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La teoría de los movimientos armónicos forzados es fundamental en muchos ámbitos de la física y la ingeniería

Enviado por polluno1



  1. Oscilaciones amortiguadas
  2. Definición
  3. Resonancia
  4. Ejemplos

La teoría de los movimientos armónicos forzados es fundamental en muchos ámbitos de la física y la ingeniería.

Un oscilador amortiguado por sí solo dejará de oscilar en algún momento debido al roce, pero podemos mantener una amplitud constante aplicando una fuerza que varíe con el tiempo de una forma periódica a una frecuencia definida. Un ejemplo cotidiano es un columpio, que podemos mantenerlo con amplitud constante con sólo darle unos empujoncitos una vez cada ciclo. El movimiento resultante se llama oscilación forzada. Si se suprime la excitación externa, el sistema oscilará con su frecuencia natural.

Si la fuerza impulsora se aplica con una frecuencia cercana a la natural, la amplitud de oscilación es máxima. Aí mismo si la frecuencia coincide con la natural la amplitud de la velocidad se hace máxima. Este fenómeno se denomina resonancia.

Se pueden apreciar tres tipos diferentes de comportamiento:

Si la frecuencia de excitación es muy pequeña (lo que equivale a que se hace oscilar el extremo superior del muelle muy lentamente), el muelle oscila prácticamente en fase con la excitación y con su misma amplitud.

Si la frecuencia de excitación coincide con la frecuencia característica del muelle, la amplitud de oscilación va creciendo cada vez más (resonancia); en este caso, las oscilaciones del muelle están retrasadas alrededor de un cuarto de período respecto a la excitación.

Si la frecuencia de excitación es muy alta, el resonador oscila con una amplitud muy pequeña y casi en oposición de fase.

Si la constante de atenuación (debida al rozamiento) es muy pequeña, el estado transitorio adquiere relevancia; por tanto, es necesario esperar algún tiempo para observar los tipos de comportamiento mencionados.

Oscilaciones amortiguadas

En el caso de los osciladores reales es inevitable que parte de su energía se disipe debido a fuerzas de origen "viscoso", es decir fuerzas que (en el límite lineal que estamos estudiando) sean proporcionales a la velocidad del oscilador es decir a la derivada primera de espacio respecto del tiempo. Así, la ecuación diferencial que representa el movimiento de un oscilador real (para pequeños desplazamientos respecto de su posición de equilibrio):

dx2 / dt2+ b dx / dt +w2x = 0

la solución de esta ecuación contiene un factor que da cuenta de la disminución de la amplitud con el tiempo, de manera que su solución x(t) es:

x(t) = A o e -(b / 2 m) t  cos(w' t + f)

donde

w' =wo[1 -(b / 2mwo)2]½

de manera que la energía total del oscilador puede escribirse ahora como:

Etotal  = ½ k  A o2 e -(b /  m) t

Oscilaciones forzadas y resonancia

Siempre es posible "forzar" todo oscilador mediante una fuerza externa que sea función del tiempo. Supongamos que esta fuerza es periódica de periodo Text, es decir

dx2 / dt2+ b dx / dt +w2x = Fmaxcos(wextt)

Bajo la acción de esta fuerza, la amplitud de las oscilaciones resultantes, es ahora una función de la frecuencia de forzado wext, y tendrá un máximo cuando la la frecuencia del forzado sea igual a la frecuencia propia o natural del oscilador. A este fenómeno se lo conoce con el nombre de resonancia.

- Definición

    La energía de un oscilador amortiguado disminuye con el tiempo, como resultado de la fuerza disipativa. Es posible compensar esta pérdida de energía aplicando una fuerza externa que suministre la energía disipada realizando un trabajo positivo sobre el sistema. En cualquier instante, es posible agregar energía al sistema por medio de una fuerza aplicada que actúe en la dirección del movimiento del oscilador.

el oscilador forzado, está sometido a una fuerza restauradora y a una fuerza externa (fuerza impulsora) que varía armónicamente con el tiempo cuya expresión obedece a una del tipo:

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en donde Fo es constante y

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Fo cos w t obedece entonces a la ecuación del movimiento dada por

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o sea   

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en donde hemos puesto y

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    La solución de la ecuación consta de dos partes, la solución transitoria y la solución estacionaria. La parte transitoria de la solución es idéntica a la de un oscilador amortiguado no forzado dada por

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   Las constantes de esta solución, A y , dependen de las condiciones iniciales. Transcurrido cierto tiempo, esta parte de la solución se hace despreciable porque la amplitud disminuye exponencialmente con el tiempo. De este modo sólo queda la solución estacionaria, que no depende de las condiciones iniciales y que se puede escribir como

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en donde la frecuencia angular w es la misma que la de la fuerza impulsora.

    La amplitud A viene dada por

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y la constante de fase d por

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    Observando las ecuaciones podemos ver que el desplazamiento del sistema y la fuerza impulsora oscilan con la misma frecuencia pero difieren en fase en d .

    El signo negativo de la fase se ha introducido para que la constante de fase d sea positiva.

 Resonancia

    La amplitud y, por tanto, la energía de un sistema en estado estacionario, depende no sólo de la amplitud del sistema impulsor sino también de su frecuencia.

    Se define la frecuencia natural de un oscilador como la que tendría si no estuviesen presentes ni el amortiguamiento ni el sistema impulsor. 

El fenómeno de resonancia se produce cuando la frecuencia impulsora es igual (o aproximadamente igual) a la frecuencia natural del sistema, es decir, w = w o. En esta situación  d = p /2.

En esta imagen se observa una gráfica que representa la amplitud frente a la frecuencia de un oscilador amortiguado cuando se encuentra presente una fuerza impulsora periódica. Cuando la frecuencia de la fuerza impulsora es igual a la frecuencia natural, w o, aparece la resonancia. Se observa que la forma de la curva de resonancia depende del valor del coeficiente de amortiguamiento, b.

 La cantidad media de energía absorbida en un ciclo es igual a la potencia media producida por la fuerza impulsora. En la figura se muestra un diagrama de la potencia media transmitida a un oscilador en función de la frecuencia de la fuerza impulsora o externa para dos valores diferentes de amortiguamiento (y por tanto de Q). 

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Estas curvas reciben el nombre de curvas de resonancia. Cuando el amortiguamiento es pequeño (el valor de Q es alto), la potencia consumida en la resonancia es mayor y la resonancia es más aguda; es decir, la curva de resonancia es más estrecha, lo que quiere decir que la potencia suministrada es grande sólo cerca de la frecuencia de resonancia. Cuando el amortiguamiento es grande (el valor de Q es pequeño), la curva de resonancia es más achatada y la potencia suministrada toma valores más para w diferentes de la de resonancia. 

    Para amortiguamientos relativamente pequeños, el cociente entre la frecuencia de resonancia w o y la anchura total a la mitad del máximo D w es igual al factor Q (que ya se definió en oscilaciones amortiguadas):

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    Por tanto, el factor Q nos indica directamente si la resonancia es aguda o no y en qué medida lo es.

    En resumen, cuando se está en resonancia:

  • la amplitud del oscilador es máxima;
  • la energía absorbida por el oscilador es máxima;
  • la constante de fase d = p /2;
  • la velocidad está en fase con la fuerza impulsora como se observa al operar:

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        según esto, el oscilador siempre se está moviendo en el sentido en que actúa la fuerza impulsora, por lo que se consigue el máximo aporte de energía.

        * Resonancia e incertidumbre

            Hemos visto que la amplitud de un oscilador armónico impulsado y amortiguado tiene un pico de resonancia. También hemos visto que el oscilador armónico amortiguado, sin impulsión, tiene un tiempo de decaimiento característico. Estos fenómenos se relacionan estrechamente, y esa relación tiene consecuencias importantes sobre nuestra capacidad de construcción de sistemas con resonancias, como sintonizadores, o filtros de radio para eliminar el ruido electrónico.

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La ecuación permite obtener la rapidez a la cual se disipa la energía en un oscilador amortiguado no impulsado. La energía es proporcional a la amplitud al cuadrado y, por

consiguiente, decrece de acuerdo con

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, en la cual

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es la vida media. La vida media determina el decaimiento debido al amortiguamiento. El ancho de frecuencias del oscilador armónico forzado está representado por la ecuación

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, y vemos que es inversamente proporcional a t . De acuerdo con las ecuaciones anteriores, tenemos que

t   w D es del orden de 1.

            A esta ecuación se le conoce como principio de incertidumbre; expresa la posibilidad de medir efectos físicos que sean arbitrariamente precisos, tanto en tiempo como en frecuencia. Hablando con propiedad, sólo lo hemos deducido para una fuerza especial de amortiguamiento. Pero en realidad representa una propiedad muy general. Afirma que si el tiempo de amortiguamiento de un oscilador es grande, entonces el ancho de resonancia es pequeño, y viceversa. Cuanto más débil es el amortiguamiento de un oscilador armónico, con más definición responde a, o selecciona, una fuerza de impulsión armónica de la frecuencia adecuada. Veremos el significado de este resultado en un .   [inicio]

  2.- Ejemplos

    Existen muchos ejemplos familiares de resonancia.

Cuando nos sentamos en un columpio y nos impulsamos, la fuerza impulsora no es armónica simple. Sin embargo, es periódica y se aprende intuitivamente a bombear con el cuerpo con la misma frecuencia que la natural del columpio.

Cuando un grupo de soldados pasa por un puente pequeño, normalmente dejan de marcar el paso porque es posible que la frecuencia de su marcha sea próxima a una de las frecuencias de resonancia del puente, y este puede romperse al empezar a oscilar en resonancia.

Muchas máquinas vibran porque tienen piezas en rotación que no están perfectamente equilibradas. Si se sujeta una máquina de estas a una estructura que puede vibrar, dicha estructura se convierte en un sistema forzado que puede iniciar su movimiento por la acción de la máquina.

Puede romperse un vaso con bajo amortiguamiento mediante una onda sonora intensa con un frecuencia igual o muy próxima a la frecuencia natural de vibración del mismo.

Uno de los usos importantes del fenómeno de resonancia, tanto en sistemas mecánicos como en circuitos eléctricos, es que nos permite seleccionar o filtrar, determinadas frecuencias en un sistema, dejando que el sistema funcione como fuerza de impulsión en nuestro selector. El sintonizador de una radio, que escoge determinada estación, es un ejemplo. La ecuación que define al principio de incertidumbre establece límites estrictos a nuestra capacidad de diseño de filtros, que pueden responder sólo a unos límites estrechos de frecuencias impulsoras. Los efectos de estos filtros se desvanecen con más lentitud a medida que las frecuencias que seleccionan son más y más limitadas. es un resultado muy general, que no se puede evitar por más ingenioso que sea un diseño.

 

 

 

Vicky Galvis


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