Cuaterniones de Hamilton

Enviado por mijailsf48

Indice
1.
Historia del surgimiento de los Cuaterniones.
2. Trabajos de William Rowan
Hamilton.
3. Definición de
Cuaternión.
4. Funciones de una variable
hipercompleja.

1. Historia del surgimiento de
los Cuaterniones.

William Rowan Hamilton
William Rowan Hamilton nació repentinamente en la noche
del 3 al 4 de agosto de 1805 en la capital de
Irlanda, en Dublín. Como sus contemporáneos Thomas
Babington Macaulay y John Stuart Mill, Hamilton demostró
una inteligencia
sorprendente desde muy pequeño. Con tres años fue
enviado con un tío suyo por parte de padre, llamado James,
que era sacerdote y maestro en la escuela Anglicana
de Trim, un pueblecito cerca de Dublín. Su tío
James tenía fama de excéntrico, por ejemplo, el
ataba una cadena al dedo gordo del joven William por la noche y
la pasaba a través de un agujero hasta la suya propia. A
la mañana siguiente, cuando era la hora de comenzar los
estudios, tiraba fuertemente de la cadena para despertarlo. Sin
embargo, con su tío continuo hasta 1923 cuando
entró en el Trinity College de Dublín. A los pocos
meses de estar con su tío James, con tan solo tres
años, ya escribía y leía perfectamente el
inglés
y dominaba la aritmética avanzada. Con cinco años
recién cumplidos, ya traducía el latín, el
griego y el hebreo y recitaba a Homer, Milton y Dryden. Antes de
cumplir los 12 años, ya había escrito un manual de
gramática Siria y a los 13 dominaba tan
bien el árabe que fue el encargado de escribir el discurso de
bienvenida al embajador de Persia en su visita a Dublín.
En resumen, se dice que a la edad de 13 años dominaba
otros tantos idiomas.
Hamilton se comenzó a interesar por las matemáticas y la física después
de 1920, cuando conoció a un americano, Zerah Colburn, que
podía hacer grandes cálculos mentales a velocidades
increíbles. Cuando tenía 16 años, y habiendo
leído el Eléments d’algèbre de
Alexis-Claude Clairaut y la Principia de NeQton, Hamilton se
introdujo en la lectura de
los 5 volúmenes del Traité de mécanique
céleste de Pierre-Simone Laplace. La detección de
un error en el razonamiento de Laplace hizó que el joven
Hamilton llamase la atención de John Brinkley, profesor de
astronomía en el Trinity College. Con 17
años, Hamilton envió a Brinkley, por aquel entonces
ya presidente de la Royal Irish Academy una original memoria sobre
óptica
geométrica y, cuando éste la presentó ante
la Academia, se dice que remarcó "Este joven, no voy a
decir que será, sino es el primer matemático de su
edad"
En 1823 Hamilton ingresa en el Trinity College, donde obtuvo los
máximos honores, tanto en lenguas clásicas, como en
matemáticas. Mientras tanto, él continuó con
sus investigaciones
en óptica y en abril de 1927 presentó su Theory of
Sistems of Rays a la Academia. Éste tratado transformaba
la óptica geométrica en una ciencia dotada
de métodos
matemáticos estableciendo un método
uniforme aplicable a la resolución de cualquier problema
en este campo. Hamilton comenzó desde el principio que
Pierre de Fermat había establecido en el siglo XVII,
conocido como Principio de Fermat, que establece que la luz recorre el
camino que requiera menor tiempo al
propagarse de un punto a otro, tanto si el camino es recto o
alterado por la refracción. La idea básica de
Hamilton fue considerar que el tiempo (o una cantidad parecida
denominada acción) como una función de
los puntos finales entre los cuales la luz pasa y demostrando que
esa cantidad varía cuando las coordenadas de los puntos
finales varían, de acuerdo con una ley que él
denominó ley de acción covariacional.
Además, demostró que toda la teoría
es reductible al estudio de esa función característica.
Poco después de la presentación de su trabajo, y
siendo todavía un estudiante sin graduar, el Trinity
College le eligió para los puestos de Andrews professor of
astronomy y para el de Astrónomo Real de Irlanda,
sucediendo a Brinkley, a quien le habían hecho obispo.
Siendo aún un estudiante sin graduar (no tenía ni
22 años) se convirtió en examinador ex officio de
los graduados que se presentaban al Bishop Law Prize de
matemáticas. Sus electores objetaron que se estaba
otorgando a Hamilton un puesto de investigación libre de las pesadas
responsabilidades de la enseñanza. Por consiguiente, en octubre de
1927, 5 meses después de la publicación de su
tratado de óptica, Hamilton fija su residencia cerca del
Observatorio Dunsink, a 8 km de Dublín, donde vivió
el resto de su vida. Demostró ser un observador sin
éxito,
sin embargo, grandes audiencias acudían a sus lecciones de
astronomía, que gozaban de un inconfundible sabor
literario. Y es que, a lo largo de su vida, Hamilton se
sintió muy atraído por la literatura, y consideraba al
poeta William Wordsworth entre sus amigos, aunque Wordsworth le
recomendó que escribiera matemáticas antes que
poesía.
Seis años después de trasladarse a Dunsink,
Hamilton se casó con Maria Bayley, hija del rector del
County Tipperary. Del matrimonio
nacieron dos niños y
una niña, pero su mujer no era muy
buena en los quehaceres domésticos; como resultado,
Hamilton nunca tuvo comidas regulares y terminó confiando
excesivamente en el alcohol.
Solía trabajar en el comedor y la cocinera le solía
traer chuletas de cordero de vez en cuando. Después de su
muerte, se
encontraron restos de huesos en platos
entre sus papeles.
En 1835, Hamilton fue el encargado de la
organización de la British Association for the
Advancement of Science reunida en Dublín, y al finalizar
la cena de despedida, fue nombrado caballero. Dos años
después fue nombrado presidente de la Royal Irish Academy.
En 1843, le fue otorgada una pensión de 200 libras anuales
por el gobierno
británico.
Mientras padecía la que sería su última
enfermedad, un ataque de gota, Hamilton recibió una gran
satisfacción al saberse como un nombre seguro para
formar parte de la Foreign Associates de la recién formada
National Academy of the United
States.

2. Trabajos de William Rowan Hamilton.

En 1832 Hamilton publicó un artículo
complementario a su teoría de rayos en el que
predecía que, como resultado de su teoría, un
fenómeno completamente inesperado debería ser
encontrado en la refracción de la luz en los cristales
biaxiales. Éste consistiría en un espectro de
interferencia que daría como resultado dos grupos de anillos
concéntricos. Se conocía tiempo atrás que
ciertos cristales de este tipo, como el topacio, daban origen a
dos rayos refractados por cada rayo incidente. La teoría
de la doble refracción había sido estudiada antes
por el físico Agustin Fresnel. Hamilton descubrió
aplicando su método que, bajo ciertas condiciones, un rayo
incidente podía dar origen a infinitos rayos refractados
en un cristal biaxial, y que formarían un cono. La
predicción hamiltoniana de la refracción
cónica se guarda en los anales de la historia como uno de
los mayores descubrimientos en óptica, y fue confirmada
experimentalmente en apenas dos meses por un colega, Humphrey
Lloyd.
Hoy por hoy, su trabajo en la unificación de la
óptica y la dinámica se considera mucho más
importante que su predicción de la refracción
cónica. En 1835 fue publicada su memoria On a General
Method in Dynamics. En ella, siguiendo la idea de Lagrange de
reformular las leyes de NeQton,
aplicaba su idea de función característica a los
sistemas de
cuerpos en movimiento y
expresaba las ecuaciones del
movimiento de una forma que revelaba la dualidad existente entre
las componentes del momento de un sistema
dinámico y las coordenadas que determinan su
posición, y demostraba la equivalencia de las tres
formulaciones. Aunque las ecuaciones canónicas de Hamilton
expresaban esta dualidad y reducía toda la dinámica
a un problema de cálculo
variacional muy familiar para los estudiantes de dinámica,
el profundo significado de la dualidad que él
descubrió no fue apreciado hasta casi 100 años
después, hasta la aparición de la mecánica cuántica y el desarrollo de
la ecuación de onda de Schrödinger. Para sostener
toda la teoría introdujo una nueva función,
conocida como hamiltoniano que une las energías potencial
y cinética y del cual derivan las ecuaciones del
movimiento.
Ese mismo año, Hamilton descubrió los cuaterniones;
estos son conjuntos de
cuatro números que, satisfaciendo ciertas reglas de
igualdad,
adición y multiplicación, son de gran utilidad en el
estudio de cantidades en el espacio tridimensional que requieren
conocer magnitud y dirección. Este descubrimiento marcó
un hito en la historia, ya que liberaba al álgebra
del postulado de conmutabilidad de la multiplicación (el
orden de los factores no altera el resultado). Sus
investigaciones en este campo habían comenzado 10
años antes con un innovador documento sobre parejas
algebraicas de números, en el cual la entidad
básica ya no era números simples, sino parejas
ordenadas de números. Hamilton empleó esta idea
para desarrollar una rigurosa teoría sobre los
números complejos. Este trabajo fue considerado un intento
pionero de dotar al álgebra de una base axiomática
parecida a la de la geometría.
La geometría de números complejos se basa en
vectores
bidimensionales sobre un plano. En su intento por llevar a cabo
una generalización de su trabajo en el espacio
tridimensional, los fracasos se sucedieron durante años al
no poder resolver
problemas
fundamentales cuando intentaba aplicar "tripletes"
análogos a las parejas en un espacio bidimensional.
Repentinamente, el 16 de octubre de 1943, mientras caminaba hacia
Dublín por el Royal Canal, la solución se le
apareció repentinamente: las operaciones
geométricas en el espacio tridimensional no requiere
"tripletes", sino "cuadripletes". La razón es
aparentemente sencilla, mientras que en un plano parejas
algebraicas bastan, ya que son equivalentes a un multiplicador y
un ángulo, en el espacio tridimensional la
orientación del plano sobre si mismo es variable, lo cual
necesita dos números más para ser descrito.
Hamilton estaba tan excitado por su descubrimiento que al pasar
por el Brougham Bridge de camino, grabó las
fórmulas fundamentales de los cuaterniones en la piedra:
i2 = j2 = k2 = ijk =
-1.

El descubrimiento de Hamilton fue una ruptura con la
tradición, porque abandonaba la ley conmutativa propia de
la multiplicación ( ab = ba ). Los siguientes 22
años los dedicaría al desarrollo del álgebra
de cuaterniones y sus aplicaciones. Su trabajo fue publicado a
título póstumo en 1866 bajo el nombre de The
Elements of Quaternions. Desafortunadamente, Hamilton
creyó que los cuaterniones serían adaptados para la
resolución de física aplicada, no obstante, fue la
versión más simplificada de J. Willard Gibbs,
conocida como análisis vectorial, la que fue
eventualmente adoptada por los matemáticos y
físicos. Sin embargo, el valor del
descubrimiento de Hamilton descansa en las matemáticas
puras, donde permitió el desarrollo del álgebra
abstracta moderna.

3. Definición de
Cuaternión.

Llamaremos cuaternión o simplemente
hipercomplejos de Hamilton a una expresión de la forma: Q
= a + b i + c j + d k con:

a, b, c, d Î Â . Además i, j, k
unidades imaginarias, soluciones dos
a dos de la ecuación x2 = -1.
i j = k = – j i ;
j k = i = – k j;
k i = j = – i k;
i2 = j2 = k2 = -1

Diremos que un cuaternión es imaginario puro si
el elemento primer elemento de la expresión es igual a
cero (a = 0).
Decimos que Q = Q/, con Q, Q/ Î
Q; es decir dos cuaterniones son iguales, si, y
sólo si, son equivalentes las componentes de su parte real
e imaginarias:
a = a/
b = b/
c = c/
d
= d/

Operaciones Fundamentales.
La suma y la sustracción está definida componente a
componente; es decir:
Q + Q/ = (a + a/) + (b + b/) i +
(c + c/) j + (d + d/) k
Q – Q/ = (a – a/) + (b – b/) i +
(c – c/) j + (d – d/) k con Q/ =
a/ + b/ i + c/ j + d/
k
(a + b i + c j + d k) + (a – b i – c j – d k) =
2 a
Y el producto
está definido de la siguiente forma:
Q// = (a + b i + c j + d k) (a/ +
b/ i + c/ j + d/ k) = a
a/ – b b/ – c c/ – d
d/ +(a b/ +a/ b + c
d/ – c/ d) i + (a c/ +
a/ c – b d/ – b/ d) j + (a
d/ + a/ d + b c/ – b/
c) k.
a// = a a/ – b b/ –
c c/ – d d/
b// = a
b/ + a/ b + c d/ – c/
d
c// = a c/ + a/ c – b
d/ – b/ d
d// = a d/ + a/ d + b
c/ -b/ c
Q// = a// + b// i +
c// j + d// k

Producto por la conjugada:

(a + b i + c j + d k) (a – b i – c j
– d k) = a2 + b2 + c2 +
d2.

A este cuaternión Q1 = a – b i
– c j – d k se va a llamar cuaternión
conjugado del cuaternión a + b i + c j + d k.
Todo lo anterior con 1 = (1, 0, 0, 0) ; i = (0, 1, 0, 0) ; j =
(0, 0, 1, 0) ; k = (0, 0, 0, 1).
I) Conmutatividad de la suma Q1 + Q2 =
Q2 + Q1.
II) Conmutatividad del producto Q1 * Q2 =
Q2 * Q1.
III) Asociatividad de la suma
(Q1 + Q2) +Q3 = Q1 +
( Q2 + Q3).
IV) Asociatividad del producto (Q1 * Q2) *
Q3 = Q1 * (Q2 *
Q3).
V) Distributividad (Q1 + Q2) *
Q3 = (Q1 + Q3) ( Q2 +
Q3 ).

El cuaternión (0, 0, 0, 0) es el
cuaternión neutro para la suma.
Es evidente que con la suma como esta definida: (a, b, c, d) +
(0, 0, 0, 0) = (a, b, c, d).
Análogamente el neutro para el producto es (1, 0, 0, 0)
puesto que:
(a, b, c, d)(1, 0, 0, 0) = (a, b, c, d) en la forma es que esta
definido el producto.
k (a, b, c, d) = (ka, kb, kc, kd)
(0, 1, 0, 0)(0, 1, 0, 0) = (-1, 0, 0, 0) como podemos ver este
número cuaternión se identifica por
i2.
Es posible establecer reciproco para la suma y la
multiplicación
De Q1 + Q2 = 0 se infiere que:
a + a/ = 0 ; b + b/ = 0 ; c + c/
= 0; d + d/ = 0.
Esto implica que a/ = – a; b/ = – b;
c/ = – c; d/ = – d .Por tanto Q2
= -a – b i – c j – d k .

Q2 = -Q1

Análogamente, si Q1 * Q2 =
1. Con Q1 ¹ (0, 0, 0, 0) .
Es decir que Q2 va a ser el inverso multiplicativo
para Q1.

Q2 = si Q1 = a + b i + c j + d k.

Otras propiedades:
Nota: El significado del la línea encima de los
cuaterniones es el conjugado de Q.

Idempotencia:
Aditividad:
Multiplicidad:
Divisibilidad:

El cuadrado de un cuaternión va ha ser
Q2 = (a + b i + c j + d k) (a + b i + c j + d k) =
= a2 – b2 – c2
– d2 + 2 a b i + 2 a c j + 2 a d k.

Valor Absoluto.
Llamamos valor absoluto o módulo del cuaternión al
número real no negativo siendo a, b, c, d XÂ .Es decir por
definición:

| Q | = | a + b i + c j + d k | =

Es evidente que si le queremos hallar el valor absoluto
a cualquier cuaternión:
Q + Q/, Q//, Q – Q/ ect; va a
ser igual a la raíz cuadrada del cuadrado de los elementos
reales de cada unidad imaginaria.
Así el | Q |2 = a2 + b2 +
c2 + d2.
Ahora con Q = a + b i + c j + d k y Q1 = a – b i
– c j – d k (conjugado del primero):

| | = | Q
|

| Q1 Q2 | = | Q1 | |
Q2 |

| Q1 Q2 |2 = |
Q1 |2 | Q2
|2

Formas distintas de definir un
cuaternión.

Y : Q
® Â 4
a + b i + c j + d k ® (a, b, c, d) a, b, c, d Î Â .
El cuádruplo (a, b, c, d) va a definir uno y solo un
cuaternión (ordenado).
– Por tanto es inyectiva.
" a, b, c, d Î Â
cada cuádruplo (a, b , c, d) va a tener a + b i + c
j + d k (cuaternión) único y definido.
– Por tanto es sobreyectiva.
Esa una función biyectiva.
Ahora nos preguntamos ¿Será esta función un
isomorfismo? Investiguemos:
Para ello solo faltaría probar que se cumple lo
siguiente:
Y
[( a + b i + c j + d k)( s + r i + t j + h k)] =
Y [a + b i + c j + d
k] Y [ s + r i +
tj + h k].
Con lo que se prueba, que esta función es un
isomorfismo.
Puesto que (Q , +) es un grupo
abeliano, con la suma como esta definida; que
el producto es distributivo con respecto a la suma Q1
(Q2 + Q3) = Q1 Q2 +
Q1 Q3
y el producto es asociativo Q1 (Q2
Q3) = (Q1 Q2 ) Q3
.Entonces los cuaterniones con las operaciones de suma y producto
son un anillo.
(Q, +, *) es un anillo.
La forma matricial de definir a un cuaternión
es:
W :
Q ®
M

a + b i + c j + d k ® ()

Para aclarar esta notación es conveniente
desarrollar la siguiente forma, si tomamos 1 = () i = () j = () k = ().

Seria entonces el cuaternión:

a + b i + c j + d k = a () +b () +c () +d
()

Si sumamos las matrices de la
derecha daría la matriz
definida en la función W .

Y solo quedaría preguntarse ¿Será
esta función un isomorfismo? Sí lo es, y la
demostración es equivalente a la de la función
anterior (Y ).Si
calculamos el determinante a la matriz () y calcula el módulo al
cuaternión a + b i + c j + d k veríamos que dan el
mismo resultado, por tanto se ve claramente que esta
función es un isomorfismo.

Forma trigonometría de definir un
cuaternión:

P : Q
® T T: Formas
trigonometrías.

a + b i + c j + d k ® r
0cisq
+ (r
1cisb
) j

Ahora si a + b i = r 0 cisq ; c + d i = r 1 cisb ; – c + d I = –
r
1cis(-b ) ; a – bi=r 0cis(-q ).

a + b i, c + d i, – c + d i, a – b i
Î C. Si
calculamos el módulo de los números complejos
anteriores serian: r
0 = |
a + b i |
= | a
– b i |
=;
r 1 =
| c +di
| = | -c + di | = .

Entonces basándonos en la forma matricial
quedaría la matriz ().Entonces quedaría otra función
definida que le llamaremos (J ) y seria :

J : Q
®
MT

a + bi+ cj + dk ® () veamos que:

() =
() + ().

() =
()+()

+ () +
().

()

4. Funciones de una
variable hipercompleja.

Si una variable w está relacionada con z que a
cada valor de z en R corresponde un valor o conjunto de valores
definidos de w, entonces w es una función de la variable
hipercompleja z,

w = f ( z )
Si z = a + b i + c j + d k y w = u + v i + s j + t k con los valores de
a, b, c, d, u, v, s, t Î Â

u + v i + s j + t k = f (a + b i + c j + d k), y cada una de las
variables
reales u, v, s, t XÂ están determinadas por el
cuádruple real a, b, c, d Î Â
.Es decir,
u = u( a, b, c, d ), v = v( a, b, c, d ), s = s( a, b, c, d ), t
= t( a, b, c, d ).
Ejemplo: w = z 2 + 5
u + v i + s j + t k = (a + b i + c j + d k)2 + 5
u + v i + s j + t k = a2 – b2 –
c2 – d2 + 2 a b i + 2 a c j + 2 a d k
+ 5
Entonces: u(a, b, c, d) = a2 – b2
– c2 – d2
v (a, b, c, d) = 2
a b
s (a, b, c, d) = 2 a c
t (a, b, c, d) = 2 a d.

Definición de Límite.
Sea f ( z ) una función, definida en todos los puntos en
algún entorno de z0.Decimos que w0
es el limite de f ( z ), cuando z tiene a z0
,

Es decir que para todo epsilon positivo existe un
número positivo landa tal que:

| f ( z ) – w0 | <
e cuando | z –
z0 | < d
( z ≠ z0 ).

Supongamos que, donde f ( z ) = u + v i + s j + t k ,

Definamos una función f ( z ) = w = u + v i + s j
+ t k tal que:

f/( z ) = + i +
j + k

f/( z ) = + i
+j + k

f/( z ) = +i
+j + k

Entonces:

f/ ( z ) = + i +
j + k

f/ ( z ) = – i + – k +
j

f/ ( z ) = – j + k + –
i

f/ ( z ) = – k – j + i +

De las igualdades anteriores se concluye que una
función hipercompleja es Analítica o entera
si:

=
= =

= –
= – =

=
= – = –

= –
= = –

Lo anterior espuesto es teorema generalizado de
Cauchy-Riemann.

Autor:

Mijail Andrés Saralain Figueredo

Estudiante de PRE-grado "Matemática
Pura"
Edad: 21 años.
Cuaterniones o Hipercomplejos.
Categoría: Matemáticas.
Resumen:
Estudio de los cuaterniones de Hamilton como una extensión
de los complejos. Formas diferentes de definición,
operaciones.
Facultad Matemática, Física y Computación.
Universidad
Central "Martha Abreu" de las Villas.