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OTRAS FORMAS DE MULTIPLICAR




Enviado por fresenius



    No siempre los números se han
    anotado de la misma manera que hoy. Para que nos demos cuenta de
    este hecho basta recordar las cifras romanas que utilizamos
    todavía en algunas ocasiones para dar relevancia a
    algún número en particular (numeración de
    los siglos por ejemplo). Llama la atención la realización de
    cálculos con dichos números pues hoy día
    sólo se utilizan los números romanos para designar
    una determinada cifra, pero no se calcula con ellas. Por ejemplo,
    si nos encontramos con que tenemos que multiplicar dos
    números romanos como XXV y IV, mentalmente hacemos la
    multiplicación con los números por todos conocidos,
    es decir 25 x 4 = 100, y anotamos el resultado con la cifra
    romana correspondiente que hemos aprendido es una C.

    ¿Cómo calculaban los romanos?
    ¿Desde cuándo se utilizan las números
    actuales? ¿Siempre se ha multiplicado de la misma manera
    con las cifras actuales? Estas cuestiones no se resuelven en los
    tratados de
    aritmética al uso ni en los manuales
    escolares. Por otra parte, no son asequibles textos que traten
    del tema si no se tiene un conocimiento
    amplio de las matemáticas y de su historia. Existe una obra
    enciclopédica: Historia
    Universal de las Cifras, de Georges Ifrah (Ed. Espasa,
    Madrid, 1997) que permite responder a las cuestiones anteriores y
    muchas otras ya que es una obra extensa (1996 páginas).
    Todo lo que se expone a continuación se basa en los
    contenidos de dicha obra. Las afirmaciones y conclusiones tomadas
    del texto se
    recogen entrecomilladas.

    Los romanos no conocían nuestra numeración
    decimal de posición ni el cero matemático ni las
    bases del cálculo
    escrito tal como lo practicamos hoy día. Los
    números y la aritmética que utilizamos actualmente
    y que están extendidos a nivel mundial se inventaron en la
    India:
    «la invención de este sistema se
    produjo a mediados del siglo V d. C. y se debe a la
    civilización india». Tuvieron que pasar otros ocho
    siglos para que dicho sistema se instaurara en Europa: «se
    necesitaron más de cinco siglos para que se transmitieran
    las nueve cifras significativas a la Europa cristiana. A
    continuación, hubo todavía que esperar dos o tres
    siglos para que hiciera su aparición el cero junto con los
    métodos de
    cálculo indios, y un lapso de tiempo aún
    más considerable para que se propagaran y fueran
    definitivamente aceptadas en el mundo occidental…».
    Actualmente llamamos a las cifras "números árabes"
    pues fueron los sabios arábigo-musulmanes los primeros en
    aceptar dicho sistema transmitiéndolo a las demás
    culturas.

    Los números romanos, como los de otras
    civilizaciones antiguas, no se basan en el sistema decimal de
    posición sino que establecen símbolos para las
    cantidades. En realidad lo que hacen es contar. Ifrah utiliza un
    ejemplo clarificador para explicar el origen de los
    números romanos arcaicos y que me he permitido modificar
    para establecer ya los números romanos que todos
    conocemos: un pastor quiere contar sus ovejas utilizando un
    bastón de madera sobre
    el que hará tantas muescas como ovejas

    I I I I I I I I I I I I I I I I I I I . .
    19 ovejas

    este proceder no es cómodo pues obliga a recontar
    las muescas cada vez que se quiera saber el número total
    de ovejas. El ojo humano puede distinguir fácilmente al
    primer golpe de vista (sin contar) uno, dos, tres o incluso
    cuatro trazos paralelos. Por tanto, para facilitar el proceso, el
    pastor cambia el tipo de trazo cada 5 marcas para que
    pueda ser reconocida al primer golpe de vista (también
    puede ser una coincidencia con el número de dedos de las
    manos)

    I I I I V I I I I X I I I I V I I I I . .
    .19 ovejas

    contar en este segundo caso es más sencillo que
    en el primero.

    Con el tiempo el trazo utilizado para el número 5
    y para el número 10 se bastan a sí mismos, sin
    necesidad de transcribir los trazos que les preceden

    X V I I I I . . . . . . . . 19
    ovejas

    La evolución posterior de este sistema de
    numeración pasa por abreviar. En lugar de escribir el
    número 4 con cuatro trazos, se anota con la forma IV,
    expresando así que el cuarto trazo de la serie se
    encuentra justo antes del "V". Del mismo modo, en lugar de
    escribir el número nueve con la forma VIIII, se escribe
    IX. El pastor escribirá finalmente

    XIX . . . . . . . . 19 ovejas

    Como sabemos, la numeración romana también
    establece símbolos especiales para el número 50
    (L), 100 (C), 500 (D) y 1000 (M).

    Podemos pasar ya a las operaciones
    aritméticas con estos números romanos. «Para
    efectuar las operaciones aritméticas, los griegos, los
    etruscos y los romanos no utilizaron sus cifras, sino
    ábacos…. La palabra latina abacus deriva del
    griego abax o abakion, que significa "bandeja, mesa
    o tablilla"…. Un instrumento empleado en Roma fue el
    ábaco
    de cera, una auténtica "calculadora" portátil que
    se colgaba al hombro. Este ábaco consistía en una
    pequeña plancha de hueso o madera bañada en una
    fina capa de cera negra, donde se delimitaban las columnas
    sucesivas y se trazaban las cifras por medio de un estilete de
    hierro».
    La estructura del
    ábaco, una serie de columnas sucesivas que marcan de
    izquierda a derecha las unidades, decenas, centenas, millares,
    etc., permite que se pueda utilizar para realizar operaciones
    aritméticas con cualquier tipo de numeración. A
    modo de ejemplo voy a multiplicar 310 y 25 en el ábaco de
    cifras romanas. Se empieza por escribir el multiplicando (310) y
    el multiplicador (25) en la parte inferior de las columnas del
    ábaco (figura 1).

    Figura 1.

    Después, se multiplica el 2 del multiplicador
    (que equivale a 20) por el 3 del multiplicando (que vale 300); se
    obtiene 6 (o mejor 6000). Se escribe entonces, en la parte
    superior, la cifra 6 en la cuarta columna (la de los millares).
    El proceso es el mismo en los demás pasos (figura
    2).

    Figura 2.

    Finalmente, se borran el multiplicando y el
    multiplicador y se procede a realizar las reducciones
    correspondientes en cada columna, comenzando por la que se ha
    asignado al orden de las unidades más bajas. No queda
    más que leer el resultado sobre las columnas (figura
    3).

     Para ver el
    gráfico seleccione la opción "Descargar"

    Figura 3.

    En cuanto a la última cuestión planteada:
    ¿Siempre se ha multiplicado de la misma manera con las
    cifras actuales?, creo que resulta evidente responder que no
    siempre se ha multiplicado de la manera que lo hacemos hoy con
    los números actuales. En la obra de Ifrah se pueden
    encontrar varias formas de multiplicar que han precedido a la
    actual (al menos siete procedimientos
    con sus respectivas variantes). En realidad la cuestión no
    es más que un pretexto para exponer una de esas formas que
    más me llamó la atención, se trata de la
    multiplicación llamada "de la celosía".

    El nombre de multiplicación de la celosía
    alude a la disposición de las cifras cuando se ha
    terminado la multiplicación que recuerda «a las
    mallas de madera o metal tras las que las mujeres, y sobre todo
    los maridos celosos, podrían observar sin ser
    vistos». El procedimiento (un
    algoritmo, es
    decir, un conjunto ordenado y finito de operaciones que permite
    hallar la solución de un problema) fue inventado por
    «los árabes alrededor del siglo XIII,
    transmitiéndolo posteriormente a Europa occidental…. Hay
    una descripción del método en
    una obra anónima de aritmética publicada en Treviso
    en 1478), así como en la Summa de arithmética,
    geometría, proporzioni di
    proporcionalita
    del matemático italiano Luca Pacioli
    (Venecia, 1494)».

    El mismo Ifrah reconoce que la disposición de los
    números es bastante peculiar, sin embargo el resultado
    final «se obtiene poco más o menos como en nuestra
    técnica actual, sumando los productos de
    las diversas cifras del multiplicando y el multiplicador».
    Supongamos que hay que multiplicar 325 y 243. Se empieza por
    dibujar una tabla de tres filas y tres columnas pues los dos
    números a multiplicar tienen tres cifras cada uno. A
    continuación se trazan las diagonales de cada celda de la
    tabla y se colocan los números a multiplicar empezando por
    el multiplicando (325) cuyas tres cifras encabezarán cada
    una de las columnas de izquierda a derecha. El multiplicador
    (243) se coloca al final de cada fila de abajo a arriba, es
    decir, el 2 al final de la última fila, el 4 al final de
    la fila central y el 3 al final de la primera fila. El resultado
    se puede ver en la figura 4.

    Para ver el gráfico seleccione la
    opción "Descargar" del menú superior

    Figura 4.

    A continuación «se efectúa el
    producto de
    cada una de las cifras del multiplicando por cada una de las
    cifras del multiplicador, inscribiendo el resultado en la casilla
    correspondiente, solo que la cifra de las unidades de cada
    producto parcial se escribe en el espacio superior derecho de la
    casilla, y la de las decenas, si la hay, en el inferior
    izquierdo; si no lo hay, puede dejarse el espacio vacío o
    escribir en él un cero». El resultado se muestra en la
    figura 5.

    Para ver el gráfico seleccione la
    opción "Descargar" del menú superior

    Figura 5.

    Finalmente se suman las cifras de cada banda oblicua
    comenzando por la que se encuentra en el extremo superior
    derecho. Así, en nuestro caso:

    Primera banda: tiene un 5

    Segunda banda: 6 + 1 + 0 = 7

    Tercera banda: 9 + 0 + 8 + 2 + 0 = 19 (anoto 9 y me
    llevo 1 a la banda siguiente).

    Cuarta banda: 0 + 2 + 0 + 4 + 1 + 1 = 8 (el
    último 1 procede de la banda anterior).

    Quinta banda: 1 + 6 + 0 = 7

    El resultado final se lee al revés que se ha
    sumado, es decir 325 x 243 = 78.975 (figura 6).

    Para ver el gráfico seleccione la
    opción "Descargar" del menú superior

    Figura 6.

    Respecto al procedimiento que utilizamos hoy, el
    método del algoritmo de la celosía parece
    más largo, sin embargo ofrece la ventaja de no tener que
    memorizar la cifra que nos llevamos en cada multiplicación
    parcial. Por ejemplo, al multiplicar 325 x 243 empezamos
    multiplicando 3 x 5 = 15, anotamos un 5 y nos llevamos 1 a la
    siguiente multiplicación. Ifrah no repara en otra ventaja
    de este método: no importa el orden en que se multiplican
    las cifras parciales ya que el resultado de cada una de dichas
    multiplicaciones tiene asignada una celda concreta en la tabla (o
    celosía).

    Bibliografía:

    Ifrah, Georges (1997). Historia universal de las
    cifras.
    Madrid: Espasa.

     

     

     

     

    Autor:

    Felipe Moreno Romero

    Lcdo. Ciencias
    Químicas

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