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Problemas resueltos de matemáticas financiera




Enviado por enamariavera



     

    Indice

    2. Problemas de
    Descuento

    3. Transformación de
    Tasas

    4. Problemas de Interés
    Compuesto

    5. Problemas de Anualidades
    Vencidas

    6. Problemas de Anualidades
    Anticipadas

    7. Problemas de Anualidades
    Diferidas

    8. Problemas de Rentas
    Perpetuas

    9. Problemas de
    Amortización

    10. Problemas de Fondo de
    Amortización

    11.
    Bibliografía

    1. Problemas de
    Interés
    Simple

    Formulas de Interés Simple

    I = C * t * i

    VF =C (1 + i * t)

    C =VF (1 + i * t)-1

    VF = C + I

    I = interés; VF = valor futuro;
    C = Capital; i =
    tasa.

    Calcular el interés
    simple comercial de:

    1. $2.500 durante 8 meses al 8%.
    2. C = $2.500 t = 8 meses i= 0,08

      I = 2.500 * 8 * 0.08 =$133,33 Respuesta

      12

      I =$60.000 t =63 días i =0,09

      I =60.000 * 63 * 0.09=$ 945 Respuesta

      360

    3. $60.000 durante 63 días al 9%.

      C =12.000 t =3 meses i =0,085

      I =12.000 * 3 * 0.085= $ 255 Respuesta

      12

    4. $12.000 durante 3 meses al 8½ %.
    5. $15.000 al 10% en el tiempo
      transcurrido entre el 4 de abril y el 18 de septiembre. Del
      mismo año.

    C =$15.000 i =0,10 t =167 días

    I =15.000 * 0.10 * 167=$ 695,83 Respuesta

    360

    Calcular el interés simple comercial
    de:

    1. $5.000 durante 3 años 2 meses 20 días
      al 0,75% mensual.
    2. C = 5.000 i = 0,0075 t =116 meses

      3

      3años *12 meses =36 meses + 2 meses = 38
      meses + (20dias * 1 mes)= 116 meses

      1 año 30 días

      I =5.000 * 38,67 * 0,0075 =1.450
      Respuesta

      Nota: Fíjese que en este ejercicio la tasa
      esta expresa de en meses por lo que debe transformarse el
      tiempo también a meses

    3. $8.000 durante 7 meses 15 días al 1,5%
      mensual.

    C = $8000 t =7,5 i = 0,015

    7 meses + 15 días * 1 mes =7,5 meses

    30 días

    I = 8.000 * 7.5 * 0,015=$900. Respuesta

    1. Un señor pago $2.500,20 por un pagaré de $2.400, firmado el 10 de
      abril de 1996 a un con 41/2 %de interés. ¿En
      qué fecha lo pagó?

    VF = 2.500,20

    C =2.400

    i = 0.045

    t =?

    VF = C (1 + i * t)

    2.500,20 = 2400 (1 + 0,045 * t)

    0,04175=0,045 t

    t = 0,9277 años Respuesta 10 de marzo de 1997

    Un inversionista recibió un pagaré por
    valor de $120.000 a un interés del 8% el 15 de julio con
    vencimiento a 150 días. El 200de octubre del mismo
    maño lo ofrece a otro inversionista que desea ganar el
    10%. ¿Cuánto recibe por el pagaré el primer
    inversionista?

    VF =120.000(1 + 0,08 * 150) =124.000

    360

    124.000(1 + 0,1 * 53)-1= 122.000,93
    Respuesta

    360

    Una persona debe
    cancelar $14.000 a 3 meses, con el 8% de interés. Si el
    pagará tiene como cláusula penal que, en caso de
    mora, se cobre el 10%
    por el tiempo que exceda al plazo fijado ¿qué
    cantidad paga el deudor, 70 días después del
    vencimiento?

    VF = 14.000(1 + 0,08 * 3) = 14.280 Valor de
    vencimiento

    12

    VF = 14.280(1+0,1 * 70) =14.557,67 respuesta – valor de
    mora.

    360

    Una persona descuenta el 15 de mayo un pagaré de
    $ 20.000 con vencimiento para el 13 de agosto y recibe &
    19.559,90. ¿A qué tasa de descuento racional o
    matemático se le descontó el
    pagaré?

    VF =VP (1+ i * t)

    20.000=19.559,90 (1 + i * 90)

    360

    i =0, 09 è 9% Respuesta

    Una persona debe $20.000 con vencimiento a 3 meses y
    $16.000 con vencimiento a 8 meses. Propone pagar su deuda
    mediante dos pagos iguales con vencimiento a 6 meses y un
    año, respectivamente. Determine el valor de los nuevos
    pagarás al 8% de rendimiento (tómese como fecha
    focal dentro de un año).

    Vf1=20.000(1+0,08 * 9)= 21.200

    12

    Vf2=16.000(1+0,08 * 4)= 16.426,67

    12

    Deuda = 21.200 + 16.426,67

    Deuda = 37.626,67

    Pagos

    P1 = x (1+0,08 * 6) =1,04 x

    12

    P2 = x

    Pagos =P1 +P2

    Pagos =2,04 x

    Deuda = Pagos

    37.626,67=2,04 x

    Valor de los pagarés 18.444,45 cada uno
    /Respuesta

    Nota: En este problema como en todos los similares debe
    llevarse los valores de las
    deudas a la fecha focal, en este caso 12 meses, para poder
    efectuar operaciones sobre
    estos valores.

    2. Problemas de
    Descuento

    Formulas para Descuento Real

    D = VP * t * d

    VN= VP + D

    VN = VP (1 + d* t)

    VP = VN (1 + d * t)-1

    Las formulas son iguales a las de interés simple
    he aquí sus equivalencias.

    i = d tanto por ciento/tasa de descuento

    I = D descuento

    VF =VN valor nominal

    C =VP valor presente

    Formulas de Descuento Comercial

    D = VP * t * d

    VN= VP + D

    VN = VP (1 + d* t)

    VP = VN (1 – d * t)

    Determinar el valor líquido de los
    pagarés, descontados en un banco a las tasas
    y fechas indicadas a continuación:

    a. $20.000 descontados al 10%, 45 días de su
    vencimiento.

    20.000(1- 0.1 * 45)= 19.750 Respuesta

    360

    b. $18.000 descontados al 9%, 2 meses antes de su
    vencimiento.

    18.000(1-0.09 * 2)=17.730 Respuesta

    12

    c. $14.000 descontados al 8% el 15 de junio, si su fecha
    de vencimiento es para el 18 de septiembre del mismo
    año.

    14.000(1-0.08 * 95)=13.704,44 Respuesta

    360

    d. $10.000 descontados al 10% el 20 de noviembre,
    si su fecha de vencimiento es para el 14 de febrero del
    año siguiente.

    10.000(1-0.1 * 86)=9.761,11 Respuesta

    360

    2.2. Alguien vende una propiedad por
    la que recibe los siguientes valores el 9 de julio de cierto
    año:

    a. $20.00 de contado

    b. Un pagaré por $20.000, con vencimiento el 9 de
    octubre del mismo año.

    c. Un pagaré por $30.000, con vencimiento el 9 de
    diciembre del mismo año.

    Si la tasa de descuento bancario en la localidad es del
    9%, calcular el valor real de la venta.

    a. 20.000 contado

    b. 20.000(1-0.09 * 92)=19.540

    360

    1. 360 Total =20.000 + 19.540 + 28.852,5 = $68.392,50
      Respuesta

      Un pagaré de $10.000 se descuentan al 10% y
      se reciben del banco $9.789. Calcular la fecha de
      vencimiento del pagaré.

      10.000=9.789 (1+0.1 * t)

      t = 0,21 años

      0,21 años * 12 meses = 2,52 meses
      Respuesta

      1 año

      El Banco Ganadero descuenta un pagaré por
      $80.000 al 10%, 90 días antes de su vencimiento, 5
      días después lo redescuenta en otro banco a la
      tasa del 9%. Calcular la utilidad del
      Banco Ganadero.

      80.000(1-0.1 * 90)=78.000

      360

      80.000(1-0.09 * 75)= 78.500

      360

      Utilidad 78.500-78.000= 500 Respuesta

      ¿Qué tasa de descuento real se aplico
      a un documento con valor nominal de 700 dólares, si se
      descontó a 60 días antes de su vencimiento y se
      recibieron 666,67 dólares netos?

      700=666,67(1 + i 60)

      360

      i = 0.30 è 30% Respuesta

      ¿Cuál es el valor nominal de un
      pagaré por el cual se recibieron 146,52
      dólares, si se descontó comercialmente a un
      tipo de 49%, 85 días antes de su
      vencimiento?

      146,52 = VF (1 – 0,49 * 85)

      360

      VF = 165,68 Respuesta.

      3.
      Transformación de Tasas

      Método de igualación

      Del 18% efectivo trimestral encuentre la tasa
      nominal trimestral capitalizable mensualmente

      (1+ 0,18)4/12 = (1 +
      ntnm)12/12

      3

      T. nominal trimestral capitalizable mensualmente =
      0, 17 è
      17,01% R.

      Del 24% nominal anual capitalizable anualmente,
      encuentre la tasa nominal trimestral capitalizable
      semestralmente.

      (1+ 0,24)1/2 = (1 + ntcs *
      2)2/2

      Tasa nominal trimestral capitalizable semestralmente
      =5,6 % Respuesta.

      Del 12% nominal anual capitalizable trimestralmente,
      encuentre la tasa nominal semestral capitalizable
      trimestralmente.

      (1+ 0,12)4/4 = (1 +
      nsct)4/4

      4 2

      Tasa nominal semestral capitalizable trimestralmente
      =0,06 è
      6% R.

      Del 22% efectivo semestral, encuentre la tasa
      efectiva bimensual.

      (1+ 0,22)2/6 = (1 + e
      b)6/6

      Tasa efectiva bimensual = 0,06852 è 6,85%
      Respuesta.

      Del 30% nominal bimensual capitalizable
      semestralmente, encuentre la tasa nominal trimestral
      capitalizable anualmente.

      (1+ 0,30 * 3)2 = (1 + ntca)

      3

      Tasa nominal trimestral capitalizable anualmente =
      0,6525 è
      65,25% R.

      Del 52% nominal anual capitalizable anualmente,
      encuentre la tasa nominal trimestral capitalizable
      semestralmente.

      (1+ 0,52)1/2 = (1 + ntcs *
      2)2/2

      Tasa nominal capitalizable semestralmente =
      0,1164 è
      11,54% Resp.

      4. Problemas de
      Interés Compuesto

      Formulas de Interés
      Compuesto:

      M = C (1 + i)n

      C = M (1 + i)-n

      M = monto o también llamado VF; C = capital;
      i = tasa; n =tiempo

      Hallar la cantidad que es necesario colocar en una
      cuenta que paga el 15% con capitalización trimestral,
      para dispones de 20.000 al cabo de 10
      años.

      i = 0,15 efectiva trimestral

      n = 10 años

      M = 20.000

      C =?

      C = 20.000 (1+ 0.15)-10(4)

      4

      C =4.586,75 Respuesta

      ¿Cuántos meses deberá dejarse
      una póliza de acumulación de $2.000 que paga
      el 3% anual, para que se convierta en %7.500?

      n =?

      C = 2.000

      i = 0,03

      M =7.500

      7.500 = 2.000 (1 +0,03)n

      ln 15/4 = n ln 1,03

      n = 44,71 años

      44,71 años * 12 meses = 536,52 meses
      Respuesta.

      1 año

      Hallar el valor futuro a interés compuesto de
      $100, para 10 años:

      a. al 5% efectivo anual

      M = 100 (1 + 0,05)10 = 162,89
      Respuesta

      b. al 5% capitalizable mensualmente

      M = 100 (1 + 0,05)10(12) =164,20
      Respuesta

      12

      c. al 5% capitalizable trimestralmente

      M = 100 (1 + 0,05)10(4) =164,36
      Respuesta

      4

    2. 30.000(1-0.09 * 153)=28.852,5
    3. al 5% capitalizable semestralmente

    M = 100 (1 + 0,05)10(2) =164,86
    Respuesta

    2

    Hallar el valor futuro de $20.000 depositados al 8%,
    capitalizable anualmente durante 10 años 4
    meses.

    VF = 20.000(1 + 0,08) 10 (4/12) = 44.300,52
    Respuesta

    ¿Qué tasa capitalizable semestralmente es
    equivalente al 8%, capitalizable trimestralmente?

    (1+ 0,08)4/2 = (1 +
    n.c.s)2/2

    4 2

    i =0,0808 è 8,08% Respuesta

    Hallar la tasa nominal convertible semestralmente, a la
    cual $10.000 se convierten en $12.500, en 5
    años.

    12.500 = 10.000 (1 +i )10

    2

    i =0,0451 è 4,51% Respuesta

    ¿Cuántos años deberá dejarse
    un depósito de $6.000 en una cuenta de ahorros que acumula
    el 8% semestral, para que se conviertan en $10.000?

    10.000=6.000 (1+ 0,08)n

    n = 13,024 /2

    n = 6,512 años Respuesta

    ¿Qué es más conveniente: invertir
    en una sociedad maderera
    que garantiza duplicar el capital invertido cada 10 años,
    o depositar en una cuenta de ahorros que ofrece el 6%
    capitalizable trimestralmente?

    M =2

    C = 1

    2=1(1+ i) 10

    i = 7,17% sociedad maderera

    ————–

    M = 1(1+0,06)

    4

    M =1,8140 no duplico

    Respuesta es más conveniente la sociedad
    maderera

    Una inversionista ofreció comprar un
    pagará de $120.000 sin interés que vence dentro de
    3 años, a un precio que le
    produzca el 8% efectivo anual; calcular el precio
    ofrecido.

    C = 120.000(1 + 0,08)-3

    C = 95.259,87 Respuesta

    Hallar el VF a interés compuesto de $20.000 en 10
    años, a la tasa del 5% de interés. Comparar el
    resultado con el monto compuesto al 5%, convertible
    mensualmente.

    VF = 20.000(1 + 0,05) 10 = 32.577,89
    Respuesta

    VF = 20.000(1 + 0,05) 120 = 32.940,19
    convertible mensualmente Resp.

    12

    5. Problemas de Anualidades
    Vencidas

    Formulas de Anualidades Vencidas

    F = A [¨ (1 + i )n -1] =Valor
    futuro

    i

    P = A [¨ 1 – (1+ i )-n ]=Valor
    presente

    i

    F = Valor futuro; A = anualidad; n = tiempo

    Calcular el valor futuro y el valor presente de las
    siguientes anualidades ciertas ordinarias.

    (a) $2.000 semestrales durante 8 ½ años al
    8%, capitalizable semestralmente.

    F = 2.000[¨ (1 + 0, 04)17 -1] =47.395,07
    valor futuro

    0,04

    P = 2.000[¨ 1 – (1+ 0, 04)-17
    ]=24.331,34 valor presente

    0,04

    (b) $4.000 anuales durante 6 años al 7,3%,
    capitalizable anualmente.

    F = 4.000[¨ (1 + 0, 073)6 -1] =28.830,35
    valor futuro

    0,073

    P = 4.000[¨ 1 – (1+ 0, 073)-6
    ]=18.890,85 valor presente

    0,073

    (c) $200 mensuales durante 3 años 4 meses, al 8%
    con capitalización mensual.

    F = 200[¨ (1 + 0, 0067)40 -1] =9.133,50
    valor futuro

    0,0067

    P = 200[¨ 1 – (1+ 0, 0067)-40
    ]=7.001,81 valor presente

    0,0067

    Calcular el valor de contado de una propiedad vendida en
    las siguientes condiciones: $20.000 de contado; $1.000 por
    mensualidades vencidas durante 2 años y 6 meses y un
    último pago de $2.500 un mes después de pagada la
    última mensualidad. Para el cálculo,
    utilizar el 9% con capitalización mensual.

    i =0,09/12=0,0075

    P = 1.000[¨ 1 – (1+ 0, 0075)-30
    ]=26.775,08

    0,0075

    2.500(1+0,0075)-31=1.983,09

    26.775,08 + 1.983,09 + 20.000 = 48.758,17
    Respuesta.

    ¿Cuál es el valor de contado de un equipo
    comprado con el siguiente plan: $14.000 de
    cuota inicial; $1.600 mensuales durante 2 años 6 meses
    con un último pago de $2.500, si se carga el 12% con
    capitalización mensual?

    i =0,12/12=0,01

    P = 1.600[¨ 1 – (1+ 0, 01)-30
    ]=41.292,33

    0,01

    2.500(1+0,01)-31=1.836,44

    41.292,33 + 1.836,44 + 14.000 = 57.128,78
    Respuesta

    Una mina en explotación tiene una producción anual de $8’000.000 y se
    estima que se agotará en 10 años. Hallar el valor
    presente de la producción, si el rendimiento del dinero es del
    8%.

    P = 8.000.000[¨ 1 – (1+ 0, 08)-10
    ]=53.680.651,19 respuesta.

    0,08

    En el ejercicio 5.4. Se estima que al agotarse la mina
    habrá activos
    recuperables por el valor de $1’500.000. Encontrar el
    valor presente, incluidas las utilidades, si estas representan
    el 25% de la producción.

    1.500.000(1 + 0,08)-10 = 694.790,
    23

    53.680.651,19 * 0,25 =13.420.162,8

    694.790,23 + 13420.162,80 = 14.114.953,03
    Respuesta

    En el momento de nacer su hija, un señor
    depositó $1.500 en una cuenta que abona el 8%; dicha
    cantidad la consigna cada cumpleaños. Al cumplir 12
    años, aumento sus consignaciones a $3.000. Calcular la
    suma que tendrá a disposición de ella a los 18
    años.

    F = 1.500 [¨ (1 + 0, 08)11 -1]
    =24.968,23

    0,08

    24.968,23(1 + 0,08)7 =42.791,16

    F = 3.000[¨ (1 + 0, 08)7 -1]
    =26.768,41

    0,08

    1.500(1 + 0,08)18= 5994,02

    42.791,16 + 26.768,41 + 5994,02 = 75.553,60
    Respuesta

    Una persona deposita $100 al final de cada mes en una
    cuenta que abona el 6% de interés, capitalizable
    mensualmente. Calcular su saldo en la cuenta, al cabo de 20
    años.

    0,06 /12 =0,005 tasa mensual

    F = 100[¨ (1 + 0, 005)240 -1] =46.204,09
    Respuesta.

    0,005

    6. Problemas de
    Anualidades Anticipadas

    Formulas de Anualidades Anticipadas

    F = A [¨ (1 + i )n + 1 -1 – 1] =Valor
    futuro

    i

    P = A [¨1 + 1 – (1+ i )-n +
    1]=Valor presente

    i

    F = Valor futuro; A = anualidad; n = tiempo

    Calcular el valor de Contado de una propiedad vendida a
    15 años de plazo, con pagos de $3.000 mensuales por mes
    anticipado, si la tasa de
    interés es del 12% convertible
    mensualmente.

    P = 3.000 [¨1 + 1 – (1+ 0,01 )-180 +
    1]= 252.464,64

    0,01

    Una persona recibe tres ofertas parea la compra de su
    propiedad: (a) $400.000 de contado; (b) $190.000 de contado y
    $50.000 semestrales, durante 2 ½ años (c) $20.000
    por trimestre anticipado durante 3 años y un pago de
    $250.000, al finalizar el cuarto año. ¿Qué
    oferta debe
    escoger si la tasa de interés es del 8% anual?

    Oferta b

    P = 50.000 [¨1 + 1 – (1+ 0,04 )-4]=
    231.494,76 + 190.000 = 421.494,76

    0,04

    Oferta c

    P =20.000 [¨1 + 1 – (1+ 0,02 )-11]=
    215.736,96

    0,02

    25.000(1 +0,08)-4 = 183.757,46

    215.736,96 + 183.757,46 = 399.494,42

    Respuesta = Oferta b es la más
    conveniente.

    ¿Cuál es el valor presente de una renta de
    $500 depositada a principio de cada mes, durante 15 años
    en una cuenta de ahorros que gana el 9%, convertible
    mensualmente?

    P =500 [¨1 + 1 – (1+ 0,0075 )-179]=
    49.666,42 Respuesta.

    0,0075

    ¿Qué suma debe depositarse a principio de
    cada año, en un fondo que abona el 6% para proveer la
    sustitución de los equipos de una compañía
    cuyo costo es de
    $2.000.000 y con una vida útil de 5 años, si el
    valor de salvamento se estima en el 10% del costo?

    2’000.000 * 0.10= 200.000

    2’000.000 – 200.000 = 1’800.000

    1´800.000 = A [¨ (1 + 0,06 )6 -1 –
    1]

    0,06

    A = 301.239,17 Respuesta.

    Sustituir una serie de pagos de $8.000 al final de cada
    año, por el equivalente en pagos mensuales anticipados,
    con un interés del 9% convertible mensualmente.

    8.000 = A [¨ (1 + 0,0075 )13 -1 –
    1]

    0,0075

    A = 634,85 Respuesta.

    Un empleado consigna $300 al principio de cada mes en
    una cuenta de ahorros que paga el 8%, convertible mensualmente.
    ¿En cuánto tiempo logrará ahorrar
    $30.000?

    0,08 = 0,0067

    12

    30.000 = 300 [¨ (1 + 0,08 )n + 1 -1 –
    1]

    0,08

    n = 76,479 meses

    7. Problemas de
    Anualidades Diferidas

    Formulas para anualidades diferidas

    Son las mismas que las anualidades vencidas y
    anticipadas salvo que estas tienen un periodo de
    gracia.

    Una compañía adquiere unos yacimientos de
    mineral; los estudios de ingeniería muestran que los trabajos
    preparatorios y vías de acceso demoraran 6 años. Se
    estima que los yacimientos en explotación rendirán
    una ganancia anual de $2.400.000. suponiendo que la tasa
    comercial es del 8% y que los yacimientos se agotarán
    después de 15 años continuos de explotación,
    hállese el valor futuro de la renta que espera
    obtenerse.

    VF = 2.400.000 [(1 + 0,08)15 – 1]

    0,08

    VF = 6.516.503,43 Respuesta

    En el problema anterior, hállese el valor de
    utilidad que espera obtener, en el momento de la
    adquisición de los yacimientos.

    VP = 2.400.000 [1 – (1 + 0,08)-15
    ]

    0,08

    VP = 20.542.748,85

    20.542.748,85 (1 + 0,08)-6 = 12.945.416
    Respuesta.

    Una compañía frutera sembró
    cítricos que empezaran a producir dentro de 5 años.
    La producción anual se estima en $400.000 y ese
    rendimiento se mantendrá por espacio de 20 años.
    Hallar con la tasas del 6% el valor presente de la
    producción.

    VP = 400.000 [1 – (1 + 0,06)-20 ]

    0,06

    VP = 4587968,487 (1 + 0,06)-5 =
    3428396,90

    Alguien deposita $100.000 en un banco, con la
    intención de que dentro de 10 años se pague, a
    él o a sus herederos, una renta de $2.500, a principio de
    cada mes. ¿Durante cuántos años se
    pagará esta renta, si el banco abona el 6% convertible
    mensualmente?

    VF = 100.000 (1 + 0,005)120 =
    181.939,67

    181939,67 = 2.500 [ 1 + 1- (1 + 0,005)-n +1
    ]

    0,005

    n = 90,13

    Respuesta = 7 años 7meses

    Una deuda contraída al 8% nominal, debe
    cancelarse con 8 cuotas semestrales de $20.000 c/u, con la
    primera obligación por pagar dentro de 2 años.
    Sustituirla por una obligación equivalente pagadera con 24
    cuotas trimestrales, pagándose la primera de
    inmediato.

    20.000 [1 + 1 – (1 + 0,04)-7 ] (1+0,04)-4 =
    119.707,7136

    0,04

    119.707,71 = A [1 + 1 – (1 +
    0,02)-23]

    0,02

    A = 6.204,97 Respuesta anualidades
    trimestrales

    8. Problemas de Rentas
    Perpetuas

    Formulas de Rentas Perpetuas

    P = A

    i

    P = A + A

    i

    CC= Co + Com

    i

    P = perpetuidad; A = anualidad; Co = costo inicial; CC =
    costo capitalizado;

    i = interés

    Hallar el valor actual de una perpetuidad de $5.000,
    cuyo primer pago se hará dentro de 6 meses, con tasa
    nominal del 12% convertible mensualmente

    P =5.000=500.000

    0,01

    M =500.000(1 + 0,01)-5 = 475.732,84
    Respuesta.

    Hallar el valor actual de una renta de $156.000 por
    año vencido, suponiendo un interés de:

    a. 6% efectivo

    156.000 = 2’561.576,35 Respuesta

    0,06

    b. 6% convertible semestralmente

    156.000 = A [(1 + 0,03)2 – 1]

    0,03

    A = 76.847,29

    P =76.847,29=2’561.576,35 Respuesta

    0,03

    c. 6% convertible mensualmente.

    156.000 = A [(1 + 0,005)12 – 1]

    0,005

    A = 12.646,36

    P =12.646,36=2’529.272,61 Respuesta

    0,005

    Los exalumnos de una universidad
    deciden donarle un laboratorio y
    los fondos para su mantenimiento
    futuro. Si el costo inicial de $200.000 y el mantenimiento se
    estima en $35.000 anuales, hallar el valor de la
    donación, si la tasa efectiva es del 7%.

    P = 200.000 + 35.000 = 700.000 Respuesta

    0,07

    Para mantener en buen estado las
    carreteras vecinales, la junta vecinal decide establecer un
    fondo a fin de proveer las reparaciones futuras, que se estiman
    en $300.000 cada 5 años. Hallar el valor del fondo, con
    la tasa efectiva del 6%.

    300.000 = A [(1 + 0,06)5 – 1]

    0,06

    A = 53.218,92

    P = 53.218,92 = 886.982 Respuesta

    0,06

    Calcular el costo capitalizado de un equipo industrial
    que cuesta $800.000 y tiene una vida útil de 12
    años, al final de los cuales debe remplazarse, con el
    mismo costo. Calcular con la tasa del 6%.

    800.000 = A [(1 + 0,06)12 – 1]

    0,06

    A = 47.421,62

    CC = 800.000 + 47421,62

    0,06

    CC = 1’590.360,39 Respuesta.

    En el problema anterior, calcular el costo capitalizado,
    suponiendo un valor de salvamento igual al 15% del costo
    original.

    800.000 * 0.15 =120.000

    680.000 = A [(1 + 0,06)12 – 1]

    0,06

    A = 40.308,38

    CC = 800.000 + 40.308,37

    0,06

    CC = 1’471.806,33 Respuesta

    Una industria
    recibe dos ofertas de cierto tipo de máquina, ambas de
    igual rendimiento. La primer oferta es por $380.000 y las
    maquinas tiene una vida útil de 7 años; la segunda
    oferta es de $510.000 por maquinas que tienen una vida
    útil de 10 años. Si el precio del dinero es el 6%
    efectivo, ¿qué oferta es más
    conveniente?

    Primera oferta

    380.000 = A [(1 + 0,06)7 – 1]

    0,06

    A = 45.271,30

    CC = 380.000 + 45.271,30

    0,06

    CC = 1’134.521,78 Respuesta

    Segunda Oferta

    510.000 = A [(1 + 0,06)10 – 1]

    0,06

    A = 38692,66

    CC = 510.000 + 38.692,66

    0,06

    CC = 1’154.877,65 Respuesta

    Respuesta = El CC de la primera oferta en menor en
    20.355,86

    9. Problemas de
    Amortización

    Formulas para anualidades diferidas

    F = A [¨ (1 + i )n -1] =Valor
    futuro

    i

    P = A [¨ 1 – (1+ i )-n ] =Valor
    presente

    i

    F = Valor futuro; A = anualidad; n = tiempo

    Nota: Son las mismas que las anualidades vencidas y
    anticipadas.

    1. Una deuda de $20.000 debe amortizarse con 12 pagos
      mensuales vencidos. Hallar el valor de estos, a la tasa
      efectiva del 8%, y elaborar el cuadro de amortización para los dos primeros
      meses.

    (1+0,08)1/12 = (1+
    e.m)12/12

    i = 6,43 *10-3

    20.000= A [ 1 – (1 + 0,0064)-12 ]

    0,0064

    A = 1.737,19 Respuesta

    Fecha

    Periodo

    Cuota

    Interés

    Amortización

    Saldo

    0

    0

    1.737,19

    0

    0

    20.000

    0

    1

    1.737,19

    128,68

    1.608,50

    18.391,49

    0

    2

    1.737,19

    118,33

    1.618,85

    16.772,63

    0

    3

    1.737,19

    107,91

    1.629,27

    15.143,36

    0

    4

    1.737,19

    97,43

    1.639,75

    13.503,60

    0

    5

    1.737,19

    86,88

    1.650,30

    11.853,30

    0

    6

    1.737,19

    76,26

    1.660,92

    10.192,37

    0

    7

    1.737,19

    65,57

    1.671,61

    8.520,26

    0

    8

    1.737,19

    54,82

    1.982,36

    6.838,40

    0

    9

    1.737,19

    43,99

    1.693,18

    5.145,21

    0

    10

    1.737,19

    33,10

    1.704,08

    3.441,13

    0

    11

    1.737,19

    22,14

    1.715,04

    1.726,08

    0

    12

    1.737,19

    11,10

    1.726,08

    0

    Una deuda de $100.000 debe cancelarse con pagos
    trimestrales vencidos en 18 cuotas, con interés del 12%
    capitalizable semestralmente. Hallar el saldo insoluto, al
    efectuar el noveno pago.

    (1+0,12)2/4 = (1
    +et)4/4

    100.000 = A [ 1 – (1 + 0,029)-18 ]

    0,029

    A = 7.244,03 Anualidad

    Para encontrar el valor del noveno pago

    F = 7.244,03 [ (1 + 0,029)-9 – 1 ]

    0,029

    F = 73.462,00

    M = 100.000 (1 + 0,029)9 =
    129.979,95

    73.462,00 + 129.979,95 = 56.517,95 Respuesta Saldo
    insoluto al noveno pago.

    Una propiedad se vende en $300.000, pagaderos
    así; $100.000 al contado y el saldo en 8 cuotas iguales
    semestrales con interés del 10% convertible
    semestralmente. Hallar los derechos del vendedor y del
    comprador, al efectuarse el quinto pago

    300.000 – 100.000 = 200.000

    200.000 = A [ 1 – (1 + 0,05)-8 ]

    0,05

    A = 30.944,36

    F = 30.944,36 [ (1 + 0,05)-5 – 1 ]

    0,05

    F = 170.987,13

    M = 200.000 (1 + 0,05)5 =
    255.256,31

    Derecho del Vendedor 255.256,31 -170.987,13 =
    84.269,17

    D. comprador + 84.269,17 = 300.000

    D comprador = 215.730.83

    ¿Con cuantos pagos semestrales iguales y vencidos
    de $9.500 se pagaría la adquisición de un terreno
    que cuesta $29.540 si se carga una tasa anual de 34% convertible
    mensualmente?

    Conversión de la tasa

    (1 +0,34)6 = (1 +i.s.)

    12

    Interés semestral = 0,1825

    29.540 = 9.500 [ 1 – (1 + 0,1825)-n
    ]

    0,1825

    ln 0,4325 = – n ln(1,1825)

    -0,838 = -n (0,1676)

    n = 5 pagos semestrales Respuesta

    Determine el número de pagos necesarios para
    amortizar totalmente la compra a crédito
    de un automóvil que cuesta $48.000 y se vende con un
    enganche de 45% y el resto a pagar en mensualidades vencidas de
    $1.254,75 con interés al 39% convertible
    mensualmente.

    Enganche 21.600

    Quedan 26.400

    i = 0,39

    12

    i = 0,0325

    26.400 = 1254,75 [ 1 – (1 + 0,0325)-n
    ]

    0,0325

    n = 36 mensualidades Respuesta

    Una aspiradora se vende en $499 al contado o mediante 4
    pagos mensuales anticipados de $135 ¿Cuál es la
    tasa efectiva mensual que se paga al adquirir ese aparato a
    crédito?

    499 = 135 [1 + 1 – (1 +
    i)-3]

    i

    2,69 = 1 – (1 + i)-3

    i

    Interpolación

    0,06 – 0,05 = 0,06 – i

    2,6730 – 2,7232 2,6730 – 2,69

    0,00017 = 0.06 – i

    0,0502

    i = 0,05661

    i = 5,66 % Respuesta

    10. Problemas de
    Fondo de Amortización

    Formulas para anualidades diferidas

    F = A [¨ (1 + i )n -1] =Valor
    futuro

    P = A [¨ 1 – (1+ i )-n] =Valor
    presente

    i

    F = Valor futuro; A = anualidad; n = tiempo

    Nota: Son las mismas que las anualidades vencidas y
    anticipadas.

    1. Se establece un fondo de $5.000 semestrales que
      abona el 6% capitalizable semestralmente. Hallar el valor
      acumulado en 5 años y elaborar el cuadro del
      fondo.

    0,06 = 0,03

    2

    F = 5.000 [¨ (1 + 0,03 )10 -1]
    =57.319,39

    0,03

    Fecha

    Periodo

    Cuota

    Interés

    Valor agregado al fondo

    Saldo

    0

    0

    0

    0

    0

    0

    0

    1

    5.000

    0

    5.000

    5.000

    0

    2

    5.000

    150

    5.150

    10.150

    0

    3

    5.000

    304,5

    5.304,5

    15.454,5

    0

    4

    5.000

    463,63

    5.463,63

    20.918,13

    0

    5

    5.000

    627,54

    5.627,54

    26.545,67

    0

    6

    5.000

    796,37

    5.796,37

    32.342,04

    0

    7

    5.000

    970,26

    5.970,26

    38.312,31

    0

    8

    5.000

    1.149,36

    6.149,36

    44.461,68

    0

    9

    5.000

    1.333,85

    6.333,85

    50.795,53

    0

    10

    5.000

    1.523,86

    6.523,86

    57.319,39

    Un artesano necesita remplazar cada 5 años todas
    sus herramientas,
    cuyo valor es de $10.000. ¿Qué deposito mensual
    debe hacer en una cuenta de ahorros que abona el 8%,
    capitalizable trimestralmente?

    (1 + 0,08)4/12= (1 +
    e.m)12/12

    4

    Tasa efectiva mensual = 6,622 *
    10-3

    10.000 = A [(1 + 6,622 * 10-3)2 –
    1]

    6,622 * 10-3

    A = 136,28 Respuesta

    Para cancelar una deuda de $80.000 a 5 años
    plazos, se establecen reservas anuales en un fondo que abona el
    6%; transcurridos dos años eleva sus intereses al 7%.
    Hallar las reservas anuales y hacer el cuadro de fondo

    80.000 = A [(1 + 0,06)5 – 1]

    0,06

    A = 14.191,71 Primeros dos años

    F = 14.191,71 [¨ (1 + 0,06)2 -1] =
    29.234,92

    0,06

    M = 29234,92 (1+ 0,07)3 = 35.814,04

    44.185,95 = A [(1 + 0,07)3 – 1]

    0,07

    A = 13.744,11 Los 3 últimos
    años.

    Fecha

    Periodo

    Cuota

    Interés

    Valor agregado al fondo

    Saldo

    0

    0

    0

    0

    0

    0

    0

    1

    14.191,71

    0

    14.191,71

    14.191,71

    0

    2

    14.191,71

    851,502

    15.043,21

    29.234.92

    0

    3

    13.744,11

    2.046,44

    15.790,56

    45.025,48

    0

    4

    13.744,11

    3.151,78

    16.895,89

    61.921,38

    0

    5

    13.744,11

    4.334,49

    18.078,61

    80.000

    Un municipio emite obligaciones a
    10 años de plazo por $2.000.000 que devengan el 8% de
    interés. ¿Qué depósitos anuales debe
    hacer en un fondo que abona el 6% y que egreso anual
    tendrá el municipio hasta el pago de la deuda?

    2.000.000 * 0,08 = 160.000

    2.000.000 = A [¨ (1 + 0,06)10
    -1]

    0,06

    A = 151.735,92 depósitos anuales

    151.735,92 + 160.000 = 311735,92 Respuesta total egreso
    anual

    Hallar la reserva anual en un fondo que paga el 7% de
    interés, para cancelar en 25 años una deuda de
    $100.000.

    100.000 = A [¨ (1 + 0,07)25
    -1]

    0,07

    A = 1.518,05 depósitos anuales

    Se deben pagar $29.000 dentro de 12 meses por una deuda
    con anterioridad. Si para pagarla se decide constituir un fondo
    mediante depósitos bimestrales vencidos
    ¿cuál sería el importante de los mismos si
    se colocan en un instrumento de inversión que rinde el 26% convertible
    mensualmente?

    (1 + 0,26)12/6 = (1 + i.
    bimestral)6/6

    12

    i = 0,04380

    29.000 = A [¨ (1 + 0,04380)6
    -1]

    0,04380

    A = 4330,4922 Respuesta.

    Para pagar una deuda de $5.400 que vence dentro de 5
    meses se va a construir un fondo mediante depósitos
    mensuales anticipados. Si los depósitos se colocan en un
    fondo de inversiones
    que rinde el 32% anual convertible mensualmente, hallar su
    importe.

    i = 0,32

    12

    i = 0,0266

    5.400= A [¨ (1 + 0,0266)6 -1 –
    1]

    0,0266

    A = 997,32 Respuesta.

    Haga una tabla que muestre la forma en que
    amortizaría una deuda de $15.000 contratada hoy y que debe
    pagarse en 3 meses con interés al 12% trimestral
    capitalizable mensualmente si se decide constituir un fondo
    mediante depósitos quincenales vencidos en una cuenta de
    inversiones que rinde el 2,7% mensual efectivo.

    (1 + 0,027)12/24 = (1 +e.
    q.)24/24

    Efectiva quincenal = 0,0134

    16.872,96 = A [¨ (1 + 0,0134)6
    -1]

    0,0134

    A = 2719,34677 Respuesta.

    Fecha

    Periodo

    Cuota

    Interés

    Valor agregado al fondo

    Saldo

    0

    0

    0

    0

    0

    0

    0

    1

    2.719,34

    0

    2.719,34

    2.719,34

    0

    2

    2.719,34

    36,46

    2.755,81

    5.475.16

    0

    3

    2.719,34

    73,42

    2.792,76

    8267,92

    0

    4

    2.719,34

    110,87

    2.830,22

    11.098,14

    0

    5

    2.719,34

    148,82

    2.868,17

    13.966,32

    0

    6

    2.719,34

    187,28

    2.906,63

    16.872,96

    ¿Cuál debe ser el importe de cada uno de 8
    depósitos mensuales anticipados que se colocan en un fondo
    de inversión que rinde el 28,4% convertible mensualmente
    con el objeto de amortizar una deuda de $8.888,89 que vence
    exactamente dentro de 8 meses?

    8.888,89 =A [¨ (1 + 0,02375)9 -1 –
    1]

    0,02375

    A = 998,29 Respuesta

    11.
    Bibliografía

    • Alfredo Díaz Mata – Víctor Manuel
      Aguilera G. Matemáticas Financiera. Segunda
      Edición. Editorial Mc. Graw Hill. Ejercicios Propuestos.
      1.998
    • Lincoyan Protus G. Matemáticas Financiera.
      Cuarta Edición. Editorial Mc Graw Hill. Cuarta
      Edición. Ejercicios Propuestos. 1.997

     

     

     

    Autor:

    Ena Maria Vera Espinoza

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