Monografias.com > Sin categoría
Descargar Imprimir Comentar Ver trabajos relacionados

Serie y transformada de Fourier (página 2)




Enviado por dambrosio



Partes: 1, 2

no es un número racional, es imposible encontrar
un valor T que
satisfaga por
consiguiente f(t) no es una función
periódica.

Ejemplo 3: Encontrar el periodo de la
función

Si aplicamos la identidad
trigonométrica se tiene

Puesto que una constante y una función
periódica de periodo T para cualquier valor de T, el
período de cos 2t es p , se concluye que el periodo de f(t) es
p .

Demostrar que si f(t + T) = f(t), entonces.

Relaciones de Ortogonalidad

Existen muchos tipos de series de Fourier. Las mas
sencillas son las Series de Fourier Trigonométricas. Un
ejemplo es la serie de Fourier del seno

Se vera que las series de Fourier tienen
interpretaciones físicas importantes en las aplicaciones.
Sin embargo, las series de Fourier están basadas en un
tipo distinto de teoría
a las familiares series de potencias.

De manera equivalente, una función diferenciable
f(x) es una función tal que en cualquier intervalo finito
se puede dividir en un número de partes, cada una de las
cuales es continua y tiene derivada continua. Además, las
únicas discontinuidades de F8x) y f’(x) son
discontinuidades de salto.

Ejemplo Funciones Ortogonales

Las dos funciones f(x) =
x y g(x) = x2 son ortogonales en el intervalo [-1,1]
puesto que

Conjunto Ortogonal de
Funciones

Un conjunto de funciones
{f
1(x), f 2(x),…} es un conjunto
ortogonal de funciones en el intervalo [a,b] si cualesquiera dos
funciones son ortogonales entre si.

(n ¹
m).

se considerará solo conjuntos
ortogonales en los que ninguna de las funciones son
idénticamente iguales a cero en [a,b].

Los coeficientes de una serie respecto a un conjunto
ortogonal tiene una forma útil, que se deducirá
ahora. Suponga que {f
1(x), f 2(x),…} es un conjunto
ortogonal de funciones en el intervalo [a,b] y que

.

Se quiere obtener una formula para los coeficientes
Cn en términos de f(x) y de las funciones
ortogonales f
n(x). Se selecciona un miembro del conjunto
ortogonal, digamos, f
n(x), y tome el producto
interno con f(x). es decir, se multiplican ambos lados de
por
f n(x), y se
integra sobre el intervalo para obtener

suponga que la integración y la suma se puede intercambiar
para dar

.

Pero f
, forma un conjunto ortogonal, de manera que
(f
n, f
m) = 0 si n ¹ m. Entonces se convierte en

Teorema fundamental de una función por una
serie de funciones ortogonales.

Suponga que f(x) es diferenciable por partes en el
intervalo [a,b] y que

donde {f
n(x)} es un conjunto ortogonal de funciones en
[a,b]. Entonces

Una prueba rigurosa del teorema incluye consideraciones
técnicas que están más
allá del nivel de esta investigación. Estas consideraciones se
refieren a la convergencia de y a la demostración de que la suma y la
integral se pueden intercambiar. Además cuando se escribe
, de hecho, no
se requiere que la serie converja a f(x) para toda x. Las
condiciones suficientes para garantizar el intercambio de Fourier
del seno y del coseno, también se analizan en que sentido
es igual a f(x).
Sólo se necesita la continuidad por las partes de f y
las f
n para este teorema.

Serie Senos y Cosenos

Coeficiente de una serie
de senos

Suponga que

Ejemplo: Se tiene que {sen nx:
n ³ 1} es
un conjunto ortogonal de funciones en [0,p ]. Entonces se
Obtiene

ya que

Representación de una
constante por una serie de senos

Exprese f(x) = 1 como una serie en términos del
conjunto ortogonal de funciones {sen nx : n ³ 1} en [0,
p ].

Así es

Esta serie se puede expresar como

Serie de Fourier de
cosenos

Suponga que se tiene una función f(x) definida en
el intervalo [0,L]. Primero se mostrará cómo
construir la serie de cosenos. Como se tiene interés en
los valores de la
serie sólo en el intervalo [0, L], se puede definir f(x)
de cualquier manera fuera de este intervalo. Con el fin de
obtener una serie solo con términos de cosenos, se
definirá una extensión periódica par de
f(x).

Teorema Serie
Cosenos

Si f(x) es una función diferenciable por partes
[0,L], la serie de Fourier de cosenos para f(x) es

donde

(n ³
1)

Ejemplo: Serie de Fourier de cosenos

Sea f(x) = x en [0, 2]. Encuentre la serie de Fourier de
cosenos para f(x)

Se tiene, con L = 2 y f(x) = x

Entonces

Transformada de Fourier

La transformada de Fourier se emplea con señales
periódicas a diferencia de la serie de Fourier. Las
condiciones para poder obtener
la transformada de Fourier son (Condiciones de
Dirichlet):

  • Que la señal sea absolutamente integrable,
    es decir:

Para ver la fórmula seleccione la
opción "Descargar" del menú superior

  • Que tenga un grado de oscilación
    finito.
  • Que tenga un número máximo de
    discontinuidades.

    La transformada de Fourier es una
particularización de la transformada de Laplace con S=jw
(siendo w=2*pi*f), y se define como:

Para ver la fórmula seleccione la
opción "Descargar" del menú superior

    Y su antitransformada se define
como:

 Para ver la
fórmula seleccione la opción "Descargar" del
menú superior

    He mencionado al principio que la
transformada de Fourier se usa con señales
aperiódicas. Con la invención de la función
delta(t) a principios de
este siglo es posible calcular la transformada de Fourier de una
señal periódica:

    Sabiendo que Para ver la fórmula seleccione la opción
"Descargar" del menú superior

    Y que la transformada de Fourier
tiene la propiedad de
dualidad:
 Para ver la fórmula
seleccione la opción "Descargar" del menú
superior

    Obtenemos que  Para ver la fórmula seleccione la opción
"Descargar" del menú superior

 De esta forma, podemos calcular la transformada de
Fourier de cualquier señal periódica x(t) de
potencia media
finita, esto es:

Para ver la fórmula seleccione la
opción "Descargar" del menú superior

    Ya que

Para ver la fórmula seleccione la
opción "Descargar" del menú superior

    Luego para una x(t) periódica
se cumple que:

Para ver la fórmula seleccione la
opción "Descargar" del menú superior

Ejemplo: Si f(t) es real, demostrar
que su espectro de magnitud es una función par de w y su espectro de fase
f (w ) es una función impar
de w

Si f(t) es real, entonces, se tiene

Propiedades de La Transformada de
Fourier

En efecto

 Hito 1. Para ver la fórmula seleccione la opción
"Descargar" del menú superior

 Hito 2.  

Para ver la fórmula seleccione la
opción "Descargar" del menú superior

       
Donde,
Para ver la
fórmula seleccione la opción "Descargar" del
menú superior

         Tenemos
dos casos posibles

 
Si r=s entonces

 Para ver la
fórmula seleccione la opción "Descargar" del
menú superior

 

Creado Por
Sergio E. D'Ambrosio

Partes: 1, 2
 Página anterior Volver al principio del trabajoPágina siguiente 

Nota al lector: es posible que esta página no contenga todos los componentes del trabajo original (pies de página, avanzadas formulas matemáticas, esquemas o tablas complejas, etc.). Recuerde que para ver el trabajo en su versión original completa, puede descargarlo desde el menú superior.

Todos los documentos disponibles en este sitio expresan los puntos de vista de sus respectivos autores y no de Monografias.com. El objetivo de Monografias.com es poner el conocimiento a disposición de toda su comunidad. Queda bajo la responsabilidad de cada lector el eventual uso que se le de a esta información. Asimismo, es obligatoria la cita del autor del contenido y de Monografias.com como fuentes de información.

Categorias
Newsletter