no es un número racional, es imposible encontrar
un valor T que
satisfaga por
consiguiente f(t) no es una función
periódica.
Ejemplo 3: Encontrar el periodo de la
función
Si aplicamos la identidad
trigonométrica se tiene
Puesto que una constante y una función
periódica de periodo T para cualquier valor de T, el
período de cos 2t es p , se concluye que el periodo de f(t) es
p .
Demostrar que si f(t + T) = f(t), entonces.
Existen muchos tipos de series de Fourier. Las mas
sencillas son las Series de Fourier Trigonométricas. Un
ejemplo es la serie de Fourier del seno
Se vera que las series de Fourier tienen
interpretaciones físicas importantes en las aplicaciones.
Sin embargo, las series de Fourier están basadas en un
tipo distinto de teoría
a las familiares series de potencias.
De manera equivalente, una función diferenciable
f(x) es una función tal que en cualquier intervalo finito
se puede dividir en un número de partes, cada una de las
cuales es continua y tiene derivada continua. Además, las
únicas discontinuidades de F8x) y f’(x) son
discontinuidades de salto.
Ejemplo Funciones Ortogonales
Las dos funciones f(x) =
x y g(x) = x2 son ortogonales en el intervalo [-1,1]
puesto que
Conjunto Ortogonal de
Funciones
Un conjunto de funciones
{f
1(x), f 2(x),…} es un conjunto
ortogonal de funciones en el intervalo [a,b] si cualesquiera dos
funciones son ortogonales entre si.
(n ¹
m).
se considerará solo conjuntos
ortogonales en los que ninguna de las funciones son
idénticamente iguales a cero en [a,b].
Los coeficientes de una serie respecto a un conjunto
ortogonal tiene una forma útil, que se deducirá
ahora. Suponga que {f
1(x), f 2(x),…} es un conjunto
ortogonal de funciones en el intervalo [a,b] y que
.
Se quiere obtener una formula para los coeficientes
Cn en términos de f(x) y de las funciones
ortogonales f
n(x). Se selecciona un miembro del conjunto
ortogonal, digamos, f
n(x), y tome el producto
interno con f(x). es decir, se multiplican ambos lados de
por
f n(x), y se
integra sobre el intervalo para obtener
suponga que la integración y la suma se puede intercambiar
para dar
.
Pero f
, forma un conjunto ortogonal, de manera que
(f
n, f
m) = 0 si n ¹ m. Entonces se convierte en
Teorema fundamental de una función por una
serie de funciones ortogonales.
Suponga que f(x) es diferenciable por partes en el
intervalo [a,b] y que
donde {f
n(x)} es un conjunto ortogonal de funciones en
[a,b]. Entonces
Una prueba rigurosa del teorema incluye consideraciones
técnicas que están más
allá del nivel de esta investigación. Estas consideraciones se
refieren a la convergencia de y a la demostración de que la suma y la
integral se pueden intercambiar. Además cuando se escribe
, de hecho, no
se requiere que la serie converja a f(x) para toda x. Las
condiciones suficientes para garantizar el intercambio de Fourier
del seno y del coseno, también se analizan en que sentido
es igual a f(x).
Sólo se necesita la continuidad por las partes de f y
las f
n para este teorema.
Coeficiente de una serie
de senos
Suponga que
Ejemplo: Se tiene que {sen nx:
n ³ 1} es
un conjunto ortogonal de funciones en [0,p ]. Entonces se
Obtiene
ya que
Representación de una
constante por una serie de senos
Exprese f(x) = 1 como una serie en términos del
conjunto ortogonal de funciones {sen nx : n ³ 1} en [0,
p ].
Así es
Esta serie se puede expresar como
Suponga que se tiene una función f(x) definida en
el intervalo [0,L]. Primero se mostrará cómo
construir la serie de cosenos. Como se tiene interés en
los valores de la
serie sólo en el intervalo [0, L], se puede definir f(x)
de cualquier manera fuera de este intervalo. Con el fin de
obtener una serie solo con términos de cosenos, se
definirá una extensión periódica par de
f(x).
Si f(x) es una función diferenciable por partes
[0,L], la serie de Fourier de cosenos para f(x) es
donde
(n ³
1)
Ejemplo: Serie de Fourier de cosenos
Sea f(x) = x en [0, 2]. Encuentre la serie de Fourier de
cosenos para f(x)
Se tiene, con L = 2 y f(x) = x
Entonces
La transformada de Fourier se emplea con señales
periódicas a diferencia de la serie de Fourier. Las
condiciones para poder obtener
la transformada de Fourier son (Condiciones de
Dirichlet):
- Que la señal sea absolutamente integrable,
es decir:
Para ver la fórmula seleccione la
opción "Descargar" del menú superior
- Que tenga un grado de oscilación
finito. - Que tenga un número máximo de
discontinuidades.
La transformada de Fourier es una
particularización de la transformada de Laplace con S=jw
(siendo w=2*pi*f), y se define como:
Para ver la fórmula seleccione la
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Y su antitransformada se define
como:
Para ver la
fórmula seleccione la opción "Descargar" del
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He mencionado al principio que la
transformada de Fourier se usa con señales
aperiódicas. Con la invención de la función
delta(t) a principios de
este siglo es posible calcular la transformada de Fourier de una
señal periódica:
Sabiendo que Para ver la fórmula seleccione la opción
"Descargar" del menú superior
Y que la transformada de Fourier
tiene la propiedad de
dualidad:
Para ver la fórmula
seleccione la opción "Descargar" del menú
superior
Obtenemos que Para ver la fórmula seleccione la opción
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De esta forma, podemos calcular la transformada de
Fourier de cualquier señal periódica x(t) de
potencia media
finita, esto es:
Para ver la fórmula seleccione la
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Ya que
Para ver la fórmula seleccione la
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Luego para una x(t) periódica
se cumple que:
Para ver la fórmula seleccione la
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Ejemplo: Si f(t) es real, demostrar
que su espectro de magnitud es una función par de w y su espectro de fase
f (w ) es una función impar
de w
Si f(t) es real, entonces, se tiene
Propiedades de La Transformada de
Fourier
En efecto
Hito 1. Para ver la fórmula seleccione la opción
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Hito 2.
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Donde,
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Tenemos
dos casos posibles
Si r=s entonces
Para ver la
fórmula seleccione la opción "Descargar" del
menú superior
Creado Por
Sergio E. D'Ambrosio
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