La mecánica trata las relaciones entre fuerza, materia y movimiento; nos disponemos a analizar los métodos matemáticos que describen el movimiento.

Esta parte de la mecánica recibe el nombre de cinemática.

Las siguientes son consideraciones que fundamentan dicho estudio:

• El movimiento puede definirse como un cambio continuo de posición.
• En el movimiento real de un cuerpo extenso, los distintos puntos del mismo se mueven siguiendo trayectorias diferentes, pero consideraremos en principio una descripción del movimiento en función de un punto simple (partícula).
• Tal modelo es adecuado siempre y cuando no exista rotación ni complicaciones similares, o cuando el cuerpo es suficientemente pequeño como para poder ser considerado como un punto respecto al sistema de referencia.
• El movimiento más sencillo que puede describirse es el de un punto en línea recta, la cual haremos coincidir con un eje de coordenadas.

2. Desplazamiento, velocidad y aceleración

Para comprender como se mueven los objetos cuando actúan en ellos fuerzas y momentos de rotación externos no equilibrados, es importante configurar exactas imágenes físicas y matemáticas del desplazamiento, la velocidad y la aceleración, comprender las relaciones entre estas tres cantidades.

En el proceso se imaginará un sistema que comprende tres ejes coordenados mutuamente perpendiculares y un pequeño cuerpo en movimiento, que en el curso del tiempo, describe alguna clase de trayectoria en el espacio de coordenadas.

El principio, no se tendrá interés en las fuerzas que provoca este movimiento, ni en la relación entre estas causas físicas y la trayectoria resultante.

En vez de ello, se supondrá que se conoce una ecuación de movimiento que puede resolverse para dar información explícita en todo momento acerca de la posición, la velocidad y la aceleración de la partícula.

Sólo se considerarán los aspectos geométricos del movimiento, cuyo estudio se llama cinemática.

Inicialmente se supone que, de alguna manera, la partícula objeto del estudio está limitada a moverse sólo a lo largo del eje x.

Entonces se puede describir su posición en cualquier instante t por medio de la distancia x entre el origen y la partícula, como hay un valor bien definido de x asociado a cada valor t del tiempo, x es una función de t.

Por lo anterior será posible representar gráficamente el desplazamiento x en función del tiempo y obtener una gráfica como la de la figura (2.1)

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Desplazamiento de un objeto que se mueve sobre el eje x graficado en función del tiempo. La cantidad ∆x/∆t representa la velocidad media en el intervalo de tiempo ∆t, mientras que el límite de esta cantidad cuando ∆t tiende a cero, que es la derivada dx/dt, representa la velocidad instantánea en el tiempo t.

La velocidad media durante un intervalo de tiempo pude obtenerse determinado la distancia que recorre la partícula en ese intervalo, y observando que

 De la figura 2.1 es claro que es la tangente del ángulo θ, por lo que representa también la pendiente de la secante PQ que une los dos puntos de la curva que corresponde al tiempo t y al desplazamiento x + .

Ahora podrá definirse la velocidad instantánea v_x asociada a un instante t y el desplazamiento correspondiente x, como el límite de cuando el intervalo de tiempo tiende a cero. Pero esto es precisamente la definición de la derivada de x con respecto a t; entonces,

La velocidad instantánea puede considerarse como la pendiente de la tangente en P a la curva de la figura 2.1.

Es claro que conforme ∆t y ∆x tienden a cero en el límite, la pendiente de la secante PQ se aproxima a la pendiente de la tangente a la curva en P.

Por la ecuación (2.2.2), se puede considerar que la velocidad instantánea Vx es la rapidez de variación del desplazamiento.

Fácilmente se demuestra que si la velocidad instantánea es constante, entonces la velocidad media un intervalo de tiempo es igual a la velocidad instantánea.

Si la velocidad instantánea no fuese constante, entonces la velocidad dependerá del intervalo tiempo escogido y, en general, no será igual a la velocidad instantánea al principio o al final del intervalo.

Escribiendo dv/dt = (dv_x/dx) (dx/dt), que equivale a multiplicar dv_x/dt por dx/dx (es decir, por la unidad), se obtiene:

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Desplazamiento de un punto que se mueve a lo largo de una trayectoria arbitraria en el espacio coordenado tridimensional. El vector ∆r/∆t es la velocidad media durante el intervalo, en tanto que la derivada dr/dt. (Que se obtiene en el limite cuando →0, representa el vector velocidad instantánea al tiempo t) (Figura 2.2)

Si no se confina el movimiento de la partícula al eje x aquella describirá una cierta curva o trayectoria en el espacio, como se muestra en la figura2.2. En el tiempo t, la partícula estará en algún punto P cuyas coordenadas espaciales son (x, y, z); y en este momento se pede describir su desplazamiento con respecto al origen mediante un vector de posición r, cuyas componentes según los ejes coordenados son x, y e z, respectivamente. Entonces el vector de posición r en el tiempo t es

En un tiempo posterior t + , la partícula se habrá movido a lo largo de su trayectoria hasta un punto Q de coordenadas ( x +x, y + y, z + z). El vector de posición

r +r =(x + x)i +(y + y)j +(z + z)k (2.2.7)

En forma análoga a (2.1.1) la velocidad media puede explicarse como el vector .

Por tanto:

Ahora se define la velocidad instantánea v como un vector que exprésale valor límite de v conforme tiende a cero, por lo que:

La velocidad instantánea es, entonces, un vector cuyas componentes x, y y z son:

La dirección de este vector es la dirección límite del vectorr cuando t0; es decir, conforme Q se mueve a lo largo de la curva hacia P. De la figura 1.2 es evidente que en este límite la dirección r es la de la tangente a la trayectoria en P.

En consecuencia, la dirección de v también es la dirección de la tangente a la trayectoria en P.

Desde luego, la expresión: es el módulo de la velocidad  

Ahora se puede utilizar precisamente el mismo método para estudiar la aceleración. El vector velocidad V en el tiempo t es:

En que (2.1.10) de v_x’ v_y y v_z’ en tanto que en el tiempo t+t, la velocidad serà:

Por lo que:

La aceleración instantánea en el tiempo t se obtiene evaluado la aceleración media en el límite cuando t 0. Como en (1.19), las relaciones v_x/t, v_y/t, etc., se convierten en derivadas en este límite, y el resultado final es:

  La aceleración instantánea a es un vector cuyas componentes son:

La dirección del vector aceleración es la del vector dv que representa el cambio de la velocidad en un intervalo de tiempo infinitesimal. No es el necesario que este vector tenga la misma dirección que el vector velocidad v, y en realidad, generalmente no la tiene.

Como siempre, la magnitud del vector aceleración está dada por:

Como antes, usando el mismo razonamiento algebraico, es posible demostrar que las componentes de la aceleración se pueden escribir en la forma alternativa

Al resolver problemas reales en la dinámica de estados físicos, se podrán determinar los valores de las componentes de la aceleración a_x’ a_y y a_z’ a partir de las leyes del movimiento expresadas como un sistema de ecuaciones de movimiento. Entonces será posible obtener las componentes de la velocidad por integración, ya que de (2.2.16)

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Al evaluar las integrales se obtiene una constante de integración que no puede determinarse a menos que se conozca de antemano el valor de la velocidad en un tiempo específico.

A menudo se encontrara que se conoce o puede especificar la velocidad inicial (cuando t=0).

De modo que para obtener los valores precisos de la velocidad en todo tiempo, es necesario conocer (además de las ecuaciones de movimiento que dan la aceleración) algo acerca de la velocidad en algún momento o lugar determinado.

A esta información complementaria se la llama condición en la frontera.

Una vez evaluadas las componentes de la velocidad a partir de la aceleración dada, con ayuda de una condición en la frontera adecuada será posible evaluar el desplazamiento de la partícula integrando nuevamente.

De (2.2.10) se puede escribir:

Otra vez más aparece una constante de integración que no puede evaluarse sin datos adicionales.

-Otra condición en la frontera, que esta vez especifica que la ubicación de la partícula en determinado instante. Al estudiar los ejemplos, se examinarán en detalle las técnicas a emplear en la integración de ecuaciones de movimiento y el uso de las condiciones en la frontera.

Su posición en el punto P es x, en el tiempo t_i y su posición en el punto Q es x_f en el tempo t_f. (Los índices i y f se refieren a los valores inicial y final.) (Figura 2.3)

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La velocidad promedio de una partícula en una dimensión puede ser positiva o negativa, según el signo del desplazamiento.

distancia total

Velocidad promedio = ————————

tiempo total

Sin embargo, a diferencia de la velocidad promedio, la rapidez promedio no tiene dirección, por lo tanto no lleva signo algebraico.

Conocer la velocidad promedio de una partícula no brinda ninguna información acerca de los detalles del viaje.

Sin embargo, es necesaria una definición más precisa de aceleración:

Supóngase que una partícula que se mueve a lo largo del eje x a una velocidad v_i al tiempo t_i, y una velocidad v_f tiempo t_f, como se muestra en la figura 2.4a.

 a) Una "partícula" que se mueve de P a Q tiene velocidad v_i en t = t_i y velocidad v_f en t = t_f.

La aceleración promedio de la partícula en el intervalo de tiempo t = t_f - t_i

se define como el cociente v/t, donde v = v_f-v_i es el cambio de la velocidad en este intervalo de tiempo:

La aceleración tiene dimensiones de longitud dividida por (tiempo)², o L/T².

Algunas de las unidades comunes de aceleración son metros por segundo por segundo (m/s²) y pies por segundo por segundo (pies/s²).

Por ese motivo, es útil definir la aceleración instantánea como el límite de la aceleración promedio cuando t se acerca a cero.

Este concepto es similar a la definición de velocidad instantánea estudiado, la aceleración instantánea será:

Es decir, la aceleración instantánea es igual a la derivada de la velocidad respecto del tiempo, la cual por definición, es la pendiente de la gráfica velocidad-tiempo (Fig.2.4b).

Se puede interpretar la derivada de la velocidad respecto del tiempo como la tasa de cambio de la velocidad. Si a es positiva, la aceleración está en la dirección x positiva, pero, si a es negativa indica que la aceleración está en la dirección x negativa.

A partir de ahora se empleará el término aceleración con el significado de aceleración instantánea.

Puesto que v = dx/dt, la aceleración también puede escribirse:

b) Iguala la pendiente de la línea tangente a la curva de v contra t.

Es decir, en un momento unidimensional, la aceleración es igual a la segunda derivada de la coordenada x en relación con el tiempo.

La posición de un objeto que se mueve a lo largo del eje x varía con el tiempo, como se muestra en la figura 2.6a.

Con métodos gráficos se obtienen gráficas de la velocidad contra el tiempo y de la aceleración contra el tiempo para el objeto.

La velocidad en cualquier instante es la pendiente de la tangente de la gráfica x-t en ese instante.

Entre t=0 y t= t_1, la pendiente de la gráfica x-t aumenta de manera uniforme, por lo cual la velocidad se incrementa linealmente, como en la figura 2.6b. Entre t₁ y t₂ la pendiente de la gráfica x-t es constante, de manera que la velocidad permanece constante.

En t_4, la pendiente de la gráfica x-t es cero, de modo que la velocidad es cero en ese instante.

Entre t₄ y t₅ la pendiente de la gráfica x-t es negativa y disminuye de manera uniforme; por lo tanto, la velocidad es negativa y constante en este intervalo.

En el intervalo t₅ a t₆ la pendiente de la gráfica x-t aún es negativa y va a cero en t₆.

Por último, después de t₆ la pendiente de la gráfica x-t es cero, por lo que el objeto se encuentra en reposo.

De manera similar, la aceleración en cualquier instante es la pendiente de la tangente de la gráfica v-t en ese instante.

La gráfica de aceleración contra tiempo para este objeto se muestra en la figura 2.6c.

Observe que la aceleración es constante y positiva entre 0 y t_1, donde la pendiente de la gráfica v-t es positiva; la aceleración es cero entre t₁ y t₂ y para t , porque la pendiente de la gráfica v-t es cero.

Poder definir la velocidad de una partícula en un instante particular del tiempo, en lugar de sólo un intervalo de tiempo, la velocidad de una partícula en cualquier instante de tiempo - en otras palabras, en algún punto sobre una gráfica espacio – tiempo - recibe el nombre de velocidad instantánea. Este concepto tiene una importancia especial cuando la velocidad promedio en diferentes intervalos de tiempo no es constante.

Considérese el movimiento en línea recta de una partícula entre los puntos P y

Q sobre el eje x, como se ve en la figura 2.7a. A medida que Q se va acercando más y más a P, el tiempo necesario para recorrer la distancia se vuelve progresivamente más pequeño. La velocidad promedio para cada intervalo de tiempo es la pendiente de la línea punteada correspondiente en la gráfica espacio-tiempo mostrada en la figura 2.7b Conforme Q se acerca a P, el intervalo de tiempo se aproxima a cero y la pendiente de la línea punteada se acerca a la de la línea tangente azul a la curva en P. La pendiente de esta línea se define como la velocidad instantánea en el tiempo t_i, en otras palabras,

la velocidad instantánea, v, es igual al valor límite del cociente x/t conforme t se acerca a cero.

En la notación del cálculo, este límite se conoce como la derivada de ^respecto de t, y se escribe dx/dk

La velocidad instantánea puede ser positiva, negativa o cero. Cuando la pendiente de la gráfica posición-tiempo es positiva, como en P en la figura 2.8, v es positiva.

En el punto R, v es negativa puesto que la pendiente también lo es. Por último, la

velocidad instantánea es cero en el pico Q (el punto de retorno), donde la pendiente es cero.

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De aquí en adelante se empleará la palabra velocidad para designara la velocidad instantánea. Cuando interese la velocidad promedio, se empleará siempre el adjetivo promedio.

La rapidez de una partícula se defines como la magnitud de su velocidad. La rapidez no tiene dirección asociada y, en consecuencia, no lleva signo algebraico. Por ejemplo, si una partícula tiene una velocidad de +25 m/s y otra partícula tiene la velocidad de –25m/s, las dos tiene una rapidez de 25m/s. El velocímetro de un automóvil indica la rapidez, no la velocidad.

También es posible utilizar una técnica matemática conocida como integración para determinar el desplazamiento de una partícula si se conoce su velocidad como una función del tiempo. Debido a que quizá los procedimientos de integración no sean familiares para muchos estudiantes, el tema se trata (opcionalmente).

La posición de una partícula que se mueve a lo largo del eje x varía en el tiempo de acuerdo con la expresión x = (3 m/s²) t², donde x está en metros y t en segundos. Encuentre la velocidad en cualquier tiempo.

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x=3(t+t)²=3[t²+2tt+ (t)²]

=3t²+6t t+3()²

Por tanto, el desplazamiento en el intervalo de tiempo t es

=6t t+ 3(t)²

La velocidad promedio en este intervalo es:

Para encontrar la velocidad instantánea, se toma el límite de esta expresión conforme t se acerca a cero, como muestra la ecuación 2.9. Al hacerlo así, vemos que el término 3 t se va a cero, por lo que:

Advierta que esta expresión brinda la velocidad en cualquier tiempo t. Nos indica que v crece linealmente en el tiempo. Por ello se encuentra directamente la velocidad en algún tiempo específico de la expresión v = (6 m/s²) t. Por ejemplo, si t = 3.0 s, la velocidad es v= (6 m/s²) (30.5) = + 18 m/s. De nuevo, esto puede verificarse a partir de la pendiente de la gráfica (la línea verde) en t=3.0s.

El proceso límite también puede examinarse numéricamente. Por ejemplo, con las expresiones para xy se puede calcular el desplazamiento y la velocidad promedio para diversos intervalos de tiempo que inicien en t = 3.0 s. Los resultados de estos cálculos se presentan en la tabla 2.3.4.1 a medida que los intervalos de tiempo se vuelven más y más pequeños, la velocidad promedio se acerca al valor de la velocidad instantánea en t = 3.0 s, es decir, +18 m/s.

2. MOVIMIENTO UNIDIMENSIONAL CON ACELERACIÓN CONSTANTE

Si la aceleración de una partícula varía con el tiempo, el movimiento puede ser muy difícil de analizar. Sin embargo, un tipo muy común y simple de movimiento

unidimensional ocurre cuando la aceleración es constante o uniforme. Cuando la

aceleración es constante, la aceleración promedio es igual a la aceleración instantánea, en consecuencia, la velocidad aumenta o disminuye a la misma tasa durante todo el movimiento.

Si en la ecuación se reemplaza por a, se obtiene:

Por conveniencia se deja t_i = 0 y t sea. cualquier tiempo arbitrario t. Además, se deja que v_i = v₀ (, (la velocidad inicial en t = 0) y v= v (la velocidad en cualquier tiempo arbitrario t). Con esta notación, se puede expresar la aceleración como:

Esta expresión permite determinar la velocidad en cualquier tiempo t si se conocen la velocidad inicial, la aceleración (constante) y el tiempo transcurrido.

Una gráfica velocidad-tiempo para este movimiento se muestra en la figura 2.10a. La gráfica es una línea recta cuya pendiente es la aceleración, a, lo que es consistente con el hecho de que a = dv/dt es una constante.

Advierta que si la aceleración fuera negativa, la pendiente de la figura 2.10a sería negativa. Si la aceleración es en la dirección opuesta a la velocidad, entonces la partícula se está desacelerando.

De acuerdo con esta gráfica y con la ecuación 2.4.1, vemos que la velocidad en cualquier tiempo t es la suma de la velocidad inicial, v_o, y el cambio en la velocidad, at.

La gráfica de la aceleración contra el tiempo (Fig. 2.10 b) es una línea recta con

una pendiente de cero, ya que la aceleración es constante.

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Puesto que la velocidad varía linealmente en el tiempo, según la ecuación 1.8, es posible expresar la velocidad promedio en cualquier intervalo de tiempo como la media aritmética de la velocidad inicial, v_o, y de la velocidad final, v:

Observe que esta expresión es útil sólo cuando la aceleración es constante, es decir, cuando la velocidad varía de manera lineal con el tiempo.

Ahora, con las ecuaciones 2.2 y 2.4.2 se puede obtener el desplazamiento como

función del tiempo. En este caso también se elige t_i = o, tiempo en el cual la posición inicial es x_i = x₀. Esto produce

Es posible obtener otra expresión útil para el desplazamiento: AI sustituir la ecuación 2.4.1 en la 2.4.3

La validez de esta expresión puede comprobarse diferenciándola con respecto del tiempo;

Por último, es posible obtener una expresión que no contenga el tiempo sustituyendo el valor de t de la ecuación 2.4.1 en la 2.4.3:

¿Estas ecuaciones de la cinemática son útiles en situaciones donde la aceleración varía con el tiempo? ¿Es posible emplearlas cuando la aceleración es cero?

Las ecuaciones de la cinemática no son útiles si la aceleración varía continuamente. Sin embargo, si la aceleración cambia en etapas, es decir, se tiene un valor constante por un momento y después otro valor constante para cierto intervalo de tiempo ulterior, las ecuaciones para movimiento con aceleración constante pueden emplearse para seguir cada sección del movimiento por separado.

Si la aceleración es cero durante cierto intervalo de tiempo, la velocidad es constante y las ecuaciones cinemáticas pueden usarse; en este caso, como a = 0, las ecuaciones se vuelven v = v₀ y x – x₀ = vt.

Un automóvil viaja a una velocidad constante de 30.0 m/s (=67mi/h) y pasa por un anuncio detrás del cual se oculta un policía de la guardia civil. Un segundo después de que el auto pasa, el policía inicia la persecución con una aceleración constante de 3.00 m/s². ¿Cuánto tarda el policía en superar al automóvil?

Para resolver este problema de una forma algebraica, se escriben expresiones para la posición de cada vehículo como una función del tiempo. Es conveniente elegir el origen en la posición del anuncio y tomar t = 0 como el tiempo en el que el policía empieza a moverse. En ese instante el veloz

automóvil ya ha recorrido una distancia de 30.0 m debido a que viaja una rapidez constante de 30.0 m/s. De tal modo, la posición inicial del automóvil rápido es x₀=30.0 m.

Esta es una sección optativa en la que se supone que el lector está familiarizado con el cálculo integral. Si usted no ha estudiado aún integración en su curso de cálculo debe saltar esta sección o cubrirla tiempo después de haberse familiarizado con la integración.

La velocidad de una partícula que se mueve en una línea recta puede obtenerse

de conocer cuál es su posición como función del tiempo. Matemáticamente, la velocidad es igual a la derivada de la coordenada respecto del tiempo. También es posible encontrar el desplazamiento de una partícula si se conoce su velocidad como función del tiempo.

En cálculo, este procedimiento se conoce como integración, o determinación de la antiderivada. Gráficamente es equivalente a determinar el área bajo una curva.

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Suponga que la gráfica de velocidad contra tiempo para una partícula que se

mueve a lo largo del eje x es como se muestra en la figura 2.11 Divídase el intervalo de tiempo t- t_I, en muchos intervalos pequeños de duración t_n. Según la definición de la velocidad promedio, se ve que el desplazamiento durante cualquier intervalo pequeño, como el sombreado en la figura 2.11, está dado por x_{n =} donde _n es la velocidad promedio en ese intervalo.

Por lo tanto, el desplazamiento en el transcurso de este pequeño intervalo es sencillamente el área del rectángulo sombreado. El desplazamiento total para el intervalo t - t_i es la suma de las áreas de todos los rectángulos:

donde la suma se toma sobre todos los rectángulos de t_i a t. Ahora, a medida que cada intervalo se hace más pequeño, el número de términos en la suma aumentan y ésta se acerca a un valor igual al área bajo la gráfica velocidad-tiempo. En consecuencia, en el límite. Vemos que el desplazamiento está dado por:

Advierta que en la suma se ha sustituido la velocidad promedio v_n por la velocidad instantánea . Como se puede ver en la figura 2.11, esta aproximación es válida en el límite de intervalos muy pequeños.

La conclusión es que si la gráfica velocidad - tiempo para el movimiento a lo largo de una línea recta se conoce, el desplazamiento durante cualquier intervalo de tiempo puede obtenerse al medir el área bajo la curva correspondiente a ese intervalo de tiempo.

En la ecuación 2.6.1 el límite de la suma se conoce como integral definida y se

Escribe.

donde v( t) denota la velocidad en cualquier tempo t. Si se conoce la forma funcional explícita de v(t), y se dan los límites, es posible evaluar la integral.

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Si una partícula se mueve con una velocidad constante V₀, como muestra la figura 2.12 , su desplazamiento durante el intervalo de tiempo t es simplemente el área del rectángulo sombreado, es decir,

Como otro ejemplo, considere una partícula moviéndose con una velocidad que

es proporcional a t, como se ve en la figura 2.13. Si se toma v = at, donde a es la

constante de proporcionalidad (la aceleración), se encontrará que el desplazamiento de la partícula durante el intervalo de tiempo t = 0 at = t₁ es el área del triángulo sombreado en la figura 2.13:

A continuación se utilizarán las ecuaciones de definición correspondientes a la aceleración y la velocidad para deducir dos ecuaciones cinemáticas.

La ecuación que define la aceleración

también puede escribirse en términos de una integral (o antiderivada) como

donde C₁ es una constante de integración. Para el caso especial en el que la aceleración es constante, lo anterior se reduce a

v = at + C₁

El valor de C₁ depende de las condiciones iniciales del movimiento. Si tomamos v = v₀ cuando t =0 y sustituimos estos valores en la última ecuación, tenemos

V₀ = a(0) + C₁

C₁ = v₀

Portante, se obtiene la primera ecuación cinemática (ecuación 2.4);

v = v₀ + at (para a constante)

Ahora consideremos la ecuación que define a la velocidad

Podemos escribir esta forma integral como

x=v₀t+at²+C₂

Para encontrar C₂, se toma en cuenta la condición inicial de que x = x₀ cuando

t = 0.

Esto produce C₂ =x₀ En consecuencia, tenemos

Ésta es una segunda ecuación cinemática (ecuación 2.4.4). Recuerde que x- x₀ es igual al desplazamiento del objeto, donde x₀ es su posición inicial.

• Al analizar las hipótesis propuestas este tipo de variable se referirá al uso adecuado de los textos de consulta en busca de un óptimo rendimiento, es decir se refiere a: métodos de estudio y parámetros que definen el rendimiento. (investigar bibliografía y estudio de herramientas de calculo necesarios)

• Planteo y resolución del ejercicio variados referentes al tema del investigador.

• Responsabilidad del investigador durante el proceso de recopilación y análisis bibliográfico, referente a la Teoría y estructura que se relacionan con la Mecánica en su capítulo pertinente a la presente obra; todo ello, engloba la acuciosidad, esmero, eficiencia en logros y resultados al reordenar mentalmente lo estudiado al respecto del tema, procediendo a desglosarlo y asumirlo desde un punto de vista diferente, bajo una óptica de nivel intermedio mucho más amplia que sus definiciones básicas ya aprendidas.
• Se ha decidido adoptar el método R O A A, para llevar acabo el análisis, planteo y solución de los diversos ejercicios de aplicación hacia los cuales propende el estudio previo como fundamento del esfuerzo realizado, en miras de abstraer, razonar y concluir en base al desarrollo de una cultura y mentalidad nacientes con relación al tratamiento de la física.

El Universo a inferir en el presente análisis es: "Estudiantes de Bachillerato en Ciencias, de Colegios Particulares, con Especialidad Físico - Matemático", consultados a través de una Observación tipo Encuesta, debidamente tratada como una variable discreta, siendo tabulada y sirviendo de vehículo oportuno para concluir, utilizando como muestra en dicho análisis a 50 estudiantes correspondientes a dicho perfil, sin distingo de género. El estudio se halla centrado en Tungurahua, Ciudad de Ambato.

En sentido moderno, esta historia debe entenderse sobre todo como una historia del pensamiento científico-físico, pensamiento que tiene contenidos culturales, formativos, lógicos y filosóficos que se pueden interpretar como el producto característico y la herencia del presente siglo.

Si se considera que el fin de la cultura consiste en suministrar una imagen unitaria del mundo, en cuanto sea posible, resulta necesario considerar también la orientación que en este sentido proviene de la ciencia.

Todavía mas, la cultura consiste en el logro de una visión global de la vida y del mundo en que se vive, y en la posesión de los medios para poder formar un juicio critico sobre los acontecimientos que rodean al hombre; esto implica le necesidad de conocer de modo preciso los fundamentos de la física moderna.

Por otra parte, la continua especialización, las investigaciones sobre objetos muy distintos de la experiencia diaria y el consiguiente uso de un lenguaje matemático cada ves mas abstracto y complejo, han hecho que la física tienda a convertirse efectivamente en algo cada vez mas alejado del mundo común.

Sin embargo, esta dificultad puede evitarse en parte, limitándose a los fundamentos filosóficos de la física reciente, que a priori resulta comprensible a todo en sus aspectos humanísticos.

A este fin es útil recordar las distintas posiciones tomadas a través del tiempo por los físicos frente a la Naturaleza.

Se intentará en lo que sigue resaltar los adelantos de la ciencia reciente, auque no podrá tratarse de la mayor parte de la física contemporánea dado su enorme extensión y la dificultad de hacer la historia de doctrinas que están todavía en desarrollo.

Por otro lado, habrá que dejar aparte la crónica histórica, para atender al desarrollo de los fundamentos de la física y las evaluaciones que condujeron a todos los cambios relevantes que la caracterizan.

Pueden apreciarse hasta que punto esta ciencia es dinámica, no solo en la experiencia moderna, sino también en su pasado.

Obsérvese, por ejemplo, el cambio experimentado por los científicos frente a lo conocible como se puede deducir de los pasajes que a continuación se citan, escritos por Kepler, Newton, Eddington y Heisenberg.

Decía Kepler: "puesto que yo me he impuesto como meta conducir al entendimiento humano, con la ayuda del calculo geométrico, para que pueda otear los caminos de la Creación, quiera el Artífice de los cielos, el Padre inmortal de todos los seres inteligentes, al que deben su existencia todos los sentidos mortales, ser clemente conmigo y preservarme de decir algo contra Su obra que no pueda conciliarse con Su majestad e induzca a error nuestro entendimiento, y hacer, en cambio, que imitemos la perfección de Su obra creadora santificando nuestra vida"; tal es la profesión de fe de Kepler, quien se consideraba abiertamente en posición de poder contemplar el plan creador de Dios e inclinarse reverente ante el santuario así descubierto. Al mismo tiempo, reafirmaba de la física: determinar en el manifiesto devenir del Universo, por debajo de las apariencias y de las formas geométricas, aquello que permanece constante, es decir, la ley que preside el devenir mismo.

Las conquistas de la física, al profundizar en el conocimiento de la ciencia, permiten también un mejor conocimiento del hombre, pero presentan las características de seguir paralelamente cada vez mayor de renuncias.

Solo 50 años después, escriben ya Newton: "Yo no soy como me juzga el mundo; a mi me parece que soy un niño que juega en la playa a orillas del mar y se alegra cuando encuentra un guijarro más liso que los otros o una concha más bella, mientras que el gran océano de la verdad permanece inexplorado ante el."

Por tanto, para Newton el científico se halla solamente a la puerta de una tierra nueva e infinita, cuyos limites no puede alcanzar y su misión es la de analizar, no ya la ley universal, sino cada una de las muchas leyes particulares.

Sin embargo, quedaba la certeza de conocer el verdadero comportamiento de las cosas, cuya mutación se realizaba a través de su movimiento en el espacio (también la mutación de las cualidades puede reducirse, como se sabe, al movimiento de las partes mas pequeñas).

Un ambiente muy distinto envuelve el pensamiento de Heisenberg cuando escribe, pasados mas de dos siglos: "Nosotros nos damos cuenta de que no hay un punto seguro de partida en los caminos que llevan a los distintos campos de lo conocible, sino que cada conocimiento esta colgado, en cierto modo, sobre un abismo sin fondo; que debemos comenzar a partir de algún "punto intermedio", mientras que los términos utilizados para hablar de los fenómenos adquieren un sentido mas preciso poco a poco y solo con su uso ".

Además, en la física clásica. Newtoniana, se había despreciado siempre la aportación del sujeto a la investigación, considerándolo pasivo con relación a los fenómenos; es decir, el observador se había olvidado de consumir un sistema físico de interacción con el objeto observado.

En cambio, he aquí lo que escribió el astrónomo Eddington en los primeros decenios de nuestro siglo refiriéndose a las correlación de incertidumbre de Hesenberg: "Hemos visto que allí donde la ciencia ha realizado las mayores conquistas el espíritu a obtenido de la naturaleza lo que el mismo le había prestado. Sobre las playas de lo desconocido hemos descubierto una huella misteriosa; hemos construido profundas teorías para poder explicar su origen. Como resultado hemos conseguido reconstruir el ser que a dejado esa huella: ese ser lo constituimos nosotros mismos."

En este sentido, Eddington no teme afirmar refiriéndose a la interpretación estadísticas-probabilista de cierta física reciente: "Yo puedo anunciar que esa ciencia que estudia el mundo físico ha vuelto ya la espalda ya a todos los modelos mecánicos semejantes, los cuales se consideran mas bien como obstáculos para poder compenetrar con la verdad que se esconden tras los fenómenos sensibles."

A la luz de tales trascendentales consideraciones, cabe anotar que como un esfuerzo guiado por ellas, el presente parte de la realidad de latencia del problema, la apreciación escolástica clásica de la ciencia física, volviéndola insípida y sin dejar apreciar toda su real dimensión.

El llegar a un nivel medio en el análisis, así como crear la conciencia y cultura necesarias en el estudiante para enfrentarse de manera efectiva a futuros retos a nivel superior, son la cima a la que se pretende llegar con esta investigación

Como ya se dijo, el problema se halla en estado latente, en espera de más de una propuesta para abordarlo, estudiarlo, resolverlo y proyectar los resultados en base a una teoría que permita la consecución de dicha cultura que devuelva su real disensión a la ciencia física.

Luego del análisis presentado, se recalca que este documento resultado del proceso del investigador, no es mas, sino un pequeño aporte, brindado desde el ángulo propio orientado a través de la consulta, haciendo uso de herramientas de última generación en investigación, como charlas sobre el tema en la red de INTERNET, publicaciones en el mismo medio global mencionado; bibliografía actualizada y pedagógicamente autorizada (best seller), revistas científicas, profesores politécnicos, profesionales egresados, ……, que entre otros alimentaron el carácter de la investigación dándoles giros orientados a cumplir con el objetivo planteado.

Luego de estudiar, analizar y establecer el diagnóstico del problema como investigador puedo dar un criterio que no pretende ser el más correcto; lo que aspira es cumplir las expectativas de las hipótesis planteadas, para con esto llegar a concluir ideas y elementos que pretendan emitir una propuesta valida y realizable.

Al conocer el entorno donde nos desempeñamos como estudiantes y pudiendo realizar un análisis comparativo con otros medios se asume que hace falta desarrollar más el ámbito de razonamiento, como el proceso lógico que permita esquematizar la solución óptima al momento de plantear y resolver un ejercicio de aplicación. Lo cual no quiere decir que no podemos alcanzar este nivel sino que de una u otra manera cada una de las personas debe empezar poniendo un gratino de arena para poder llegar a obtener un nivel elevado y rápido en el razonamiento sin llegar a caer en el campo opuesto como es el mecanicismo.

Un muy conocido problema de la física es el de la caída libre de los cuerpos, cuya ecuación diferencial permite despejar la incógnita que el observador desee, en base a ella halle la expresión que permite calcular la velocidad de caída de un cuerpo en función de la altura.

Si no se toma en cuenta la resistencia del aire, esta ecuación es:

(1)

Para obtener un resultado que nos interesa en los siguientes problemas adelantaremos su solución:

Si hacemos se puede obtener la segunda derivada del espacio con

respecto al tiempo en función de la velocidad y su derivada con respecto a s. así:

Integrando ambos miembros de esta última igualdad se obtiene:

Una condición física del problema es velocidad v=0 cuando espacio s=h. Esto nos permite obtener la constante de integración c.

La ecuación (3) resulta ser entonces:

Cuando s = 0, esto es, cuando el cuerpo ha llegado al suelo, se obtiene la velocidad final de un cuerpo que cae desde una altura h:

Una partícula se mueve a lo largo del eje x. Su coordenada x varía con el tiempo de acuerdo con la expresión:

x = -4t + 2t², donde x está en metros y t en segundos.

La gráfica posición-tiempo para este movimiento se muestra en la figura.

Advierta que la partícula se desplaza en la dirección x negativa en el primer segundo del movimiento, que está en reposo en el momento t = 1s, y que después regresa a la dirección de x en t > 1 s.

Al medir la pendiente de la gráfica posición-tiempo en t = 2.5s, se encuentra que v = +6m/s. También se pueden utilizar la ecuación 2.4 y las reglas del cálculo diferencial para encontrar la velocidad a partir del desplazamiento.

Por tanto, es t = 2.5s.

V = 4(-1+2.5) = +6 [m/s]

La velocidad de una partícula que se mueva a lo largo del eje x varía en el tiempo de acuerdo con la expresión v = (40-5t²) m/s, donde t se mide en segundos.

1. Encuentre la aceleración promedio en el intervalo de tiempo

Gráfica velocidad-tiempo para una partícula que se mueve a lo largo del eje x según la relación v = (50-5t²)m/s. Observe que la aceleración en t = 2s es igual a la pendiente de la línea tangente verde en ese tiempo.

La gráfica velocidad-tiempo para esta función se presenta en la figura 2.10. Las velocidades en t_f = 0 y t_f = 2.0s se determinan al sustituir estos valores de t en la expresión dada para la velocidad.

V₁ = (40-5t_i²)m/s = [40-5(0)²]m/s = +40m/s

V_f = (40-5t₁²)m/s = [40-5(2.0)²]m/s = +20m/s

Por tanto, la aceleración promedio en el intervalo de tiempo especificado es

Por tanto, el cambio en la velocidad sobre el intervalo de tiempo es

Si se divide esta expresión entre t y si se toma el límite del resultado cuando t tiende a cero se obtiene la aceleración en cualquier tiempo t

Por consiguiente, en t = 2.0s, se obtiene

a = (-10)(2.0)m/s² = -20m/s²

Este resultado también puede obtener al medir la pendiente de la gráfica velocidad-tiempo en t=20s. Observe que la aceleración no es constante en este ejemplo.

Un fabricante de cierto automóvil afirma que su auto deportivo de superflujo acelerará desde el reposo hasta una rapidez de 42.0m/s en 8.00s.En el improbable caso de que la aceleración sea constante: a)Determine la aceleración del automóvil en m/s²

Advierta primero que v_o = 0 y que la velocidad después de 8.00 s es v = 42.0 m/s. Puesto que nos dan v₀, v y t, se puede utilizar v = v₀ + at para encontrar la aceleración.

En realidad, ésta es una aceleración promedio, pues es improbable que un auto acelere uniformemente.

Consideremos como origen del auto su posición original, por lo tanto, x₀ = 0.Con la ecuación 2.10 descubrimos que

También en este caso v = v₀ + at, pero esta vez con v₀ = 0, t = 10.0 y a = 5.25m/s²

V = v₀ + at =0 + (5.25m/s²) (10.0s) = 52.5m/s

Un electrón en el tubo de rayos catódicos de un televisor entra a una región donde se acelera de manera uniforme desde una rapidez de 3.00 x 10⁴m/s. Hasta una rapidez de 5.00 x 10⁶ m/s en una distancia de 2.00 cm a) ¿durante cuánto tiempo el electrón está en la región donde se acelera?

Como la dirección del movimiento será a lo largo del eje x, con la ecuación 2.10 se determina t, puesto que se conocen el desplazamiento y las velocidades.

= 7.95 x 10^-9 s

Para encontrar la aceleración se emplea v = v₀ + at y los resultados de a):

= 6.25 x 10¹⁴ m/s²

Si bien en este ejercicio la aceleración es muy grande, ocurre en intervalos de tiempo muy cortos y es un valor característico en partículas cargadas en aceleradores.

Un punto que se mueve a lo largo del semieje positivo x con una velocidad inicial de 12 m/s sometido a una fuerza retardadora que le comunica una aceleración negativa. Si la aceleración varía linealmente con el tiempo desde cero hasta –3m/s² durante los cuatro primeros segundos de aplicación de la fuerza, y permanece constante durante los 5s siguientes, según se indica, determinar (a) la velocidad en el instante t = 4 s, (b) la distancia recorrida más allá de la posición en t = 0 hasta el punto donde invierte el sentido de su movimiento y (c) la velocidad y posición de la partícula cuanto t = 9s.

El examen de las curvas a-t y v-t de este movimiento, de las relaciones buscadas con un mínimo de cálculos. Como el área limitada por la curva a-t, la cual es conocida, da la variación de velocidad, la velocidad en t = 4s está dada por:

V₄ – 12 = -6, v = 6 m/s

La expresión de v durante el intervalo de 4s se obtiene integrando la primera de las ecuaciones. Así pues

Donde a = -3t/4 en este primer intervalo. La representación gráfica de v es la representada. El desplazamiento durante este intervalo es la integral de la ecuación:

Más allá de t = 4s, la pendiente de la curva v-t es la aceleración constante –3m/s² y se extiende fácilmente la recta de la velocidad hasta t = 9s. De la geometría de la figura se ve que v = 0 cuando t = 6s. Como el área limitada por la curva v-t da la variación de velocidad, la partícula ha recorrido una distancia máxima.

Hasta el punto en donde invierte el sentido de su movimiento en t = 6s.

El área total limitada por la curva v-t para los 9s da la posición final o desplazamiento total.

X = 40 + 6 - (3)(9) = 32.5 m

La velocidad final se ve que es –9 m/s

La aceleración a de una corredera unida a un resorte es proporcional a su desplazamiento s a partir de la posición de fuerza de resorte nula y está dirigida en sentido contrario al del desplazamiento. La relación existente es a = - k²s, donde k es una constante. (La constante k se eleva arbitrariamente al cuadrado por ser ello más conveniente para la forma de las expresiones que saldrán). Si la velocidad de la corredera es v₀ cuando s = 0 y si el tiempo t es cero cuando s = 0, determinar el desplazamiento y la velocidad en función de t.

Como se especifica la aceleración en función del desplazamiento, podremos integrar la expresión v dv = ad. Así pues.

o sea

Cuando s = 0, v = v₀, con lo que C_q = v₀²/2, y la velocidad será:

Se toma el signo más del radical cuando v es positiva en el sentido positivo de las s. Esta última expresión puede integrarse sustituyendo v = ds/dt. Así.

una constante

o sea

Con el requisito de que t = 0 cuando s = 0, la constante de – integración se hace C₂ = 0 y puede despejarse s con lo que.

La velocidad es v = s lo cual da

V = v₀ cos kt

Se observa que tanto s como v son funciones periódicas del tiempo. El período r es el tiempo que se tarda en realizar una oscilación completa, durante el cual el argumento del coseno aumenta en 2.

Así k(t + r) = kt + 2 y r = 2/k. La frecuencia f del movimiento es el número de oscilaciones o ciclos completos por unidad de tiempo y es f = 1/r = k/s.

Este movimiento recibe el nombre del movimiento armónico simple y es característico de todas las oscilaciones en las que la fuerza restauradora y por tanto la aceleración, es proporcional al desplazamiento pero de signo contrario.

Como a = , la relación dada puede escribirse en la forma.

Esta es una ecuación diferencial lineal de segunda orden cuya solución se conoce y es

S = A sen kT + B cos Kt,

Donde A, B y K son constantes. Sustituyendo esta expresión en la ecuación diferencial, se ve que la satisface si K = k. La velocidad es v = y queda.

V = Ak cos kt – Bk sen kt

La condición límite v = v₀ cuando t = 0 exige que A = v₀/k, y la condición s = 0 cuando t = 0 da B = 0. As{i pues, la solución es:

Una fuerza retardadora de 3s de duración actúa sobre una partícula que se mueve hacia delante con una velocidad de 60m/s. El registro oscilográfico de la desaceleración se presenta en la figura. ¿Cuál es la velocidad de la partícula para t = 9s?

Observando el gráfico se deduce:

Para el tramo AB, a = 0 v = cte V_B = 60m/seg

Para el tramo BC, a= cte = -4g, t = 3, V_B = 60 m/seg

V_C = ?

v_C = -57.6m/seg

Para el tramo CD, a = 0 v = cte

Un proyectil se dispara en un medio resistente con una velocidad v₁, y queda sometido a una aceleración de frenado igual a cvⁿ, donde c y n son constantes y v es la velocidad en el medio. Hallar la expresión de la velocidad v del proyectil en función del tiempo t de penetración.

V₀ = v₁

a = -cvⁿ integrando:

v(t) = ?

Despejando v:

Un objeto se mueve a lo largo de una recta con aceleración constante. En el instante .t = 0, el desplazamiento es +4 m y al cabo de 10 s es –6m. El objeto pasa por una posición de reposo instantáneo cuando t = 4s.

Calcular la velocidad inicial v en t = 0

X₃ = -6m x₂ = ? x₁ = 4m

T = 10 seg v₂ = 0 v₁ = ?

T = 4 seg t = 0

Considerando 2 tramos:

Analizando el tramo (1) tenemos:

analizando el tramo (2):

Igualando

-8a + 4 = -6 – 18a a = -1m/seg²

Reemplazando

V₁ = 4m/seg

La aceleración de arranque a de un vehículo experimental se mide experimentalmente durante una fase de su movimiento y se representa en una gráfica en función del desplazamiento. En la posición 15m, el mecanismo motor desliza bruscamente, y la aceleración presenta una discontinuidad.

Si el vehículo tiene en s = 6m una velocidad de 12 km/h, representar la velocidad durante la fase de movimiento considerada. Calcular la velocidad en s = 21m

Aproximadamente las curvas a rectas considerando los puntos extremos para hallar sus ecuaciones e interpolando:

Para el tramo (1) consideraremos los puntos.

(s,a) = (6, 0.6) y (15, 2)

v₁₅ = 5.8 m/seg

Analizando el tramo (2) y considerando que la velocidad no varía cuando el mecanismo motor desliza tenemos:

Considerando los puntos:

Considerando (s,a) = (15, 1.4) y (21, 0.35)

Como:

EJERCICIO 12:

Un móvil se mueve en línea recta con una velocidad cuyo cuadrado de decrece linealmente con el del desplazamiento entre dos puntos A y B que distan 30m entre sí. Determinar el desplazamiento delincuente móvil durante los 2s que preceden la llegada a B.

Hallando la ecuación de la recta que pasa por los puntos (x, v²) = (45, 120) (15, 270)

Resolviendo la integral para hallar el tiempo en alcanzarse x = 45m

Dos segundos antes de llegar a B al tiempo será:

El desplazamiento alcanzado en este tiempo será:

Luego será:

La aceleración vertical de un cierto cohete de combustible sólido viene dada por a = que^-bt –cv – g, donde k, b, y c son constantes, v es la velocidad vertical adquirida, y g es la aceleración de la gravedad, esencialmente constante durante el vuelo en la atmósfera. El término exponencial representa el efecto delincuente empuje decreciente a medida que el combustible quema y el término –cv es el delincuente frenado debido a la resistencia atmosférica.

Determinar la expresión de la velocidad vertical del cohete t segundos después delincuente encendido.

a = que^-bt – cv – g

t = 0 v₀ = 0

v = v(t) = ?

Como cuando t = 0 v = 0

La velocidad v de una partícula que se mueve con movimiento rectilíneo varía linealmente con su desplazamiento s desde 6.6 m/s a 26.6 m/s durante un desplazamiento de 133.3 nm. Hallar la aceleración a de la partícula en el punto medio del recorrido de 133.3 m.

Nos pide la aceleración en el punto C.

Se sabe; que la velocidad varía linealmente con respecto al espacio por lo tanto a(s) es constante durante todo el recorrido.

Sabemos:

de donde: a_c = 2.49 m/sg²

Una partícula que se mueve a lo largo del eje x, ocupa la posición, a partir del origen, para t = 0, x = 40 cm y posee una velocidad x = -25 cm/s. Si la aceleración de la partícula es constante e igual a x = +5 cm/s², calcular la coordenada x₁ de la posición de la partícula cuando cambia de dirección. Hallar también el tiempo t necesario para volver al punto de partida.

X = 40 cm

x₁ = ?

Se sabe:

de donde: x₁ = -22.5 cm

graficando el movimiento:

Para hallar el tiempo necesario para volver al punto de partida, v₀ = 0

Una partícula se mueve a lo largo del eje y con una aceleración constante y = 1.22 m/s². Si [ara t = 0 su posición es y = -30.48 m y su velocidad es = -12.19 m/s, determinar la coordenada y de la partícula para t = 30s.

Para t = o

= 1.22 m/seg²

Nos piden el espacio (y₁) para t = 30 sg.

y₁ = 183.3 nt.

Observando el gráfico:

Y₁ = 183.3 – 30.48

Y₁ = 152.8 m

Una partícula tiene una velocidad de 6.6 m/s en la dirección negativa de s para t = 0. Si la partícula está sometida a una fuerza en la dirección positiva de s que produce la aceleración a según se indica, hallar la velocidad v de la partícula para t = 10s y el desplazamiento s durante este tiempo.

Por la ecuación de la recta.

Considerando los puntos:

(t,a) = (0, 0.6) (10, 1.8)

a = 0.12t + 0.6

v = 5.4 m/sg

De (I) Integrando de 0 a t:

s = 16 m

Una partícula parte del reposo para s = 0 y t = 0 moviéndose en la dirección positiva de s con una aceleración que varía linealmente con el desplazamiento tal como se indica.

Calcular la velocidad v que tendrá la partícula cuando se haya desplazado s = 30.48m. Hallar también el tiempo t necesario para que alcance dicho punto.

Por la ecuación de la Recta:

Considerando los puntos: (s, a) = (0, 0.6), (30.5, 1.8)

v = 8.55 m/seg

De (I) Integrado de "0" a "V" y de "0" a "S":

Integrando: t = 8.76 seg.

Un electrón, a partir del reposos, tiene una aceleración que aumenta linealmente con el tiempo, esto es, a = kt, siendo el cambio de aceleración k = (1.5 m/seg²)/seg. (a) Hacer una gráfica de a en función de t durante el primer intervalo de 10 seg. (b) A partir de la gráfica de la parte (a), hacer la gráfica correspondiente a la variación de v en función t y calcular la velocidad del electrón 5.0 seg después de que comienza su movimiento. (c) A partir de la gráfica de v en función de t de la parte de t y calcular cuánto