones, diferentes a las conocidas, entre los polígonos regulares y entre éstos y los círculos. Igualmente, la fórmula inválida da origen a un estudio más profundo en referencia a las estrellas planas, o polígonos estrellados, así como sus relaciones con los polígonos regulares; para ello se propone la Contracción Punto a Punto (Contracción pap), que desarrollaré tocando sólo los aspectos que permiten obtener estrellas planas, a fin de hacer llegar mi proposición en forma sencilla.
Las relaciones entre polígonos regulares son válidas para los círculos, por cuanto éstos también son polígonos regulares. Sin embargo, trataremos algu-nas de sus relaciones como casos particulares, así como las de los polígonos semejantes, debido a que son las comúnmente estudiadas hasta ahora.
Las nuevas relaciones dan la oportunidad de mejorar los programas de enseñanza elemental de la Geometría, por cuanto incorporan otras, a las tradicionalmente conocidas entre polígonos semejantes ( así como los círculos inscritos y circunscritos), que constituyen casos particulares, como se verá más adelante.
Es necesario consultar el aparte: "Acerca de la invalidez de la fórmula conocida para calcular áreas de los polígonos regulares", en la monografía citada, para comprender lo que se trata.
Atentamente,

2. Relaciones Entre Polígonos Regulares

Generalidades
Sean dos polígonos regulares cualesquiera y n y k el número de lados de cada uno, estarán relacionados de la siguiente forma:
I.- Expresando las áreas en función de las apotemas, se tendrá:
An = kn apn2 y Ak= kk apk2 de donde:
An / Ak = kn apn2 / kk apk 2= (kn / kk) (apn / apk) 2 , luego:
An / Ak = (kn / kk) (apn / apk) 2 I1)
Si ambos polígonos tienen la misma apotema será (apn / apk) 2 = 1 y
An / Ak = kn / kk o An kk = Ak kn (I2)
Si ambos polígonos tienen la misma área: kn apn2 / kk apk 2= 1,
por lo que kn/ kk = (apk /apn)2 (I3)

II.- Expresando las áreas en función de los lados:
An = n2ln2/4kn y Ak = k2lk 2/4kk de donde: An / Ak = n2ln2 kk / k2lk2 kn =
= (n2 / k2)( ln2/lk2 )( kk /kn) = (n / k) 2 (ln / lk) 2 ( kk /kn) ,
para concluir: An / Ak = (n / k) 2 (ln / lk) 2 ( kk /kn) (II1)
Si los lados de ambos polígonos son de la misma longitud. será (ln / lk) 2 = 1 y por lo tanto
An / Ak= (n / k) 2 ( kk /kn) (II2)
Si sus áreas coinciden será An / Ak = 1 y por lo tanto
(n / k) 2 (ln / lk) 2 ( kk /kn) = 1; luego: (n / k) 2 (ln / lk) 2 = kn/ kk
de donde n2 ln2 kk = k 2 lk 2 kn (II3)
(o bien pn 2 kk = pk2 kn como se verá en III)

III.- Expresando las áreas en función de los perímetros:
An = pn2/4kn y Ak= pk2/4kkde donde:
An / Ak = kkpn2/ kn pk2 = (kk/ kn ) (pn/ pk) 2 , luego:
An / Ak = (kk/ kn ) (pn/ pk) 2 (III1)
Si los perímetros son iguales, (pn/ pk) 2 = 1 y luego:
An / Ak = kk/ kn (III2)
Si sus áreas coinciden será An / Ak = 1 y por lo tanto
(kk/ kn ) (pn/ pk) 2 = 1 o bien (kk/ kn ) = (pk / pn) 2 y finalmente
kkpn2= kn pk2(III3)

IV.- Multiplicando miembro a miembro: I1, II1 y III1 se tiene:
(An / Ak)3 = (kn / kk) (apn / apk) 2 (n / k) 2 (ln / lk) 2 ( kk /kn) (kk/ kn ) (pn/ pk)2
luego: (An/Ak)3 =(kk/ kn ) (apn / apk) 2 (n / k) 2 (ln / lk) 2 (pn/ pk)2 , por lo que:
(An/Ak)3 =(kk/ kn ) (n apn ln pn) 2 / ( k apk lk pk) 2 (IV1)
Si multiplicamos solamente I1 y II1 tendremos:
(An / Ak)2 = (kn / kk) (apn / apk) 2 (n / k) 2 (ln / lk) 2 ( kk /kn) ,
luego: (An / Ak)2 = (apn / apk) 2 (n / k) 2 (ln / lk) 2 , de donde:
An / Ak = n ln apn / k lk apk (IV2)
Si multiplicamos solamente II1 y III1 tendremos:
(An / Ak)2 = (n / k) 2 (ln / lk) 2 ( kk /kn) (kk/ kn ) (pn/ pk)2 ,
por lo que (An / Ak)2 = (n / k) 2 (ln / lk) 2 ( kk /kn)2 (pn/ pk)2
Extrayendo la raíz cuadrada (todos los términos entre paréntesis son positivos):
(An / Ak) = (n / k)(ln / lk) (pn/ pk) ( kk /kn) (IV3)
Las relaciones de este aparte no deben ser tomadas como fórmulas de cálculo, por cuanto puede incurrirse en el error de la fórmula criticada. Ellas sirven para enunciar algunas propiedades de la razón entre las áreas de dos polígonos; si se requiere realizar algún cálculo deberán utilizarse las relaciones citadas en los apartes anteriores. Con unas simples sustituciones, partiendo de las relaciones en IV, se llega a las anteriores.

3. Relaciones Particulares Entre Polígonos Regulares Semejantes.

Dos polígonos regulares son semejantes si tienen igual número de lados
En este caso, n=k y kn = kk
Sea An el área de uno de los polígonos regulares y An' el área del otro, luego:
En función de las apotemas:
An = kn apn 2 y A n' = kn apn' 2 de donde:
A n / A n' = apn2/apn'2.= ( apn /apn') 2 (a)
En función de los lados:
A = n2l2/4kn y A' = n2l' 2/4kn de donde: A / A' = l2 / l'2 = (l /l') 2 (b)

En función de los perímetros:
A = p2/4kn y A' = p' 2/4kn de donde: A / A' = p2/ p' 2 = (p/ p') 2 (c)
Igualando a, b y c se deduce:
:A / A' = ( ap/ap') 2= (l /l') 2= (p/ p') 2 (d)

Y extrayendo la raíz cuadrada ( todos los términos entre paréntesis son positivos), se tiene:
(A / A')1/2 = ap/ap' = l /l' = p/ p' (e)
Por otra parte, haciendo l = ap'/ap = l' /l = p'/ p, se tendrá
1/l = ap/ap' = l /l' = p/ p' y (A / A')1/2 = 1/l , luego:
A / A' = 1/l 2 de donde: A'=l 2A (f)
Al factor l se le suele denominar razón de semejanza o factor de contracción.

4. Relaciones Entre Polígonos Regulares Y Los Círculos

Polígonos Y Círculos En General
Las relaciones entre los polígonos regulares y los círculos se deducen de las establecidas para los polígonos en general, por cuanto el círculo puede considerarse como un polígono regular de infinitos lados. En este caso, basta tomar aquellas que nos permitan introducir las dimensiones del círculo tales como el área, radio y longitud de la circunferencia.
Denominemos Ac, Lc y r al área del círculo, longitud de la circunferencia y radio, respectivamente. Sean An, pn, apn el área, perímetro y apotema del polígono de n-lados.
De la relación (1), An / Ak = kn apn2 / kk apk 2= (kn / kk) (apn / apk) 2 se obtiene, en función de la apotema del polígono y el radio del círculo:
An / Ac = kn apn2 / p r 2= (kn / p ) (apn / r) 2
Si coinciden las áreas del círculo y el polígono An / Ac = 1, o bien
kn apn2 / p r 2= 1 de donde kn / p = r 2/ apn2 = (r /apn) 2
Si la apotema y el radio coinciden, nos encontramos con el caso del círculo inscrito en el polígono regular, cuyo estudio se hará más adelante.
De la fórmula (III1), expresando las áreas en función de los perímetros:
An / Ak = (kk/ kn ) (pn/ pk) 2 se obtiene:
An / Ac = (p / kn ) (pn/ Lc) 2
Si los perímetros son iguales se tiene (pn/ Lc) 2 = 1 y, en consecuencia,
An / Ac = (p / kn )
Es decir: la razón entre el área de un polígono regular y la del círculo con igual perímetro, es inversamente proporcional a la de sus constantes de semiproporcionalidad.

Círculo Inscrito
El polígono regular y el círculo inscrito están relacionados mediante las fórmulas de los polígonos en general. En este caso, la apotema ap del polígono y el radio r del círculo coinciden. Partiendo de la igualdad I2: : An / Ak = kn / kk
Sustituyendo Ak y kk por Ac y p , respectivamente, se tiene:
An / Ac = kn / p
En palabras puede enunciarse así: la razón entre el área de un polígono regular y la del círculo inscrito es la misma razón entre sus constantes de semiproporcionalidad.
Expresando las áreas en función de los perímetros y llamando Lc a la longitud de la circunferencia tenemos:
An = pn2/4kn y Ac = Lc2/4p de donde:
An / Ac = p pn2/ kn Lc2= (p / kn ) (pn/ Lc) 2
Para calcular el área del polígono regular en función del círculo inscrito se despejará la fórmula anterior An / A¥ = kn / p , donde:
An = A¥ kn / p = p r2 kn / p = r2 kn
Que coincide con la fórmula conocida An = kn ap2 donde la apotema es el radio del círculo inscrito.
Si se desea calcular perímetro y el lado del polígono regular circunscrito en función del radio del círculo inscrito, se utilizarán las fórmulas conocidas sustituyendo la apotema de la fórmula por el radio del círculo:
Perímetro: pn = 2 knr
Lado: ln = 2 knr/n
De An = r2 kn : multiplicando y dividiendo r2 kn por 2:
An = r2 kn = (2 kn r) r /2
Y sustituyendo por pn = 2 knr obtenemos An = pn r /2
El radio del círculo inscrito será r= 2An/ pn
que también es la apotema del polígono regular

Círculo Circunscrito
Para establecer relaciones entre un polígono regular y el círculo circunscrito calcularemos el radio del círculo en función de la apotema del polígono. Como el lado del polígono es igual a 2aptan(p /n), la mitad del lado será aptan(p /n). Aplicando el teorema de Pitágoras podemos calcular la longitud del radio del círculo circunscrito:
r2 = ap2 + ap2tan2 (p /n) = ap2 [ 1+tan2 (p /n)] ;
multiplicando y dividiendo el último sumando por n2 se tiene:
r2 = ap2 [ 1+ n2tan2 (p /n)/ n2] = ap2 (1+ kn2/ n2)
Luego el área del círculo circunscrito ( Ac ) será: Ac = p r2 = p ap2 (1+ kn2/ n2)
Dividiendo miembro a miembro entre el área del polígono An = kn ap2:
Ac/ An = (p / kn)( 1+ kn2/ n2) = ( p n2 + p kn2)/ n2 kn
Para calcular el área del polígono inscrito en el círculo de radio r se procederá mediante el despeje de la fórmula anterior:
An = Ac n2 kn / ( p n2 + p kn2) y como Ac = p r2 se tiene:
An = p r2 n2 kn / ( p n2 + p kn2) = r2 n2 kn / (n2 + kn2)
Para calcular la apotema del polígono inscrito en función del círculo circunscrito de radio dado se tendrá:
apn= (An/ kn) 1/2= [ r2 n2 / (n2 + kn2) ] 1/2
y para calcular el lado:
ln=(2/n) (An kn) 1/2=(2/n) [ r2 n2 kn2 / (n2 + kn2) ] 1/2
De la fórmula r2 = ap2 + ap2tan2 (p /n) = ap2 [ 1+tan2 (p /n)] ; se obtiene
r2 = ap2 + ap2tan2 (p /n) = ap2 sec2 (p /n), de donde
r = ap sec (p /n),
y de r2 = ap2 (1+ kn2/ n2) sacando del paréntesis a n2:
r2 = (ap2/ n2 )( n2+ kn2) y extrayendo la raíz:
r= (ap/ n )( n2+ kn2) 1/2

5. Relaciones Entre Los Círculos Inscritos Y Circunscritos

Para establecer las relaciones entre el círculo inscrito y el circunscrito a un polígono regular dado, denotaremos con Ai al área del círculo inscrito y con Ac a la del circunscrito.
De las relaciones Ai = kn ap2 y Ac = p ap2 (1+ kn2/ n2) se obtiene:
Ac/ Ai = p ap2 (1+ kn2/ n2)/ kn ap2= (p / kn) (1+ kn2/ n2)
Y despejando Ac = Ai (p / kn) (1+ kn2/ n2)
Como ambos círculos son polígonos regulares semejantes tendremos:
Ac = Ail 2, de donde l 2=(p / kn) (1+ kn2/ n2).
Llamando R y C al radio del círculo circunscrito y la longitud de la circunferencia, r y c al del inscrito.
Como R/r = l se tiene:
R/r =[ (p / kn) (1+ kn2/ n2)] 1/2 o bien:
R =r[ (p / kn) (1+ kn2/ n2)] 1/2.
De C/c= l , se tiene:
C/c =[ (p / kn) (1+ kn2/ n2)] 1/2 o bien:
C =c[ (p / kn) (1+ kn2/ n2)] 1/2.

Estrellas Planas
Trazado Básico
Es común dibujar estrellas, partiendo de un polígono regular, mediante la unión de determinados vértices de acuerdo a un procedimiento ya establecido. Por ejemplo, para dibujar una estrella de seis puntas se parte de un hexágono regular y se unen los vértices, alternándolos, mediante dos triángulos equiláteros, como se muestra en la ilustración:
También es común trazar una estrella de cinco puntas partiendo de un pentá-gono; uniendo los vértices en forma alterna, como se muestra en la figura:
Esta forma de trazar estrellas en el plano resuelve problemas de dibujo; pero, o es poco útil a la Matemática.
Como se podrá comprobar, es imposible trazar estrellas de tres o cuatro puntas con el procedimiento dado; el pentágono y el hexágono regular sólo generan una única estrella, cada uno. A partir del heptágono, los polígonos regulares generan dos o más estrellas diferentes, utilizando el procedimiento indicado y uniendo los vértices cada dos, tres, cuatro, etc. La cantidad de estrellas diferentes que se obtienen de cada n-poligono regular es: [ (n-3)/2] ( división entera, o parte entera de la división indicada entre los corchetes). Es decir: a partir de cada n-polígono regular sólo se puede trazar un número finito de estrellas, o ninguna, con el procedimiento indicado.
Seguidamente, explicaremos un procedimento que permite generar cualquier cantidad de estrellas diferentes a partir de un polígono regular dado, inclu-yendo al triángulo equilátero y al cuadrado.

Contracción Punto A Punto (Contracción Pap).
La contracción punto a punto (contracción pap) es una transformación que se aplica a determinados puntos del plano respecto a un punto fijo O (centro de contracción) realizada con cierto factor de contracción l . Analizaremos sólo algunos casos con factor l ³ 0.
Si la contracción se aplica a un punto A, aislado del plano, el punto A se transforma en A' en la semirrecta OA, de tal manera que l =OA'/OA; en consecuencia OA'= l OA. Si l =0, A' coincidirá con O; si 0< l < 1 será OA'<OA; si l = 1, A' coincidirá con A y, por último, si l > 1 tendremos: OA'>OA.
l =0 OA' A
l =1 O AA'
0<l <1 O A' A
l >1 O A A'

 Si la contacción se aplica en un segmento AB, a un punto C diferente de los extremos, respecto a un punto O no alineado con AB: el punto C se transforma en C' y el segmentoAB se transforma en la quebrada AC'B, como se muestra en la figura:

A C B

 

 

C'

O

• 0<l <1

C'

A

C B

O l >1

Obtención De Estrellas Mediante Contracciones Pap.
A partir de n-polígono regular, mediante la aplicación de una contracción pap aplicada al punto medio de cada lado respecto al centro del n-polígono, se obtiene una estrella de n-puntas. Con este procedimiento, podemos obtener estrellas de cualquier número de puntas; además, la cantidad de estrellas generadas por el polígono, que denominaremos generatriz, no tiene límites.
En la ilustración se obser-van diversas estrellas obtenidas mediante la aplicación de la contrac-ción propuesta, con factor 0<l <1.
Si aplicamos la contracción con fac-tor l >1, observaremos que no se for-man estrellas en los casos en que el ángulo OAC' sea menor o igual a 90°. Las estrellas se formarán a partir de que dicho ángulo supere al recto. Mientras OAC<OAC'<90°, la transformada del n-polígono genera-triz será un 2n-polígono equilátero que será regular si OC' = OA. Cuando OAC' = 90°; la transformada será un polígono semejante al generatriz, que lo circunscribe.
Para deducir los valores de l (l >1), que originan estrellas partiremos de las transformadas con OAC' = 90° ( ver dibujos). Luego los valores de l buscados son aquellos donde l > OC'/OC.
En los dibujos se puede observar : CAC' = OAC' - OAC = 90°- OAC
COA = 90°-OAC; luego
CAC' = COA.
Por otra parte: CC' = (ln /2)tan(CAC') = (ln /2)tan(COA)

( ln es el lado del n-polígono generatriz)
Luego: CC' = (ln /2n)ntan(COA)
Por lo que: CC' = ln kn /2n
(ver monografía recomendada arriba).
Como OC = apn y OC'=OC+CC': OC' = apn + (ln kn /2n)
Dividiendo por OC=apn OC'/OC = 1 + (ln kn /2n apn)
Expresando ln en función de apn: OC'/OC = 1 + (2kn apn kn /2nn apn), y
OC'/OC = 1 + (kn /n )2.

Finalmente, podemos concluir: al aplicar una contracción pap sobre los puntos medios de un n-polígono regular, respecto al centro de la figura, con factor l >1, la transformada será una estrella de n-puntas si l > 1 + (kn /n )2; donde kn es la constante de semiproporcionalidad del n-polígono generatriz.

Area De La Estrella Plana
En la figura podemos ver que las puntas de la estrella definen un poligono semejante al definido por el resto de sus vértices. De allí que la n-estrella, independientemente de la manera como se obtenga o dibuje, puede ser considerada como la transformada del n-polígono regular de-finido por sus puntas, al aplicar una contracción pap a los puntos medios de los lados, respecto al centro del n-polígono, con factor 0<l <1.
Con la premisa de que la n-estrella es la transformada del n-polígono regular definido por sus puntas ( al aplicar una contracción pap a los puntos medios de los lados, respecto al centro del n-polígono, con factor 0<l <1), podemos calcular su área.
Denotemos con En al área de la n-estrella; con D a la distancia entre las puntas y con H (de hendidura) a la distancia desde vértice transformado al original del n-polígono generatriz. Expresando el área del n-polígono generatriz en función del lado (distancia entre las puntas de la estrella) tenemos:
En =An-(nDH/2) = (n2D2/4kn)-(nDH/2) = (nD/2)( nD/2kn - H), o bien:
En = sp( sp/kn - H) donde sp es el semiperímetro del polígono generatriz.

6. Relaciones Entre Estrellas Planas Y Polígonos Regulares.

La relación entre una n-estrella y un k-polígono regular viene dada por:
En/Ak = (n2D2/4kn)/( k2 ln 2/4 kk) -(nDH/2)/( k2 ln 2/4 kk); luego:
En/Ak = (n2D2 kk / k2 ln 2 kn ) -(2nDH kk / k2 ln 2).
Si n=k será kn = kk y: En/ An = (D2 / ln 2 ) -(2DH kn / n ln 2).
Si, además, el polígono regular es el generatriz se tiene D=ln y:
En/ An = 1 - (2H kn / n ln );
Como ln = 2knapn/n se concluye:
En/ An = 1 - (H/apn).
Por otra parte, como H = apn -l apn ( recuérdese que 0<l <1) se tiene que
H = apn(1 -l ), luego:
En/ An = 1 - (H/apn)= 1-( apn(1 -l )/ apn)=1- (1 -l )=l , por lo que
En = l An
De donde se concluye que el área de una n-estrella es igual al producto del área del n-polígono generatriz por el factor de contracción pap que debe aplicarse para obtenerla.
La última fórmula no varía si l > 1 + (kn /n )2; en este caso, el área de la n-estrella será igual a la del polígono generatriz más n veces el área del triángulo isósceles que forman el lado y su transformada.
Llamando h a la altura del triángulo se tiene: En= An + nlnh/2 de donde En/ An = 1+ (nlnh/2An); sustituyendo en el segundo miembro de la igualdad An por kn ap 2 y ln por 2knap/n: En/ An = 1+(2knap/n) (nh/2kn ap 2)=1+h/ap. Como h= l ap - ap =ap(l -1) se tiene:
En/ An = 1+ap(l -1)/ap = 1+(l -1) =l por lo que: En = l An; que coincide con la anterior.

7. Conclusiones.

El contenido presentado incrementa los conocimientos referentes a las relaciones entre polígonos regulares y entre éstos y otras figuras; tema que ha sido poco tratado por los autores de textos de Matemática. El establecimiento de tales relaciones ha sido posible después de estructurar, en forma sencilla, una fórmula correcta para el cálculo de áreas de los polígonos regulares; a diferencia de otras fórmulas correctas que se quedan en la formulación trigo-nométrica, el establecimiento de las constantes de semiproporcionalidad (kn) permite el desarrollo sin mayores complicaciones. El tema no está agotado; pues sólo se presentaron las relaciones más evidentes.
La contracción punto a punto (contracción pap) que se propone, permite la obtención de un ilimitado número de estrellas planas de n-puntas a partir de un n-polígono regular. Así mismo, facilita el establecimiento de relaciones entre éstas y los polígonos regulares; sobre todo, con el polígono generatriz. Es posible desarrollar un pequeño estudio sobre las relaciones existentes entre las estrellas, así como estructurar una fórmula para el área tomando en cuenta sólo el lado y el número de puntas. No obstante, lo desarrollado demuestra la posibilidad de sacar provecho de los errores.

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Autor:

Gustavo Yanes