Incidencia de la formación y desarrollo de la habilidad de fundamentación en la resolución de problemas algebraicos

Indice
1. Desarrollo
2. Momentos en el proceso de formación y desarrollo de la habilidad de fundamentación
3. Leyes básicas del proceso de pensamiento en la fundamentación de proposiciones.
4. La aplicación del contrarrecíproco de una proposición
5. Diagnóstico de la habilidad fundamentar en la Disciplina Álgebra.
6. Modelo teórico en que se sustenta la Estrategia
7. Consideraciones metodológicas que sustentan la estrategia
8. Conclusiones.
9. Bibliografía

1. Desarrollo

Concepción metodológica de la formación y desarrollo de la habilidad fundamentar en relación con la resolución de problemas
algebraicos.
Se reconoce por diferentes autores e investigadores del desarrollo de habilidades, que la fundamentación tiende, en su formación y desarrollo, a diferenciarse de otras habilidades matemáticas en el hecho de que su uso presupone la existencia de determinado acervo de conocimientos que le proporcionen la necesaria base de sustentación; es decir, la posibilidad y calidad de la argumentación estará en dependencia de cuánto y con cuánta profundidad se posee el conocimiento sobre el cual se argumenta. Este es el caso de otras habilidades matemáticas relacionadas con ella, como son la explicación, y la demostración, las cuales contribuyen en los estudiantes a la profundización y consolidación de sus conocimientos al exigir del sujeto que aprende una toma de posición ante lo que se conoce.
La argumentación, considerada también como fundamentación, es el punto de partida para la demostración.

2. Momentos en el proceso de formación y desarrollo de la habilidad de fundamentación

En el interactuar cotidiano se presentan al estudiante innumerables momentos y situaciones en los que se enfrenta a la necesidad de fundamentar; ya en el aula y durante la realización de actividades del proceso docente educativo, las situaciones más relevantes son las siguientes:

1. Cuando se les pide que argumenten sus respuestas.
2. Cuando deben argumentar una afirmación o juicio expresado por el maestro o por otro compañero.

La toma de decisiones, como elemento diferenciante de la habilidad de fundamentación tiene su manifestación en la ratificación del juicio expresado por el propio estudiante o en la argumentación de la idea expresada por otra persona que se apoya en la expresión de ideas, conocimientos, puntos de vista, revelación de la información de que se dispone sobre la idea o juicio que se fundamenta; lo que constituye la segunda etapa en el proceso de argumentación de un juicio; y constituye la expresión de las bases que determinan la toma de posición.

La formación y correcto desarrollo de la habilidad de fundamentación representan para los alumnos un aporte decisivo para la consolidación y madurez de sus conocimientos científicos, así como el fortalecimiento de sus procesos axiológicos y consecuentemente a la formación de la personalidad.
El logro de una mayor o menor formación y desarrollo de la habilidad de argumentación en los estudiantes está determinada por la metodología de trabajo utilizada por el maestro con este propósito; así como la profundidad y sistematicidad de su tratamiento en los diferentes estadios del aprendizaje. Como es sabido, una enseñanza reproductiva y escolástica, de conocimientos memorizados, un aprendizaje mecánico y formal no posibilita un adecuado desarrollo de esta habilidad.

Resortes que favorecen una adecuada formación de la habilidad de fundamentación:
Son favorecedores de una adecuada formación y desarrollo de esta habilidad las ideas siguientes:

• Comenzar el desarrollo de la habilidad en edades tempranas.
• Usar la fundamentación siempre bajo la premisa de la existencia de posibilidades argumentativas al alcance de los alumnos (aseguramiento de las condiciones previas).
• Usar la fundamentación en temas del dominio de la mayoría de los estudiantes de modo que los argumentos de aceptación y/o refutación no precisen de nuevos conocimientos o puntos de vista débil sustentación.
• Estar conscientes de la argumentación correcta como muestra de solidez, calidad en los conocimientos, interiorización consciente de cualidades, valores y formas de conducta.

3. Leyes básicas del proceso de pensamiento en la fundamentación de proposiciones.

La resolución de ejercicios y problemas es una de las situaciones típicas más frecuentes en la enseñanza de la Matemática y entre ellos ocupan un papel destacado los ejercicios de fundamentación. Es importante destacar la naturaleza de la fundamentación de proposiciones como: "las formas elementales de la demostración"; al estar estas caracterizadas como una demostración de un solo paso de inferencia lógica, que se acompaña de una acción sencilla; como puede ser por ejemplo la "aplicación de una definición". La fundamentación de una proposición no es menos exacta que una demostración sino que no requiere por lo general de una representación escrita.

La fundamentación de proposiciones tiene dos maneras de presentación, ambas importantes para su desarrollo consciente y sistemático como habilidad;

1. de forma aislada y propedéutica para la realización exitosa de ejercicios de fundamentación,
2. en forma de acciones parciales en la resolución de problemas.

Entre las acciones mentales necesarias en la realización de ejercicios de fundamentación se destacan los pasos de inferencia lógica.
Las inferencias lógicas tienen su basamento en la aplicación de las reglas de inferencia que permiten el paso de una proposición, forma proposicional, o expresión dada, a otra que resulte lógicamente de la primera.
Las reglas de inferencia constituyen un sistema que posibilita la inferencia lógica.
En el trabajo con fundamentaciones se destaca la llamada "inferencia a una aplicación" o ¨regla de separación¨ o también regla ¨modus ponendo ponens¨ que significa afirmar afirmando.

P Q

P

––––––––

Q

Ya que las tres categorías de elementos con los que se opera en la fundamentación tienen estructuras afines a la estructura de la implicación; veamos:

a) Los conceptos.
Para describir un concepto se emplea por lo general una definición cuya estructura es una doble implicación entre los miembros; ¨definiendum¨ y ¨definiens¨ y al fundamentar se aplica una de estas dos implicaciones.

b) Las proposiciones:
Estas tienen siempre una forma implicativa o pueden ser transformadas a ella por medio de las operaciones lógicas.

c) Los procedimientos:
Entre los procedimientos que manifiestan mayor relación con la fundamentación aparecen aquellos que permiten transformar expresiones en expresiones, (procedimientos algorítmicos o cuasi algorítmicos) donde se plantea una implicación cuya premisa es una expresión donde se describe la situación inicial y en la tesis la situación final del procedimiento.

Ejercicios Básicos de fundamentación
Se entiende por ejercicio básico de fundamentación a aquellos ejercicios que requieren de la aplicación de los llamados tipos básicos de fundamentación. Cada uno de los tipos básicos de fundamentación está compuesto de una acción de identificación, una de realización y de un paso de inferencia lógica.

¿Cómo podemos describir los diferentes tipos de fundamentación?
La descripción de forma precisa de los diferentes tipos básicos de fundamentación se obtiene a partir de las características de sus elementos componentes; que son:

• Situación de partida
• Objetivo de la fundamentación
• Vía de realización.

Según un estudio de (Müller, 1987) se consideran 5 tipos básicos de fundamentación; tres de los cuales tienen carácter principal y los dos restantes se derivan de los primeros; estos son:

• Primer tipo básico: Identificación de un concepto.
• Segundo tipo básico: Aplicación de una proposición.
• Tercer tipo básico: Realización de un procedimiento.

De estos se deriva:

En la variante principal del 2do tipo y mediante la sustitución de la proposición por su contrarrecíproco:

• Cuarto tipo básico: Aplicación del contrarrecíproco de una proposición; y finalmente el
• Quinto tipo básico: Refutación de una proposición universal por un contraejemplo.

Los ejercicios de fundamentación pueden ser agrupados según el nivel de dificultad de su solución y aparecen en la literatura consultada fundamentalmente en tres niveles:

1. De tipo básico
2. Compuestos standard
3. Con carácter de problema.

Asociado al trabajo con conceptos y sus definiciones encontramos el primer tipo básico de fundamentación:

La identificación de un concepto. Este tiene
Como su: A) situación de partida
A1) Un objeto matemático o un representante de una relación matemática.
A2) Un sistema de características con carácter conceptual.
En su: B) Objetivo
Decidir si este objeto o relación pertenece o no al concepto dado.
Finalmente su: C) Vía de realización
C1) Comprobar si se satisfacen o no las características del concepto.
C2) Inferir a una de las formas proposicionales de pertenencia.

La formulación de este tipo de ejercicio responde a la estructura:
Fundamenta que es un (a)
Comprueba si El objeto
Indica si pertenece a la relación (b).
Ejemplo:
(4:7) es un punto del gráfico de y = 7x - 19.
Solución:

Características de los puntos del gráfico de una función:
Al sustituir el valor de la primera coordenada por x y de la segunda coordenada por y efectuar los cálculos indicados, la ecuación resulta una proposición verdadera.

Realización:
C1) C2) (4;7) no es un punto del gráfico de:
7= 7.4 – 19 y = 7x - 19.
7=28 – 19
7= 9; falso.
Con las proposiciones matemáticas y su aplicación a la solución de ejercicios de fundamentación se relaciona el

Segundo tipo básico de fundamentación:
La aplicación de una proposición:
En su: A) situación de partida
A1) Una expresión A (representada mediante un texto o a través de la simbología matemática)
A2) Una proposición verdadera P( fórmula, ley, teorema) representado en su forma implicativa.
En su: B) Objetivo
Constatar que de A puede deducirse una expresión B sobre la base de la proposición P.
En su vía de realización aparecen dos variantes derivadas de la naturaleza de la acción a ejecutar:
Identificación:
C1) Comprobar si se satisface o no la premisa de la proposición P.
C2) Inferir a la tesis de la proposición P; es decir a la expresión B.
Realización:
C3) Realizar la premisa de la proposición P.
C4) Inferir a la tesis de la proposición p, es decir, a la expresión B.
Ejemplo:

Fundamente que la ecuación entera:
19 X2 – 76 Y2 = 1976. no tiene solución.
Variante b
P

1. Cuadrado de impar es impar.
2. Suma de par e impar es impar.
3. Producto con factor par es par.

Para poder aplicar la solubilidad de la ecuación de Pell X2 - Y2 = b se necesita de la transformación auxiliar X = 2t debido a que de ser X impar no se cumple la igualdad debido a 1. y 2.
Una posibilidad adicional para la realización de una inferencia lógica se brinda en la base de un procedimiento, ya sea este algorítmico o cuasi algorítmico, los cuales aparecen en el Álgebra escolar en forma de transformación de ecuaciones o sistemas utilizando ciertas reglas. De este modo llegamos al:

Tercer tipo básico de fundamentación:
La realización de un procedimiento:
Como su: A) situación de partida
A1) Una expresión A
A2) Un procedimiento algorítmico o cuasi algorítmico P.
En su: B) Objetivo
Constatar que de A puede deducirse una expresión B sobre la base del procedimiento P.
Finalmente su: C) realización:
Realizar las operaciones del procedimiento.
Inferir al resultado B del procedimiento
Ejemplo:

Fundamente que la suma de tres números consecutivos es múltiplo de 3.
A : S = n + (n +1) + (n + 2).
Procedimiento P:
Transformar A de tal manera que S aparezca como producto con un factor 3.
B : S = 3n+3 = 3 (n + 1).
Este tipo básico de fundamentación juega un decisivo papel como situación particular en diversas demostraciones, especialmente en teoría de números.

Asociado al segundo tipo básico de fundamentación encontramos otro que tiene como sustento la aplicación de la regla ¨modus ponens¨ con la estructura:

P1 P2

P2

___________

P1

que es el: Cuarto tipo básico de fundamentación:

4. La aplicación del contrarrecíproco de una proposición:

Posee como situación de partida la misma que el segundo tipo básico.
Objetivo:
Constatar que de A resulta una expresión B a base del contrarrecíproco de P.
Vía de realización: Comprobar si se cumple la negación de la tesis de P y en este caso
Inferir a la negación de la premisa P1 de P, es decir B.
Ejemplo:
La función: y = 4x2 + 3 no tiene ceros.
P puede ser aquí el teorema: ¨La función Y = a (x-d)2 + e tiene ceros sólo si se cumple el producto de los signos de a y e es negativo (sg a sg e = -1)¨.
Referida también al uso de la negación de proposiciones encontramos una regla de inferencia que consiste en la negación de una proposición cuantificada; la cual tiene la estructura:

X; P(X)

_________________

X; P(X)

con la que se asocia el procedimiento de fundamentación por refutación de una proposición universal mediante un contraejemplo; y que se corresponde con el:

Quinto tipo básico de fundamentación:
La refutación de una proposición universal mediante un contraejemplo.

Situación de partida:
Proposición universal ¨ Para todo X del dominio D se cumple P(X)¨
Objetivo: Refutar esta proposición universal mediante la presentación selección o construcción de un elemento X D que satisfaga la negación de P(X).
Realización: Realizar las condiciones dadas por la negación de P(X) en el dominio D.
Inferir a la negación de la proposición universal
Ejemplo:
Refutar que: ¨ Cualquiera sea nN, El número a = N2 + N + 41 es un número primo.
Solución:
Seleccionando n = 41 se tendrá a = 412 + 41 + 41= 41(41+ 2)= 4143.
Luego a es compuesto.
Elaboración de una estrategia didáctica que favorezca la resolución de problemas algebraicos mediante el desarrollo de la habilidad fundamentar

La elaboración de modelos y estrategias didácticas, o la aplicación de los ya conocidos, ha devenido en tendencia universalmente aceptada para fundamentar el interactuar de los diferentes componentes del proceso de enseñanza - aprendizaje en una situación didáctica determinada.

De modo general una estrategia es una vía de acción que requiere la participación consciente del sujeto, que le sirva de guía para realizar una tarea deseada.
Según J.S. Bruner y otros (1956), " Una estrategia hace referencia a un patrón de decisiones en la adquisición, retención y utilización de la información que sirve para lograr cierto objetivo, es decir, para asegurarse de que se den ciertos resultados y no otros". A. Labarrere (1996) explica que: " ...Las estrategias son "instrumentos" de la actividad cognoscitiva que permiten al sujeto determinada forma de actuar sobre el mundo, de transformar los objetos y situaciones"

Asumimos como Estrategia Didáctica: El conjunto de acciones que permite que el resultado final del proceso pedagógico se deba en lo más posible a la planificación, que en modo consciente, halla sido el resultado del análisis profundo de los comportamientos externos e internos de sus componentes, así como del conjunto de alternativas viables para propiciar un desarrollo dirigido a cierto grado de éxito, en lo fundamental en términos de eficiencia y economía. (Groves, 1999)

Esta concepción de Estrategia Didáctica nos brinda con profunda claridad el papel de la planificación, del análisis multifactorial y de la necesidad de sustentar la propuesta en un modelo didáctico explicativo de la dinámica de los componentes del campo de acción de nuestra investigación.

La estrategia didáctica consta de tres aparatos:
a) conceptual: Que propone los conceptos e ideas nuevas.
b) instrumental: Establece la base logística de operaciones

1. procedimental: Brinda las formas y métodos para la conducta a seguir.

Vigotsky, en su enfoque histórico cultural sobre el aprendizaje, concibe las estrategias didácticas como mediadores externos que se modelan en el decursar de las interacciones entre los que enseñan y los que aprenden.

Por modelo didáctico entendemos
"Una representación de una parte de la realidad, que es adaptable y organizador de la actividad, que ha de servirnos para la reflexión sobre la práctica, que es dinamizador de consejos prácticos y teóricos, e instrumento valido para el análisis y la evaluación del sistema y de la actividad cotidiana en el aula". (Medina y Sevillano, 1995) citado por (Soler, 1999).
Asumimos este concepto, aunque concordamos también con (Sigarreta, 2000):
"Una concepción sistémica que en el plano de la enseñanza y el aprendizaje, estructura una determinada práctica en el proceso docente –educativo para incidir en la formación integral de la personalidad del estudiante".
De estas definiciones nos quedan claras las características principales del modelo didáctico

• Tiene una concepción figurativa
• Reproduce la realidad en forma esquemática
• Facilita la comprensión del fenómeno al sintetizar las ideas.

Al proponer un modelo que sustente la Estrategia Didáctica diseñada con nuestra investigación, se valoró que no se cuenta con ninguno; que en el sentido didáctico, satisfaga los requerimientos de nuestro problema de investigación, como limitador de las variables y orientador de las estrategias que permitan verificar las relaciones entre ellas.

5. Diagnóstico de la habilidad fundamentar en la Disciplina Álgebra.

Se realizó un diagnóstico para explorar y precisar las características de la situación actual de los estudiantes en relación con la fundamentación en el 1er y 2do años, así como en el 5to año de la carrera de Matemática - Computación, en el I.S.P. "Blas Roca Calderío", también se realizaron observaciones de clases en 5 de los grupos de 7mo grado de la ESBU "Mariano Tamayo", Secundaria Básica de referencia de la Provincia Granma en el municipio Bayamo. ( Ver anexos 3 y 4).

La intención principal se dirigió hacia la comprobación del hecho de que, una Estrategia que desarrolle la habilidad de fundamentación sobre la base de la actuación profesional apoyada en las potencialidades comunicativas que ofrece el lenguaje algebraico, favorece el proceso de enseñanza y aprendizaje de la resolución de problemas del Álgebra escolar en estos estudiantes y consecuentemente en los estudiantes del nivel medio especialmente en la Secundaria Básica.
De los resultados obtenidos a partir de la aplicación de los instrumentos de la investigación, podemos resumir las siguientes regularidades

• Se incluye como propósito la formación y desarrollo de la habilidad fundamentar a través de la resolución de ejercicios y problemas de forma independiente.
• No se declaran momentos donde la formación y desarrollo de la habilidad de fundamentación sea atendida como objeto de asimilación.
• En las orientaciones metodológicas a los programas (en ambos niveles) no se proponen suficientes reflexiones sobre la organización del conjunto de tareas de la disciplina que aporten un modo de actuación favorecedor de la formación y desarrollo de la habilidad fundamentar.
• La variedad de ejercicios de fundamentación que propone la bibliografía declarada para la disciplina es insuficiente para un tratamiento metodológico exitoso.

Dominar los procedimientos generalizados (algorítmicos o heurísticos) característicos de la disciplina álgebra, brinda al estudiante la posibilidad de pensar teóricamente, logrando ver la esencia detrás de las representaciones, la habilidad de orientarse hacia ella y, como consecuencia, orientarse por sí mismos en la esfera de este tipo de conocimiento.

Al analizar las peculiaridades de los procedimientos y las habilidades en este campo, nos percatamos de que los primeros materializan el cómo de la ejecución de la habilidad y los segundos operan a través de determinados conocimientos aplicados a la práctica.
El conocimiento, como sabemos, forma parte del contenido de la enseñanza, acompañado de las habilidades y los valores, con los cuales guarda una estrecha interdependencia, de modo que la habilidad se equipara a la aplicación exitosa de los conocimientos a la resolución de un problema, con determinada estructura objetiva y en un contexto social que ha sido precisado de antemano.

Un estudio detallado sobre los aspectos epistemológicos, lógicos, didácticos y sociales de la fundamentación en el campo del Álgebra escolar, así como los obstáculos y dificultades que enfrentan los estudiantes puede verse en (Pioli, 1994), donde (citado por Lee, 1997) se concluye que:
"La transformación del problema es el aspecto crucial en algunas de las estrategias de solución, destacándose el papel del lenguaje algebraico con sus reglas y técnicas pues en el desarrollo de una argumentación está presente una mezcla de símbolos, fórmulas y lenguaje natural; con un variado rango de expresiones de acuerdo con los conocimientos y las habilidades individuales de los alumnos." Todo esto presupone:

• El conocimiento del lenguaje natural y las habilidades de reformularlo de acuerdo con los objetivos provistos.
• La habilidad de traducir del lenguaje común al algebraico y viceversa.
• El manejo de técnicas para ejecutar transformaciones algebraicas.

Sin embargo, desde el punto de vista metacognitivo se requiere

• La habilidad de distinguir entre hipótesis y tesis.
• El hábito de razonar a través de las hipótesis y manejarlas adecuadamente.
• La habilidad de controlar las asunciones. (Ejemplo: Si n representa un número primo entonces n-1 es igual a 1 o es un número par).
• La habilidad para controlar al mismo tiempo hipótesis y tesis y a partir de ello elaborar estrategias convenientes de trabajo.

A estas actividades no puede renunciarse ni tampoco tomarlas espontáneamente, pues requieren una ruta educacional muy precisa.

6. Modelo teórico en que se sustenta la Estrategia

A continuación presentamos un modelo diseñado para orientar al docente en su actividad pedagógica, brindándole alternativas estratégicas y de estilos de aprendizaje que posibilite a sus estudiantes aprender a aprender y a pensar.
Este modelo sustentará la estrategia metodológica que propondremos para incidir en la resolución de problemas del álgebra escolar mediante la formación y desarrollo de la habilidad fundamentar.

El modelo tiene sus bases en:

• Documentos normativos del actual proceso de enseñanza y aprendizaje tanto de la disciplina Matemática en las carreras de la Universidad de Granma, como de las asignaturas de Matemática en la Enseñanza General Politécnica y Laboral.
• Corrientes y teorías epistemológicas más actuales.
• Avances tecnológicos y tendencias en la enseñanza de la Matemática.
• Consultas a expertos.

Propone las siguientes líneas educativas:

• Se centra fundamentalmente en la actividad del alumno al otorgarle a este el protagonismo y la máxima aceptación de su producto intelectual.
• Atiende el desarrollo del pensamiento y de las habilidades fortaleciendo la formación de valores
• Favorece la formación de valores en los estudiantes.
• Provoca un cambio conceptual metodológico en el proceso de formación y desarrollo de la habilidad fundamentar en su relación con la resolución de problemas del Álgebra escolar

Modelo que sustenta la Estrategia metodológica que se propone:
Conjuntamente con el modelo, presentamos cómo se manifiesta la dinámica del proceso de formación y desarrollo de esta habilidad, partiendo de sus componentes esenciales.
Dinámica del proceso de formación y desarrollo de la habilidad fundamentar:
Al proyectar una Estrategia didáctica que favorezca la resolución de problemas del algebraicos, mediante la adecuada formación y desarrollo de la habilidad de fundamentación, se consideran como premisas fundamentales las siguientes:

1. Apreciar la resolución de problemas mediante la aplicación de los tipos básicos de fundamentación como objeto específico de enseñanza, diferenciando adecuadamente la fundamentación matemática de la que se realiza en la vida cotidiana, y organizar este proceso de enseñanza a partir del tratamiento de estos diferentes tipos básicos, logrando la activa participación de los estudiantes y dirigiendo todo el proceso hacia el desarrollo de su pensamiento lógico, perfeccionando así su capacidad expresiva y comunicativa, esta última sobre la base de las potencialidades del lenguaje algebraico.
2. Crear los ambientes y los motivos más adecuados para la formulación y resolución por los estudiantes de este tipo de problemas en los que aplique los diferentes tipos de fundamentación, logrando sistematizar la frecuencia con que los resuelven y formulan para sus alumnos del nivel medio, así como nuevas situaciones de fundamentación a partir de los ejercicios y problemas presentes en los libros de textos y que serán llevados a los planes de clase, fundamentalmente sobre situaciones presentes en el entorno social de los escolares.

Nuestra Estrategia Didáctica contará con los siguientes componentes básicos:

1. Principio Fundamental o Rector:
Durante el proceso de enseñanza – aprendizaje se seguirá un estilo de enseñanza que sitúe en su centro al estudiante.

2. Acciones de diagnóstico:

• Deben delimitarse y caracterizarse el saber y poder real que tienen los estudiantes relacionados con la resolución de ejercicios de fundamentación y más específicamente de aquellos en el ámbito del Álgebra escolar.
• Debe precisarse el nivel de las insuficiencias en el conocimiento por parte de los estudiantes de los núcleos básicos de los contenidos del álgebra escolar.

3. Acciones de planificación:

• Se determinarán los aspectos básicos del plan a seguir teniendo en cuenta como idea esencial que el proceso de formación y desarrollo de la habilidad fundamentar garantice la efectividad de la resolución de problemas del álgebra escolar y que esta efectividad pueda ser trasladada a los estudiantes del nivel medio especialmente de la Secundaria Básica.
• Se tendrán en cuenta otros objetivos de carácter más específico como el relacionado con la consideración como objeto del conocimiento de los tipos y ejercicios básicos de fundamentación, haciendo de estos, vías para la asimilación, profundización y retroalimentación de conocimientos y procedimientos de solución.
• Se valorarán cuáles son los contenidos, métodos, procederes metodológicos más apropiados, dando preferencia a aquellos en interviene más enfáticamente el uso de los recursos heurísticos por parte del docente y la labor investigativa por parte del estudiante.
• El proceso de evaluación a seguir contará básicamente con la discusión oral y la resolución de problemas sencillos de "papel y lápiz".

4. Acciones de ejecución:

• Durante todo el recorrido de los módulos de Álgebra del programa de 1ro y 2do años de la carrera, a través de las diferentes unidades relativas al tema, procurando que una adecuada secuencia lógica y metodológica brinde cumplimiento a los diferentes objetivos específicos previstos en las acciones de planificación.

5. Acciones de control:

• El control se realizará cuantitativa y cualitativamente comenzando por una fase de diagnóstico, pasando por la actividad sistemática del control y culminará con un pronóstico final al concluir el programa de la asignatura.

Hemos determinado estructurar la Estrategia Didáctica en tres fases.

A partir de los presupuestos y propósitos del Álgebra a que hemos arribado, se desprende que las directrices para su explicación sean precisamente las directrices fundamentales el cálculo numérico y con variables y la resolución de ecuaciones e inecuaciones (de forma más significativa); las cuales son atendidas con amplitud en los programas de Matemática de la EGPL. y en los ISP.

Como sabemos, en la Secundaria Básica se atiende con mayor énfasis la habilidad de fundamentación por cuanto la simplificación de los contenidos de los programas y consecuentemente la reorganización de sus líneas directrices, confiere una menos trascendencia a la demostración de proposiciones matemáticas en la formación de este nivel, y no es hasta el preuniversitario donde se retoman algunos elementos de esta línea aunque no en la profundidad con que fue concebida originalmente.
Entre los objetivos básicos de las asignaturas del Älgebra en la disciplina Matemática de las carreras universitarias se distinguen, con carácter formativo entre otros:

• Desarrollar en los estudiantes el pensamiento lógico al operar con conceptos, proposiciones y procedimientos, con métodos adecuados asimilados de manera cada vez más consciente y desarrollar habilidades que permitan la aplicación de métodos algorítmicos y reglas a la solución de problemas.
• Contribuir a que los futuros profesionales se apropien de nuevos recursos que les permitan despertar su interés hacia la Matemática y sus aplicaciones prácticas.
• Estimular la actividad cognoscitiva de los estudiantes y fomentar hábitos de trabajo independiente.

Y con carácter instructivo.

• Resolver ejercicios y problemas de la Matemática con un grado de dificultad superior a lo planteado en la E.G.P.L.
• Identificar los vínculos que existen entre el sistema de conocimientos de la carrera y la Matemática de manera que puedan enfrentar con éxito:
• la resolución de ejercicios y problemas de contenido matemático que demanda el desarrollo de la profesión,
• la fundamentación, demostración y profundización del contenido del algebraico utilizando ejercicios con texto y problemas de razonamiento lógico.
• Desarrollar habilidades que coadyuven a la formación y desarrollo de las capacidades mentales generales y específicas como definir, fundamentar y demostrar.

Como puede apreciarse estos objetivos recogen de forma explícita las ideas rectoras del Álgebra escolar.
Partiendo de este análisis y en consonancia con los diferentes tipos de fundamentación que se enseñan en el Álgebra escolar, planteamos algunos criterios acerca de cuándo consideramos que un estudiante ha desarrollado habilidades en la aplicación de los diferentes tipos de fundamentación:

• Señala rasgos esenciales del problema.
• Precisa el tipo de fundamentación que empleará.
• Expresa la cadena de argumentos.
• Emplea el resultado obtenido en la fundamentación de otras proposiciones y/o en la solución de nuevos problemas.

Teniendo en cuenta todos los elementos referidos anteriormente y muy especialmente el tipo de estudiante al cual va dirigida, consideramos que las fases de nuestra Estrategia deben ser:

• Fase motivacional y de diagnóstico.
• Fase de familiarización.
• Fase de trabajo y aplicación.

Fase 1. Diagnóstico - Motivacional.
Las acciones a realizar por el docente en esta primera fase se corresponden con las acciones para el diagnóstico y la motivación descritas en los elementos de la estrategia; el estudiante por su parte rememorará los aspectos relacionados con las ideas de proposición matemática, conceptos, componentes de un concepto, relaciones, propiedades de los conceptos y de las relaciones, así como las formas lógicas del pensamiento; de modo que al concluir esta fase el docente haya logrado los niveles y las potencialidades en sus estudiantes para la asimilación y el dominio de los conocimientos vinculados a la realización de los ejercicios de fundamentación, y por su parte el estudiante haya conseguido formar acciones aunque aisladas, de la habilidad de fundamentación.

La función motivacional de esta primera etapa en la formación y desarrollo de la habilidad de fundamentación puede lograrse a partir de la creatividad del docente en la utilización de situaciones de fundamentación de índole intra y extra matemáticas; ver por ejemplo (problema de la ficha de dominó), así como problemas motivacionales que se basan en situaciones con cierto tipo de absurdo o de corte recreativo. En esta fase, el papel del Álgebra se asocia con la utilización del lenguaje algebraico en la formulación de textos, proposiciones, y otros, así como también centrar más la atención en los aspectos estructurales y relacionales de la aritmética que en el cálculo, destacando así el paso del proceder a la estructura, y de ese modo dirigir a los estudiantes a concientizar (y en su momento llamar la atención de sus educandos en el nivel medio) la duplicidad inherente a los conceptos y relaciones como el soporte fundamental de esta como disciplina.

Deben ser tenidos en cuenta también en este sentido algunos aspectos que tienen carácter metacognitivo, como pueden ser, la conciencia sobre el significado que puede tener una cadena de símbolos en una expresión dada, y que los símbolos algebraicos no tienen un significado específico propio; que su significado depende de los requerimientos del problema en particular al que esta se aplique, y no menos importante aquellos que uno mismo sea capaz de notar o se haya preparado para percibir.
En el plano didáctico el Álgebra aquí permite acostumbrar a los alumnos a la pluralidad de formas en las que se puede presentar una misma situación u objeto; eliminando el estereotipo de que "diferentes letras representan diferentes cosas", sin embargo dejando claro que en muchas ocasiones la manera de representar el objeto influye en el curso del razonamiento que se realiza relativo al objeto que estamos investigando, por la asociación que mentalmente se produce entre este razonamiento y el símbolo algebraico del término denotado.

No debe perderse de vista el carácter de integralidad y sistematicidad que requieren, tanto el diagnóstico como la motivación; lo que significa que esta primera fase tendrá lugar en diferentes y variados momentos de la puesta en práctica de la Estrategia.

Fase 2. De familiarización.
En esta fase el accionar del docente estará dirigido a formar en el alumno las ideas y conceptos sobre la resolución de un problema por aplicación de los tipos básicos de fundamentación. Una base orientadora para la acción en la resolución de este tipo de ejercicios y problemas se logrará con la enseñanza diferenciadora de los llamados tipos básicos de fundamentación y un sistema de preguntas de precisión y orientación en la solución de cada uno de ellos. Este accionar contemplará además la introducción, utilización y adecuado tratamiento metodológico de los diferentes procedimientos algorítmicos y heurísticos necesarios en la solución de un ejercicio básico de fundamentación.

De modo general la actividad del profesor debe dirigirse a:

• Estudiar con profundidad el problema a proponer en el contexto del tema y la unidad de estudio
• Precisar los conocimientos y habilidades elementales necesarias en la solución del problema.
• Concebir una adecuada motivación así como una orientación hacia el problema que propicie e incentive la iniciativa en la actividad del alumno.
• Determinar las diferentes ayudas que serán necesarias en cada parte del proceso de solución.
• Determinar los diferentes niveles para la realización de las actividades de controlen la formación y desarrollo de la habilidad.
• Enfatizar, a la vez que promover los modos de actuación que permitirán realizar este trabajo con sus futuros educandos

De vital importancia metodológica resulta en este punto la adecuada diferenciación de los conocidos niveles de dificultad para los ejercicios y problemas de fundamentación (descritos en (Müler, 87)) y su agrupamiento según:

• de tipo básico
• compuestos no standard
• con carácter de problema.

Los cuales deben ser categorizados según si precisan de exigencias mínimas para su solución, si necesitan de acciones de búsqueda, análisis de estructura lógica, o acciones de realización más o menos evidentes. El uso de estrategias heurísticas como pueden ser la combinación del trabajo hacia adelante y hacia atrás permitirá encontrar la solución en pocos pasos; así como el empleo de otras estrategias de búsqueda.
Sobre todo en el segundo grupo, el cual constituye un grupo transitorio entre la fundamentación y la demostración sencilla, pero establecer barreras entre estos dominios no resulta conveniente ni necesario por lo menos para el trabajo metodológico en el nivel medio.

Fase 3. De trabajo y aplicación.
Una vez garantizada la realización sistémica de las actividades en las etapas anteriores el alumno debe estar en condiciones de desarrollar de forma natural la 3ra etapa que es la correspondiente a la aplicación, en ella los ejercicios y problemas de fundamentación son tratados en función de la efectividad en la resolución de problemas del Álgebra escolar; es por ello que aquí se elabora un sistema de acciones metodológicas dirigido a precisar las acciones que en esta dirección deben desarrollarse. Este sistema debe concebirse de modo que posibilite al máximo el desarrollo de los procesos lógicos del pensamiento, mediante la utilización de las reglas de inferencia y las estructuras lógico – linguísticas que resulten más apropiadas a cada problema, facilitando el autocontrol, la formación de convicciones y en especial de modos de actuación profesional.

Se señala que no se ofrece el sistema en forma de programa o sistema de clase, sino a través de las precisiones en una unidad temática (Las Funciones Lineales) de los aspectos que, a juicio del autor deben ser tenidas en cuenta en la búsqueda del desarrollo de la habilidad fundamentar en los estudiantes dirigida la efectividad en la resolución de problemas del Álgebra.

Un primer aspecto a tener en cuenta es la necesidad de un aprovechamiento máximo de las potencialidades del lenguaje algebraico en cada uno de los ejercicios de fundamentación propuestos, destacándose la traducción y la representación con diversidad simbólica de la situación presentada.
Un segundo aspecto se refiere a la puesta en práctica de la dinámica de la formación y desarrollo de la habilidad fundamentar anteriormente descrita. Precisando en cada problema el instrumental necesario y las estrategias de trabajo que posibilitarán encontrar la idea de la solución del mismo.

El manejo de las habilidades elementales aplicando consecuentemente el sistema de acciones de cada una combinada al dominio de conceptos, relaciones y procedimientos; deben dar pié a una efectiva comunicación que se exprese en críticas valoraciones y reflexiones acerca de: ¿Qué se pide argumentar?, ¿En qué esfera del conocimiento algebraico podremos encontrar el instrumental necesario?, ¿Cuál o cuáles tipos básicos de fundamentación están presentes?, ¿En qué medida podemos aplicar los resultados obtenidos a la solución de nuevos problemas?. Esto garantizará que se puedan aplicar los criterios evaluativos del desarrollo de la habilidad fundamentar planteados en este epígrafe.

7. Consideraciones metodológicas que sustentan la estrategia:

Como resultado del análisis de los fundamentos teóricos asumidos para establecer el vínculo entre la formación y desarrollo de la habilidad fundamentar y la resolución de problemas del álgebra escolar, así como de la caracterización del proceso llevado a cabo, se pudo determinar un conjunto de consideraciones que constituye, en unión al marco teórico consultado, la base teórica en la cual se sustenta la estrategia que proponemos.
Un elevado por ciento de las investigaciones que se han realizado recientemente en relación con la habilidad de fundamentación coincide en establecer para su estructura funcional tres acciones.

Los trabajos más acabados refieren:

• Interpretar el juicio de partida.
• Encontrar de otras fuentes los juicios que corroboran el juicio final.
• Seleccionar las reglas lógicas que sirven de base al razonamiento.

(Márquez, 93), (García, 96), (Castro, 97) y otros.
Sin embargo como resultado de nuestra investigación consideramos necesario prestar atención e incorporar la acción:

• determinar el esquema comunicativo que será empleado.

Nos apoyamos en que, dado que la fundamentación es un modo de razonamiento en cuyo proceso se confirma o refuta la veracidad de un juicio y esto ocurre con la mediación del lenguaje ya sea hablado o escrito, las acciones de carácter comunicativo deben estar presentes. Para arribar a este resultado realizamos un análisis detallado de las acciones que realizaran los estudiantes del primer año de la carrera de Matemática – Computación del ISP "Blas Roca Calderío" del curso 1999-2000, para fundamentar la solución de un problema determinado.

La función lineal está considerada como uno de los conceptos más difíciles de comprender por los estudiantes debido a su presentación, más en forma de proceso algebraico que en un contexto práctico concreto. Muchos investigadores, entre ellos (Kierán, 1997), coinciden en afirmar que: "la abstracción de las expresiones algebraicas y la variedad de transformaciones en tales expresiones ha constatado serias dificultades en los alumnos,... pues la traducción de una relación funcional dada por pares ordenados, al lenguaje de la simbología algebraica; es una de las difíciles tareas para los estudiantes."

La revisión bibliográfica realizada indicó que de todo el contenido de los textos de Matemática del nivel medio vigentes, un reducido volumen de páginas se dedica a las representaciones gráficas, y que no es objetivo del programa que los estudiantes aprendan a construir gráficos o hacer interpretaciones cualitativas de los mismos, pues; la representación gráfica de funciones ha jugado un papel menor en la enseñanza del Álgebra.

Tales aseveraciones, conjugadas a los resultados de los instrumentos de la investigación, conducen a asegurar que entre los contenidos de la Disciplina uno muy factible para ser utilizado en la elaboración de problemas que modelen la estrategia a proponer aparece este relativo a la representación gráfica de funciones lineales vinculada a la interpretación cualitativa de las misma

Ejemplos.
1. Una empresa ofrece dos opciones para el pago de la electricidad. La opción A establece que el costo total C se obtiene añadiendo a una cantidad fija de $12; 10 centavos para cada unidad n de electricidad consumida.
a) Escriba una fórmula que relacione al costo total C con el número n de unidades consumidas.
b) Encontrar el costo total si se usaron 200 unidades de electricidad.
c) Calcular el número de unidades usada cuando el costo total fue de $54.
La opción B elimina la cantidad fija, pero establece el pago de 15 centavos por unidad de electricidad consumida.

1. ¿Cuál es el mayor número de unidades que pueden usarse antes de que la opción B se convierta en más costosa que la A.?

Como se aprecia, en a) se debe argumentar que la situación planteada puede representarse utilizando la relación funcional entre el costo total por la opción A CA (n) y la suma de la cantidad fija y el décuplo de la cantidad de unidades usadas. ( Primer tipo básico: identificación de un concepto).
Hay que argumentar además la necesidad de la conversión de unidades y el uso de una notación apropiada; que declare una referencia al costo relativo a la opción A, como variable dependiente del valor que se asigne a la cantidad n de unidades consumidas, de lo que resulta la expresión:

CA (n) = 1200 + 10 n. (Traducción del lenguaje común al lenguaje algebraico)
En el inciso b) se argumentará la evaluación de la relación funcional para un valor específico de n. (tercer tipo básico Aplicación de un procedimiento). De manera similar se argumenta el cálculo del valor del número de unidades usadas para un valor dado del costo, sobre la base de la realización del procedimiento de solución de una ecuación lineal de primer orden.
En el inciso d) se argumentará la identificación de la situación dada, con la resolución de una inecuación lineal relativa a las expresiones de los miembros derechos de CA (n) y CB (n); y de esta última con el uso de la notación: CB (n) = 15 n. Aquí, como vemos se combina la traducción del lenguaje común al algebraico con la aplicación de los tipos básicos primero y segundo de fundamentación. También aquí se hace necesario utilizar un sistema de preguntas de impulso para la obtención de la inecuación así como para la interpretación de los resultados.

8. Conclusiones.

Después de ejecutar las tareas de la presente investigación, y luego de realizar un análisis de los diferentes aspectos que la conforman hemos podido arribar a un conjunto de conclusiones que exponemos a continuación:
La resolución de problemas del Álgebra, considerada como herramienta y también como uno de los propósitos finales del aprendizaje de esta disciplina, constituye una actividad muy compleja y cuya integralidad precisa de la formación de modos de actuación, métodos de trabajo y procedimientos metodológicos generales y específicos sustentados en el desarrollo de habilidades matemáticas básicas, entre las que se destaca la habilidad fundamentar.
En la actividad de resolución de problemas del algebraicos en los estudiantes de carreras técnicas , se aprecian limitaciones que apuntan a insuficiencias en el desarrollo de la habilidad fundamentar, al no ser considerado el soporte teórico de la misma como objeto específico de enseñanza, y no tener los estudiantes un domino conceptual y de operatividad en el proceso de solución de los problemas.

En el proceso docente educativo de la Disciplina Álgebra existen posibilidades para que los estudiantes, a través de un adecuado desarrollo de la habilidad de fundamentación eleven la efectividad en la resolución de problemas propiciando así resolver las insuficiencias que en este sentido se presentan en el nivel medio.

La formación y desarrollo de la habilidad fundamentar sobre la base de la enseñanza de los tipos básicos de fundamentación como modos de actuación para el profesional de la disciplina, y su influencia en el papel comunicativo de la enseñanza de la matemática, constituye una importante vía para favorecer la efectividad en la resolución de problemas algebraicos, concebida esta como un proceso de búsqueda independiente de conocimientos, empleando métodos de enseñanza participativos y de investigación, donde se plantee al estudiante la necesidad y posibilidad de descubrir o reconocer problemas, así como formularlos independientemente.

Una caracterización amplia de la habilidad fundamentar que contemple en su estructura funcional de modo más preciso los aspectos relativos a la comunicación y en particular el papel del lenguaje algebraico, brinda potencialidades para una intervención más destacada de esta en el desarrollo de la habilidad generalizada de resolución de problemas y en particular los del Álgebra.

Al modelar la: Dinámica de la formación y desarrollo de la habilidad fundamentar así como el proceso de vínculo de esta con la resolución de problemas del algebraicos, se posibilita caracterizar y planificar la dirección del proceso de enseñanza – aprendizaje en unidades temáticas y sistemas de clases, lo cual queda ejemplificado para una de las unidades temáticas de la disciplina.

La Estrategia Didáctica propuesta ofrece acciones metodológicas para estructurar el proceso de formación y desarrollo de la habilidad fundamentar de modo que se propicie la efectividad de le resolución de problemas del algebraicos, a partir de considerar este proceso como:

• Objeto de conocimiento y orientación del alumno.
• Objeto en el proceso de solución y formulación de los problemas.

Los resultados de la evaluación de la Estrategia Didáctica a través del criterio de expertos, muestra la validez de su concepción teórica y precisa algunas de las ventajas que ofrecerá en el perfeccionamiento del proceso docente – educativo en su aplicación a la práctica escolar, y su repercusión en la aplicación del actual Programa Director de Matemática, tanto de los ISP como de la Secundaria Básica.

Al comprobar el cumplimiento de todas las tareas propuestas para el desarrollo de nuestra investigación, estamos en condiciones de considerar cumplido el objetivo de la misma.

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Resumen

El proceso de enseñanza - aprendizaje de la resolución de problemas es una de las tareas a la cual los profesores dedican un volumen de tiempo considerable, pues este constituye (entre otros) una forma de asimilar, retroalimentar y evaluar los conocimientos. Un apreciable número de estudiantes muestra pobres resultados en la resolución de problemas, especialmente en aquellos que involucran procesos demostrativos y de fundamentación, por lo que resulta de mucho interés dirigir la atención especialmente a las posibles razones que dificultan una más orgánica y efectiva aplicación de los recursos que aporta la disciplina Álgebra al desarrollo de la habilidad fundamentar y su aplicación a la resolución de problemas en esta área de conocimientos, lo que consideramos; teniendo en cuenta la búsqueda bibliográfica realizada y las consultas a colegas e investigadores de diferentes centros educacionales del país, así como con investigadores del I.C.C.P., no ha sido estudiado con la profundidad suficiente como para que se considere un problema ya resuelto. Este trabajo, cuyos resultados sustentaron una tesis de maestria en el campo de la Didáctica de la Matemática; está dirigido a precisar algunas de las direcciones en que se manifiesta el papel de esta disciplina científica en su paradigma comunicativo, en la elevación de la eficiencia de la resolución de problemas.
Palabras claves: Fundamentación, comunicación, problemas algebraicos

 

 

 

Autor:

Juan B Martí Zamora
Tiene 45 años de edad y es profesor de Informática y Matemática Aplicada de la Univesidad de Granma, ha realizado desde 1980 investigaciones relacionadas con la resolución de problemas y el aprendizaje de las matemáticas. El presente trabajo forma parte de su tesis presentada en opción al título de Máster en Didáctica de la Matemática en Marzo del 2003.