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Análisis combinatorio




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Capacidades 1. Comprende los principios fundamentales del análisis combinatorio 2. Formula y resuelve problemas de análisis combinatorio que se presentan en su vida cotidiana 3. Aplica los métodos del conteo para resolver problemas diversos de numeración Conceptos básicos Análisis Combinatorio : Es la rama de la matemática que estudia los diversos arreglos o selecciones que podemos formar con los elementos de un conjunto dado, los cuales nos permite resolver muchos problemas prácticos. Por ejemplo podemos averiguar cuántos números diferentes de teléfonos , placas o loterías se pueden formar utilizando un conjunto dado de letras y dígitos. Además el estudio y comprensión del análisis combinatorio no va ha servir de andamiaje para poder resolver y comprender problemas sobre probabilidades Principios fundamentales del Análisis Combinatorio: En la mayoría de los problemas de análisis combinatorio se observa que una operación o actividad aparece en forma repetitiva y es necesario conocer las formas o maneras que se puede realizar dicha operación. Para dichos casos es útil conocer determinadas técnicas o estrategias de conteo que facilitarán el cálculo señalado. El análisis combinatorio también se define como una manera práctica y abreviada de contar; las operaciones o actividades que se presentan son designadas como eventos o sucesos. Ejemplo : 1. Señalar las maneras diferentes de vestir de una persona, utilizando un número determinado de prendas de vestir 2. Ordenar 5 artículos en 7 casilleros 3. Contestar 7 preguntas de un examen de 10 4. Designar 5 personas de un total 50 para integrar una comisión 5. Sentarse en una fila de 5 asientos 4 personas 6. Escribir una palabra de 7 letras utilizando 4 consonantes y 3 vocales I) Principio de multiplicación : Si un evento o suceso “A” puede ocurrir , en forma independiente, de “m” maneras diferentes y otro suceso de “n” maneras diferentes, entonces el número de maneras distintas en que pueden suceder ambos sucesos es “m . n” Ejemplo 1: En la etapa final de fútbol profesional de primera, cuatro equipos : CRISTAL ( C ), BOYS ( B) ,ESTUDIANTES ( E ), UNIVERSITARIO (U), disputan el primer y segundo lugar (campeón y subcampeón). ¿De cuántas maneras diferentes estos equipos pueden ubicarse en dichos lugares? Solución : Existen 12 maneras diferentes en que estos equipos se pueden ubicarse en el primer y segundo lugar
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II) Principio de adición : Supongamos que un evento A se puede realizar de “m” maneras y otro evento B se puede realizar de “n” maneras diferentes, además, no es posible que ambos eventos se realicen juntos (AnB = Ø), entonces el evento A o el evento B se realizarán de ( m + n) maneras. Ejemplo 1: Un repuesto de automóvil se venden en 6 tiendas en la Victoria o en 8 tiendas de Breña.¿De cuántas formas se puede adquirir el repuesto? Solución : • Por el principio de adición: Victoria ó Breña 6 formas + 8 formas = 14 formas Ejemplo 2: Se desea cruzar un río, para ello se dispone de 3 botes, 2 lanchas y 1 deslizador. ¿De cuantas formas se puede cruzar el río utilizando los medios de transporte señalados? Solución :
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MÉTODOS DE CONTEO En diferentes casos se tomará de algún conjunto parte de sus elementos o todos ellos, para formar diferentes agrupaciones, que se van a distinguir por el orden de sus elementos o por la naturaleza de algunos de ellos. Si los elementos que forman una agrupación son diferentes entre si, serán llamados agrupaciones sin repetición y si alguno de ellos son iguales se dirá que son agrupaciones con repetición. Entre los métodos de conteo más conocidos tenemos : Permutación, Variación y Combinación Permutación Es un arreglo de todos o parte de un conjunto de objetos considerando el orden en su ubicación; cuando en el arreglo solo entran parte de los elementos del conjunto se llama variación . Es importante resaltar que el orden es una característica importante en la permutación, cuando variamos el orden de los elementos se dice que permutamos dichos elementos. Ejemplo : Determinar los diferentes arreglos o permutaciones que se pueden hacer con las letras a, b y c tomadas de dos en dos Solución : Método 1: Sea el conjunto : {a, b, c} , entonces los arreglos pueden ser: ab, ba. ac, ca, bc, cb Número de arreglos = 6 Método 2: (principio de multiplicación) # arreglos = 3 x 2=6 ; donde: n, k e N y 0 = k = n Estas permutaciones son llamados lineales , porque los objetos son ordenados en una línea recta de referencia Ejemplo: En una carrera de 400metros participan 12 atletas. ¿De cuantas formas distintas podrán ser premiados los tres primeros lugares con medalla de oro , plata y bronce? Solución : Método 1 : Empleando el principio de multiplicación Oro Plata Bronce 10 x 9 x 8 # maneras = 720 EXPLICACIÓN 1) El primer casillero puede ser ocupado por cualquiera de las tres letras, existiendo 3 posibilidades 2) El segundo casillero puede ser ocupado por cualquiera de las otras dos letras restantes, existiendo 2 posibilidades Teorema 1: (Permutación lineal con elementos diferentes) “El número de permutaciones de “n” objetos diferentes, tomados en grupos de k elementos (siendo k =n) y n n ! ( n - k )! P kn = EXPLICACIÓN 1) El primer casillero(MEDALLA DE ORO) puede ser ocupado por cualquiera de los diez atletas, existiendo 10 posibilidades 2) El segundo casillero(MEDALLA DE PLATA) puede ser ocupado por cualquiera de los nueve atletas restantes, existiendo 9 p
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