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Integral Definida

Enviado por gustavo_yanes



Indice
1. Introducción
2. Fórmula para el cálculo de áreas de figuras de tres o cuatro lados
3. Visión preliminar: área bajo la recta.
4. Integral Definida: función del incremento del área bajo la curva
5. Integral Definida: sumatoria de incrementos de áreas bajo la curva.
6. Conclusión
7. Bibliografía

1. Introducción

Este artículo permite captar rápidamente la interpretación geométrica de la Integral Definida: área bajo la curva entre dos puntos dados. Se utiliza un procedimiento diferente al de aproximaciones sucesivas de rectángulos, usualmente empleado; contiene al de integración por medio de trapecios y es consecuencia de un enfoque propuesto para el cálculo de áreas de polígonos.
Para su comprensión es conveniente la consulta del artículo: Area de los Polígonos- enfoque para el cálculo, publicado en monografías.com, por cuanto se utiliza la fórmula general de cálculo propuesta en el mencionado trabajo. No obstante, en forma rápida, introduciremos la fórmula para el caso de figuras de tres y cuatro lados.

2. Fórmula para el cálculo de áreas de figuras de tres o cuatro lados:

Si tenemos un conjunto de figuras de tres o cuatro lados con la misma altura (h), entonces pueden ser ubicadas entre dos rectas (ra y rb ) paralelas entre si, como se observa en la ilustración:
Para calcular el área total, basta sumar las longitudes de los lados que se posan sobre las rectas, multiplicar por la altura común y dividir entre dos (2).
En particular, el área de cualquiera de estas figuras se puede calcular mediante el procedimiento descrito. Nótese que los triángulos tienen un lado de longitud nula sobre una de las rectas.
Denotando con S(rarb) a la sumatoria de los lados que se posan sobre las rectas paralelas y d(rarb) a la distancia entre éstas últimas, la fórmula puede expresarse de la siguiente manera: A=½ S(rarb) d(rarb). Los lados en las rectas definirán en cada una ellas un segmento que denominaremos: segmento delimitador en el haz paralelo de rectas ra y rb, respecto a la figura dada.

3. Visión preliminar: área bajo la recta.

Sea el gráfico de la función f(x) = mx+c
Tomemos sobre el eje de las abscisas dos puntos a y b tales que el signo de f(x) sea el mismo para toda a<x<b. A partir de tales puntos, levantemos las rectas ra y rb, perpendiculares al eje x, como se muestra en la figura.
La gráfica de la función, las rectas ra y rb y el eje x, definen un trapecio de área: A=½ S(rarb) d(rarb); que denominaremos: área bajo la función f(x) = mx+c definida por los puntos a y b.
La longitud del delimitador en ra es f(a) = ma+c; el delimitador en rb tiene longitud f(b) = mb+c y la distancia entre ra y rb) es d(rarb)= b-a.
De aquí que el área de la figura sombreada sea:
A=½ S(rarb) d(rarb) =½ (f(a) + f(b))(b-a).
Sustituyendo valores y transformando convenientemente:
A=½ (ma+c + mb+c)(b-a) =½(m(a+b) +2c)(b-a) =
=½m(a+b)(b-a) + c(b-a) =½m(b2-a2) +bc- ac =
=½ mb2 - ½ ma2 + bc - ac =(½ mb2 + bc) -( ½ ma2 + ac).
Es decir A= (½ mb2 + bc) -( ½ ma2 + ac).
Si observamos que la integral indefinida de la función f(x)dx es
(mx+c) = ½ mx2 + xc + C, podemos concluir que el área no es más que una función primitiva de f(x) evaluada en el punto x =
b, menos su valor para el punto x=a.
Denotando con F(x) a la primitiva de f(x), tendremos:
A= F(b) - F(a), o que se denota con f(x)dx y se denomina integral definida de f(x) limitada por a y b.
Obsérvese que la constante C de la función primitiva se anula al realizar la diferencia de los valores en b y a.

4. Integral Definida: función del incremento del área bajo la curva:

Imaginemos la representación gráfica de la función y= f(x), donde se han trazado los segmentos AoA1 y MM1 que definen la superficie S de área A. Desplacemos el segmento en M una distancia infinitesimal; supongamos que se mueve hasta el punto N, desde donde levantamos el segmento NN1, como se muestra en la figura
De esta manera la superfie S se incrementa en la superficie definida por MM1N1N, que denominaremos D S, cuya área la denotaremos con D A (se ha exagerado el desplazamiento para lograr mayor comprensión)
Si identificamos la abscisa del punto M con x y el incremento de M a N con D x, al ser éste un infinitésimo podemos considerar que el segmento M1N1 está sobre una recta y puede aplicar la fórmula A=½ S(rarb) d(rarb). Por lo que:
D A =½(f(x) + f(x+D x)) D x, y dividiendo por D x se tiene
D A =½(f(x) + f(x+D x))
D x
y al evaluar el límite cuando D x tiende a cero:
Lim D A =Lim ½(f(x) + f(x+D x)) =½(2f(x)) =f(x) (D x tiende a 0).
D x
Luego, f(x) es la derivada del área; lo que nos indica que el área es una función primitiva de f(x); la que denotaremos con F(x).
Para determinar D A, bastará calcular f(x+D x)dx - f(x)dx lo que se escribe: f(x)dx y que es igual a F(x+D x)- F(x).

5. Integral Definida: sumatoria de incrementos de áreas bajo la curva.

Supongamos ahora, la representación gráfica de la función y=f(x), como se muestra en la figura. Situemos dos puntos fijos a y b sobre los que levantaremos rectas perpendiculares al eje x, de tal forma que todo f(x) sea del mismo signo siempre que a<x<b.
De esta forma, hemos definido una figura cuya superficie af(a)f(b)b se encuentra situada bajo la curva y=f(x) y limitada por la recta x.
Tracemos un haz de rectas paralelas que contengan a las levantadas, previamente, en los puntos a y b. Las distancias entre rectas consecutivas pueden variar o pueden ser iguales; pero, su cantidad será tal que las distancias entre dos de ellas sea un infinitésimo. Con esto, la figura queda dividida en superficies infinitamente pequeñas cuyas áreas, en conjunto, suman el área de la figura que las contiene.
Esta forma de dividir la figura es válida, tomando en cuenta el criterio anteriormente utilizado para el cálculo de incrementos de área bajo la curva, que nos permitió establecer que f(x) y f(x+D x) se encuentran situados en una misma recta (ver III). Cada recta del haz, junto a la gráfica de la función y el eje x contendrá un delimitador de las superficies infinitamente pequeñas antes mencionadas.
Con estas premisas, podemos calcular el área bajo la curva y= f(x) definida por los puntos a y b. Utilizando nuestra fórmula para el área del polígono y suponiendo k rectas paralelas del haz, identificadas desde a hasta b como ri ( i=0,....,k-1) tendremos:
A= å ½ S(riri+1) d(riri+1), con i =0,...., k-2.
Si identificamos los puntos x donde se levanta cada recta, con el mismo subíndice, tomando en cuenta que a=x0 y b= xk-1, podemos calcular los incrementos de as áreas a partir de ri así:
½ S(r0r1) d(r0r1) = F(x1)-F(a)
½ S(r1r2) d(r1r2) = F(x2)-F(x1)
½ S(r2r3) d(r2r3) = F(x3)-F(x2)
½ S(r3r4) d(r3r4) = F(x4)-F(x3)
...........................
...........................
...........................
½ S(rk-3rk-2) d(rk-3rk-2) = F(xk-2)-F(xk-3)
½ S(rk-1rk-2) d(rk-1rk-2) = F(b)-F(xk-2)

Si observamos los segundos miembros de las igualdades, observaremos que, a excepción de F(b), todos los minuendos aparecen como sustraendos en la igualdad siguiente. Por lo que al sumar miembro a miembro nos quedará:
å ½ S(riri+1) d(riri+1) = F(b) - F(a) ; i =0,...., k-2. Y finalmente.
A= F(b) - F(a) = f(x)dx; tal como se quería demostrar.

6. Conclusión

De lo expuesto anteriormente se concluye para cualquier curva, el área comprendida entre ella, el eje x y las rectas levantadas sobre los puntos a y b del eje x, con la condición de que para cualquier otro punto x situado entre a y b sea del mismo signo, es la Integral Definida entre los puntos a y b.

7. Bibliografía

Para la redacción de este artículo se consutó la monografía señalada al inicio; así como una propuesta metodológica de I.
SUVOROV, publicada en su obra CURSO DE MATEMATICAS SUPERIORES.
Atentamente,

 

 

 

 

 

Autor:


Gustavo Yanes Yanes

Venezuela


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