Max Z - 5X1 - X2 - 3X3

s.a. 2 X1 - X2 + 2 X3 + X4 = 4

X1 + X2 + 4 X3 + X5 = 4

X1 , X2 , X3 , X4 , X5 ³ 0

  • Solución básica actual:

X4 = 4 min í 4/2 , 4/1ý

X5 = 4 min í 2 , 4ý

  • Solución básica actual:

X1 = 2 min í - , 2/1.5ý

X5 = 2 min í - , 1.33ý

  • Por lo tanto la solución óptima es:

Z* = 44/3

X1* = 8/3

X2* = 4/3

X3* = X4* = X5* = 0

Max Z = 5X1 + X2 + 3X3

Z = 5 (8/3) + 4/3 + 0

Z = 44/3

  • Comprobación en las restricciones:

2 X1 - X2 + 2 X3 + X4

2 (8/3) – 4/3 + 2 (0) + 0 = 4

X1 + X2 + 4 X3 + X5

8/3 + 4/3 + 4 (0) + 0 = 4

Utilizando el método simplex resuelva el siguiente problema de programación lineal.

Max Z = 25X1 + 50X2

s.a. 2 X1 + 2X2 £ 1000

3 X1 £ 600 X1 + 3X2 £ 600

X1 , X2 ³ 0

VB

Z

X1

X2

X3

X4

X5

SOLUCION

Z

1

-25

-50

0

0

0

0

X3

0

2

2

1

0

0

1000

X4

0

3

0

0

1

0

600

X5

0

1

3

0

0

1

600

 

 

 

 

 

 

 

 

Z

1

-25/3

0

0

0

50/3

10000

50RP + FO

X3

0

4/3

0

1

0

-2/3

600

-2RP + R1

X4

0

3

0

0

1

0

600

X2

0

1/3

1

0

0

1/3

200

1/3RP

 

 

 

 

 

 

 

 

Z

1

0

0

0

23/9

50/3

35000/3

25/3RP + FO

X3

0

0

0

1

-4/9

-2/3

1000/3

-4/3RP + R1

X1

0

1

0

0

1/3

0

200

1/3RP

X2

0

0

1

0

-1/3

1/3

400/3

-1/3RP + R3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Max Z - 25X1 - 50X2

s.a. 2 X1 + 2X2 + X3 = 1000

3 X1 + X4 = 600

X1 + 3X2 + X5 = 600

X1 , X2 , X3 , X4 , X5 ³ 0

  • Solución básica actual:

X3 = 1000 min í 1000/2 , - , 600/3ý

X4 = 600 min í 500 , - , 200ý

X5 = 600

  • Solución básica actual:

X3 = 600 min í 600/4/3 , 600/3 , 200/1/3ý

X4 = 600 min í 450 , 200 , 600ý

X2 = 200

  • Por lo tanto la solución óptima es:

Z* = 35000/3

X1* = 200

X2* = 400/3

X3* = 1000/3

X4* = X5* = 0

  • Comprobación en la función objetivo:

Max Z = 25X1 + 50X2

Z = 25 (200) + 50 (400/3)

Z = 35000/3

  • Comprobación en las restricciones:

2 X1 + 2X2 + X3

2 (200) + 2 (400/3) + 1000/3 = 1000

3 X1 + X4

3 (200) + 0 = 600

X1 + 3X2 + X5

200 + 3 (400/3) + 0 = 600

Considere el siguiente problema.

Min W = 3X1 + 5X2 + X3

s.a. 4 X1 + 2 X2 + X3 ³ 1 8

X1 , X2 , X3 ³ 0

Dual

Max Z= 18Y

s.a. 4Y1 £ 3

2Y1 £ 5

Y1 £ 1

Y1 ³ 0

Para el primal

Min W –3X1 – 5X2 –X3 =0

s.a. –4X1 – 2X2 –X3 + S1 = -18

X1 , X2 , X3 , S1 ³ 0

VB

W

X1

X2

X3

S1

SOLUCION

W

1

-3

-5

-1

0

0

S1

0

-4

-2

-1

1

-18

 

 

 

 

 El primal no tiene solución porque no se puede establecer la variable de entrada.

Para el dual

Max Z- 18Y1 =0

s.a. 4Y1 + S1 = 3

2Y1 + S2 = 5

Y1 + S3 = 1

Y1 , S1 ,S2, S3 ³ 0

VB

Z

Y1

S1

S2

S3

SOLUCION

Z

1

-18

0

0

0

0

S1

0

4

1

0

0

3

S2

0

2

0

1

0

5

S3

0

1

0

0

1

1

VB

Z

Y1

S1

S2

S3

SOLUCION

Z

1

0

18/4

0

0

27/2

18/4RP+FO

Y1

0

1

1/4

0

0

3/4

1/4RP

S2

0

0

1/2

-1

0

-7/2

1/2RP-R2

S3

0

0

1/4

0

-1

-1/4

1/4RP-R3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  • Solución básica actual:

S1 = 3 min í 3/4 , 5/2 , 1/1ý

S2 = 5 min í 0.75 , 2.5 , 1ý

S3 = 1

  • Por lo tanto la solución óptima es:

Z* = 27/2

Y1* = 3/4

S2* = S3 =0

  • Comprobación en las restricciones:

Z = 18(3/4) = 27/2

4(3/4) = 3 ACTIVA

2(3/4)=1.5 < 5 INACTIVA Y DEFICIT

3/4 = 0.75< 1 INACTIVA Y DÉFICIT

Cambiar el coeficiente de x1 a 4 de la función objetivo y resolver el primal y el dual.

Min W = 4X1 + 5X2 + X3

s.a. 4 X1 + 2 X2 + X3 ³ 1 8

X1 , X2 , X3 ³ 0

Dual

Max Z= 18Y

s.a. 4Y1 £ 4

2Y1 £ 5

Y1 £ 1

Y1 ³ 0

Para el primal

Min W –4X1 – 5X2 –X3 =0

s.a. –4X1 – 2X2 –X3 + S1 = -18

X1 , X2 , X3 , S1 ³ 0

VB

W

X1

X2

X3

S1

SOLUCION

W

1

-4

-5

-1

0

0

S1

0

-4

-2

-1

1

-18

 

 

 

 

 El primal no tiene solución porque no se puede establecer la variable de entrada.

Para el dual:

Max Z- 18Y1 =0

s.a. 4Y1 + S1 = 4

2Y1 + S2 = 5

Y1 + S3 = 1

Y1 , S1 ,S2, S3 ³ 0

VB

Z

Y1

S1

S2

S3

SOLUCION

Z

1

-18

0

0

0

0

S1

0

4

1

0

0

4

S2

0

2

0

1

0

5

S3

0

1

0

0

1

1

VB

Z

Y1

S1

S2

S3

SOLUCION

Z

1

0

18/4

0

0

18

18/4RP+FO

Y1

0

1

1/4

0

0

1

1/4RP

S2

0

0

1/2

-1

0

-3

1/2RP-R2

S3

0

0

1/4

0

-1

0

1/4RP-R3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

  • Solución básica actual:

S1 = 4 min í 4/4 , 5/2 , 1/1ý

S2 = 5 min í 1 , 2.5 , 1ý

S3 = 1

  • Por lo tanto la solución óptima es:

Z* = 18

Y1* = 1

S2* = S3 =0

  • Comprobación en las restricciones:

Z = 18(1) = 18

4(1) = 4=4 ACTIVA

2(1)=2 < 5 INACTIVA Y DEFICIT

1 = 1 ACTIVA Y DÉFICIT

Cambiar el coeficiente de x3 a –1 y a la función objetivo y resolver el primal y el dual.

Min W = 3X1 + 5X2 *- X3

s.a. 4 X1 + 2 X2 + X3 ³ 1 8

X1 , X2 , X3 ³ 0

Dual

Max Z= 18Y

s.a. 4Y1 £ 3

2Y1 £ 5

Y1 £ -1

Y1 ³ 0

Para el primal

Min W –3X1 – 5X2 +X3 =0

s.a. –4X1 – 2X2 –X3 + S1 = -18

X1 , X2 , X3 , S1 ³ 0

VB

W

X1

X2

X3

S1

SOLUCION

W

1

-3

-5

1

0

0

S1

0

-4

-2

-1

1

-18

VB

W

X1

X2

X3

S1

SOLUCION

W

1

-7

-7

0

1

-18

X3

0

4

2

1

-1

18

 

 

 

 

 

 

 

 

-RP+FO

-RP

  • Solución básica actual:

S1 = -18 min í -18/-1 ý

min í 18ý

  • Por lo tanto la solución óptima es:

W* = -18

X3* = 18

X1*, X2*, S1*,= 0

  • Comprobación en las restricciones:

W = 3(0) + 5(0) – 18 = -18

4(0) + 2(0) + 18 = 18 ACTIVA

Para el dual:

Max Z- 18Y1 =0

s.a. 4Y1 + S1 = 3

2Y1 + S2 = 5

Y1 + S3 = -1

Y1 , S1 ,S2, S3 ³ 0

VB

Z

Y1

S1

S2

S3

SOLUCION

Z

1

-18

0

0

0

0

S1

0

4

1

0

0

3

S2

0

2

0

1

0

5

S3

0

1

0

0

1

-1

VB

Z

Y1

S1

S2

S3

SOLUCION

Z

1

0

18/4

0

0

27/2

18/4RP+FO

Y1

0

1

1/4

0

0

3/4

1/4RP

S2

0

0

1/2

-1

0

-7/2

1/2RP-R2

S3

0

0

1/4

0

-1

-1/4

1/4RP-R3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

  • Solución básica actual:

S1 = 3 min í 3/4 , 5/2 , -1/1ý

S2 = 5 min í 0.75 , 2.5 , -ý

S3 = -1

  • Por lo tanto la solución óptima es:

Z* = 27/2

Y1* = 3/4

S2* = S3 *=0

  • Comprobación en las restricciones:

Z = 18(3/4) = 27/2

4(3/4) = 3=3 ACTIVA

2(3/4)=1.5 < 5 INACTIVA Y DEFICIT

3/4 = 0.75 > -1 INACTIVA Y DE SUPERAVIT

Utilizando el método simplex resuelva el siguiente problema de programación lineal.

Min W = 6X1 + 8X2 + 16X3

s.a. 2 X1 + X2 ³ 5

X2 + 3X3 ³ 4

X1 , X2 , X3 ³ 0

VB

W

X1

X2

X3

X4

X5

SOLUCION

W

1

-6

-8

-16

0

0

0

X4

0

2

1

0

1

0

5

X5

0

0

1

3

0

1

4

 

 

 

 

 

 

 

 

W

1

-6

-8/3

0

0

16/3

64/3

16RP + FO

X4

0

2

1

0

1

0

5

X3

0

0

1/3

1

0

1/3

4/3

1/3 RP

 

 

 

 

 

 

 

 

W

1

0

1/3

0

3

16/3

109/3

6RP + FO

X1

0

1

1/2

0

1/2

0

5/2

1/2 RP

X3

0

0

1/3

1

0

1/3

4/3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

Min W - 6X1 - 8X2 - 16X3

s.a. 2 X1 + X2 + X4 = 5

X2 + 3X3 + X5 = 4

X1 , X2 , X3 , X4 , X5 ³ 0

  • Solución básica actual:

X4 = 5 min í - , 4/3ý

X5 = 4 min í - , 1.33ý

  • Solución básica actual:

X4 = 5 min í 5/2 , -ý

X3 = 4/3 min í 2.5 , -ý

  • Por lo tanto la solución óptima es:

W* = 109/3

X1* = 5/2

X3* = 4/3

X2* = X4* = X5* = 0

  • Comprobación en la función objetivo:

Min W = 6X1 + 8X2 + 16X3

W = 6 (5/2) + 8 (0) + 16 (4/3)

W = 109/3

  • Comprobación en las restricciones:

2 X1 + X2 + X4

2 ( 5/2) + 0 + 0 = 5

X2 + 3X3 + X5

0 + 3 (4/3) + 0 = 4

Utilizando el método simplex resuelva el siguiente problema de programación lineal.

Min W = X1 + 3X2 + 2X3

s.a. X1 + 4X2 ³ 8

2 X1 + X3 ³ 10

2 X1 + 3X2 £ 15

X1 , X2 , X3 ³ 0

VB

W

X1

X2

X3

X4

X5

X6

SOLUCION

W

1

-1

-3

-2

0

0

0

0

X4

0

1

4

0

1

0

0

8

X5

0

2

0

1

0

1

0

10

X6

0

2

3

0

0

0

1

15

W

1

-1/4

0

-2

3/4

0

0

6

3RP + FO

X2

0

1/4

1

0

1/4

0

0

2

1/4 RP

X5

0

2

0

1

0

1

0

10

X6

0

5/4

0

0

-3/4

0

1

9

-3RP + R3

W

1

15/4

0

0

3/4

2

0

26

2RP + FO

X2

0

1/4

1

0

1/4

0

0

2

X3

0

2

0

1

0

1

0

10

X6

0

5/4

0

0

-3/4

0

1

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Min W - X1 - 3X2 - 2X3

s.a. X1 + 4X2 + X4 = 8

2 X1 + X3 + X5 = 10

2 X1 + 3X2 + X6 = 15

X1 , X2 , X3 , X4 , X5 , X6 ³ 0

  • Solución básica actual:

X4 = 8 min í 8/4 , - , 15/3ý

X5 = 10 min í 2 , - , 5ý

X6 = 15

  • Solución básica actual:

X2 = 2 min í - , 10/1 , -ý

X5 = 10 min í - , 10 , -ý

X6 = 9

  • Por lo tanto la solución óptima es:

W* = 26

X2* = 2

X3* = 10

X6* = 9

X1* = X4* = X5* = 0

  • Comprobación en la función objetivo:

Min W = X1 + 3X2 + 2X3

W = 0 + 3 (2) + 2 (10)

W = 26

  • Comprobación en las restricciones:

X1 + 4X2 + X4

0 + 4 (2) + 0 = 8

2 X1 + X3 + X5

2 (0) + 10 + = 10

2 X1 + 3X2 + X6

2 (0) + 3 (2) + 9 = 15

Use variables artificiales y póngalas en la tabla inicial de:

  1. Formule el problema dual

  2. Elabore la tabla inicial para el problema dual

    3. Min W = 6X1 + X2 + 3X3 - 2X4 Min W – 6X1 – X2 – 3X3 + 2X4 = 0

    s.a. X1 + X2 s.a. X1 + X2 + X6 = 42

    2 X1 + 3X2 – X3 - X4 ³ 10 2X1 + 3X2 – X3 – X4 – X5 + X7 = 10

    X1 + 2X3 + X4 =30 X1 + 2X3 + X4 + X8 = 30

    X1 , X2 , X3 , X4 ³ 0

    VB

    W

    X1

    X2

    X3

    X4

    X5

    X6

    X7

    X8

    SOLUCION

    W

    1

    -6

    -1

    -3

    2

    0

    0

    -M

    -M

    0

    X6

    0

    1

    1

    0

    0

    0

    1

    0

    0

    42

    X7

    0

    2

    3

    -1

    -1

    -1

    0

    1

    0

    10

    X8

    0

    1

    0

    2

    1

    0

    0

    0

    1

    30

    VB

    W

    X1

    X2

    X3

    X4

    X5

    X6

    X7

    X8

    SOLUCION

    W

    1

    3M-6

    3M-1

    M-3

    2

    -M

    0

    0

    0

    40M

    X6

    0

    1

    1

    0

    0

    0

    1

    0

    0

    42

    X7

    0

    2

    3

    -1

    -1

    -1

    0

    1

    0

    10

    X8

    0

    1

    0

    2

    1

    0

    0

    0

    1

    30

     

     

     

     

     

     

     

    X1

    X2

    X3

    X4

    X5

    X6

    X7

    X8

    SOLUCION

    M

    2

    3

    -1

    -1

    -1

    0

    1

    0

    10

    2M

    3M

    -M

    -M

    -M

    0

    M

    0

    10M

    -6

    -1

    -3

    2

    0

    0

    -M

    -M

    0

    2M-6

    3M-1

    -M-3

    -M+2

    -M

    0

    0

    -M

    10M

    X1

    X2

    X3

    X4

    X5

    X6

    X7

    X8

    SOLUCION

    M

    1

    0

    2

    1

    0

    0

    0

    1

    30

    M

    0

    2M

    M

    0

    0

    0

    M

    30M

    2M-6

    3M-1

    -M-3

    -M+2

    -M

    0

    0

    -M

    10M

    3M-6

    3M-1

    M-3

    2

    -M

    0

    0

    0

    40M

     

     

     

     

     

     

     

     

    Considérese el problema siguiente:

  3. Formule el problema dual

  4. Elabore la tabla inicial para el problema dual

Min W = 3X1 - 5 X2 + 4X3

s.a. 4 X1 - 2 X2 + X3 = 20

3 X1 + 4X3 ³ 12

-2X2 + 7X3 ³ 7

X1 , X2 , X3 ³ 0

DUAL

Max Z = 20Y1 + 12Y2 + 7Y3

s.a. 4 Y1 + 3 Y2 3

-2Y1 - 2Y3 -5

Y1 + 4Y2 + 7Y3 -4

Y1 =NR Y2 , Y3 ³ 0

VB

Z

Y1

Y2

Y3

Y4

Y5

Y6

SOLUCION

Z

1

-20

-12

-7

0

0

0

0

Y4

0

4

3

0

1

0

0

3

Y5

0

-2

0

-2

0

1

0

-5

Y8

0

1

4

7

0

0

1

4

 

 

 

 

 

 

 Use variables artificiales y el método simplex para resolver el problema lineal:

Min W = -2X1 - X2 – 4X3 - 5X4

s.a. X1 + 3 X2 + 2 X3 + 5X4 £ 20

2 X1 + 16 X2 + X3 + X4 4 3 X1 - X2 - 5X3 + 10X4 £ -10 X1 , X2 , X3 , X4 ³ 0

V B

W

X1

X2

X3

X4

S2

S1

R2

S3

SOL.

W

1

2

1

4

5

0

0

-M

0

0

S1

0

1

3

2

5

10

1

0

0

20

R2

0

2

16

1

1

-1

0

1

0

4

S3

0

3

-1

-5

10

0

0

0

1

-10

VB

W

X1

X2

X3

X4

S2

S1

R2

S3

SOL.

W

1

2M+2

16M+1

M+4

M+5

-M

0

0

0

4M

S1

0

1

3

2

5

10

1

0

0

20

R2

0

2

16

1

1

-1

0

1

0

4

S3

0

3

-1

-5

10

0

0

0

1

-10

VB

W

X1

X2

X3

X4

S2

S1

R2

S3

SOL.

W

1

15/8

0

63/16

79/16

1/16

0

-M-1/16

0

-1/4

(-M-1/16)RP+FO

S1

0

- -5/8

0

-29/16

-77/16

-163/16

-1

3/16

0

-77/4

3/16RP-R1

R2

0

1/8

1

1/16

1/16

-1/16

0

1/16

0

1/4

1/16 RP

S3

0

25/8

0

-79/16

161/16

-1/16

0

1/16

1

-39/4

1/16 RP+R3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Min W + 2X1 + X2 + 4X3 + 5X4= 0 s.a. X1 + 3 X2 + 2 X3 + 5X4 + S1 = 20

2 X1 + 16 X2 + X3 + X4 -S2 + R2 = 4 3 X1 - X2 - 5X3 + 10X4 +S3 = -10

X1 , X2 , X3 , X4 ³ 0

  

Max Z -40X1 - 60X2 - 50X3

s.a. 10 X1 + 4 X2 + 2 X3 + X4 = 950

2 X1 + 2 X2 + + X5 = 410

X1 + + 2 X3 + X6 = 610

X1 , X2 , X3 , X4 , X5 , X6 ³ 0

  • Solución básica actual:

S1 = 20 min í 20/3 , 1/16 , -10/-1ý

R2 = 4 min í 6.6 , 0.25 , 10ý

S3 = -10

  • Por lo tanto la solución óptima es:

W* = -1/4

X2* = 1/4

S3* = -39/4

X1*, X3*, X4*, S1*, S2* = 0

  • Comprobación en las restricciones:

W = -2(0) – 1/4 + 4(0) – 5(0) = -1/4

0 + 3(1/4) +2(0) + 5(0) = 3/4 £ 20 INACTIVA Y DEFICIT

2(0) +16(1/4) + 0 +0 = 16/4 = 4 = 4 ACTIVA

3(0) –1/4 – 5(0) + 10(0) = -1/4 £ -10

Por el metodo simplex

Min W+2X1+X2+4X3+5X4=0

s.a. X1 + 3X2 + 2X3 + 5X4 + S1 =20

-2 X1 - 16X2 - X3 - X4 + S1 =-4

3 X1 - X2 - 5X3 + 10X4 + S3 =-10

X1 , X2 , X3 , X4 ³ 0 S1 ,S2 ,S3 ³ 0

 

VB

W

X1

X2

X3

X4

S1

S2

S3

SOL.

W

1

2

1

4

5

0

0

0

0

S1

0

1

3

2

5</