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Serie y transformada de Fourier

Enviado por dambrosio



  1.  

  2. Serie de Fourier
  3. Funciones Periódicas
  4. Relaciones de Ortogonalidad
  5. Serie Senos y Cosenos
  6. Transformada de Fourier
  7. Propiedades de La Transformada de Fourier
  8. Interpretación de la Transformada de Fourier
  9. Conclusión
  10. Bibliografía

     

  11. Anexos

 Introducción

  Si no tienes unas nociones previas, puede ser complicado comprender el concepto de "representación en frecuencia de una señal". Básicamente la Transformada de Fourier se encarga de transformar una señal del dominio del tiempo, al dominio de la frecuencia, de donde se puede realizar su antitransformada y volver al dominio temporal. Estudiaremos a lo largo de este trabajo la Serie de Fourier, Ejercicios referentes al seno y coseno , las Transformadas de Fourier, propiedades e interpretación.

SERIE DE FOURIER

Sea una función f(t) una función periódica de periodo T, la cual se puede representar por la serie trigonometrica

donde w 0=2p /T.

Una serie como la representada se llama serie trigonometrica de Fourier. Esta serie también se puede representar así:

Ejemplo 1: Deducir la forma de y expresar Cn y q n en términos de an t bn.

Se puede expresar así

se utiliza la entidad trigonométrica

donde

por consiguiente,

ó

También si se hace

Se Obtiene

Es obvio que la representación de Fourier de una función periódica, representa la función como la suma de componentes sinusoides que tienen diferentes frecuencias. La componente senosiudad de frecuencia se denomina la enésima armónica de la función periódica. La primera armónica comúnmente se conoce como la componente fundamental porque tiene el mismo período de la función y se conoce como la frecuencia angular fundamental. Los coeficientes Cn y los ángulos q n se conocen como amplitudes armónicas y ángulos de fase, respectivamente.

Funciones Periódicas

Una función periódica se puede definir como una función para la cual

(1.1)

para todos los valores de t. La constante mínima T que sastiface la relación , se llama el período de la función. Mediante repetición de , se obtiene:

En la siguiente función se muestra un ejemplo de una función periódica

Ejemplo 1: Encontrar el periodo de la función

Si la función f(t) es periódica con un periodo T, entonces, de se tiene

puesto que cos(q + 2 p m)=cos q para cualquier entero m se tiene que

donde m y n son enteros, Por consiguiente T= 6p m; cuando m = 4 y n = 3, se obtiene el mínimo valor de T. (esto se puede ver mediante el procedimiento de ensayo y error). De donde, T = 24p

en general, si la función

es periódica con período T, entonces es posible encontrar dos enteros m y n tales que

w 1T = 2nm

w 2T = 2mn el cociente es

es decir, la relación w 1 / w 2 debe ser un numero racional.

Ejemplo 2: Decir si la función es una función periódica.

Aquí y . Puesto que

no es un número racional, es imposible encontrar un valor T que satisfaga por consiguiente f(t) no es una función periódica.

Ejemplo 3: Encontrar el periodo de la función

Si aplicamos la identidad trigonométrica se tiene

Puesto que una constante y una función periódica de periodo T para cualquier valor de T, el período de cos 2t es p , se concluye que el periodo de f(t) es p .

Demostrar que si f(t + T) = f(t), entonces.

Relaciones de Ortogonalidad

Existen muchos tipos de series de Fourier. Las mas sencillas son las Series de Fourier Trigonométricas. Un ejemplo es la serie de Fourier del seno

Se vera que las series de Fourier tienen interpretaciones físicas importantes en las aplicaciones. Sin embargo, las series de Fourier están basadas en un tipo distinto de teoría a las familiares series de potencias.

De manera equivalente, una función diferenciable f(x) es una función tal que en cualquier intervalo finito se puede dividir en un número de partes, cada una de las cuales es continua y tiene derivada continua. Además, las únicas discontinuidades de F8x) y f’(x) son discontinuidades de salto.

Ejemplo Funciones Ortogonales

Las dos funciones f(x) = x y g(x) = x2 son ortogonales en el intervalo [-1,1] puesto que

Conjunto Ortogonal de Funciones

Un conjunto de funciones {f 1(x), f 2(x),…} es un conjunto ortogonal de funciones en el intervalo [a,b] si cualesquiera dos funciones son ortogonales entre si.

(n ¹ m).

se considerará solo conjuntos ortogonales en los que ninguna de las funciones son idénticamente iguales a cero en [a,b].

Los coeficientes de una serie respecto a un conjunto ortogonal tiene una forma útil, que se deducirá ahora. Suponga que {f 1(x), f 2(x),…} es un conjunto ortogonal de funciones en el intervalo [a,b] y que

.

Se quiere obtener una formula para los coeficientes Cn en términos de f(x) y de las funciones ortogonales f n(x). Se selecciona un miembro del conjunto ortogonal, digamos, f n(x), y tome el producto interno con f(x). es decir, se multiplican ambos lados de por f n(x), y se integra sobre el intervalo para obtener

suponga que la integración y la suma se puede intercambiar para dar

.

Pero f , forma un conjunto ortogonal, de manera que (f n, f m) = 0 si n ¹ m. Entonces se convierte en

Teorema fundamental de una función por una serie de funciones ortogonales.

Suponga que f(x) es diferenciable por partes en el intervalo [a,b] y que

donde {f n(x)} es un conjunto ortogonal de funciones en [a,b]. Entonces

Una prueba rigurosa del teorema incluye consideraciones técnicas que están más allá del nivel de esta investigación. Estas consideraciones se refieren a la convergencia de y a la demostración de que la suma y la integral se pueden intercambiar. Además cuando se escribe , de hecho, no se requiere que la serie converja a f(x) para toda x. Las condiciones suficientes para garantizar el intercambio de Fourier del seno y del coseno, también se analizan en que sentido es igual a f(x). Sólo se necesita la continuidad por las partes de f y las f n para este teorema.

Serie Senos y Cosenos

Coeficiente de una serie de senos

Suponga que

Ejemplo: Se tiene que {sen nx: n ³ 1} es un conjunto ortogonal de funciones en [0,p ]. Entonces se Obtiene

ya que

Representación de una constante por una serie de senos

Exprese f(x) = 1 como una serie en términos del conjunto ortogonal de funciones {sen nx : n ³ 1} en [0, p ].

Así es

Esta serie se puede expresar como

Serie de Fourier de cosenos

Suponga que se tiene una función f(x) definida en el intervalo [0,L]. Primero se mostrará cómo construir la serie de cosenos. Como se tiene interés en los valores de la serie sólo en el intervalo [0, L], se puede definir f(x) de cualquier manera fuera de este intervalo. Con el fin de obtener una serie solo con términos de cosenos, se definirá una extensión periódica par de f(x).

Teorema Serie Cosenos

Si f(x) es una función diferenciable por partes [0,L], la serie de Fourier de cosenos para f(x) es

donde

(n ³ 1)

Ejemplo: Serie de Fourier de cosenos

Sea f(x) = x en [0, 2]. Encuentre la serie de Fourier de cosenos para f(x)

Se tiene, con L = 2 y f(x) = x

Entonces

Transformada de Fourier

La transformada de Fourier se emplea con señales periódicas a diferencia de la serie de Fourier. Las condiciones para poder obtener la transformada de Fourier son (Condiciones de Dirichlet):

  • Que la señal sea absolutamente integrable, es decir:

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  • Que tenga un grado de oscilación finito.
  • Que tenga un número máximo de discontinuidades.

    La transformada de Fourier es una particularización de la transformada de Laplace con S=jw (siendo w=2*pi*f), y se define como:

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    Y su antitransformada se define como:

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    He mencionado al principio que la transformada de Fourier se usa con señales aperiódicas. Con la invención de la función delta(t) a principios de este siglo es posible calcular la transformada de Fourier de una señal periódica:

    Sabiendo que Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

    Y que la transformada de Fourier tiene la propiedad de dualidad:
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    Obtenemos que  Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

 De esta forma, podemos calcular la transformada de Fourier de cualquier señal periódica x(t) de potencia media finita, esto es:

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    Ya que

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    Luego para una x(t) periódica se cumple que:

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Ejemplo: Si f(t) es real, demostrar que su espectro de magnitud es una función par de w y su espectro de fase f (w ) es una función impar de w

Si f(t) es real, entonces, se tiene

Propiedades de La Transformada de Fourier

En efecto

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 Hito 2.  

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        Donde,
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         Tenemos dos casos posibles
 
Si r=s entonces

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Creado Por
Sergio E. D'Ambrosio


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