- Estudio
preliminar. - Teorema de la
representación - Criterio de estabilidad de
Nyquist - Observaciones sobre el criterio
de estabilidad de Nyquist - Caso especial en que
G(s) H(s) involucra polos y/o ceros sobre el eje
jω - Análisis de
estabilidad - Sistema condicionalmente
estable - Sistemas de lazo
múltiple
A continuación se estudia un criterio que tiene
el mismo objetivo que
el de Routh-Hurwitz, es decir, la estabilidad del sistema que se
estudia. El criterio de Routh-Hurwitz se relacionaba directamente
con las raíces de la ecuación característica del sistema. En el criterio
de Nyquist se emplea un planteamiento distinto al utilizar los
conceptos del estado
permanente ceno en tal correspondientes a este estudio.
Originalmente lo formuló en 1932 Harry Nyquist de los Bell
Telephone Laboratories. Es importante observar que su utilidad en la
práctica se relaciona con el hecho de que se puede aplicar
a través de mediciones senoidales de rutina que es posible
efectuar en el laboratorio.
La operación básica al aplicar el criterio
de Nyquist es un Mapeo del plano S al plano F(s). Este documento
presenta el criterio de estabilidad de Nyquist y sus fundamentos
matemáticos. Sea el sistema de lazo cerrado que se ve en
la Fig. No. 1. La función
transferencia de lazo cerrado es :
Se tendrá estabilidad cuando todas las
raíces de la ecuación
característica
1 + G(S)H(S) = 0
estén en el semiplano izquierdo s. El criterio de
estabilidad de Nyquist relaciona la respuesta de
frecuencia de lazo abierto G(jω) H(jω) a la cantidad
de ceros y polos de 1 + G(s) H(s) que hay en el semiplano derecho
s. Este criterio debido a H. Nyquist es ϊtil en
ingeniería de control porque se
puede determinar gráficamente de las curvas de respuesta
de lazo abierto la estabilidad absoluta del sistema de lazo
cerrado, sin necesidad de determinar los polos de lazo cerrado.
Se pueden utilizar para el análisis de estabilidad las curvas de
respuesta de frecuencia de lazo abierto obtenida
analíticamente o experimentalmente. Esto es muy
conveniente porque al diseñar un sistema de control
frecuentemente sucede que para algunos componentes no se conoce
la expresión matemática
y solo se dispone de datos de su
característica de respuesta de frecuencia.
El criterio de estabilidad de Nyquist esta basado en un
teorema de la teoría
de las variables
complejas. Para entender el criterio primero se han de tratar los
con tornos de transformación en el plano
complejo.
Se supone que la función transferencia de lazo
abierto G(s) H(s) es representable como una relación de
polinomios en s. Para un sistema físicamente realizable,
el grado del polinomio denominador de la función
transferencia de lazo cerrado, debe ser mayor o igual al del
polinomio numerador. Esto significa que el limite de G(s) H(s) es
cero o una constante para cualquier sistema físicamente
construible, al tender s hacia infinito.
La ecuación característica del sistema que
se ve en la Fig. No.1 es
F(s) = 1 + G(s)H(s) = 0
Se ha de demostrar que a un camino cerrado continuo dado
en el plano s que no pasa por ningún punto singular,
corresponde una curva cerrada en el plano F(s).
La cantidad y sentido de lazos o rodeos alrededor del
origen en el plano F(s) por una curva cerrada, juega un papel
importante en lo que sigue, pues mas adelante se ha de relacionar
la cantidad y sentido de lazos o rodeos con la estabilidad del
sistema.
Sea, por ejemplo, la siguiente función
transferencia de lazo abierto:
La ecuación caracteristica es .
= 0
La función F(s) es analítica en cualquier
parte del plano s, excepto en sus puntos singulares. Para cada
punto de analiticidad en el plano s, corresponde un punto en el
plano F(s). Por ejemplo, Si s = 1 + 2j, entoces F(s) es
:
Entonces el punto s = 1 + 2j en el plano s se transforma
en el punto 1.1 2 – 5,77j en el plano F(s).
Entonces, como se indicó antes, para un trayecto
cerrado continuo dado en el plano s, que no atraviesa
ningún punto singular, corresponde una curva cerrada en el
plano F(s). La Fig. 2 (a) muestra
representaciones conformes de las líneas ω = 0, 1,
2, 3 y de las líneas σ = 1, 0, – 1, –
2, – 3, – 4 en el semiplano superior s, al plano F(s). Por
ejemplo, la lνnea s = jω en el semiplano superior
s(ω ≥ 0) se transforma en la curva indicada por σ
= 0 en el plano F(s). La Fig. 2 (b) muestra representaciones
conformes de las lνneas ω = 0, – 1, – 2, – 3 y las
lνneas ω = 1, 0, – 1, – 2, – 3, – 4 en el semiplano
inferior s al plano F(s). Se hace notar que para un valor dado de
σ la curva para frecuencias negativas es
simιtrica respecto al eje real con la curva
para frecuencias positivas con referencia a las Figuras 2 (a) y
(b) se ve que para el trayecto ABCD en el plano s recorrido en el
sentido horario, la curva correspondiente en el plano F(s) es
A'B'C'D'. Las flechas en las curvas indican los sentidos de
recorrido. En forma similar, el recorrido DEFA en el plano s, se
transforma en la curva D'E'F'A' en el plano F(s). Debido a la
propiedad de
la transformación conforme, los ángulos
correspondientes en el plano s y en el plano F(s) son iguales y
tienen el mismo sentido. (Por ejemplo, como las líneas, AB
y BC se cortan entre si en ángulos rectos en el plano,
también se cortan en ángulos rectos en el punta B'
las curvas A'B'y B'C' en el plano F(s.)) Con referencia. a la
Fig. 2 (c), se ve que en el contorno cerrado ABCDEFA en el plano
s, la variable s comienza en el punto A y toma a lo largo de su
camino valores en
sentido horario hasta retornar al punto de partida A. La curva
correspondiente en el plano F(s) queda indicada por
A'B'C'D'E'F'A'. Si se define el Área a 1a derecha del
contorno cuando el punto representativo s, se desplaza en la
dirección horaria, como contenido en el
contorno y al Área a la izquierda como exterior a ese
entorno, el Área sombreada en la Fig. 2 ( c) esta
encerrada. por el contorno ABCDEFA y esta dentro de él. De
la Fig. 2 ( c ) se puede ver que cuando el contorno en el plano
s, incluye dos polos de F(s), el lugar de F(S) incluye el origen
del plano F(s) dos veces en la dirección
antihorario.
La cantidad de rodeos al origen en el plano F(s) depende
del contorno cerrado en el plano s. Si ese entorno incluye dos
ceros y dos polos de F(s), el lugar correspondiente F(s) no
incluye el origen, como puede verse en la Fig 2 (d). Si este
contorno contiene solamente un cero, el lugar correspondiente de
F(s) engloba el origen una vez en la dirección horaria.
Puede verse esto en la Fig. 2 (e). Finalmente, si el contorno
cerrado en el plano s no incluye ni ceros ni polos, entonces el
lugar de F(s) no incluye el origen del plano F(s). También
se puede ver esto en la Fig. 2 (e).
Se hace notar que para cada punto en el plano s, excepto
para los puntos sin- gulares, hay sólo un punto
correspondiente en el plano F(s); es decir, que la trans-
formación del plano s en el plano F(s) es uno-a-uno. Sin
embargo, la transformación del plano F(s) en el plano s,
puede no ser univoca, de manera que para un punto dado en el
plano F(s), puede corresponder mas de un punto en el plano s. Por
ejemplo, el punto B' en el plano F(s) en la Fig. 2 (b),
corresponde tanto al punto (- 3, 3) como al punto (0, – 3) en el
plano s.
Del análisis precedente, se puede ver que el
sentido en el que se rodea el origen en el plano F(s) depende de
si el contorno en el plano s incluye un polo o un cero. Se hace
notar que la ubicación de un polo o cero en el plano s,
sea en la mitad derecha o izquierda del plano s, no produce
ninguna diferencia, pero si la produce el rodeo de un polo o un
cero. Si el contorno del plano s incluye k ceros y k polos (k =
0, 1, 2, …), es decir igual cantidad de cada uno, la
correspondiente curva cerrada en el plano F(s) no encierra el
origen del plano F(s). La discusión precedente es una
explicación gráfica del teorema de
representación, que es la base del criterio de estabilidad
de Nyquist.
Sea F(s) la relación entre dos polinomios en s.
Sea P el número de polos y Z el número de ceros de
F(s) que quedan dentro de un contorno determinado del plano s,
considerando inclusive la multiplicidad de polos y ceros. Sea
este contorno tal que no pasa por ningún polo ni cero de
F(s). Este contorno cerrado en el plano s se transforma en una
curva cerrada en el plano F(s). A medida que un punto
representativo recorre el contorno completo en el plano s en
sentido horario, se producen un total de N rodeos en torno del origen
en el plano F(s), y ese numero N es igual a Z – P. (Nótese
que con este teorema de la representación no se puede
hallar la cantidad de polos y ceros, sino su
diferencia.)
Un número N positivo indica un exceso de ceros
respecto a los polos en la función F(s), mientras N
negativo muestra mayor cantidad de polos que de ceros. En
aplicación de sistemas de
control, se determine fácilmente P para F(s) = 1 +
G(s)H(s) de la función G(s)H(s). Por tanto, si se halla N
del diagrama de
F(s), se determina fácilmente la cantidad de ceros en el
contorno cerrado en el plano s. Se remarca que no tienen
importancia ni la forma exacta del contorno en el plano s ni el
lugar de F(s) en lo que respecta a giros por el origen, ya que
los mismos sólo dependen de los polos y/o ceros de F(s)
contenidos en el contorno del plano s.
Aplicación del teorema de la
representación al análisis de estabilidad de
sistemas de lazo
cerrado
Para analizar la estabilidad de sistemas de control
lineal, se hace que el contorno cerrado del plano s abarque todo
el semiplano derecho s. El contorno consiste en todo el eje
ω desde (ω = – ∞ hasta ω = +∞) , y
un paso semicircular de radio infinito en el
semiplano s derecho. Este contorno recibe el nombre de recorrido
de Nyquist. (El sentido del mismo es horario.) El recorrido de
Nyquist abarca todo el semiplano derecho de s y contiene todos
los ceros y polos de 1 + G(s)H(s) con partes reales positivas.
(Si no hay ceros de 1 + G(s)H(s) en el semiplano derecho de s, no
hay polos de lazo cerrado alli y el sistema es estable.) Es
necesario que el contorno cerrado o recorrido de Nyquist no pase
por ningún polo o cero de 1 + G(s)H(s). Si G(s) tiene un
polo o polos en el origen del plano s, se hace indeterminada la
representación del punto s = 0. En esos casos se evita el
origen efectuando un desvio alrededor de él. (Más
adelante se efectúa una discusión detallada sobre
este caso especial.) Si se aplica el teorema de la
representación al caso especial en que F(s) es igual a 1 +
G(s)H(s) se puede afirmar lo siguiente: si el contorno cerrado en
el plano s contiene todo el semiplano s derecho, como se muestra
en la Fig. 3, la cantidad de ceros en el semiplano derecho de la
función F(s) = 1 + G(s)H(s) es igual a la cantidad de
polos de la función F(s) = 1 + G(s)H(s) en el semiplano
derecho de s mas la cantidad de rodeos completos horarios al
origen del plano 1 + G(s)H(s) de la curva cerrada correspondiente
en este último plano. Debido a la condición
supuesta de que
lim [1 + G(s)H(s)] =
la función 1 + G(s)H(s) permanece constante
mientras s recorre el semicírculo de radio infinito.
Debido a esto, se puede determinar si el lugar de 1 + G(s)H(s)
Fig. 3.
Contiene o no el origen del plano 1 + G(s)H(s)
analizando tan sólo una parte del contorno cerrado del
plano s, el eje ωj. Si hay rodeos al origen, se producen
únicamente cuando el punto representativo pasa
de –j∞ a +j∞ a lo largo del eje
ωj, siempre que no haya ceros ni polos sobre el eje
ωj.
Nótese que la porción del contorno de 1 +
G(s)H(s) desde (ω = – ∞ hasta ω =
+∞), es simplemente 1 + G(ωj)H(ωj). Como 1 +
G(ωj)H(ωj) es el vector suma del vector unitario y el
vector G(ωj)H(ωj), el tιrmino 1 +
G(ωj)H(ωj) es igual al vector que va desde el punto –
1 + 0j hasta el extremo del vector G(ωj)H(ωj), como
se ve en la Fig. 4. Circunscribir el origen por el grafico 1 +
G(ωj)H(ωj) equivale a hacerlo con el punto -1 +0j por
el lugar de G(ωj)H(ωj). Entonces se puede estudiar la
estabilidad de un sistema de lazo cerrado analizando los rodeos
del punto – 1 + 0j por el lugar de G(ωj))H(ωj). Se
puede determinar la cantidad de giros que incluyen el punto – 1 +
0j trazando un vector desde el punto –
1 + 0j hasta el lugar de G(ωj)H(ωj), comenzando en
(ω = – ∞, pasando por (ω = 0, y llegando hasta
ω = + ∞ mientras se cuenta la cantidad de rotaciones
horarias del vector.
El trazado de G(jω)H(jω) para el recorrido
de Nyquist es inmediato. La representación
del eje negativo jω es la imagen
simétrica del eje positivo jω respecto
al eje real. Es decir, el diagrama de G(jω)H(jω) y el
de G(jω)H(-jω) son simιtricos
respecto al eje real. El semicírculo de radio infinito se
transforma en el origen del plano GH o en un punto sobre el eje
real del plano GH.
En la exposición
precedente, se supuso que G(s)H(s) es la relación entre
dos polinomios en s. De modo que ha quedado fuera del
análisis el retardo de transporte
e-T*s.
Sin embargo, a sistemas con retardo de transporte se les
aplica un estudio similar, aunque no se incluye aqui su
demostración. Se puede determinar la estabilidad de un
sistema con retardo de transporte examinando en las curvas de
respuesta de frecuencia la cantidad de veces que se rodea al
punto – 1 + j0, Como en el caso de un sistema cuya función
transferencia de lazo abierto es una relación entre dos
polinomios en s.
Criterio de
estabilidad de Nyquist
Se puede resumir el siguiente criterio de estabilidad de
Nyquist, basado en el análisis previo, analizando los
rodeos del punto – 1 + j0 por el lugar de
G(jω)H(jω): Criterio de estabilidad de
Nyquist [para un caso especial en que G(s)H(s) no tiene ni polos
ni ceros sobre el eje jω]: en el sistema que se presenta en
la Fig. 1, si la funciσn transferencia de lazo
abierto G(s)H(s) tiene k polos en el semiplano s positivo
y
para que el lugar G(jω)H(jω) tenga
estabilidad, a variar ω desde -∞ a ∞, debe
rodearse k veces el punto – 1 + j0 en sentido
antihorario.
Observaciones sobre
el criterio de estabilidad de Nyquist
1. Se puede expresar este criterio como
Z = N + P
Donde
Z = cantidad de ceros de 1 + G(s)H(s) en el semiplano
derecho de s
N = cantidad de circunscripciones del punto – 1 + j0 en
sentido horario
P = cantidad de polos de G(s)H(s), en el semiplano
derecho de s
Si P no es cero, para un sistema de control estable se
debe tener Z=0, o N=-P lo que significa que hay que tener P
rodeos antihorarios del punto – 1 + j0.
Si G(s)H(s) no tiene polos en el semiplano derecho de s,
Z = N.
Por tanto, para que haya estabilidad, no debe haber
rodeos del punto – 1 + j0 por el lugar de G(s)H(s). En este caso
no es necesario considerar el lugar en todo el eje jω,
pues basta la porción de frecuencia positiva.
Se puede determinar la estabilidad del sistema viendo si el punto
– 1 + j0 esta rodeado por el diagrama de Nyquist de
G(jω)H(jω). En la Fig. 5, se ve la
regiσn incluida en el diagrama de Nyquist.
Para tener estabilidad, el punto – 1 + j0 debe quedar fuera de la
zona sombreada.
2. Hay que ser muy cuidadoso al verificar la estabilidad
de sistemas de lazo múltiple pues pueden incluir polos en
el semiplano s derecho. (Se hace notar que si bien un lazo
interior puede ser inestable, se puede hacer estable todo el
sistema de lazo cerrado con un diseño
adecuado.) No basta con la simple inspección de los rodeos
del punto – 1 + j0 por el lugar de
G(jω)H(jω), para detectar inestabilidad
en sistemas de lazo mϊltiple. Sin embargo, en
esos casos se puede determinar fácilmente si hay o no
algún polo en el semiplano derecho de s, aplicando el
criterio de estabilidad de Routh al denominador de
G(s)H(s).
Si hay incluidas funciones
trascendentes, como retardo de transporte e-Ts en
G(s)H(s), se las puede aproximar por una expansión en
serie antes de aplicar el criterio de estabilidad de Routh. Una
forma de expansión en serie de e-Ts puede ser
:
e-Ts = 
Como primera aproximación, se toman en numerador
y denominador, solamente los dos primeros términos, o
sea,
e-Ts = 
Esto da una buena aproximación al retardo de
transporte para el rango de frecuencias 0<ω<(0,5/T).
[Se hace notar que el valor de (2 – jωT)/(2 +
jωT) es siempre la unidad y que el retardo de fase de (2 –
jωT)/(2 + jωT) se aproxima mucho al retardo de
transporte dentro del rango de frecuencias indicado.]
3. Si el lugar de G(jω)H(jω) pasa por el
punto – 1 + j0, hay ceros de la ecuación
característica o polos de lazo cerrado sobre el eje
jω. Esto no es deseable en sistemas de control en la
práctica. En un sistema de lazo cerrado bien
diseñado ninguna de las raíces de la
ecuación característica debe estar sobre el eje
jω.
Caso
especial en que G(s) H(s) involucra polos y/o
ceros sobre el eje jω
En el análisis previo se supuso que la
función transferencia de lazo abierto G(s) H(s) no tiene
ni polos ni ceros en el origen. Ahora se ha de considerar el caso
en que G(s) H(s) tiene polos y/o ceros sobre el eje
jω.
Como el recorrido de Nyquist no debe pasar por polos o
ceros de G(s) H(s), si la función G(s) H(s) tiene polos o
ceros en el origen (o en puntos del eje, jω distintos al
origen), hay que modificar el contorno en el plano s. El modo
habitual de hacerlo, es modificar el contorno en la vecindad del
origen utilizando un semicírculo de radio infinitesimal
є, como se ve en la Fig.у. Se mueve un
punto representativo s a lo largo del eje jω
negativo desde –j∞ hasta j0-. Desde s = j0-
hasta s = j0+, el punto se desplaza sobre el semicírculo
de radio є (donde є << 1) y
finalmente se desplaza a lo largo del eje jω
positivo desde j0+, hasta j∞.
Desde s = j∞, el contorno recorre un
semicírculo de radio infinito y el punto representativo
retorna al punto de partida. El área que el contorno
modificado elude es muy pequeña y tiende a cero al hacerlo
el radio є. Por tanto, todos los polos y ceros, si los hay
en el semiplano derecho s, están contenidos en el
contorno. Sea, por ejemplo, un sistema de lazo cerrado cuya
función transferencia de lazo abierto esta dada
por
G(S) H(s) = 
Los puntos correspondientes a s = j0+, y s = j0- en el
lugar de G(s)H(s) tienen en el plano G(s)H(s), -j∞ y
j∞, respectivamente. En la porción semicircular de
radio є (donde є << 1), se puede
escribir la variable compleja s
S =
єejθ
Donde θ varνa de – 90' a +90. Entonces G(s)H(s)
es :
G(єejθ)H(єejθ)
= K/(єejθ) =
El valor de K/є tiende a infinito al tender
є a cero, y -θ varia desde 90' a – 90'
cuando el punto representativo s recorre el semicírculo.
Entonces los puntos G (j0-) H (j0-) = j∞ y G(j0+)H(j0+) =
-j∞ están unidos por un semicírculo de radio
infinito en el semiplano derecho de GH. El desvió
semicircular infinitesimal alrededor del origen se transforma en
el plano GH en un semicírculo de radio infinito. En la
Fig. 7 se ve un contorno en el plano s transformado en el lugar
de G(s)H(s) en el plano GH. Los puntos A, B y C del contorno en
el plano s, se representan por los puntos A' B' y C en el lugar
de G(s)H(s). Como se ve en la Figura 7, los puntos D, E y F que
están en el semicírculo de radio infinito en el
plano s, se transforman en el origen en el plano GH. Como no hay
polo en el semiplano derecho s y el lugar de G(s)H(s) no encierra
el punto – 1 + j0, no hay ceros de la función 1 + G(s)H(s)
en el semiplano derecho de s. Por tanto, el sistema es
estable.
Para una función transferencia de lazo abierto
G(s)H(s) con un factor 1/sn (con n = 2, 3 …. ), el
diagrama de G(s)H(s) tiene n semicírculos de radio
infinito, en sentido horario, en derredor del origen cuando el
punto representativo s recorre el semicírculo de
radio є (con є << 1). Por ejemplo,
si la funciуn transferencia de lazo abierto
siguiente.
G(S) H(s) = 
Entonces
G(s)H(s) =
K/(є2e2jθ)
= 
Al variar θ desde – 90' a 90' en el plano s, el
αngulo de G(s)H(s) varia desde 180' a – 180',
como se ve en la Fig. 8. Como no hay polo en el semiplano derecho
de s y el lugar rodea dos veces en sentido horario al punto -1+
j0 para cualquier valor positivo de K, hay dos ceros de 1 +
G(s)H(s) en el semiplano derecho de s. Por tanto, este sistema es
siempre inestable. Se puede efectuar un análisis similar
si G(s)H(s) tiene polos y/o ceros en el eje jω. Se puede
generalizar el criterio de estabilidad de Nyquist como
sigue:
Criterio de estabilidad de Nyquist [Para un caso general
en que G(s)H(s) tiene polos y/o ceros sobre el eje jω]: en
el sistema que se ve en la Fig. 1, si la
funciσn transferencia de lazo abierto G(s)H(s)
tiene k polos en el semiplano derecho de s, para que haya
estabilidad, a medida que el punto representativo recorre el
diagrama de Nyquist modificado en sentido horario, el lugar
G(s)H(s) debe incluir k veces el punto -1 + j0 en sentido
antihorario.
En esta sección se presentan varios ejemplos
ilustrativos del análisis de estabilidad de sistemas de
control usando el criterio de estabilidad de Nyquist.
Si el recorrido de Nyquist en el plano s encierra Z
ceros y P polos de 1 + G(s)H(s) y no pasa por ninguno de los
polos o ceros de 1 + G(s)H(s) cuando el punto representativo s se
desplaza en sentido horario a lo largo del recorrido de Nyquist,
el contorno correspondiente en el plano G(s)H(s) encierra el
punto – 1 + j0 N = Z – P veces, en sentido horario. (Valores
negativos de N implican rodeos en sentido antihorario.) Al
examinar la estabilidad de los sistemas de control lineales
usando el criterio de estabilidad de Nyquist, se ve que se dan
tres posibilidades.
1. No se encierra el punto – 1 + j0. Esto implica
que el sistema es estable si no hay polos de G(s)H(s) en el
semiplano derecho de s; en caso contrario, el sistema es
inestable.
2. Hay uno o varios rodeos antihorarios del punto
– 1 + j0. En este caso el sistema es estable si la cantidad de
rodeos antihorarios es igual a la de polos de G(s)H(s) en el
semiplano derecho de s; en caso de serio, el sistema es
inestable.
3. Hay uno o varios rodeos del punto – 1 + j0 en
sentido horario. En este caso, el sistema es
inestable.
En los ejemplos siguientes se supone que los valores de
la ganancia K y de las constantes de tiempo (como T,
T, y T2) son todos positivos.
Ejemplo 1 – Sea un sistema de lazo cerrado cuya
función transferencia de lazo abierto esta dada
por:
G(s)H(s) = K/ (T1s +
1)(T2s+1)
Se pide determinar la estabilidad del sistema. En la
Fig. 9 hay un diagrama de G(jω))H(jω).
Como G(s)H(s) no tiene polos en el semiplano derecho de s y el
punto – 1 + j0 no estα encerrado por el lugar, de
G(jω)H(jω), el sistema es estable para cualquier
valor positivo de K, T1, y
T2.
Ejemplo 2. – Sea el sistema con la función
transferencia de lazo abierto siguiente:
G(s)H(s) = K / s(T1s +
1)(T2s + 1)
Se trata de hallar la estabilidad del sistema para dos
casos:
1. Ganancia K pequeña, 2. K elevada.
En la Fig. 10 se tienen los recorridos de Nyquist para
función transferencia de lazo abierto con valor de K
pequeño y elevado. La cantidad de polos de G(s)H(s) en la
mitad derecha del plano s es cero. Por tanto, para que este
sistema sea estable, es necesario que N Z = 0 o que el lugar de
G(s)H(s) no rodee al punto – 1 + j0.
Para valores bajos de K, no se encierra el punto – 1 +
j0. Por tanto, el sistema es estable para valores exiguos de K.
Para valores grandes de K, el lugar de G(s)H(s) encierra al punto
– 1 + j0 dos veces en sentido horario, indicando dos polos de
lazo cerrado en el semiplano derecho de s, y el sistema es
inestable. (Para obtener buena exactitud el valor de K debe ser
alto. Sin embargo, desde el punto de vista de la estabilidad, un
valor grande de K determina estabilidad pobre, o aún
estabilidad. Para hallar un adecuado compromiso entre exactitud y
estabilidad, hay que insertar una red de
compensación en el sistema.
Ejemplo 3. – La estabilidad de un sistema
de lazo cerrado con la función de lazo abierto
siguiente:
G(s)H(s) = K(T2s +
1)/(s2(T1s + 1))
Depende de los valores relativos de T1 y
T2 Se pide trazar los diagramas de
Nyquist y determinar la estabilidad del sistema.
En la figura 11 hay diagramas de los lugares de G(s)H(s)
para los tres casos:
T1<T2 ,
T1=T2 y T1>T2 .
Para T1<T2 , el lugar de G(s)H(s) no
encierra al punto -1 +j0, y el sistema de lazo cerrado es
estable. Para T1= T2 , el lugar de G(s)H(s)
pasa por el punto -1 + j0 lo que indica que los polos de lazo
cerrado están sobre el eje jω. Para
T1> T2 , el lugar de G(s)H(s) rodea al
punto -1 + j0 dos veces en sentido horario. Por ende, el sistema
de lazo cerrado tiene dos polos de lazo cerrado en el semiplano
derecho de s y el sistema es inestable.
Ejemplo 4. – Sea el sistema de lazo
cerrado que tiene la funci6n transferencia de lazo abierto
siguiente:
G(s)H(s) = K / s(Ts – 1)
Hallar la estabilidad del sistema.
La función G(s)H(s) tiene un polo (s = 1/T) en el
semiplano derecho de s. Por tanto, P =1.
El recorrido de Nyquist de la Fig. 12 indica que el
mismo encierra el punto – 1 +.j0 una vez en sentido horario. Por
tanto, N = 1. Como Z = N + P, resulta que Z = 2. Esto significa
que el sistema de lazo cerrado tiene dos polos de lazo cerrado en
el semiplano derecho de s y es inestable.
Ejemplo 5. – Estudiar la estabilidad de un
sistema de lazo cerrado que tiene la función transferencia
de lazo abierto siguiente:
G(s)H(s) = K(s+3) / s(s – 1)
La función transferencia de lazo abierto tiene un
polo en (s =1) en la mitad derecha del piano s. El sistema de
lazo abierto es inestable. El diagrama de Nyquist de la Fig. 13
muestra que el punto – 1 + j0 es rodeado una vez por el lugar de
G(s)H(s) en sentido antihorario. Por tanto, N = – 1. Entonces, de
Z = N + P, resulta que Z vale cero, lo que indica que no hay
ningún cero de 1 + G(s)H(s) en el semiplano derecho de s,
y el sistema de lazo cerrado es estable. Este es uno de los
ejemplos en que-un sistema inestable de lazo abierto se vuelve
estable al cerrar el lazo.
Sistema
condicionalmente estable
La figura 14 muestra un ejemplo en que el lugar de
G(jω)H(jω) corresponde a un sistema de lazo cerrado
que puede hacerse inestable variando la ganancia de lazo abierto.
Si se aumenta suficientemente la ganancia del lazo abierto el
lugar de G(jω)H(jω) encierra dos veces el punto – 1 +
j0 y el sistema se hace inestable. Si en cambio, se
disminuye suficientemente la ganancia de lazo abierto, nuevamente
se da que el lugar de G(jω)H(jω)
encierra dos veces al punto – 1 + j0. El sistema es estable
solamente dentro de un rango limitado de valores de ganancia de
lazo abierto, para los cuales el punto – 1 + j0 queda totalmente
fuera del lugar de G(jω)H(jω). Un sistema
asν es condicionalmente estable.
Un sistema condicionalmente estable es estable para
valores de ganancia de lazo abierto comprendidos entre valores
críticos, e inestable si la ganancia aumenta o disminuye
suficientemente. Un sistema así se hace inestable al
recibir señales de entrada grandes, ya que las mismas
pueden producir saturación, la que a su vez reduce la
ganancia del sistema a lazo abierto. Conviene evitar estas
situaciones, pues el sistema se hace: inestable si la ganancia de
lazo abierto cae por encima de determinado valor critico. Para un
funcionamiento estable del sistema aquí considerado, el
punto critico -1 + j0 no debe quedar en las zonas comprendidas
por OA y BC, Fig. 14.
Sea el sistema que se ve en la Fig. 15. Se trata de un
sistema de lazo múltiple. El lazo interior tiene la
función transferencia
G(s) = G2(s) / (1 +
G2(s)H2(s))
Si G(s) es inestable, los efectos de la inestabilidad
consisten en producir un polo polos en la mitad derecha del plano
s. Entonces la ecuación característica del lazo
interno, 1 + G2(S)H2(S) = 0, tiene un cero
o ceros en esta porción del plano. Si G2(s) y
H2(s) tienen aquí P1 polos, se puede
hallar la cantidad Z1, de ceros en el semiplano
derecho de 1 + G2(s)H2(s), de Z1
= N1 + P1, donde N1, es la
cantidad rodeos del punto – 1 + j0 en sentido horario, por el
lugar de G2(S)H2(S) como la función
transferencia de lazo abierto de todo el sistema esta dado por
G1(s)G(s)H1(s), se puede hallar la
estabilidad de este sistema de lazo cerrado con diagrama de
Nyquist de G1(s)G(s)H1(s) y el
conocimiento de los polos del semiplano derecho de
G1(s)G(s)H1(s).
Es de notar que si se elimina un lazo de
realimentación por reducciones del diagrama de bloques,
existe la posibilidad de introducir polos inestables; si se
elimina la rama directa por reducciones en el diagrama en
bloques, pueden introducirse ceros en el semiplano derecho. Por
tanto, hay que llevar cuenta de los polos ceros que pueden
aparecer en el semiplano derecho como consecuencia de reducciones
en los lazos. Este conocimiento
es necesario para determinar la estabilidad de los sistemas
múltiples Al analizar sistemas de lazos múltiples
como éste, se puede ocasionalmente usar la función
transferencia inversa para poder realizar
el análisis gráfico; esto reduce mucho de los
cálculos numéricos.
Realizado por
Eduardo J. Buezo
Estudiante de Ingeniería
Eléctrica