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Aproximaciones polinomiales,sucesiones y series infinitas

Enviado por adoluis



  1. Justificación y Objetivo
  2. Aproximaciones polinomiales mediante la formula de Taylor
  3. Sucesiones
  4. Series infinitas de términos positivos
  5. Series infinitas de términos positivos y negativos
  6. Series de potencias
  7. Diferenciación e integración de series de potencias
  8. Series de Taylor
  9. Serie de potencias para logaritmos naturales y serie binomial
  10. Conclusiones
  11. Bibliografía

Introducción

El objetivo primordial de este tema es aproximar funciones mediante series de potencias. Sin embargo, antes del estudio de las series de potencias se prepara el terreno.

Mientras que los valores de funciones polinomiales pueden determinarse efectuando un numero finito de adiciones y multiplicaciones, otras funciones, entre ellas las funciones logarítmicas, exponenciales y trigonometricas, no pueden evaluarse tan fácilmente. En esta sección se mostrara que muchas funciones pueden aproximarse mediante polinomios y que el polinomio, en lugar de la función original, puede emplearse para realizar cálculos cuando la diferencia entre el valor real de la función y la aproximación polinomial es suficientemente pequeña.

Varios métodos pueden emplearse para aproximar una función dada mediante polinomios. Uno de los mas ampliamente utilizados hace uso de la formula de Taylor, llamada así en honor del matemático ingles brook Taylor (1685-1731). El teorema siguiente, el cual puede considerarse como una generalización del teorema del valor medio, proporciona la formula de Taylor.

Justificación

Este es el segundo trabajo del curso de calculo diferencial e integral, en donde el cual aprenderemos como las aproximaciones polinomiales, sucesiones y series infinitas, forman parte importante dentro del calculo diferencial e integral, tal es así que este trabajo es parte de una evaluación y esta diseñado de tal manera dirigido a estudiantes del mismo nivel con una redacción sencilla y explicada del tema mismo.

Objetivo

Uno de los objetivos primordiales es aprender como funcionan las aproximaciones polinomiales, sucesiones y series infinitas, ya que es de gran importancia para poder así calcular las unciones logarítmicas, exponenciales y trigonometricas. También como mencionaba así darle una visión mas amplia al lector sobre este tema, llevando un lenguaje no tan extenso y mas centrado en lo practico y lo necesario para llevarse acabo este tipo de cálculos matemáticos, tanto en el calculo diferencial e integral, encontramos infinidad de temas que a veces no nos llaman la atención de practicar, en las aproximaciones polinomiales veremos lo sencillo que es hacer una aproximación por medo de teoremas.

  1. Existen infinidad de métodos para aproximar una función dada mediante polinomios, unos de los mas importantes que se usan es la fórmula de Taylor.

    El teorema siguiente, el cual puede considerarse como una generalización del teorema del valor medio, proporciona la fórmula de Taylor.

    Teorema 1

    Sea ƒ una función tal que ƒ y sus primeras n derivadas son continuas en el intervalo cerrado [a, b]. Además

    , considere que ƒ (x) existe para toda x del intervalo abierto (a, b). Entonces existe un número z en el intervalo abierto (a, b). Tal que

    (1)

    La ecuación (1) también se cumple si b < a; en tal caso [a, b] se reemplaza por [b, a], y (a, b) se sustituye por (b, a).

    Observe que cuando n = 0, (1) se convierte en

    Donde z esta entre a y b. esta es la conclusión del teorema del valor medio.

    La demostración del teorema 1 se presentara mas adelante.

    Si en (1) se reemplaza b por x, se obtiene la fórmula de Taylor:

    (2)

    Donde z esta entre a y x.

    La condición en la que se cumple (2) es que ƒ y sus primeras n derivadas sean continuas en un intervalo cerrado que contenga a a y x, y la (n + 1 )-esima derivada de ƒ exista en todos los puntos del intervalo abierto correspondiente. La formula (2) puede escribirse como:

    Continua….

    (3)

    Donde

    (4)

    Y

    Donde z esta entre a y x (5)

    Pn(x) se denomina polinomio de Taylor de n-ésimo grado de la función ƒ en el numero a, y Rn(x) se llama residuo. El termino Rn(x), dado en (5), se denomina forma de lagrange del residuo, llamada así en honor al matemático francés joseph l. lagrange (1736-1813).

    El caso especial de la fórmula de Taylor que se obtiene al considerar a = 0 en (2) es

    Donde z esta entre 0 y x. esta fórmula recibe el nombre de fórmula de maclaurin, en honor al matemático escocés colin maclaurin (1698-1746).

    Sin embargo, la fórmula fue obtenida por Taylor y por otro matemático inglés, james stirling (1692-1770). El polinomio de maclaurin de n-esimo grado para una función ƒ, obtenido a partir de (4) con a = 0, es

    (6)

    De este modo, una función puede aproximarse por medio de un polinomio de Taylor en un número a o por un polinomio de maclaurin.

    Ejemplos:

    Ilustrativo 1

    Se calculara el polinomio de maclaurin de n-esimo grado para la función exponencial natural.

    Si ƒ(x) = , entonces todas las derivadas de ƒ en x son iguales a y las derivadas evaluadas en cero son 1. Por tanto, de (6),

    Así, los primeros cuatro polinomios de maclaurion de la función exponencial natural son

    Las figuras 1 a 4 muestran la grafica de ƒ(x) = junto con las graficas de P0(x), P1(x), P2(x) y P3(x), respectivamente, trazadas en el rectángulo de inspección de [-3, 3] por [0, 4].

    En la figura 5 se muestran las gráficas de los cuatro polinomios de maclaurin y la grafica de

    ƒ(x) = en el mismo sistema coordenado. Observe como los polinomios aproximan para valores de x cercarnos a cero, y note que conforme n se incrementa, la aproximación mejora. Las tablas 1 y 2 proporcionan los valores de , Pn(x) (cuando n es igual a 0, 1, 2 y 3) y - Pn(x) para x = 0.4 y x = 0.2, respectivamente. Observe que con estos dos valores de x, a medida que x esta mas cerca de 0, es mejor la aproximación para un Pn(x) especifico.

    n

    e0.4

    Pn(0.4)

    e0.4 – Pn(0.4)

    0

    1.4918

    1

    0.4918

    1

    1.4918

    1.4

    0.0918

    2

    1.4918

    1.48

    0.0118

    3

    1.4918

    1.4907

    0.0011

    n

    e0.2

    Pn(0.2)

    e0.2 – Pn(0.2)

    0

    1.2214

    1

    0.2214

    1

    1.2214

    1.2

    0.0214

    2

    1.2214

    1.22

    0.0014

    3

    1.2214

    1.2213

    0.0001

    De (5), la forma de lagrange del residuo, cuando Pn(x) es el polinomio de maclaurin de n-esimo grado para la función exponencial natural, es

    Continua..

    donde z esta entre 0 y x (8)

    en particular, si P(x) se emplea para aproximar , entonces

    donde z esta entre 0 y x

    y

    figuras del 1 al 4 muestran Graficas.

     

  2. Aproximaciones polinomiales mediante la formula de Taylor

    Una sucesión(o progresión): es una lista de números en un orden específico.

    Por ejemplo:

    2, 4, 6, 8, 10

    forman una sucesión. Esta sucesión se denomina finita por que tiene un ultimo numero. Si un conjunto de números que forman una sucesión no tiene ultimo numero, se dice que la sucesión es infinita. Por ejemplo:

    en una sucesión infinita; los tres últimos puntos indican que no hay último número en la sucesión. Como el cálculo trata con sucesiones infinitas, la palabra sucesión en este texto significará sucesión infinita. Se iniciara el estudio de esta sección con la definición de función sucesión.

    Definición de función sucesión

    Una función sucesión es una función cuyo dominio es el conjunto

    { 1, 2, 3, 4, ….., n, ….}

    de todos los números enteros positivos.

    Los números del contradominio de na función sucesión se denominan elementos. Una sucesión consiste de los elementos de una función sucesión listados en orden.

    Ejemplo:

    Sea ƒ la función definida por

    n e {1, 2, 3, 4,…}

    entonces ƒ es una función sucesión, y

    continua..

    y así sucesivamente. Los elementos de la sucesión definida por ƒ son

    etcétera: y la sucesión es la (1). Algunos de los pares ordenados de la función sucesión ƒ son (1, ), (2, ), (3, ), (4, ), y (5, ).

    Por lo general, cuando los elementos se listan en orden se indica el n-ésimo elemento ƒ(n) de la sucesión. De este modo, los elementos de la sucesión (1) pueden escribirse como

    ,….

    Puesto que el dominio de cada función sucesión es el mismo, puede emplearse la notación { ƒ(n) } para denotar una sucesión. Así, la sucesión (1) puede denotarse por { n/(2n + 1) }. También se utiliza la notación de subíndice { } para expresar una sucesión para la cual

    ƒ(n) =

    grafica

  3. sucesiones
  4. series infinitas de términos constantes

una parte importante del estudio del cálculo trata sobre la representación de funciones como sumas infinitas.

Suponga que la asociada a la sucesión

se tiene una suma infinita denotada por

se forma una nueva sucesión sumando sucesivamente elementos de :

la sucesión obtenida de esta manera apartir de la sucesión es una sucesión de sumas parciales llamada serie infinita.

Definición de serie infinita

Si es una sucesión y

entonces es una sucesión de sumas parciales denominada serie infinita y se denota por

los números son los términos de la serie infinita.

Continua…

Ejemplo:

sea la serie infinita

  1. obtenga los primeros cuatro elementos de la sucesión de sumas parciales y

    solución

    (a) como

     

  2. determine una fórmula para en términos de n.
  3. como

se tiene, mediante fracciones parciales.

Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

por tanto,

de esta forma, como

continua…

Al eliminar los paréntesis y reducir los términos semejantes se obtiene:

si se considera n como 1, 2, 3 y 4 en esta ecuación, se verá que los resultados anteriores son correctos.

El método empleado en la solución del ejemplo anterior se aplica sólo un caso especial. En general, no es posible obtener una expresión de este tipo para s.

  1. las series infinitas, cuyos términos son positivos, tiene propiedades especiales.

    En particular, la sucesión de sumas parciales de dichas series es creciente y tiene una cota inferior 0. si la sucesión es monótona y acotada. Como el acotamiento y la convergencia de u na sucesión monótona son propiedades equivalentes, entonces, la series es convergente. De este modo, se tiene el teorema siguiente.

    Teorema

    Una serie infinita de términos positivos es convergente si y sólo si su sucesión de sumas parciales tiene una cota superior.

    En si mismo, este criterio no es muy útil: decidir si el conjunto es o no acotado es precisamente lo que no sabemos hacer. Por otra parte, si se dispone de algunas series convergentes para comparación se peude utilizar este criterio para obtener un resultado cuya sencillez encubre su importancia (constituye la base para casi todas las demás pruebas).

    Ejemplo:

    Demuestre que la serie es convergente:

    solución:

    se debe obtener una cota superior para la sucesión de sumas parciales de la serie

    continua….

    ahora se consideran los primeros n términos de la serie geométrica con a = 1 y r = :

    la serie geométrica con a=1 y r=tiene la suma a/(1-r)=2. en consecuencia, la suma de la ecuación anterior es menor que 2. observe que cada término de la suma primera es menor que o igual al término correspondiente de la suma siguiente; esto es,

    esto es cierto por que k¡ = 1 · 2 · 3 ·….· k, que , además del factor 1.

    Contiene k – 1 factores cada uno mayor que o igual a 2. en consecuencia.

    de lo anterior, tiene la cota superior 2. por tanto, por el teorema de la serie infinita la serie dada es convergente.

  2. series infinitas de términos positivos

    Un tipo de series infinitas que constan de términos positivos y negativos es el de las series alternantes, cuyos términos son, alternadamente, positivos y negativos.

    Definición de serie alternante

    Si para todos los números enteros positivos n, entonces la serie

    y la serie

    se denominan series alternantes.

    Ejemplo:

    Un ejemplo de serie alternante de la forma de la primera ecuación , donde el primer termino es positivo, es

    una serie alternante de la segunda ecuación, donde el primer termino es negativo, es

    el teorema siguiente, denominado criterio de las series alternantes, establece que una serie alternante es convergente si los valores absolutos de sus términos decrecen y el limite del n-ésimo término es cero. El criterio también se conoce como el criterio de leibniz para series alternantes debido a que leibniz lo formuló en 1705.

  3. series infinitas de términos positivos y negativos
  4. series de potencias

Son series de la forma S an (x - x0)n ; loss números reales a0, a1, .... , an, ... son los coeficientes de la serie. Si x0 = 0 se obtiene la serie S an . xn.

Como toda serie S an (x - x0)n puede llevarse a la forma S an .x¢ n haciendo x¢ = x - x0 ; solo estudiaremos series de potencias de este último tipo.

Se presentan tres situaciones posibles: series que convergen solamente para x = 0; series que convergen para cualquier número real x y series que convergen para algunos valores de x y divergen para otros. Esto conduce al siguiente:

teorema:

Si la serie de potencias S an .xn converge para el valor x0 ¹ 0, entonces converge en valor absoluto para cualquier x / ô xô < ô x0ô .

Demostración

Si S an .x0n < ¥ , entonces .

Tomando x = 1 $ n0 Î N / " n ³ n0 : ô an x0n - 0ô = ô an x0nô < 1

Luego:

Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

ô an xnô =

Si x es tal que ô xô < ô x0ô Þ

Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

Luego " n ³ n0 : ô an xnô < qn y la serie S ô an xnô converge por comparación con la serie geométrica S qn. Por lo tanto S an xn converge absolutamente.

 teorema:

Si una serie de potencias S an xn no converge para x0 entonces tampoco converge para un número x si ô xô > ô x0ô.

Continua….

radio e intervalo de convergencia

Si una serie de potencias S an xn converge para valores de x / ô xô < R y diverge para ô xô > R, al valor de R se llama radio de convergencia de la serie y al conjunto -R < x < R se llama intervalo de convergencia; el intervalo de convergencia puede o no incluir los extremos.

Veamos como se calcula el radio de convergencia

Consideremos la serie S an xn / S ô an xnô < ¥ .

Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

Si existe, para cada x es:

Aplicando el criterio de D¢ Alembert para cada x resulta;

1.ô xô < 1 Þ S an xn converge y

1.ô xô > 1 Þ S an xn diverge

Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

Es decir, para ¹ 0 , la serie S an xn converge si ô xô < 1 / l = R y diverge si ô xô >1/l = R.

Si l = 0 la serie converge para cualquier valor de x.

En efecto " x : l . ô xô = 0 < 1; en este caso el radio de convergencia R = ¥

Si l = ¥ , el radio de convergencia R = 0, es decir la serie solo converge para x = 0.

7. diferenciación e integración de series de potencias

apartir de series de potencias se pueden obtener otras series de potencias mediante la diferenciación e integración.

Se establecerán los dos teoremas fundamentales.

Teorema

Si es una serie de potencias cuyo radio de convergencia es

R > 0, entonces tambien tiene a R como su radio de convergencia.

Este teorema, cuya demostración se presenta en el suplemento de esta sección. Establece que la serie, obtenida al diferenciar cada término de una serie de potencias término a término, tendrá el mismo radio de convergencia que la serie dada. En el ejemplo ilustrativo siguiente se verifica el teorema para una serie de potencias particular.

Ejemplo:

Considere la serie de potencias.

el radio de convergencia se determina aplicando el critero de la razón.

en consecuencia, la serie de potencias es convergente cuando ; de modo que su radio de convergencia es R = 1.

Continua….

La serie que se obtiene al diferenciar término a término la serie anterior es :

si se aplica el criterio de la razón a esta serie de potencias se tiene

esta serie es convergente cuando < 1, así, su radio de convergencia es R´ = 1. como R = R´, se ha verificado este teorema para esta serie.

Teorema

Si el radio de convergencia de la serie de potencias es R > 0 entonces R tambien es el radio de convergencia de la serie:

Demostración

El resultado deseado se deduce cuando el teorema primero se aplica a la serie

8. series de taylor

en este tema se mostrará cómo obtener representaciones en series de potencias de funciones que tienen derivadas de todos los órdenes, es decir, funciones que son infinitamente diferenciables.

esta serie se denomina serie de Taylor de f en a. el caso especial , es cuando a = 0, es :

y se llama serie de maclaurin.

ejemplos:

calcule la serie de maclaurin para .

Solución

Si para toda x, por tanto, para toda n. así, de la ecuación de maclaurin se tiene la serie de maclaurin:

obtenga la serie te Taylor para sen x en a.

si ƒ(x) = sen x, entonces ƒ`(x) = cos x, ƒ``(x) = -sen x, ƒ````(x) = -cos x, (x) = sen x, y así sucesivamente. De este modo, de la fórmula de Taylor, la serie de Taylor requerida se obtiene del teorema serie de Taylor.

9. series de potencias para logaritmos naturales y serie binominal

se concluye el estudio de series infinitas en esta sección al considerar y aplicar dos seriers básicas: la serie para calcular logaritmos naturales y la serie binominal.

A fin de obtener la serie para calcular logaritmos naturales, primero se determinará una representación en serie de potencias de ln(1+x).

Ejemplo:

Considere la función ƒ definida por

ƒ(t) =

una representación en serie de potencias para esta función está dada por la serie la cual es:

si < 1

al integrar término a término se obtiene

si < 1

por tanto,

si < 1

si < 1

10 preguntas

  1. ¿Qué son las aproximaciones polinomiales?
  2. ¿Qué son sucesiones?
  3. ¿Qué son series?
  4. ¿Cuáles son las series infinitas de términos constantes?
  5. ¿Cuáles son las series infinitas de términos positivos?
  6. ¿Cuáles son las series infinitas de términos positivos y negativos?
  7. ¿que son los criterios de convergencia y divergencia de series infinitas?
  8. ¿Qué son las series de potencias?
  9. ¿Qué son las series de Taylor?
  10. ¿Cuáles son las series de potencias para logaritmos naturales?

10 Respuestas

  1. Muchas funciones pueden aproximarse mediante polinomios y que el polinomio, en lugar de la función original, puede emplearse para realizar cálculos cuando la diferencia entre el valor real de la función y la aproximación polinomial es suficiente pequeña.

  2. son valores de funciones polinomiales que pueden determinarse efectuando un número finito de adiciones y multiplicaciones, otras funciones, entre ellas las funciones logarítmicas, exponenciales y trigonometricas, no pueden evaluarse tan fácilmente.

    Por ejemplo:

    2, 4, 6, 8, 10 forman una sucesión

    es la suma de una sucesión obtenida a la que se le llama sucesión de sumas parciales llamada serie infinita.

  3. Una sucesión(o progresión): es una lista de números en un orden específico.
  4. es la sucesión de sumas parciales denominada serie infinita.
  5. son las que tienen propiedades especiales, en particular, la sucesión de sumas parciales de dichas series es creciente y tiene una cota inferior 0. si la sucesión de sumas parciales también tiene una cota superior, entonces la sucesión es monótoma y acotada.
  6. son las que se llaman series alternantes, cuyos términos son, altamente, positivos y negativos.
  7. son teoremas para determinar la convergencia y divergencia de una serie finita de números constantes.
  8. son las series de términos variables , las cuales pueden considerarse como una generalización de una función polinomial. Con la cual se puede calcular valores de función tales como se x, ex, ln x. las cuales no se pueden evaluar mediante las operaciones aritméticas conocidas y empleadas para determinar valores de funciones racionales.
  9. son de las que se obtienen representaciones en series de potencias de funciones que tienen derivadas de todos los órdenes, es decir, funciones que son infinitamente diferenciables.
  10. son series para calcular logaritmos naturales , el cual primero se determina una representación en serie de potencias.

10 ejercicios 10 soluciones

Ejercicio: representaciones gráficas (función logarítmica)

 Representar gráficamente la función y = log2 x.

Resolución:Name=3; HotwordStyle=BookDefault;

Para determinar por qué puntos pasa la función se elabora una tabla de valores:

x y

1/8 -3

1/4 -2

1/2 -1

1 0

2 1

4 2

8 3

 Representar gráficamente la función y = log1 / 2 x.

Resolución:Name=4; HotwordStyle=BookDefault;

Para determinar por qué puntos pasa la función se elabora una tabla de valores:

x y

1/8 3

1/4 2

1/2 1

1 0

2 -1

4 -2

8 -3

 Representar en unos mismos ejes de coordenadas las funciones

y = log2 x y = ln x y=log10 x.

Ejercicio: resolución de ecuaciones logarítmicas

 Resolver la ecuación 2 log x = 1 + log (x - 0,9).

Resolución:

log x2 = log 10 + log ( x - 0' 9)

log x2 = log [10 (x - 0' 9)]  x2 = 10 (x - 0' 9)

x2 = 10x - 9  x2 - 10x + 9 = 0

Hay dos soluciones: x = 9 y x = 1

Resolución:

x no puede ser cero pues no existe log 0

La solución x = -4 no es válida puesto que los números negativos no tienen logaritmo. Por lo tanto, x = 4.

Ejercicio: ecuaciones exponenciales que se resuelven utilizando logaritmos

 Resolver la ecuación 2x = 57.

Resolución:

Tomando logaritmos en ambos miembros, log 2x = log 57

Resolución:

Tomando logaritmos en ambos miembros,

  Resolver 43x = 8x + 6.

Resolución:

 Expresando 4 y 8 como potencias de dos (22)3x = (23)x + 6.

 Esta ecuación puede escribirse como (23x)2 = 23x + 6.

 Haciendo el cambio 23x = y, la ecuación se escribe y2 = y + 6.

Ahora basta con resolver esta ecuación de segundo grado y deshacer el cambio de variable para obtener el valor de x.

continua..

Las dos soluciones son y1 = 3; y2 = -2

Para y1 = 3, 23x = 3. Tomando logaritmos en ambos miembros,

Para y2 = -2, 23x = -2. No existe un número x que verifique esto ya que 23x es siempre positivo.



Ejercicio: resolución de sistemas de ecuaciones logarítmicas



Resolución:

10 y4 = 105  y4 = 104  y = 10 (El resultado y = -10 no tiene sentido.)

Como x = 10y x = 10·10 = 100

Resolución:

(20 + y) y = 100  20y + y2 = 100

Sabiendo que log2 8 = 3, calcular log16 8

Resolución:

Sabiendo que log3 27 = 3, calcular log9 27

Resolución:

Sabiendo que log 2 = 0,301030 y log 7 = 0,845098, calcular log7 2.

Resolución:

conclusiones

en este trabajo se llega a la conclusión de que las aproximaciones polinomiales, sucesiones y series infinitas, son parte importante del calculo, ya que con ellas se pueden llegar a resultados precisos en cuanto con operaciones aritmeticas no se pueden llegar, hablando de aproximaciones polinomiales vemos que son una forma de saber como determinar las funciones logarítmicas, exponenciales y trigonometricas, ya que algunas veces no pueden evaluarse fácilmente dentro del contexto de la aritmetica, tanto así que es necesario tener la mente abierta y receptiva a nuevos conceptos de poder calcular determinado resultado que buscamos. En las sucesiones vemos que son conceptos vistos anteriormente en el álgebra, ya que con las sucesiones podemos enlistar un determinado conjunto de numeros en orden logico, y así poder encontrar el resultado que buscamos, en las series infinitas vemos que son las sumas parciales de las sucesiones ya que con la cual tambien son parte esencial en la búsqueda de dicho resultado parametrito establecido con anterioridad en un orden lógico.

Gracias.

Bibliografía

CÁLCULO INTEGRAL. P. Puig Adams

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL. Piskunov

CÁLCULO SUPERIOR. Murray R. Spiegel

CÁLCULO. F. Granero Rodríguez.

PROBLEMAS DE CALCULO INTEGRAL. R.A.E.C.

CALCULO Y GEOMETRÍA ANALÍTICA. Larson

CALCULO Y GEOMETRÍA ANALÍTICA. Stein.

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL. Granville.

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL. Ayres

CALCULO PURCELL E.

CALCULUS LARSON R

CALCULO STEINS

CALCULO THOMAS

CALCULUS SMITH E.

CALCULO ZILL D.

CALCULO BOYLE W.

CALCULO GRANVILLE N

CALCULO EDWARDS

CALCULO HOFFMANN

www.yahoo.com.mx

 

 

  

Adolfo Castillo Mercado

 


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