Indice
1.
Introducción
2. Modelos Lineales
3. Polinomios
4. Funciones potencia
5. Funciones
racionales
6. Funciones
trigonométricas
7. Funciones
exponenciales
8. Funciones
logaritmos
9. Funciones
trascendentes
10. Bibliografía
Un modelo
matemático se define como una descripción desde el punto de vista de las
matemáticas de un hecho o fenómeno
del mundo real, desde el tamaño de la población, hasta fenómenos
físicos como la velocidad,
aceleración o densidad. El
objetivo del
modelo matemático es entender ampliamente el
fenómeno y tal vez predecir su comportamiento
en el futuro.
El proceso para
elaborar un modelo matemático es el siguiente:
- Encontrar un problema del mundo real
- Formular un modelo matemático acerca del
problema, identificando variables
(dependientes e independientes) y estableciendo hipótesis lo suficientemente simples para
tratarse de manera matemática. - Aplicar los conocimientos matemáticos que se
posee para llegar a conclusiones
matemáticas. - Comparar los datos obtenidos
como predicciones con datos reales. Si los datos son
diferentes, se reinicia el proceso.
Es importante mencionar que un modelo matemático
no es completamente exacto con problemas de
la vida real, de hecho, se trata de una idealización.
Hay una gran cantidad de funciones que
representan relaciones observadas en el mundo real; las cuales se
analizarán en los párrafos siguientes, tanto
algebraicamente como gráficamente.
2. Modelos
Lineales
Se dice que una función es
lineal cuando su gráfica es una línea recta; y por
consecuencia tiene la forma:
y = f(x) = mx + b
Donde m representa la pendiente de la recta y b la ordenada al
origen (el punto en el que la recta interfecta al eje de las
"y"). Es importante mencionar que este tipo de funciones crecen a
tasa constante; y su dominio e
imagen son
todos los números reales.
Una función es polinomio si tiene la forma:
P(x) = anxn +
an-1xn-1 + ……
a2x2 + a1x +
a0
Donde n representa un entero negativo y los
números a0, a1,
a2,….. an, son constantes llamadas
coeficientes del polinomio. El dominio de todos los polinomios
son todos los números reales (-∞, ∞).
Los polinomios se nombran de acuerdo al grado del primer termino.
Los polinomios de grado uno son de la forma: P(x) = mx + b, y son
funciones lineales. Los polinomios de segundo grado son llamados
funciones cuadráticas y presentan la forma P(x) =
axx + bx + c; su gráfica es de una
parábola.
Una función de tercer grado, es llamada función
cúbica, y tiene la forma: P(x) = ax3 +
bx2 + cx + d. A continuación se muestran las
gráficas de algunas funciones de
polinomios.
Una función es llamada potencia, cuando
tiene la forma: f(x) = xa, donde a es constante. Y hay
varios casos:
La forma genera de la gráfica depende si n es
par o impar; si n es par, la gráfica de f es similar a
la parábola y = x2; de lo contrario, la
gráfica se parecerá a la función y =
x3.
Es importante mencionar, que en cualquiera que sea el caso,
cuando n crece, la gráfica se vuelve más plana
cerca de 0, y más empinada cuando Ix I es menor o
igual a 1.
Las dos gráficas anteriores son ejemplos de
funciones pares: x2 y x6.
Las dos gráficas anteriores son ejemplos de
funciones pares: x3 y x5.- a= n, n es un entero positivo
La función f(x) = x1/n es una
función raíz. Al igual que en el caso anterior,
su gráfica depende de n, ya que si n es par su
gráfica será similar al de raíz
cuadrada; y si n es impar su gráfica será
similar al de raíz cúbica.
- a= 1/n, n es un entero positivo.
- a= -1
Éste tipo de función es llamada
función recíproca, y su forma es f(x) = x
-1 o f(x) = -1/x. Y su gráfica corresponde a
una hipérbola cuyas asíntotas son los ejes de
coordenadas.
Una función es llamada racional cuando es una
razón o división de dos polinomios.
f(x) = P(x) / Q(x)
Su dominio lo constituyen todos los valores
que no hagan a Q(x) = 0, ya que una división es
indivisible entre 0.
En el caso de éstas funciones, es conveniente
utilizar la medida de radianes; es importante mencionar que cada
función tiene una gráfica específica. En el
caso específico del seno y coseno, su dominio es
(-∞,∞) y su imagen [-1, 1]. Veamos en las
gráficas.
Se les llama funciones exponenciales a aquellas que
tienen la forma f(x) = ax, donde la base a es una
constante positiva. Su dominio es (-∞,∞) y su imagen
(0, ∞).
Es importante mencionar que si la base de la función
exponencial es mayor a 1, la gráfica será
descendente, y si la base se encuentra entre 0 y 1 la
gráfica será descendente (pero en el cuadrante
contrario).
Son funciones que tienen la forma f(x) =
logax, donde la base a es una constante positiva; es
importante mencionar que son las funciones inversas a las
exponenciales; por lo tanto su dominio es (0, ∞) y su
imagen (- ∞, ∞). Veamos ejemplos:
Como podemos observar en las dos gráficas
anteriores, a medida que la base del logaritmo es mayor, la
gráfica de éste se apega más al eje
Y.
En realidad esta clasificación engloba a todas
aquellas funciones que no son algebraicas (esto es, las que
involucran adición, sustracción, división y
multiplicación de variables).
Las funciones trascendentes son las trigonométricas,
logarítmicas, exponenciales, y trigonométricas
inversas, entre otras.
- STEWART, James. "Cálculo,
Trascendentes Tempranas". 4 ed. Tr. de Andrés Sestier.
México, Ed. Thomson, 2002. p.
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Autor:
Emanuel Esquivias Celedón
Escolaridad: Ingeniería.