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MODELOS MATEMÁTICOS

Enviado por hyperpulsar



Indice
1. Introducción
2. Modelos Lineales
3. Polinomios
4. Funciones potencia
5. Funciones racionales
6. Funciones trigonométricas
7. Funciones exponenciales
8. Funciones logaritmos
9. Funciones trascendentes
10. Bibliografía

1. Introducción

Un modelo matemático se define como una descripción desde el punto de vista de las matemáticas de un hecho o fenómeno del mundo real, desde el tamaño de la población, hasta fenómenos físicos como la velocidad, aceleración o densidad. El objetivo del modelo matemático es entender ampliamente el fenómeno y tal vez predecir su comportamiento en el futuro.
El proceso para elaborar un modelo matemático es el siguiente:

  1. Encontrar un problema del mundo real
  2. Formular un modelo matemático acerca del problema, identificando variables (dependientes e independientes) y estableciendo hipótesis lo suficientemente simples para tratarse de manera matemática.
  3. Aplicar los conocimientos matemáticos que se posee para llegar a conclusiones matemáticas.
  4. Comparar los datos obtenidos como predicciones con datos reales. Si los datos son diferentes, se reinicia el proceso.

Es importante mencionar que un modelo matemático no es completamente exacto con problemas de la vida real, de hecho, se trata de una idealización.
Hay una gran cantidad de funciones que representan relaciones observadas en el mundo real; las cuales se analizarán en los párrafos siguientes, tanto algebraicamente como gráficamente.

2. Modelos Lineales

Se dice que una función es lineal cuando su gráfica es una línea recta; y por consecuencia tiene la forma:
y = f(x) = mx + b
Donde m representa la pendiente de la recta y b la ordenada al origen (el punto en el que la recta interfecta al eje de las "y"). Es importante mencionar que este tipo de funciones crecen a tasa constante; y su dominio e imagen son todos los números reales.

3. Polinomios

Una función es polinomio si tiene la forma:
P(x) = anxn + an-1xn-1 + …… a2x2 + a1x + a0
Donde n representa un entero negativo y los números a0, a1, a2,….. an, son constantes llamadas coeficientes del polinomio. El dominio de todos los polinomios son todos los números reales (-∞, ∞).
Los polinomios se nombran de acuerdo al grado del primer termino. Los polinomios de grado uno son de la forma: P(x) = mx + b, y son funciones lineales. Los polinomios de segundo grado son llamados funciones cuadráticas y presentan la forma P(x) = axx + bx + c; su gráfica es de una parábola.
Una función de tercer grado, es llamada función cúbica, y tiene la forma: P(x) = ax3 + bx2 + cx + d. A continuación se muestran las gráficas de algunas funciones de polinomios.

4. Funciones potencia

Una función es llamada potencia, cuando tiene la forma: f(x) = xa, donde a es constante. Y hay varios casos:

  1. La forma genera de la gráfica depende si n es par o impar; si n es par, la gráfica de f es similar a la parábola y = x2; de lo contrario, la gráfica se parecerá a la función y = x3.
    Es importante mencionar, que en cualquiera que sea el caso, cuando n crece, la gráfica se vuelve más plana cerca de 0, y más empinada cuando Ix I es menor o igual a 1.

    Las dos gráficas anteriores son ejemplos de funciones pares: x2 y x6.

    Las dos gráficas anteriores son ejemplos de funciones pares: x3 y x5.

  2. a= n, n es un entero positivo

    La función f(x) = x1/n es una función raíz. Al igual que en el caso anterior, su gráfica depende de n, ya que si n es par su gráfica será similar al de raíz cuadrada; y si n es impar su gráfica será similar al de raíz cúbica.

  3. a= 1/n, n es un entero positivo.
  4. a= -1

Éste tipo de función es llamada función recíproca, y su forma es f(x) = x -1 o f(x) = -1/x. Y su gráfica corresponde a una hipérbola cuyas asíntotas son los ejes de coordenadas.

 

5. Funciones racionales

Una función es llamada racional cuando es una razón o división de dos polinomios.
f(x) = P(x) / Q(x)
Su dominio lo constituyen todos los valores que no hagan a Q(x) = 0, ya que una división es indivisible entre 0.
 

6. Funciones trigonométricas

En el caso de éstas funciones, es conveniente utilizar la medida de radianes; es importante mencionar que cada función tiene una gráfica específica. En el caso específico del seno y coseno, su dominio es (-∞,∞) y su imagen [-1, 1]. Veamos en las gráficas.

 

7. Funciones exponenciales

Se les llama funciones exponenciales a aquellas que tienen la forma f(x) = ax, donde la base a es una constante positiva. Su dominio es (-∞,∞) y su imagen (0, ∞).
Es importante mencionar que si la base de la función exponencial es mayor a 1, la gráfica será descendente, y si la base se encuentra entre 0 y 1 la gráfica será descendente (pero en el cuadrante contrario).

 

 

8. Funciones logaritmos

Son funciones que tienen la forma f(x) = logax, donde la base a es una constante positiva; es importante mencionar que son las funciones inversas a las exponenciales; por lo tanto su dominio es (0, ∞) y su imagen (- ∞, ∞). Veamos ejemplos:

 

Como podemos observar en las dos gráficas anteriores, a medida que la base del logaritmo es mayor, la gráfica de éste se apega más al eje Y.

9. Funciones trascendentes

En realidad esta clasificación engloba a todas aquellas funciones que no son algebraicas (esto es, las que involucran adición, sustracción, división y multiplicación de variables).
Las funciones trascendentes son las trigonométricas, logarítmicas, exponenciales, y trigonométricas inversas, entre otras.

10. Bibliografía

  • STEWART, James. "Cálculo, Trascendentes Tempranas". 4 ed. Tr. de Andrés Sestier. México, Ed. Thomson, 2002. p. 1151

 

 

 

 

 

Autor:


Emanuel Esquivias Celedón

Escolaridad: Ingeniería.


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