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Aproximaciones polinomiales,sucesiones y series infinitas




Enviado por adoluis



Partes: 1, 2

    1. Justificación y
      Objetivo
    2. Aproximaciones polinomiales
      mediante la formula de Taylor
    3. Sucesiones
    4. Series infinitas de
      términos positivos
    5. Series infinitas de
      términos positivos y negativos
    6. Series de
      potencias
    7. Diferenciación e
      integración de series de potencias
    8. Series de
      Taylor
    9. Serie de potencias para
      logaritmos naturales y serie binomial
    10. Conclusiones
    11. Bibliografía

    Introducción

    El objetivo
    primordial de este tema es aproximar funciones
    mediante series de potencias. Sin embargo, antes del estudio de
    las series de potencias se prepara el
    terreno.

    Mientras que los valores de
    funciones
    polinomiales pueden determinarse efectuando un numero finito de
    adiciones y multiplicaciones, otras funciones, entre ellas las
    funciones logarítmicas, exponenciales y trigonometricas,
    no pueden evaluarse tan fácilmente. En esta sección
    se mostrara que muchas funciones pueden aproximarse mediante
    polinomios y que el polinomio, en lugar de la función
    original, puede emplearse para realizar cálculos cuando la
    diferencia entre el valor real de
    la función
    y la aproximación polinomial es suficientemente
    pequeña.

    Varios métodos
    pueden emplearse para aproximar una función dada mediante
    polinomios. Uno de los mas ampliamente utilizados hace uso de la
    formula de Taylor, llamada
    así en honor del matemático ingles brook Taylor
    (1685-1731). El teorema siguiente, el cual puede considerarse
    como una generalización del teorema del valor medio,
    proporciona la formula de Taylor.

    Justificación

    Este es el segundo trabajo del curso de calculo
    diferencial e integral, en donde el cual aprenderemos como
    las aproximaciones polinomiales, sucesiones y
    series infinitas, forman parte importante dentro del calculo
    diferencial e integral, tal es así que este trabajo es
    parte de una evaluación
    y esta diseñado de tal manera dirigido a estudiantes del
    mismo nivel con una redacción sencilla y explicada del tema
    mismo.

    Objetivo

    Uno de los objetivos
    primordiales es aprender como funcionan las aproximaciones
    polinomiales, sucesiones y series infinitas, ya que es de gran
    importancia para poder
    así calcular las unciones logarítmicas,
    exponenciales y trigonometricas. También como mencionaba
    así darle una visión mas amplia al lector sobre
    este tema, llevando un lenguaje no
    tan extenso y mas centrado en lo practico y lo necesario para
    llevarse acabo este tipo de cálculos matemáticos,
    tanto en el calculo diferencial e integral, encontramos infinidad
    de temas que a veces no nos llaman la atención de practicar, en las
    aproximaciones polinomiales veremos lo sencillo que es hacer una
    aproximación por medo de teoremas.

    1. Existen infinidad de métodos para aproximar una
      función dada mediante polinomios, unos de los mas
      importantes que se usan es la fórmula de
      Taylor.

      El teorema siguiente, el cual puede
      considerarse como una generalización del teorema del
      valor medio, proporciona la fórmula de
      Taylor.

      Teorema 1

      Sea ƒ una función tal que ƒ y sus
      primeras n derivadas
      son continuas en el intervalo cerrado [a, b].
      Además

      , considere que ƒ (x) existe para toda x del
      intervalo abierto (a, b). Entonces existe un número z
      en el intervalo abierto (a, b). Tal que

      (1)

      La ecuación (1) también se cumple si b
      < a; en tal caso [a, b] se reemplaza por [b, a], y (a, b)
      se sustituye por (b, a).

      Observe que cuando n = 0, (1) se convierte
      en

      Donde z esta entre a y b. esta es la
      conclusión del teorema del valor medio.

      La demostración del teorema 1 se presentara
      mas adelante.

      Si en (1) se reemplaza b por x, se obtiene la
      fórmula de Taylor:

      (2)

      Donde z esta entre a y x.

      La condición en la que se cumple (2) es que
      ƒ y sus primeras n derivadas
      sean continuas en un intervalo cerrado que contenga a a y x,
      y la (n + 1 )-esima derivada de ƒ exista en todos los
      puntos del intervalo abierto correspondiente. La formula (2)
      puede escribirse como:

      Continua….

      (3)

      Donde


      (4)

      Y

      Donde z esta entre a y x (5)

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