Indice
1.
Introducción
2. Fórmula para el cálculo
de áreas de figuras de tres o cuatro
lados
3. Visión preliminar: área
bajo la recta.
4. Integral Definida: función del
incremento del área bajo la curva
5. Integral Definida: sumatoria de
incrementos de áreas bajo la curva.
6. Conclusión
7. Bibliografía
Este artículo permite captar rápidamente
la interpretación geométrica de la Integral
Definida: área bajo la curva entre dos puntos dados. Se
utiliza un procedimiento
diferente al de aproximaciones sucesivas de rectángulos,
usualmente empleado; contiene al de integración por medio de trapecios y es
consecuencia de un enfoque propuesto para el cálculo de
áreas de polígonos.
Para su comprensión es conveniente la consulta del
artículo: Area de los Polígonos- enfoque para el
cálculo, publicado en monografías.com, por cuanto
se utiliza la fórmula general de cálculo propuesta
en el mencionado trabajo. No obstante, en forma rápida,
introduciremos la fórmula para el caso de figuras de tres
y cuatro lados.
2. Fórmula para el
cálculo de áreas de figuras de tres o cuatro
lados:
Si tenemos un conjunto de figuras de tres o cuatro lados
con la misma altura (h), entonces pueden ser ubicadas entre dos
rectas (ra y rb ) paralelas entre si, como
se observa en la
ilustración:
Para calcular el área total, basta sumar las longitudes de
los lados que se posan sobre las rectas, multiplicar por la
altura común y dividir entre dos (2).
En particular, el área de cualquiera de estas figuras se
puede calcular mediante el procedimiento descrito. Nótese
que los triángulos tienen un lado de longitud nula sobre
una de las rectas.
Denotando con S(rarb) a la sumatoria de los
lados que se posan sobre las rectas paralelas y
d(rarb) a la distancia entre éstas
últimas, la fórmula puede expresarse de la
siguiente manera: A=½ S(rarb)
d(rarb). Los lados en las rectas
definirán en cada una ellas un segmento que denominaremos:
segmento delimitador en el haz paralelo de rectas ra y
rb, respecto a la figura dada.
3. Visión preliminar:
área bajo la recta.
Sea el gráfico de la función
f(x) = mx+c
Tomemos sobre el eje de las abscisas dos puntos a y b tales que
el signo de f(x) sea el mismo para toda a<x<b. A partir de
tales puntos, levantemos las rectas ra y
rb, perpendiculares al eje x, como se muestra en la
figura.
La gráfica de la función, las rectas ra
y rb y el eje x, definen un trapecio de área:
A=½ S(rarb)
d(rarb); que denominaremos: área
bajo la función f(x) = mx+c definida por los puntos a y
b.
La longitud del delimitador en ra es f(a) = ma+c; el
delimitador en rb tiene longitud f(b) = mb+c y la
distancia entre ra y rb) es
d(rarb)= b-a.
De aquí que el área de la figura sombreada sea:
A=½ S(rarb)
d(rarb) =½ (f(a) + f(b))(b-a).
Sustituyendo valores y
transformando convenientemente:
A=½ (ma+c + mb+c)(b-a) =½(m(a+b) +2c)(b-a) =
=½m(a+b)(b-a) + c(b-a)
=½m(b2-a2) +bc- ac =
=½ mb2 – ½ ma2 + bc – ac
=(½ mb2 + bc) -( ½ ma2 +
ac).
Es decir A= (½ mb2 + bc) -( ½
ma2 + ac).
Si observamos que la integral indefinida de la función
f(x)dx es
(mx+c) = ½ mx2 + xc + C, podemos concluir que
el área no es más que una función primitiva
de f(x) evaluada en el punto x =
b, menos su valor para el
punto x=a.
Denotando con F(x) a la primitiva de f(x), tendremos:
A= F(b) – F(a), o que se denota con f(x)dx y se denomina integral
definida de f(x) limitada por a y b.
Obsérvese que la constante C de la función
primitiva se anula al realizar la diferencia de los valores en
b y a.
4. Integral Definida:
función del incremento del área bajo la
curva:
Imaginemos la representación gráfica de la
función y= f(x), donde se han trazado los segmentos
AoA1 y MM1 que definen la
superficie S de área A. Desplacemos el segmento en M una
distancia infinitesimal; supongamos que se mueve hasta el punto
N, desde donde levantamos el segmento NN1, como se
muestra en la figura
De esta manera la superfie S se incrementa en la superficie
definida por MM1N1N, que
denominaremos D
S, cuya área la denotaremos con D A (se ha exagerado el
desplazamiento para lograr mayor comprensión)
Si identificamos la abscisa del punto M con x y el incremento de
M a N con D x,
al ser éste un infinitésimo podemos considerar que
el segmento M1N1 está sobre una
recta y puede aplicar la fórmula A=½
S(rarb) d(rarb). Por
lo que:
D A
=½(f(x) + f(x+D
x)) D x, y
dividiendo por D
x se tiene
D
A =½(f(x) + f(x+D x))
D x
y al evaluar el límite cuando D x tiende a cero:
Lim D A =Lim
½(f(x) + f(x+D
x)) =½(2f(x)) =f(x) (D x tiende a 0).
D x
Luego, f(x) es la derivada del área; lo que nos indica que
el área es una función primitiva de f(x); la que
denotaremos con F(x).
Para determinar D
A, bastará calcular f(x+D x)dx – f(x)dx lo que se escribe: f(x)dx y
que es igual a F(x+D
x)- F(x).
5. Integral Definida:
sumatoria de incrementos de áreas bajo la
curva.
Supongamos ahora, la representación
gráfica de la función y=f(x), como se muestra en la
figura. Situemos dos puntos fijos a y b sobre los que
levantaremos rectas perpendiculares al eje x, de tal forma que
todo f(x) sea del mismo signo siempre que a<x<b.
De esta forma, hemos definido una figura cuya superficie
af(a)f(b)b se encuentra situada bajo la curva y=f(x) y limitada
por la recta x.
Tracemos un haz de rectas paralelas que contengan a las
levantadas, previamente, en los puntos a y b. Las distancias
entre rectas consecutivas pueden variar o pueden ser iguales;
pero, su cantidad será tal que las distancias entre dos de
ellas sea un infinitésimo. Con esto, la figura queda
dividida en superficies infinitamente pequeñas cuyas
áreas, en conjunto, suman el área de la figura que
las contiene.
Esta forma de dividir la figura es válida, tomando en
cuenta el criterio anteriormente utilizado para el cálculo
de incrementos de área bajo la curva, que nos
permitió establecer que f(x) y f(x+D x) se encuentran situados en una
misma recta (ver III). Cada recta del haz, junto a la
gráfica de la función y el eje x contendrá
un delimitador de las superficies infinitamente pequeñas
antes mencionadas.
Con estas premisas, podemos calcular el área bajo la curva
y= f(x) definida por los puntos a y b. Utilizando nuestra
fórmula para el área del polígono y
suponiendo k rectas paralelas del haz, identificadas desde a
hasta b como ri ( i=0,….,k-1) tendremos:
A= å
½ S(riri+1)
d(riri+1), con i =0,…., k-2.
Si identificamos los puntos x donde se levanta cada recta, con el
mismo subíndice, tomando en cuenta que a=x0 y
b= xk-1, podemos calcular los incrementos de as
áreas a partir de ri así:
½ S(r0r1)
d(r0r1) = F(x1)-F(a)
½ S(r1r2)
d(r1r2) =
F(x2)-F(x1)
½ S(r2r3)
d(r2r3) =
F(x3)-F(x2)
½ S(r3r4)
d(r3r4) =
F(x4)-F(x3)
………………………
………………………
………………………
½ S(rk-3rk-2)
d(rk-3rk-2) =
F(xk-2)-F(xk-3)
½ S(rk-1rk-2)
d(rk-1rk-2) =
F(b)-F(xk-2)
Si observamos los segundos miembros de las igualdades,
observaremos que, a excepción de F(b), todos los minuendos
aparecen como sustraendos en la igualdad
siguiente. Por lo que al sumar miembro a miembro nos
quedará:
å ½ S(riri+1)
d(riri+1) = F(b) – F(a) ; i =0,…., k-2. Y
finalmente.
A= F(b) – F(a) = f(x)dx; tal como se quería
demostrar.
De lo expuesto anteriormente se concluye para cualquier
curva, el área comprendida entre ella, el eje x y las
rectas levantadas sobre los puntos a y b del eje x, con la
condición de que para cualquier otro punto x situado entre
a y b sea del mismo signo, es la Integral Definida entre los
puntos a y b.
Para la redacción de este artículo se
consutó la monografía
señalada al inicio; así como una propuesta
metodológica de I.
SUVOROV, publicada en su obra CURSO DE MATEMATICAS
SUPERIORES.
Atentamente,
Autor:
Gustavo Yanes Yanes
Venezuela