Serie y transformada de Fourier
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- Serie de Fourier
- Funciones Periódicas
- Relaciones de Ortogonalidad
- Serie Senos y Cosenos
- Transformada de Fourier
- Propiedades de La Transformada de Fourier
- Interpretación de la Transformada de Fourier
- Conclusión
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Bibliografía
- Anexos
Si no tienes unas nociones previas, puede ser complicado comprender el concepto de "representación en frecuencia de una señal". Básicamente la Transformada de Fourier se encarga de transformar una señal del dominio del tiempo, al dominio de la frecuencia, de donde se puede realizar su antitransformada y volver al dominio temporal. Estudiaremos a lo largo de este trabajo la Serie de Fourier, Ejercicios referentes al seno y coseno , las Transformadas de Fourier, propiedades e interpretación.
Sea una función f(t) una función periódica de periodo T, la cual se puede representar por la serie trigonometrica
donde w 0=2p /T.
Una serie como la representada se llama serie trigonometrica de Fourier. Esta serie también se puede representar así:
Ejemplo 1: Deducir la forma
de 
y expresar Cn
y q n
en términos de an t bn.
Se puede expresar así
se utiliza la entidad trigonométrica
donde
por consiguiente,
ó 
También si se hace
Se Obtiene
Es obvio que la representación de Fourier de una
función periódica, representa la función
como la suma de componentes sinusoides que tienen diferentes
frecuencias. La componente senosiudad de frecuencia 
se denomina la
enésima armónica de la función
periódica. La primera armónica comúnmente se
conoce como la componente fundamental porque tiene el mismo
período de la función y 
se conoce como la frecuencia angular
fundamental. Los coeficientes Cn y los
ángulos q
n se conocen como amplitudes armónicas y
ángulos de fase, respectivamente.
Una función periódica se puede definir como una función para la cual
(1.1)
para todos los valores de
t. La constante mínima T que sastiface la relación
, se llama el período de la función. Mediante
repetición de , se obtiene:
En la siguiente función se muestra un ejemplo de una función periódica
Ejemplo 1: Encontrar el periodo de
la función 
Si la función f(t) es periódica con un
periodo T, entonces, de se tiene
puesto que cos(q + 2 p m)=cos q para cualquier entero m se tiene que
donde m y n son enteros, Por consiguiente T= 6p m; cuando m = 4 y n = 3, se obtiene el mínimo valor de T. (esto se puede ver mediante el procedimiento de ensayo y error). De donde, T = 24p
en general, si la función
es periódica con período T, entonces es posible encontrar dos enteros m y n tales que
w 1T = 2nm
w 2T = 2mn el cociente es
es decir, la relación w 1 / w 2 debe ser un numero racional.
Ejemplo 2: Decir si la función 
es una función
periódica.
Aquí 
y 
. Puesto
que
no es un número racional, es imposible encontrar
un valor T que
satisfaga por
consiguiente f(t) no es una función
periódica.
Ejemplo 3: Encontrar el periodo de la
función 
Si aplicamos la identidad
trigonométrica 
se tiene
Puesto que una constante y una función periódica de periodo T para cualquier valor de T, el período de cos 2t es p , se concluye que el periodo de f(t) es p .
Demostrar que si f(t + T) = f(t), entonces.
Existen muchos tipos de series de Fourier. Las mas sencillas son las Series de Fourier Trigonométricas. Un ejemplo es la serie de Fourier del seno
Se vera que las series de Fourier tienen interpretaciones físicas importantes en las aplicaciones. Sin embargo, las series de Fourier están basadas en un tipo distinto de teoría a las familiares series de potencias.
De manera equivalente, una función diferenciable f(x) es una función tal que en cualquier intervalo finito se puede dividir en un número de partes, cada una de las cuales es continua y tiene derivada continua. Además, las únicas discontinuidades de F8x) y f’(x) son discontinuidades de salto.
Ejemplo Funciones Ortogonales
Las dos funciones f(x) = x y g(x) = x2 son ortogonales en el intervalo [-1,1] puesto que
Conjunto Ortogonal de Funciones
Un conjunto de funciones {f 1(x), f 2(x),…} es un conjunto ortogonal de funciones en el intervalo [a,b] si cualesquiera dos funciones son ortogonales entre si.
(n ¹
m).
se considerará solo conjuntos ortogonales en los que ninguna de las funciones son idénticamente iguales a cero en [a,b].
Los coeficientes de una serie respecto a un conjunto ortogonal tiene una forma útil, que se deducirá ahora. Suponga que {f 1(x), f 2(x),…} es un conjunto ortogonal de funciones en el intervalo [a,b] y que
.
Se quiere obtener una formula para los coeficientes
Cn en términos de f(x) y de las funciones
ortogonales f
n(x). Se selecciona un miembro del conjunto
ortogonal, digamos, f
n(x), y tome el producto
interno con f(x). es decir, se multiplican ambos lados de
por
f n(x), y se
integra sobre el intervalo para obtener
suponga que la integración y la suma se puede intercambiar para dar
.
Pero f , forma un conjunto ortogonal, de manera que (f n, f m) = 0 si n ¹ m. Entonces se convierte en
Teorema fundamental de una función por una serie de funciones ortogonales.
Suponga que f(x) es diferenciable por partes en el intervalo [a,b] y que
donde {f n(x)} es un conjunto ortogonal de funciones en [a,b]. Entonces
Una prueba rigurosa del teorema incluye consideraciones
técnicas que están más
allá del nivel de esta investigación. Estas consideraciones se
refieren a la convergencia de y a la demostración de que la suma y la
integral se pueden intercambiar. Además cuando se escribe
, de hecho, no
se requiere que la serie converja a f(x) para toda x. Las
condiciones suficientes para garantizar el intercambio de Fourier
del seno y del coseno, también se analizan en que sentido
es igual a f(x).
Sólo se necesita la continuidad por las partes de f y
las f
n para este teorema.
Coeficiente de una serie de senos
Suponga que
Ejemplo: Se tiene que {sen nx: n ³ 1} es un conjunto ortogonal de funciones en [0,p ]. Entonces se Obtiene
ya que
Representación de una constante por una serie de senos
Exprese f(x) = 1 como una serie en términos del conjunto ortogonal de funciones {sen nx : n ³ 1} en [0, p ].
Así es
Esta serie se puede expresar como
Suponga que se tiene una función f(x) definida en el intervalo [0,L]. Primero se mostrará cómo construir la serie de cosenos. Como se tiene interés en los valores de la serie sólo en el intervalo [0, L], se puede definir f(x) de cualquier manera fuera de este intervalo. Con el fin de obtener una serie solo con términos de cosenos, se definirá una extensión periódica par de f(x).
Si f(x) es una función diferenciable por partes [0,L], la serie de Fourier de cosenos para f(x) es
donde
(n ³
1)
Ejemplo: Serie de Fourier de cosenos
Sea f(x) = x en [0, 2]. Encuentre la serie de Fourier de cosenos para f(x)
Se tiene, con L = 2 y f(x) = x
Entonces
La transformada de Fourier se emplea con señales periódicas a diferencia de la serie de Fourier. Las condiciones para poder obtener la transformada de Fourier son (Condiciones de Dirichlet):
- Que la señal sea absolutamente integrable, es decir:
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- Que tenga un grado de oscilación finito.
- Que tenga un número máximo de discontinuidades.
La transformada de Fourier es una particularización de la transformada de Laplace con S=jw (siendo w=2*pi*f), y se define como:
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Y su antitransformada se define como:
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He mencionado al principio que la transformada de Fourier se usa con señales aperiódicas. Con la invención de la función delta(t) a principios de este siglo es posible calcular la transformada de Fourier de una señal periódica:
Sabiendo que Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior
Y que la transformada de Fourier
tiene la propiedad de
dualidad:
Para ver la fórmula
seleccione la opción "Descargar" del menú
superior
Obtenemos que Para ver la fórmula seleccione la opción
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De esta forma, podemos calcular la transformada de Fourier de cualquier señal periódica x(t) de potencia media finita, esto es:
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Ya que
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Luego para una x(t) periódica se cumple que:
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Ejemplo: Si f(t) es real, demostrar
que su espectro de magnitud 
es una función par de w y su espectro de fase
f (w ) es una función impar
de w
Si f(t) es real, entonces, se tiene
Propiedades de La Transformada de Fourier
En efecto
Hito 1. Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior
Hito 2.
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Donde,
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fórmula seleccione la opción "Descargar" del
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Tenemos
dos casos posibles
Si r=s entonces
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Creado Por
Sergio E. D'Ambrosio
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