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Planeación y control de proyectos con PERT-CPM




Enviado por Julio Silva



    Indice
    1.
    Antecedentes.


    3. Planeación y control de
    proyectos con PERT-CPM

    4. Red de Actividades
    5. Enfoque de tres estimaciones de
    PERT
    .
    6. Método CPM para trueques entre tiempo
    y costo

    7. Elección entre PERT y
    CPM

    8. Diferencias Entre PERT y
    CPM

    9. Bibliografía

    1.
    Antecedentes
    .
    Dos son los orígenes del método del
    camino crítico: el método PERT (Program
    Evaluation and Review Technique) desarrollo por
    la Armada de los Estados Unidos de
    América, en 1957, para controlar los
    tiempos de ejecución de las diversas actividades
    integrantes de los proyectos espaciales, por la necesidad de
    terminar cada una de ellas dentro de los intervalos de tiempo
    disponibles. Fue utilizado originalmente por el control de
    tiempos del proyecto Polaris
    y actualmente se utiliza en todo el programa
    espacial.
    El método CPM (Crítical Path Method), el segundo
    origen del método actual, fue desarrollado también
    en 1957 en los Estados Unidos de América, por un centro de
    investigación de operaciones para la firma
    Dupont y Remington Rand, buscando el control y la
    optimización de los costos de
    operación mediante la planeación
    adecuada de las actividades componentes del proyecto.
    Ambos métodos
    aportaron los elementos administrativos necesarios para formar el
    método del camino crítico actual, utilizando
    el control de los tiempos de ejecución y los costos de
    operación, para buscar que el proyecto total sea ejecutado
    en el menor tiempo y al menor costo
    posible.

    2. Usos

    El campo de acción de este método es muy
    amplio, dada su gran flexibilidad y adaptabilidad a cualquier
    proyecto grande o pequeño. Para obtener los mejores
    resultados debe aplicarse a los proyectos que posean las
    siguientes características:

    1. Que el proyecto sea único, no repetitivo, en
      algunas partes o en su totalidad.
    2. Que se deba ejecutar todo el proyecto o parte de el,
      en un tiempo mínimo, sin variaciones, es decir, en
      tiempo crítico.
    3. Que se desee el costo de operación más
      bajo posible dentro de un tiempo disponible.

    Dentro del ámbito aplicación, el
    método se ha estado usando
    para la planeación y control de diversas actividades,
    tales como construcción de presas, apertura de
    caminos, pavimentación, construcción de casas y
    edificios, reparación de barcos, investigación
    de mercados, movimientos de colonización, estudios
    económicos regionales, auditorias,
    planeación de carreras universitarias, distribución de tiempos de salas de
    operaciones,
    ampliaciones de fábrica, planeación de itinerarios
    para cobranzas, planes de venta, censos de
    población, etc.

    3. Planeación y
    control de proyectos con PERT-CPM

    La buna administración
    de proyectos a gran escala requiere
    planeación, programación y coordinación cuidadosa de muchas
    actividades interrelacionadas. Al principiar la década de
    1950 se desarrollaron procedimientos
    formales basados en uso de redes y de las técnicas
    de redes para ayudar en estas tareas. Entre los procedimientos
    mas sobresalientes se encuentran el PERT (técnica de
    evaluación y revisión de programas) y el
    CPM (método de la ruta critica).Aunque originalmente los
    sistemas tipo
    PERT se aplicaron para evaluar la programación de un
    proyecto de
    investigación y desarrollo, también se usan
    para controlar el avance de otros tipos de proyecto especiales.
    Como ejemplos se pueden citar programas de construcción,
    la programación de computadoras,
    la preparación de propuestas y presupuestos,
    la planeación de l mantenimiento
    y la instalación de sistemas de computo, este tipo de
    técnica se ha venido aplicando aun a la producción de películas, a las
    compañas políticas
    y a operaciones quirúrgicas complejas.
    El objetivo de
    los sistemas tipo PERT consiste en ayudar en la planeación
    y el control, por lo que no implica mucha optimización
    directa. Algunas veces el objetivo primario es determinar la
    probabilidad
    de cumplir con fechas de entrega especificas. También
    identifica aquellas actividades que son más probables que
    se conviertan en cuellos de botella y señala, por e4nde,
    en que puntos debe hacerse el mayor esfuerzo para no tener
    retrasos. Un tercer objetivo es evaluar el efecto de los cambios
    del programa. Por ejemplo, se puede valorar el efecto de un
    posible cambio en la
    asignación de recursos de las
    actividades menos criticas a aquellas que se identificaron con
    cuellos de botella. Otra aplicación importante es la
    evaluación del efecto de desviarse de lo programado.
    Todos los sistemas tipo PERT emplean una red de proyecto para
    visualizar gráficamente la interrelación entre sus
    elementos. Esta representación del plan de un
    proyecto muestra todas las
    relaciones de procedencia, respecto al orden en que se deben
    realizar las actividades. En la Fig. 1 sé muestran estas
    características para la red de proyecto inicial para
    la construcción de una casa. Esta red indica que la
    excavación debe hacerse antes de poner los cimientos y
    después los cimientos deben completarse antes de colocar
    las paredes. Una vez que se levantan las paredes se pueden
    realizar tres actividades en paralelo. Al seguirla red hacia
    delante se ve el orden de las tareas subsecuentes.
    En la terminología de PERT, cada arco de la red representa
    una actividad, es decir, una de las tareas que requiere el
    proyecto, cada nodo representa un evento que por lo general se
    define con el momento ñeque se terminan todas las
    actividades que llegan a ese nodo, Las puntas de flecha indican
    la secuencia en la que3 debe ocurrir cada uno de esos eventos. Lo que
    es mas, un evento debe preceder a la iniciación de las
    actividades que llegan a ese nodo. Las puntas de flecha indican
    la secuencia en la que debe ocurrir cada uno de esos eventos. Lo
    que es mas, un evento debe preceder a la iniciación de las
    actividades que salen de ese nodo. (En la realidad, con
    frecuencia se pueden traslapar etapas sucesivas de un proyecto,
    por lo que la red puede representar una aproximación
    idealizada del plan de un proyecto.)
    El nodo hacia el que todas las actividades se dirigen es el
    evento que corresponde a la terminación desde su
    concepción, o bien, si el proyecto ya comenzó, el
    plan para su terminación. En él ultimo caso, cada
    nodo de la red sin arcos que llegan representa el evento de
    continuar una actividad en marcha o el evento de iniciar una
    nueva actividad que puede comenzar en cualquier momento.
    Cada arco juega un doble papel, el de
    representar una actividad y el de ayudar a representar las
    relaciones de procedencia entre las distintas actividades. En
    ocasiones, se necesita un arco para definir las relaciones de
    procedencia aun cuando no haya una actividad real que
    representar. En este caso, se introduce una actividad ficticia
    que requiere un tiempo cero, en donde el arco que representa esta
    actividad ficticia se muestra como una flecha punteada que indica
    esa relación de procedencia. Por ejemplo,
    considérese el arco 5 ® 8 que representa una actividad ficticia en
    la Fig. 1; el único objeto de este arco es indicar que la
    colocación de la tubería debe estar terminada antes
    de poder comenzar
    los exteriores.
    Una regla común para construir este tipo de redes es que
    dos nodos no pueden estar conectados directamente por mas de un
    arco. Las actividades ficticias también se pueden usar
    para evitar violar esta regla cuando se tienen dos o más
    actividades concurrentes; en la Fig. 1 se ilustra esto con el
    arco 11® 12.
    El único propósito de este arco es indicar que debe
    terminarse la colocación de pisos antes de instalar los
    acabados interiores sin tener dos arcos del nodo 9 al nodo
    12.
    Una vez desarrollada la red la red de un proyecto, el siguiente
    paso es estimar el tiempo que se requiere para cada actividad.
    Estas estimaciones para el ejemplo de la construcción de
    una casa de la figura 1. se muestran en la figura 2 con los
    números mas oscuros (en unidades de días de
    trabajo) que aparecen junto a los arcos. Estos tiempos se usan
    para calcular dos cantidades básicas para cada evento, a
    saber, su tiempo más próximo y su tiempo más
    lejano.
    El tiempo más próximo para un evento es el tiempo
    (estimado) en el que ocurrirá el evento si las actividades
    que lo proceden comienzan lo mas pronto posible.
    Los tiempos más próximos se obtienen al efectuar
    una pasada hacia delante a través de la red, comenzando
    con los eventos iniciales y trabajando hacia delante en el
    tiempo, hasta los eventos finales, para cada evento se hace un
    calculo del tiempo en el que ocurrirá cada uno, si cada
    evento procedente inmediato ocurre en su tiempo más
    próximo y cada actividad que interviene consume
    exactamente su tiempo estimado. La iniciación del proyecto
    se debe etiquetar con el tiempo 0. este proceso se
    muestra en la tabla 1. para el ejemplo considerado en las figuras
    1 y 2. los tiempos más próximos que se obtuvieron
    están registrados en la figura 2, con el primero de los
    dos números que se dan para cada nodo.
    El tiempo más lejano para un evento es él ultimo
    momento (estimado) en el que puede ocurrir sin retrasar la
    terminación del proyecto mas allá de su tiempo
    más próximo.

    Tabla 1. Calculo de los tiempos más
    próximos para el ejemplo de la construcción de una
    casa.

    Evento

    Evento inmediato

    Anterior

    Tiempo Tiempo

    mas + de la

    próximo actividad

    Tiempo

    = máximo más

    próximo

    1

    ___

    ___

    0

    2

    1

    0 + 2

    2

    3

    2

    2 + 4

    6

    4

    3

    6 + 10

    16

    5

    4

    16 + 4

    20

    6

    4

    16 + 6

    22

    7

    4

    16+7

    25

    5

    20+5

    8

    5

    20+0

    29

    6

    22+7

    9

    7

    25+8

    33

    10

    8

    29+9

    38

    11

    9

    33+4

    37

    12

    9

    33+5

    38

    11

    37+0

    13

    10

    38+2

    44

    En este caso los tiempos más lejanos se obtienen
    sucesivamente para los eventos al efectuar una pasada hacia
    atrás a través de la red, comenzando con los
    eventos finales y trabajando hacia atrás en el tiempo
    hasta los iniciales. Para cada evento él calculo del
    tiempo final en el que puede ocurrir un evento de manera que los
    que le siguen ocurran en su tempo mas lejano, si cada actividad
    involucrada consume exactamente su tiempo estimado. Este proceso
    se ilustra en la tabla 2, en donde 44 días es el tiempo
    más próximo y el tiempo más lejano para la
    terminación del proyecto de construcción de la
    casa. Los tiempos más lejanos para la terminación
    del proyecto de construcción de la casa. Los tiempos mas
    lejanos que se obtuvieron se encuentran también en la
    figura 2 como el segundo numero que se da para cada nodo.
    Sea la actividad ( i , j ) la actividad que va del evento i al
    evento j en la red del proyecto.
    La holgura para un evento es la diferencia entre su tiempo
    más lejano y su tiempo más
    próximo.

    La holgura para una actividad ( i , j ) e3s la
    diferencia entre [ el tiempo mas lejano del evento] y [el tiempo
    mas próximo del evento i mas el tiempo estimado para la
    actividad].
    Así, si se supone que todo lo demás marcha a
    tiempo, la holgura para un evento indica cuanto retraso se puede
    tolerar para llegar a ese evento sin retrasar la
    terminación del proyecto, y la holgura para una actividad
    indica lo mismo respecto a un retraso en la terminación de
    esa actividad. En a tabla 3 se ilustran los calculo de estas
    holguras para el proyecto de la construcción de una
    casa.
    Una ruta critica de un proyecto es una ruta cuyas actividades
    tienen la holgura cero. (Todas las actividades y eventos que
    tienen holgura cero deben estar sobre una ruta crítica,
    pero no otras.)
    Tabla 2. Calculo de los tiempos más lejanos para el
    ejemplo de la construcción de una casa

     

    Evento

    Evento inmediato

    Anterior

    Tiempo Tiempo

    mas – de la

    lejano actividad

    Tiempo

    = mínimo más

    próximo

    13

    __

    ___

    44

    12

    13

    44-6

    38

    11

    12

    38-0

    38

    10

    13

    44-2

    42

    9

    12

    38-5

    33

    11

    38-4

    8

    10

    42-9

    33

    7

    9

    33-8

    25

    6

    8

    33-7

    26

    5

    8

    33-0

    20

    7

    25-5

    4

    7

    25-7

    16

    6

    26-6

    5

    20-4

    3

    4

    16-10

    6

    2

    3

    6-4

    2

    1

    2

    2-2

    0

    Tabla 3. Calculo de las holguras para el ejemplo de la
    construcción de una casa.

    Evento

    Holgura

    Actividad

    Holgura

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    9

    10

    11

    12

    13

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    0 – 0 = 0

    2 – 2 = 0

    6 – 6 = 0

    16 – 16 = 0

    20 – 20 = 0

    26 – 22 = 4

    25 – 25 = 0

    33 – 29 = 4

    33 – 33 = 0

    42 – 38 = 4

    38 – 37 = 1

    38 – 38 = 0

    44 – 44 = 0

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    (1,2)

    (2,3)

    (3,4)

    (4,5)

    (4,6)

    (4,7)

    (5,7)

    (6,8)

    (7,9)

    (8,10)

    (9,11)

    (9,12)

    (10,13)

    (12,13)

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    2 – (0+2) = 0

    6 – (2+4) = 0

    16 – (6+10) = 0

    20 – (16+4) = 0

    26 – (16+6) = 4

    25 – (16+7) = 2

    25 – (20+5) = 0

    33 – (22+7) = 4

    33 – (25+8) = 0

    42 – (29+9) = 4

    38 – (33+4) = 1

    38 – (33+5) = 0

    44 – (38+2) = 4

    44 – (38+6) = 0

     

    Si se verifica en la tabla 3 las actividades que tienen
    holgura cero, se observa que el ejemplo de la construcción
    de una casa tiene una ruta critica, 1 ® 2 ® 3 ® 4 ® 5 ® 6 ® 7 ® 9 ® 12 ® 13, como se muestra en la figura 2 con las
    flechas mas oscuras. Esta secuencia de actividades criticas debe
    mantenerse estrictamente a tiempo, si se quiere evitar retrasos
    en la terminación del proyecto. Otros proyectos pueden
    tener mas de una ruta critica; por ejemplo nótese lo que
    pasaría en la figura 2 si el tiempo estimado de la
    actividad (4,6) se cambiara de 6 a 19.
    Resulta interesante observar en la tabla 3 que mientras que todos
    los eventos sobre la ruta critica (inclusive el 4 y el 7 )
    necesariamente tienen holgura cero, no es así para la
    actividad (4 , 7), ya que su tiempo estimado es menor que la suma
    de los tiempos estimados para las actividades (4 , 5 ) y (5 , 7).
    En consecuencia, estas ultimas actividades están en la
    ruta crítica, pero la actividad (4 , 7) no lo
    está.
    Esta información sobre los tiempos más
    cercanas y más lejanos, las holguras y la ruta
    crítica, es invaluable para el administrador del
    proyecto. Entre otras cosas, le permite investigar el efecto de
    posible mejoras en la planeación para determinar en donde
    debe hacerse un esfuerzo especial para mantenerse y evaluar el
    impacto de los retrasos.

    Graficas PERT
    La gráfica PERT es una gráfica original de redes no
    medidas que contiene los datos de las
    actividades representadas por flechas que parten de un evento i y
    terminan en un evento j.

    En la parte superior de la flecha se indica el
    número de identificación, generalmente los
    números de los eventos (i-j). En la parte inferior aparece
    dentro de un rectángulo la duración estándar
    (t) de la actividad. En la mitad superior del evento se anota el
    número progresivo, en el cuarto inferior izquierdo la
    última lectura del
    proyecto y en el cuarto inferior derecho la primera lectura del
    proyecto.
    Esta gráfica tiene como ventaja la de informar las fechas
    más tempranas y más tardías de
    iniciación y terminación de cada actividad, sin
    tener que recurrir a la matriz de
    holguras.

    Veamos cómo se presenta la ampliación de
    la fábrica por medio de una gráfica
    PERT.

    4.
    Red de Actividades

    Se llama red la representación gráfica de
    las actividades que muestran sus eventos, secuencias,
    interrelaciones y el camino critico. No solamente se llama camino
    critico al método sino también a la serie de
    actividades contadas desde la iniciación del proyecto
    hasta su terminación, que no tienen flexibilidad en su
    tiempo de ejecución, por lo que cualquier retraso que
    sufriera alguna de las actividades de la serie provocaría
    un retraso en todo el proyecto.
    Desde otro punto de vista, camino critico es la serie de
    actividades que indica la duración total del proyecto.
    Cada una de las actividades se representa por una flecha que
    empieza en un evento y termina en otro.
    Se llama evento al momento de iniciación o
    terminación de una actividad. Se determina en un tiempo
    variable entre el más temprano y el más
    tardío posible, de iniciación o de
    terminación.

    A los eventos se les conoce también con los
    nombres de nodos.
    Evento Evento

    I j

    El evento inicial se llama i y el evento final se
    denomina j. El evento final de una actividad será el
    evento inicial de la actividad siguiente.
    Las flechas no son vectores,
    escalares ni representan medida alguna. No interesa la forma de
    las flechas, ya que se dibujarán dé acuerdo con las
    necesidades y comodidad de presentación de la red. Pueden
    ser horizontales, verticales, ascendentes, descendentes curvas,
    rectas, quebradas, etc.
    En los casos en que haya necesidad de indicar que una actividad
    tiene una interrelación o continuación con otra se
    dibujará entre ambas una línea punteada, llamada
    liga, que tiene una duración de cero.
    La liga puede representar en algunas ocasiones un tiempo de
    espera para poder iniciar la actividad siguiente
    Varias actividades pueden terminar en un evento o partir de un
    mismo evento.

    (a) Incorrecto, (b) Correcto.

    Al construir la red, debe evitarse lo
    siguiente:

    1. Dos actividades que parten de un mismo evento y llegan
      a un mismo evento. Esto produce confusión de tiempo y
      de continuidad. Debe abrirse el evento inicial o el evento
      final en dos eventos y unirlos con una liga.

      (a) Incorrecto; (b) Correcto.

       

       

    2. Partir una actividad de una parte intermedia de otra
      actividad. Toda actividad debe empezar invariablemente en un
      evento y terminar en otro. Cuando se presenta este caso, a la
      actividad base o inicial se le divide en eventos
      basándose en porcentajes y se derivan de ellos las
      actividades secundadas.
    3. Dejar eventos sueltos al terminar la red. Todos ellos
      deben relacionarse con el evento inicial o con el evento
      final.

    (a) Incorrecto; (b) Correcto

    5. Enfoque de tres
    estimaciones de PERT.

    Hasta ahora se ha supuesto implícitamente que se
    puede obtener estimaciones con una exactitud razonable del tiempo
    requerido para cada actividad del proyecto. En la realidad, con
    frecuencia existe bastante incertidumbre sobré cuales
    serán estos tiempo; de hecho se trata de una variable
    aleatoria que tiene cierta distribución de probabilidad.
    La versión original de PERT toma en cuenta esta
    incertidumbre usando tres tipos diferentes de estimaciones par
    los tiempos de las actividades, con el fin de obtener
    información basica sobre su distribución de
    probabilidad. Esta información para todos los tiempos de
    las actividades se utiliza para estimas la probabilidad de
    terminar el proyecto en la fecha programada.
    Las tres estimaciones empleadas por PERT para cada actividad son
    una estimación más probable, una estimación
    optimista y una estimación pesimista. La estimación
    mas probable (denotada por m ) intenta ser la estimación
    mas realista del tiempo que puede consumir una actividad. En
    términos estadísticos, es una estimación de
    la moda (el punto
    mas alto) de la distribución de probabilidad para el
    tiempo de la actividad. La estimación optimista (denotada
    por a) procura ser el tiempo poco probable pero posible si todo
    sale bien; es en esencia una estimación de la cota
    inferior de la distribución de la probabilidad. Por
    ultimo, se intenta que la estimación pesimista (denotada
    por b) sea el tiempo poco probable pero posible si todo sale mal.
    En términos estadísticos, se trata en esencia de
    una estimación de la cota superior de la
    distribución de probabilidad. En la figura 3 se muestra la
    localización ideal de estas tres estimaciones con respecto
    a la distribución de probabilidad.

    Tiempo transcurrido
    Figura 3. Modelo de
    distribución de probabilidad para loas tiempos de las
    actividades en el enfoque de tres estimaciones de PERT: m =
    estimación probable, a = estimación optimista y b =
    estimación pesimista.
    Se hacen dos suposiciones para convertir m, a y b en estimaciones
    del valor esperado
    ( te ) y la variancia (s 2) del tiempo que requiere la
    actividad. Una suposición es que s , la desviación
    estándar (raíz cuadrada de la variancia), es igual
    a un sexto del intervalo de los requerimientos de tiempo
    razonablemente posibles; esto es,

     

    es la estimación deseada de la variancia. El
    razonamiento para hacer esta suposición es que se
    considera que las colas de muchas distribuciones de probabilidad
    (como en la distribución normal) están mas o menos
    a tres desviaciones estándar de la media, de manera que
    existe una dispersión de alrededor de seis desviaciones
    estándar entre las colas, por ejemplo, las cartas de control
    que se usan normalmente para el control estadístico de la
    calidad
    están construidas de manera que la dispersión entre
    los limites de control se estima en seis desviaciones
    estándar.
    Para obtener la estimación del valor esperado (
    te ), también es necesaria una
    suposición sobre la forma de la distribución de
    probabilidad, se supone que la distribución es ( al menos
    aproximadamente) una distribución beta. Este tipo de
    distribución tiene la forma que se muestra en la figura 3,
    que es razonable para este propósito.
    Si se usa el modelo ilustrado en la figura 3 el valor esperado
    del tiempo de una actividad es aproximadamente

    Nótese que el medio del intervalo (a + b)/ 2 se
    encuentra entre a y b de manera que te es la media
    aritmética ponderada de la moda y la mitad del intervalo,
    con un peso de dos tercios para la moda. Aunque la
    suposición de una distribución beta es arbitraria,
    sirve para el propósito de localizar el valor esperado a
    m, a y b de una manera que parece ser razonable.
    Después de calcular el valor esperado y la variancia
    estimados para cada una de las actividades, se necesitan tres
    suposiciones adicionales (o aproximaciones) para poder calcular
    la probabilidad de terminar el proyecto a tiempo. Una es que los
    tiempos de las actividades son estadísticamente
    independientes. Una segunda es que la ruta critica ( en
    términos de los tiempos esperado) siempre requiere un
    tiempo total mayor que cualquier otra ruta. Esto implica que el
    valor esperado y la variancia, es sencillo encontrar la
    probabilidad de que esta variable aleatoria normal ( tiempo del
    proyecto) sea menor que el tiempo de terminación
    programado.

    6. Método CPM
    para trueques entre tiempo y costo

    Las versiones originales de CPM y PERT difieren en dos
    aspectos importantes. Primero, el CPM supone que los tiempos de
    las actividades son deterministicos ( es decir, se pueden
    predecir de manera confiable sin incertidumbre significativa),
    por lo que no necesita las tres estimaciones que se acaban de
    describir. Segundo, en lugar de dar una importancia primordial al
    tiempo (explícitamente), el CPM asigna la misma
    importancia al tiempo y al costo y pon esto de relieve al
    construir un a curva de tiempo-costo para cada actividad, con la
    que se muestra en la figura 4. Esta curva representa la
    relación entre el costo directo presupuestado para la
    actividad y su tiempo de duración resultante.
    Figura 4. Curva tiempo-costo para la actividad (i,j).
    Por lo general la grafica se basa en dos puntos: el normal y el
    intensivo o de quiebre. El punto normal da el costo y el tiempo
    necesario cuando la actividad se realiza en la forma normal, sin
    incurrir en costos adicionales (horas extras de mano de obra,
    equipo o materiales
    especiales para ahorrar tiempo, etc.), Para acelerar la
    actividad. Por el contrario, el punto de quiebre proporciona el
    tiempo y el costo necesario cuando se realiza la actividad en
    forma intensiva o de quiebre, esto es se acelera completamente
    sin reparar en costos, con el fin de reducir su tiempo de
    duración lo mas que se pueda. Como una
    aproximación, se supone entonces que todos los trueques
    intermedios entre tiempo y costos son posibles y que se
    encuentran sobre el segmento de línea que une a estos dos
    puntos. (Obsérvese en el segmento de línea oscuro
    en la Fig. 4). Así, las únicas estimaciones que
    tienen que obtener el personal del
    proyecto son el costo y el tiempo para estos dos puntos.
    El objetivo fundamental del CPM es determinar el trueque entre
    tiempo y costo que debe emplearse en cada actividad para cumplir
    con el tiempo de terminación del proyecto que se programo
    a un costo mínimo. Una forma de determinar la
    combinación optima del tiempo y costo es aplicar programación
    lineal. para descubrir esto, es necesario introducir
    notación nueva, parte de la cual se resume en la figura 4.
    Sea
    Dij = tiempo normal para la actividad (i , j)
    CDij = costo (directo) normal para la actividad (i ,
    j)
    dij = tiempo de quiebre para la actividad (i , j)
    Cdij = costo (directo) de quiebre para la actividad (i
    , j)
    Las variables de
    decisión para el problema son xij donde
    xij = tiempo de duración de la actividad (i ,
    j)

    Entonces existe una varible de decisión
    xij para cada actividad, pero no lo hay par alos
    valores de i y
    j que no tienen una actividad correspondiente.
    Para expresar el costo directo de la actividad ( i, j) como una
    función
    (lineal) de Xjj denótese la pendiente de la
    línea que pasa por los puntos normal y de quiebre para la
    actividad (i , j) por

    tambien definase Kij como la
    intersección con el eje del costo directo de esta linea,
    com se muestra en la fig. 4, por tanto,
    costo directo de la actividad (i , j) = Kij +
    Sij xij,
    en consecuencia,

    costo directo total del proyecto =
    en donde la sumatoria se extiende sobre todas las actividades (i
    , j). Ahora se puede establecer y formular matemáticamente
    el problema.
    El problema: dado un tiempo T (máximo) de
    terminación del proyecto, selecciónese la
    xjj que minimice el costo directo total del
    proyecto.
    Formulación De Programación Lineal. Para tomar en
    cuenta el tiempo de terminación del proyecto en la
    formulación de programación lineal del problema, se
    necesita una variable más para cada evento. Esta variable
    adicional es
    yk = tiempo más próximo (desconocido) para el
    evento k, el cual es una función determinística de
    Xij.
    Cada yk es una variable auxiliar, es decir, una variable que se
    introduce al modelo por ser conveniente en la formulación
    y que no representa una decisión. El método
    simplex trata a las variables auxiliares igual que a las
    variables de decisión (xij ) normales.
    Para ver cómo se introducen las yk a la
    formulación, considérese el evento 7 de la figura 1
    Por definición, su tiempo más próximo
    es:
    y7 = máx {y4 + x47,
    y5 + x57},
    En otras palabras y7 es la cantidad más
    pequeña tal que las dos restricciones siguientes se
    cumplen:

    y4 + x47 <
    y7

    y5 + x45 <
    y7,

    por lo que estas dos restricciones se pueden incorporar
    directamente a la formulación de programación
    lineal (después de pasar y7 al lado izquierdo
    para obtener la forma apropiada). Aún más, adelante
    se verá por qué la solución óptima
    que se obtiene con el método simples para el modelo
    completo hará de manera automática que el valor de
    y7 sea la cantidad más pequeña que
    ,satisface estas restricciones, por lo que no se necesitan
    más restricciones para incorporar la definición de
    y7 al modelo.
    Dentro del proceso e incorporación de estas restricciones
    para todos los eventos, se tiene que cada variable xij
    aparecerá en exactamente una restricción de este
    tipo,

    que se puede expresar en la forma apropiada
    como

    Para continuar con los preparativos para escribir el
    modelo completo de programación lineal, se etiquetan
    Evento 1 = inicio del proyecto
    Evento n = terminación del proyecto,
    con lo que

    =0

    = tiempo
    de terminación. .

     

    Nótese también que es una constante fija que
    puede eliminarse de la función objetivo, de manera que
    minimizar el costo directo total para el proyecto es equivalente
    a maximizar Por
    tanto, el problema de programación lineal es encontrar las
    (y las correspondientes) tales
    que

    Maximizar

    Sujeta a:

    Para
    todas las actividades (i , j)

    Desde un punto de vista computacional, este modelo se
    puede mejorar algo al sustituir todas las por

    en todo el modelo, para que el primer conjunto de
    restricciones funcionales () se sustituya por las restricciones de no
    negatividad

    Es conveniente también introducir restricciones
    de no negatividad para el resto de las variables:

    aunque estas variables ya estaban forzadas a ser no
    negativas al establecer y1 = 0, debido a

    las restricciones y

    Una propiedad
    interesante de una solución óptima para este modelo
    es que (en circunstancias normales) toda trayectoria de la red
    será una ruta crítica que requiere un tiempo T, La
    razón es que una solución de este tipo satisface
    las restricciones mientras que evita los costos adicionales en que se incurre
    por acortar el tiempo de cualquier trayectoria.

    La clave de esta formulación es la manera en que
    se introducen las al modelo mediante las restricciones , con el fin de
    proporcionar los tiempos más próximos para los
    respectivos eventos (dados los valores de
    las en la
    solución básica factible actual). Como los tiempos
    más próximos se tienen que obtener en orden, todas
    estas son
    necesarias nada más para obtener finalmente el valor
    correcto de (para
    los valores actuales de las ), reforzando así la restricción
    . Sin embargo,
    obtener el valor correcto requiere que el valor de cada (incluso el de ) sea la cantidad
    más pequeña que satisface todas las restricciones
    . Ahora se
    hará una descripción breve de por qué (en
    circunstancias normales) esta propiedad se cumple para una
    solución óptima.

    Considérese una solución para las
    variables tal que
    toda trayectoria de la red es crítica y requiere un tiempo
    T. Si los valores de las satisfacen la propiedad anterior, entonces las
    son los
    verdaderos tiempos más pr6ximos con exactamente y la
    solución completa para las y satisface todas las restricciones. Sin embargo, si alguna
    se hace un poco
    más grande, esto crearía una reacción en
    cadena en la que alguna se tendría que hacer un poco más grande
    para satisfacer todavía las restricciones etc., hasta que en
    última instancia, deba hacerse un poco más grande y se viole la
    restricción. La única manera de evitar esto con una un poco más grande,
    es hacer que los tiempos de duración de algunas
    actividades (posteriores al evento i) sean un poco más
    pequeñas, aumentando con esto el costo. Por lo tanto, una
    solución óptima evitará que las sean más grandes de
    lo necesario para satisfacer las restricciones .

    El problema, como se estableció aquí,
    supone que se ha fijado una fecha de entrega específica T
    (tal vez por contrato) para la
    terminación del proyecto. En realidad, algunos proyectos
    no tienen una fecha de entrega, en cuyo caso no está claro
    el valor que debe asignarse a T en la formulación de
    programación lineal. En este tipo de situaciones, la
    decisión sobre T (que resulta ser la duración del
    proyecto en la solución óptima), de hecho depende
    de cuál es el mejor trueque entre el costo total y el
    tiempo total del proyecto.
    La información básica que se necesita para tomar
    esta decisión es cómo cambia el costo directo total
    mínimo al cambiar el valor de T en la formulación
    anterior, como se muestra en la figura 5. Esta información
    se puede obtener cuando se usa progranlflci6n lineal parametrica
    para obtener la solución óptima como una funci6n de
    T en todo el intervalo. Existen procedimientos aún
    más eficientes, para obtener esta información, que
    explotan la estructura
    especial del problema.
    La figura 5 proporciona una base útil para la toma de
    decisiones del administrador sobre el valor de T (y la
    solución óptima correspondiente para) cuando los efectos
    importantes de la duración del proyecto (distintos a los
    costos directos) son en esencia intangible. Ahora bien, cuando
    estos otros efectos que son básicamente financieros
    (costos indirectos ), es apropiado combinar la curva del costo
    directo total de la figura 5 con una curva de costo indirecto
    total mínimo (supervisión, instalaciones, intereses,
    multas contractuales) contra t, como se muestra en la figura 6.
    La suma de estas curvas proporcionará la curva del costo
    total mínimo del proyecto para distintos valores de T. El
    valor óptimo de T será entonces aquél que
    minimice esta curva de costo
    total.

    7. Elección entre PERT y CPM

    La elección entre el enfoque de las tres
    estimaciones de PERTy el método de trueques entre el
    tiempo y el costo del CPM depende fundamentalmente del tipo de
    proyecto y de los objetivos
    gerenciales. El PERT es en particular apropiado cuando se maneja
    mucha incertidumbre al predecir los tiempos de las actividades y
    cuando es importante controlar de una manera efectiva la
    programación del proyecto; por ejemplo, la mayor parte de
    los proyectos de
    investigación y desarrollo caen dentro de esta
    categoría. Por otro lado, el CPM resulta muy apropiado
    cuando se pueden predecir bien los tiempos de las actividades
    (quizá con base en la experiencia) y cuando estos tiempos
    se pueden ajustar con facilidad (por ejemplo, si se cambian
    tamaños de brigadas), al igual que cuando es importante
    planear una combinación apropiada entre el tiempo y el
    costo del proyecto. Este último tipo lo representan muchos
    proyectos de construcción y mantenimiento.
    En la actualidad, las diferencias entre las versiones actuales de
    PERT y CPM no son tan marcadas como se han descrito. Muchas
    versiones de PERT permiten emplear una sola estimación (la
    más probable) para cada actividad y omiten así la
    investigación probabilística. Una
    versión llamada PERT/Costo considera también
    combinaciones de tiempo y costo en forma parecida al
    CPM.

    8. Diferencias Entre PERT y
    CPM

    La diferencia entre PERT y CPM es la manera en que se
    realizan los estimados de tiempo. E1 PERT supone que el tiempo
    para realizar cada una de las actividades es una variable
    aleatoria descrita por una distribución de probabilidad.
    E1 CPM por otra parte, infiere que los tiempos de las actividades
    se conocen en forma determinísticas y se puede variar
    cambiando el nivel de recursos utilizados.
    La distribución de tiempo que supone el PERT para una
    actividad es una distribución beta. La distribución
    para cualquier actividad se define por tres estimados:

    1. el estimado de tiempo más probable,
      m;
    2. el estimado de tiempo más optimista, a;
      y
    3. el estimado de tiempo más pesimista,
      b.

    La forma de la distribución se muestra en la
    siguiente Figura. E1 tiempo más probable es el tiempo
    requerido para completar la actividad bajo condiciones normales.
    Los tiempos optimistas y pesimistas proporcionan una medida de la
    incertidumbre inherente en la actividad, incluyendo desperfectos
    en el equipo, disponibilidad de mano de obra, retardo en los
    materiales y otros factores.

     

    Con la distribución definida, la media (esperada)
    y la desviación estándar, respectivamente, del
    tiempo de la actividad para la actividad Z puede calcularse por
    medio de las fórmulas de aproximación.

    El tiempo esperado de finalización de un proyecto
    es la suma de todos los tiempos esperados de las actividades
    sobre la ruta crítica. De modo similar, suponiendo que las
    distribuciones de los tiempos de las actividades son
    independientes (realísticamente, una suposición
    fuertemente cuestionable), la varianza del proyecto es la suma de
    las varianzas de las actividades en la ruta crítica. Estas
    propiedades se demostrarán posteriormente.
    En CPM solamente se requiere un estimado de tiempo. Todos los
    cálculos se hacen con la suposición de que los
    tiempos de actividad se conocen. A medida que el proyecto avanza,
    estos estimados se utilizan para controlar y monitorear el
    progreso. Si ocurre algún retardo en el proyecto, se hacen
    esfuerzos por lograr que el proyecto quede de nuevo en programa
    cambiando la asignación de recursos.

    9.
    Bibliografía

    • Frederick S. Hillier, Gerald J. Lieberman; Introducción ala Investigación de
      Operaciones, Quinta edición, Edit. McGraw Hill, México 1993.
    • http://www.gestiopolis.com

     

     

     

     

     

     

    Autor:

    Julio Cesar Silva Cruz

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