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Exámenes de Álgebra Lineal




Enviado por ivan_escalona



     

    Departamento de ciencias
    básicas – Academia De Matemáticas
    3er. Examen departamental de álgebra
    lineal
    Turno: matutino fecha: 14/vi/2000
    Examen propuesto por los profesores integrantes de la academia de
    álgebra lineal. Presidente: Ing. Arturo Ledesma
    González.
    Nota: resolver solamente cinco problemas.
    1.- Encuentre una base ortogonal para  3 a partir de

    2.- Dadas las bases

    y

    para Â
    2 a. Encuentre la matriz de
    coordenadas del vector , con respecto a la base B’ usando la matriz de
    transición de la base B a la base B’.

    3.- Sea T: Â 3 ® Â
    3 una función
    definida por

    Determine si T es una transformación lineal.
    NOTA: JUSTIFIQUE SU RESPUESTA.

    4.- Sea T: Â 3 ® Â
    4 una transformación lineal definida
    por:

    encuentre:

    1. Una base para el recorrido y su
      dimensión
    2. Una base para el núcleo y su
      dimensión

    5.- Sea T: Â 3 ® Â
    4 una transformación lineal y considere
    que

    ,

    6.- Encuentre Una matriz P que diagonalice a la matriz A
    y compruebe que D = P-1AP es una matriz diagonal
    si:

    1.- En  2 se
    obtienen dos bases

    y

    1. Obtenga la matriz de transición de la base B a
      la base B’
    2. Para una vector v, su matriz de coordenadas con
      respecto a la base B es (-2, -4),

    Obtenga la matriz de coordenadas son o no lineales
    (Justificando si respuesta)

    2.- Decida si las siguientes correspondencias son o no
    lineales (justificando su respuesta).

    1. T: Â
      2 ® M2´ 2 ;
    2. T: M2´ 2 ® Â ;

    3.- .- Se tiene una transformación lineal T:
    Â
    2 ® P2 tal que

    ,
    , obtenga
    y

    4.- La matriz asociada a una transformación
    lineal T: Â
    3 ® Â
    3 es

    ¿El Vector (4, 5, -2) pertenece a el Recorrido de
    la transformación? ¿Porqué?

    5.- Determine si la matriz dada es o no diagonalizable y
    en caso de que si lo sea obtenga la matriz P que la
    diagonaliza.

    1.- Determine todo los valores de
    "a" para los cuales el sistema lineal
    resultante

    1. No tenga solución x + y = 0
    2. Tenga una única solución x +
      (a2 – 8)y = a
    3. Tenga una infinidad de soluciones

    2.- a) Encuentre un vector ortogonal al vector u = (1,
    2, -3) y que tenga norma 5
    b) Sean los vectores u = (1,
    2, -3), v = (1, 3, -1) calcules el ángulo
    q que forman
    3.- a) Sea V = M3´ 3 Determine si W es
    un subespacio de V si:
    W es el conjunto de todas las matrices
    antisimétrica de 3 ´ 3 de elementos reales.
    b) Sea P una matriz invertible fija y sea T:
    Mmn ®
    Mmn una función definida por:
    T(A) = P-1AP. Determine si T es una
    transformación lineal.

    NOTA: EN CADA CASO JUSTIFIQUE SU RESPUESTA
    4.- Sea T: Â
    3 ® Â
    4 una transformación lineal y considere
    que

    ,

    encuentre una expresión para T

    5.- Sea T: Â 3 ® Â
    5 una transformación lineal definida
    por:

    encuentre:

    1. El núcleo de T y su
      dimensión
    2. El Recorrido de T y su dimensión

    6.- encuentre una matriz A de 3 x 3 cuyos valores
    propios sean l
    1 = -3, l 2 = 6 y l 3 = -5 con sus vectores
    propios asociados

    ,
    y

    respectivamente.

    1.- Determine los valores de k para los cuales el
    sistema dado sea consistente
    x + y – z = 2k
    2x + 3y = 2k – 1
    x + y + (k2 – 10)z = 3k – 3

    2.- Justificando su respuesta, responda a cada pregunta
    dada

    1. W = {A / A es invertibles} Ì M2x2 ¿Es un
      subespacio vectorial?

      3.- Usando vectores en el plano, obtenga:

      1. El ángulo entre las rectas cuyas ecuaciones son y = 3x y y = 5x.
      2. Dos vectores ortogonales a la recta y = 5x, cuya
        norma sea =
    2. T: Mmn ® Mmn ; tal que T(A) =
      At ¿Es una transformación
      lineal?

    4.- Encuentre una base y la dimensión para el
    recorrido de una transformación lineal cuya matriz
    asociada es:

    5.- Decida si la matriz dada es o no diagonalizable y
    explique su respuesta.

     

    1.- a) Obtenga dos vectores paralelos al vector u = (2,
    -3, 4) cuya norma sea igual a
    b) Obtenga dos vectores ortogonales al vector u = (5, -3) cuya
    norma sea igual a
    2.- Determine si los siguientes conjuntos son
    subespacios vectoriales.

    a)

    b)

    Nota: En Cada Caso Justifique Su Respuesta
    3.- Exprese el vector u = (3, 0, 3) como una combinación
    lineal de los vectores

    u1 = (-2, -1, 1), u2 = (-1, 1, 2)
    y u3 = (2, -1, 1).
    4.- Determine los valores de k para los cuales los vectores dados
    forman un conjunto linealmente independiente en
    Â
    3

    donde:

    ,
    y

    5.- Pruebe que w 1 = (2, 1, 0) y w 2 = (-3, 0, 1) forman
    una base del espacio solución del sistema de ecuaciones
    lineales homogéneo siguiente:
    -5x + 10y – 15z = 0
    – x + 2y – 3z = 0
    3x – 6y + 9z = 0

     1.- a) Encuentre el ángulo agudo entre las
    rectas

    y

    b) Obtenga dos vectores paralelos al vector u = (5, -1)
    cuya norma sea igual a
    2.- Determine si los siguientes conjuntos son subespacios
    vectoriales.

    a)

    b)

    Nota: En Cada Caso Justifique Su Respuesta
    3.- Obtener dos vectores unitarios que sean ortogonales al vector
    u = (3, -4).
    4.- Obtenga el conjunto generador del siguiente
    subespacio

    5.- Determine los valores de k para los cuales los
    vectores dados forman una base de  3

    donde:

    ,
    y

    1.- Sena A(1, -2, 3); B(2, 3, -1) y C(-1, 0, 3) los
    vértices de un triángulo. Encuentre:

    1. Sus ángulos interiores
    2. Su Perímetro

    2.- Dado el vector u = (1, 3) obtenga dos vectores
    ortogonales al vector u de dirección opuesta y de norma 10.
    3.- Determine si los siguientes conjuntos son subespacios
    vectoriales.

    a)

    b)

    Nota: En Cada Caso Justifique Su Respuesta
    4.- Determine los valores de k para los cuales los vectores dados
    forman un conjunto linealmente independiente en
    Â
    3

    donde:

    ,
    y

    5.- Pruebe que w 1 = (2, 1, 0) y w 2 = (-3, 0, 1) forman
    una base del espacio solución del sistema de ecuaciones
    lineales homogéneo siguiente:
    2y + 10z – 10w = 0
    2x – 3y + 13z – 11w = 0
    x – 2y + z – 3w = 0
    – 2x + 5y – 3z + w = 0

    1.- Encuentre un vector que sea ortogonal tanto al
    vector al vector u = (3, -2, 3, 4) como la vector v = (-2, 4, -5,
    -3) y que tenga norma 5.
    2.- Sea V = Â
    3 determine si W es un subespacio de V
    si:

    a)

    b)

    Nota: En Cada Caso Justifique Su Respuesta
    3.- Determine cuales de los vectores dados pertenecen al
    subespacio de Â
    4 generado por W si: W = {(1, -2, 3, 1), (2, 1,
    0, 2), (1, -1, 3, 2)}
    a) (1, -1, 3, 5) b) (-1, 1, -3, -2) c) (2, -2, 0, 3)
    Nota: En Cada Caso Justifique Su Respuesta
    4.- Determine si el conjunto W =

    u1 = (1, -2, 0, 1), u2 = (2, 3,
    -1, 2) y u3 = (0, -1, 5, 3).

    Es linealmente independiente en  4, cualquiera
    que sea su respuesta justifíquela.
    5.- encuentre una base y la dimensión del conjunto del
    sistema homogéneo dado
    2x – 2z – t = 0
    – y – w + 4t = 0
    3x + y – 3z = 0

     

     

     

     

     

    Autor:

    Iván Escalona Moreno

    Ocupación: Estudiante
    Materia:
    álgebra Lineal
    Estudios de Preparatoria: Centro Escolar Atoyac (Incorporado a la
    U.N.A.M.)
    Estudios Universitarios: Unidad Profesional Interdisciplinaria de
    Ingeniería y Ciencias sociales y Administrativas (UPIICSA)
    del Instituto Politécnico Nacional (I.P.N.)
    Ciudad de Origen: México,
    Distrito Federal
    Fecha de elaboración e investigación: Noviembre del 2002
    Profesor que revisó trabajo: Carrillo Castrejón
    Alberto (Profesor de la Academia de Matemáticas de la UPIICSA)

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