No siempre los números se han
anotado de la misma manera que hoy. Para que nos demos cuenta de
este hecho basta recordar las cifras romanas que utilizamos
todavía en algunas ocasiones para dar relevancia a
algún número en particular (numeración de
los siglos por ejemplo). Llama la atención la realización de
cálculos con dichos números pues hoy día
sólo se utilizan los números romanos para designar
una determinada cifra, pero no se calcula con ellas. Por ejemplo,
si nos encontramos con que tenemos que multiplicar dos
números romanos como XXV y IV, mentalmente hacemos la
multiplicación con los números por todos conocidos,
es decir 25 x 4 = 100, y anotamos el resultado con la cifra
romana correspondiente que hemos aprendido es una C.
¿Cómo calculaban los romanos?
¿Desde cuándo se utilizan las números
actuales? ¿Siempre se ha multiplicado de la misma manera
con las cifras actuales? Estas cuestiones no se resuelven en los
tratados de
aritmética al uso ni en los manuales
escolares. Por otra parte, no son asequibles textos que traten
del tema si no se tiene un conocimiento
amplio de las matemáticas y de su historia. Existe una obra
enciclopédica: Historia
Universal de las Cifras, de Georges Ifrah (Ed. Espasa,
Madrid, 1997) que permite responder a las cuestiones anteriores y
muchas otras ya que es una obra extensa (1996 páginas).
Todo lo que se expone a continuación se basa en los
contenidos de dicha obra. Las afirmaciones y conclusiones tomadas
del texto se
recogen entrecomilladas.
Los romanos no conocían nuestra numeración
decimal de posición ni el cero matemático ni las
bases del cálculo
escrito tal como lo practicamos hoy día. Los
números y la aritmética que utilizamos actualmente
y que están extendidos a nivel mundial se inventaron en la
India:
«la invención de este sistema se
produjo a mediados del siglo V d. C. y se debe a la
civilización india». Tuvieron que pasar otros ocho
siglos para que dicho sistema se instaurara en Europa: «se
necesitaron más de cinco siglos para que se transmitieran
las nueve cifras significativas a la Europa cristiana. A
continuación, hubo todavía que esperar dos o tres
siglos para que hiciera su aparición el cero junto con los
métodos de
cálculo indios, y un lapso de tiempo aún
más considerable para que se propagaran y fueran
definitivamente aceptadas en el mundo occidental…».
Actualmente llamamos a las cifras "números árabes"
pues fueron los sabios arábigo-musulmanes los primeros en
aceptar dicho sistema transmitiéndolo a las demás
culturas.
Los números romanos, como los de otras
civilizaciones antiguas, no se basan en el sistema decimal de
posición sino que establecen símbolos para las
cantidades. En realidad lo que hacen es contar. Ifrah utiliza un
ejemplo clarificador para explicar el origen de los
números romanos arcaicos y que me he permitido modificar
para establecer ya los números romanos que todos
conocemos: un pastor quiere contar sus ovejas utilizando un
bastón de madera sobre
el que hará tantas muescas como ovejas
I I I I I I I I I I I I I I I I I I I . .
19 ovejas
este proceder no es cómodo pues obliga a recontar
las muescas cada vez que se quiera saber el número total
de ovejas. El ojo humano puede distinguir fácilmente al
primer golpe de vista (sin contar) uno, dos, tres o incluso
cuatro trazos paralelos. Por tanto, para facilitar el proceso, el
pastor cambia el tipo de trazo cada 5 marcas para que
pueda ser reconocida al primer golpe de vista (también
puede ser una coincidencia con el número de dedos de las
manos)
I I I I V I I I I X I I I I V I I I I . .
.19 ovejas
contar en este segundo caso es más sencillo que
en el primero.
Con el tiempo el trazo utilizado para el número 5
y para el número 10 se bastan a sí mismos, sin
necesidad de transcribir los trazos que les preceden
X V I I I I . . . . . . . . 19
ovejas
La evolución posterior de este sistema de
numeración pasa por abreviar. En lugar de escribir el
número 4 con cuatro trazos, se anota con la forma IV,
expresando así que el cuarto trazo de la serie se
encuentra justo antes del "V". Del mismo modo, en lugar de
escribir el número nueve con la forma VIIII, se escribe
IX. El pastor escribirá finalmente
XIX . . . . . . . . 19 ovejas
Como sabemos, la numeración romana también
establece símbolos especiales para el número 50
(L), 100 (C), 500 (D) y 1000 (M).
Podemos pasar ya a las operaciones
aritméticas con estos números romanos. «Para
efectuar las operaciones aritméticas, los griegos, los
etruscos y los romanos no utilizaron sus cifras, sino
ábacos…. La palabra latina abacus deriva del
griego abax o abakion, que significa "bandeja, mesa
o tablilla"…. Un instrumento empleado en Roma fue el
ábaco
de cera, una auténtica "calculadora" portátil que
se colgaba al hombro. Este ábaco consistía en una
pequeña plancha de hueso o madera bañada en una
fina capa de cera negra, donde se delimitaban las columnas
sucesivas y se trazaban las cifras por medio de un estilete de
hierro».
La estructura del
ábaco, una serie de columnas sucesivas que marcan de
izquierda a derecha las unidades, decenas, centenas, millares,
etc., permite que se pueda utilizar para realizar operaciones
aritméticas con cualquier tipo de numeración. A
modo de ejemplo voy a multiplicar 310 y 25 en el ábaco de
cifras romanas. Se empieza por escribir el multiplicando (310) y
el multiplicador (25) en la parte inferior de las columnas del
ábaco (figura 1).
Figura 1.
Después, se multiplica el 2 del multiplicador
(que equivale a 20) por el 3 del multiplicando (que vale 300); se
obtiene 6 (o mejor 6000). Se escribe entonces, en la parte
superior, la cifra 6 en la cuarta columna (la de los millares).
El proceso es el mismo en los demás pasos (figura
2).
Figura 2.
Finalmente, se borran el multiplicando y el
multiplicador y se procede a realizar las reducciones
correspondientes en cada columna, comenzando por la que se ha
asignado al orden de las unidades más bajas. No queda
más que leer el resultado sobre las columnas (figura
3).
Para ver el
gráfico seleccione la opción "Descargar"
Figura 3.
En cuanto a la última cuestión planteada:
¿Siempre se ha multiplicado de la misma manera con las
cifras actuales?, creo que resulta evidente responder que no
siempre se ha multiplicado de la manera que lo hacemos hoy con
los números actuales. En la obra de Ifrah se pueden
encontrar varias formas de multiplicar que han precedido a la
actual (al menos siete procedimientos
con sus respectivas variantes). En realidad la cuestión no
es más que un pretexto para exponer una de esas formas que
más me llamó la atención, se trata de la
multiplicación llamada "de la celosía".
El nombre de multiplicación de la celosía
alude a la disposición de las cifras cuando se ha
terminado la multiplicación que recuerda «a las
mallas de madera o metal tras las que las mujeres, y sobre todo
los maridos celosos, podrían observar sin ser
vistos». El procedimiento (un
algoritmo, es
decir, un conjunto ordenado y finito de operaciones que permite
hallar la solución de un problema) fue inventado por
«los árabes alrededor del siglo XIII,
transmitiéndolo posteriormente a Europa occidental…. Hay
una descripción del método en
una obra anónima de aritmética publicada en Treviso
en 1478), así como en la Summa de arithmética,
geometría, proporzioni di
proporcionalita del matemático italiano Luca Pacioli
(Venecia, 1494)».
El mismo Ifrah reconoce que la disposición de los
números es bastante peculiar, sin embargo el resultado
final «se obtiene poco más o menos como en nuestra
técnica actual, sumando los productos de
las diversas cifras del multiplicando y el multiplicador».
Supongamos que hay que multiplicar 325 y 243. Se empieza por
dibujar una tabla de tres filas y tres columnas pues los dos
números a multiplicar tienen tres cifras cada uno. A
continuación se trazan las diagonales de cada celda de la
tabla y se colocan los números a multiplicar empezando por
el multiplicando (325) cuyas tres cifras encabezarán cada
una de las columnas de izquierda a derecha. El multiplicador
(243) se coloca al final de cada fila de abajo a arriba, es
decir, el 2 al final de la última fila, el 4 al final de
la fila central y el 3 al final de la primera fila. El resultado
se puede ver en la figura 4.
Para ver el gráfico seleccione la
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Figura 4.
A continuación «se efectúa el
producto de
cada una de las cifras del multiplicando por cada una de las
cifras del multiplicador, inscribiendo el resultado en la casilla
correspondiente, solo que la cifra de las unidades de cada
producto parcial se escribe en el espacio superior derecho de la
casilla, y la de las decenas, si la hay, en el inferior
izquierdo; si no lo hay, puede dejarse el espacio vacío o
escribir en él un cero». El resultado se muestra en la
figura 5.
Para ver el gráfico seleccione la
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Figura 5.
Finalmente se suman las cifras de cada banda oblicua
comenzando por la que se encuentra en el extremo superior
derecho. Así, en nuestro caso:
Primera banda: tiene un 5
Segunda banda: 6 + 1 + 0 = 7
Tercera banda: 9 + 0 + 8 + 2 + 0 = 19 (anoto 9 y me
llevo 1 a la banda siguiente).
Cuarta banda: 0 + 2 + 0 + 4 + 1 + 1 = 8 (el
último 1 procede de la banda anterior).
Quinta banda: 1 + 6 + 0 = 7
El resultado final se lee al revés que se ha
sumado, es decir 325 x 243 = 78.975 (figura 6).
Para ver el gráfico seleccione la
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Figura 6.
Respecto al procedimiento que utilizamos hoy, el
método del algoritmo de la celosía parece
más largo, sin embargo ofrece la ventaja de no tener que
memorizar la cifra que nos llevamos en cada multiplicación
parcial. Por ejemplo, al multiplicar 325 x 243 empezamos
multiplicando 3 x 5 = 15, anotamos un 5 y nos llevamos 1 a la
siguiente multiplicación. Ifrah no repara en otra ventaja
de este método: no importa el orden en que se multiplican
las cifras parciales ya que el resultado de cada una de dichas
multiplicaciones tiene asignada una celda concreta en la tabla (o
celosía).
Bibliografía:
Ifrah, Georges (1997). Historia universal de las
cifras. Madrid: Espasa.
Autor:
Felipe Moreno Romero
Lcdo. Ciencias
Químicas