Interpolación y aproximación de funciones

Indice
1.
Introducción
2. Lenguaje utilizado
3. Polinomio de interpolación de
diferencias divididas de Newton
4. Interpolación
cuadrática
5. Polinomio de interpolación de
Lagrange
6. Bibliografía
consultada

1.
Introducción

La interpolación y la aproximación de
funciones se
aplican en la informática en diversos campos:
Tratamientos de imágenes
mediante una animación interpolada:
La animación se crea mediante el cambio del
contenido de imágenes sucesivas. Puede hacer que un objeto
se desplace, aumente o disminuya de tamaño, gire, cambie
de color, aparezca o
desaparezca, o cambie de forma. Los cambios pueden ocurrir por
separado o combinados entre sí.

• Interpolación de movimiento,
  se definen propiedades como la posición, el
  tamaño y la rotación de una instancia, un
  grupo o un
  bloque de tipos en un punto en el tiempo, y estas
  propiedades se cambian en otro punto.
• Interpolación de forma: se dibuja una forma en
  un punto del tiempo y se cambia o se dibuja una nueva en otro
  punto. Al interpolar formas se crea un efecto similar al de
  transformación y las formas parecen cambiar en el
  transcurso del tiempo.

La animación interpolada es una forma eficaz de
crear movimiento y cambios a lo largo del tiempo y de reducir al
mínimo el tamaño del archivo. Al
contrario de la animación imagen a imagen,
sólo necesita almacenar los valores de
los cambios de la imagen, no la imagen
completa.

Mediciones de temperaturas y precipitaciones
Los datos iniciales
utilizados en este trabajo son las medias mensuales de temperatura
(máxima, mínima y media) y precipitaciones. Para
realizar la interpolación de los valores de las
estaciones hacia una rejilla de 15 minutos latitud/longitud
(Figura 1), se utilizó un Sistema de
Visualización y Análisis en Rejilla (GrADS), un software desarrollado por el
Centro para Estudios del sistema Tierra-Océano-Atmósfera de la
Universidad de
Maryland de los Estados Unidos.
El esquema de interpolación incorporado en GrADS es el
método de
Cressman, el cual ha sido ampliamente utilizado en aplicaciones
de la meteorología.

La disminución del número de estaciones
reduce la calidad de las
interpolaciones y esta variación en el número de
puntos puede introducir movimientos irreales en las series
temporales de los campos generados, con independencia
del método de interpolación que se utilice;
así los campos interpolados con menos estaciones no
serán capaces de captar todas las características espaciales del
fenómeno. Este inconveniente hizo necesario que se
utilizara una estrategia para
garantizar que los campos de temperatura y precipitación
interpolados, pudieran representar las características
espaciales y temporales de ambas variables
durante todo el período considerado. De esta forma las
series de tiempo en rejilla se estimaron utilizando el
método propuesto por Willmott y Robeson (1995). Este
método, denominado por esos autores como
Interpolación Climatológicamente Asistida (ICA),
parte de la idea de realizar la interpolación, separando
las componentes espaciales y temporales.

Tratamiento de imágenes:
La interpolación es el método por el que se
calculan más puntos de muestra, de
acuerdo con un algoritmo del
software de imágenes –programa de
escaneado, para compensar las limitaciones de la
resolución óptica.
Por lo tanto, si la resolución óptica es de 1000
dpi, la interpolación sólo se utilizará si
resoluciones mayores de 1000 dpi se requieren. Esto es
especialmente útil al escalar imágenes para
erradicar trazos que no se quieren y que parecen como efectos de
eslabones en los contornos de la imagen.
Por ejemplo, para escanear a 600 dpi una fotografía
y doblar el tamaño de salida de la imagen sin perder
detalles, la imagen tiene que contener el mismo nivel de detalles
que la fotografía original. Si la imagen se aumenta sin
interpolación, el espacio entre los puntos o las
líneas será doblado. Esto significa que el mismo
números de puntos se tendrán que situar en un
área dos veces mayor dando a la imagen una calidad
granulada inconsistente. Con la interpolación, la densidad de la
imagen se preservara introduciendo el número de puntos que
se requieran en el espacio abierto, dando así a la imagen
resultante una mejor calidad. La interpolación se realiza
durante los procesos tanto
de reducción como de aumento.

Reconstrucción de una señal a partir de
sus muestras usando interpolación:
La interpolación es un proceso de
empleo
común en la reconstrucción aproximada o exacta de
una señal a partir de sus muestras. Para una señal
de banda limitada, si los instantes de muestreo
están bastante cerca, entonces la señal puede
reconstruirse exactamente, es decir, mediante el empleo de un
filtro se puede efectuar la interpolación exacta entre los
puntos de muestreo. La interpretación de la
reconstrucción de una señal como un proceso de
interpolación se hace evidente cuando se considera el
efecto en el dominio del
tiempo del filtro.
La utilización de la interpolación como una
técnica tiene un amplio espectro de utilización
tanto es así que es reformulada en cada campo que aplica.
La interpolación también es usada en:
Topografías, tecnologías de comunicación, genética,
biotecnologías, reconstrucción tridimensional de
imágenes medicas, etc.

Contenido:
Este manual cumple con
el objetivo de
enseñar la instalación y utilización del
lenguaje PDL –
Perl data Language – en su versión 2.3.4, utilizando la
interpretación de PERL con el paquete ActivePerl
versión 5.8.0.805.
Partiendo desde una base teórica se intenta familiarizar a
el usuario con los conceptos fundamentales para su desarrollo. Se
hace referencia de como utilizar los comandos para
solucionar un determinado problema, además se incluyen
ejemplo de su resolución, así como también
de la puesta en marcha de los mismos.

Requerimientos Mínimos

Nota:
Los siguientes componentes mencionados deben estar presentes en
el equipo:
* Perl versión 5.6.1
* Perl ISAPI: Compatible con
servidores
Web IIS 4.0+
o
PWS 4.0+
* PerlScript: ActiveX scripting host
como IE 4.0+, o Windows
Scripting Host
* Windows 95: DCOM
para Windows 95
* Windows NT:
Service Pack 5+ y Windows Installer
1.1+
* Espacio disponible en disco: aproximadamente 55 Mb para la
instalación típica.
En todas las versiones Windows debe estar presente Windows
Installer 2.0+

2. Lenguaje
utilizado

Conocimientos Básicos
PDL es un lenguaje de
programación orientado tratamiento numérico de
datos. Sus siglas significan Perl Data Language, y como su nombre
indica está basado en el lenguaje de
programación Perl, esto quiere decir que es
un modulo del programa, por lo tanto es necesario tenerlo ya
instalado a la hora de colocar PDL. Perl es gratuito y
además es Software Libre, esto quiere decir que el
código
fuente está disponible para que cualquiera lo pueda ver o
modificar.
Perl es la abreviación de Practical Extraction and Report
Language. Es lo que se conoce como un lenguaje script, es decir,
uno en el que no hace falta compilar el programa escrito.
El fuerte de PDL es la posibilidad de manipular matrices
n-dimensionales y además de poder resolver
cálculos numéricos matriciales de una forma
rápida.
Una de las características centrales de PDL es poder
relacionarse fácilmente con el sistemas.
Tal como hemos mencionado, PDL es un lenguaje de cálculo
numérico basado en Perl Está disponible en
múltiples plataformas y sistemas
operativos. De hecho funciona en diferentes versiones de
Unix, Linux y todo tipo
de Windows. Un programa que se escriba teniendo en cuenta la
compatibilidad puede ser escrito en una plataforma y ejecutado en
otra.
Se pueden conseguir el modulo para cálculo numérico
de PDL y otros a través de el CPAN -Comprehensive Perl
Archive Network.
El proyecto PerlDL
apunta a convertir Perl en un eficiente lenguaje numérico
para computadoras.
El modulo PDL le da al Perl
estándar la habilidad de manipular rápidamente y
guardar compactamente matrices de N-dimensiones. Uno puede
escribir expresiones simples en PERL y manipular cadenas
numéricas enteras todo de una sola vez.
PDL convierte a PERL en un lenguaje numérico gratuito
similar al paquete comercial MATLAB.
Con el paquete es provisto un SHELL llamado PERLDL el cual se usa
en la líneas de comando y un modulo llamado PDL para el
uso en los SCRIPT de PERL.
La distribución PDL para PERL es gratuita y
proporciona una amplia funcionalidad numérica con soporte
para visualización de dos y tres dimensiones, así
también como una gran variedad de rutinas de
entrada/salida. El objetivo de PDL es permitir una interactividad
con una gran variedad de paquetes numéricos, gráficos y de sistemas de
visualización.
A continuación se proporcionará una breve
reseña sobre el manejo de operadores relacionales y
lógicos, así como también de las funciones
que competen al lenguaje.

Instalación en Linux / Unix
Puedes utilizar el modulo CPAN de Andreas König para que
automáticamente ejecute los procesos de
descompresión y instalación.
Instalación de archivos
comprimidos
tar.gz
A)- Descompresión
Descomprimir el archivo con gzip -d moduloPDL.tar.gz
Puedes obtener el descompresor gzip de ftp://prep.ai.mit.edu/pub/gnu.
O puedes combinar este paso con el siguiente para guardar en
disco
gzip -dc moduloPDL.tar.gz | tar -xof
B)- DESEMPAQUETANDO
Desempaquetar el resultado con tar -xof moduloPDL.tar
C)- COMPILANDO
Entrar en el directorio nuevo y escribir:
perl Makefile.Plmake
make test
D)- INSTALANDO
Sin salir del directorio, escribimos:
make install

Asegurese de tener los permisos apropiados para instalar
en el directorio de la librería de PERL. Después
necesitara ser el root.
Esto es todo lo que necesitas hacer con las conexiones
dinámicas.
Muchos sistemas Unix tienen conexiones dinámicas, si usted
no las tiene o si por cualquier razón tiene conexiones
estáticas en PERL, y el modulo requiere ser compilado,
usted necesitara una versión binaria que incluya el
modulo. De nuevo usted necesitara ser el root
Instalando los paquetes RPM

• Instalación del paquete Perl
• rpm –install -nodeps
  ActivePerl-5.8.0.805-i686-linux.rpm
• Instalación del paquete MESA
• rpm –install -nodeps
  Mesa-3.4-13.i386.rpm
• Instalación dl paquete PGPLOT
• rpm –install -nodeps
  pgplot-5.2.0-2.i386.rpm
• Instalación del paquete OPENGL
• rpm –install -nodeps
  oss-opengl-glu-20000925-1.i386.rpm
• Instalación del paquete PDL
• rpm –install -nodeps
  pdl-2.2.3-1.i386.rpm

Compilación / instalación de PDL
Utilizar los pasos de compilación e instalación
anteriormente ya descriptos (sección 1.2
Instalación de archivos comprimidos tar.gz)
Instalación en Windows

1. Descomprimir el archivo
2. Usar el manejador de paquetes para instalar
   PDL:

ppm install –localización=. PDL
Los documentación de PDL en HTML son
instalados en el directorio html. Casi siempre debido a un
defecto del la versión actual del manejador de paquetes
(ppm), no son reflejados en el índice de la
documentación de perl. Por favor copia en el directorio
html/lib/pdl los archivos. Las referencias cruzadas en el los
archivos html son actualmente borradas. El script de post
instalación es necesario par corregir esto en el
futuro.
Ante cualquier consulta dirigirse a:
pdl-porters[arroba]jach.hawaii.edu

Interpolación de funciones
Los valores de las funciones polinomiales se pueden determinar
efectuando un numero finito de sumas y multiplicaciones. Sin
embargo, existen otras funciones, tales como la
logarítmica, la exponencial y las funciones
trigonométricas , que no se pueden evaluar tan
fácilmente. En esta sección demostraremos que
muchas funciones se pueden calcular en forma aproximada por
polinomios y que puede usarse el polinomio en vez de la
función original, para los cálculos, cuando la
diferencia entre los valores de la función y la
aproximación polinomial es suficiente pequeña.
Interpolación

3. Polinomio de
interpolación de diferencias divididas de
Newton

Interpolación lineal:
Enunciado Teórico:
Teniendo dos puntos como datos X0 ^ X1 la
interpolación lineal consiste en conectarlos con un
polinomio de primer orden (una recta)

f1 (x) = f(x0) + f(x1)
– f(x0) * (x – x0)

x1 – x0

f1 (x) = b0 + b1 (x –
x0)

Antes de explicar la interpretación
geométrica, comenzaremos resolviendo un ejemplo:
Ejemplo1:
Se quiere aproximar f(x) = sen x en el intervalo [0,∏],
con:

Calcule sen 1 con cada una de las curvas encontradas y
compare con el valor verdadero.

Interpretación geométrica

Figura 1: Interpretación grafica del resultado de
la función a evaluar.

Figura 2: Interpretación grafica de la
interpolación lineal de Newton

.

Figura 3: Interpretación grafica de la
función a evaluar ( f(x)=sen x ).

Código Fuente

• # EJEMPLO 1 – INTERPOLACION LINEAL DE NEWTON
• use PDL;
• use PDL::Graphics::TriD;
• #defino los valores iniciales
• print "nn Inserte un numero perteneciente al
  intervalo : ";
• $coeficiente = <STDIN>;
• print "n Ingrese el primer numero: ";
• $x0 = <STDIN>;
• print "n Ingrese el segundo numero: ";
• $x1 = <STDIN>;
• print "n Ingrese el tercer numero: ";
• $x2 = <STDIN>;
• print "n Ingrese el cuarto numero: ";
• $x3 = <STDIN>;
• #calculo las funciones
• $resultado = pdl([ [$x0,$x1,$x2,$x3], [sin $x0,sin
  $x1,sin $x2, sin $x3] ]);
• $original =
  zeroes(50,50)->xlinvals(-4,4);
• #calculo la función aproximada
• $f1= sin $x0 + ((sin $x1-sin
  $x0)/($x1-$x0))*($coeficiente-$x0);
• $f2= sin $x1 + ((sin $x2-sin
  $x1)/($x2-$x1))*($coeficiente-$x1);
• $f3= sin $x2 + ((sin $x3-sin
  $x2)/($x3-$x2))*($coeficiente-$x2);
• $aproximado = pdl([ [0,0.7,1.5,2.3], [$f1,$f2,$f3]
  ]);
• print "nn";
• print "La matriz resultante es: n";
• print $resultado;
• print "n n";
• print "Cuando aparezcan las graficas
  presionar la TECLA Q para pasar a la siguiente
  nn";
• print " 1 – Resultado del intervalo n";
• print " 2 – Resultado Aproximado del
  intervalon";
• print " 3 – Función Original n";
• print " n";
• print "Presione ENTER para continuar
  …";
• <STDIN>;
• imag3d ([$resultado]);
• imag3d ([$aproximado]);
• imag3d ([sin $original]);
• hold();

4. Interpolación
cuadrática
Enunciado Teórico:
Teniendo tres puntos como datos X0, X1 ^
X2. La interpolación cuadrática consiste
en conectarlo con en polinomio de segundo orden (una
parábola) de la siguiente manera:
f2 (x) = b0 + b1 (x –
x0) + b2 (x – x1)
b0 = f(x0) b1 =
f(x1) – f(x0)
x1 – x0
f(x2) –
f(x1) – f(x1) – f(x0)
b2 = x2 – x1 x1 –
x0
x2 – x0

Interpretación geométrica
Como resolvemos el ejemplo 1 por interpolación
cuadrática de Newton entonces las figuras 1 y 3 se
mantienen constantes.

Figura 4: Interpretación grafica de la
interpolación cuadrática de Newton

Código Fuente

• # EJEMPLO 2 – INTERPOLACION CUADRATICA DE
  NEWTON
• use PDL;
• use PDL::Graphics::TriD;
• #defino los valores iniciales
• print "nn Inserte un numero perteneciente al
  intervalo : ";
• $x = <STDIN>;
• print "n Ingrese el primer numero: ";
• $x0 = <STDIN>;
• print "n Ingrese el segundo numero: ";
• $x1 = <STDIN>;
• print "n Ingrese el tercer numero: ";
• $x2 = <STDIN>;
• print "n Ingrese el cuarto numero: ";
• $x3 = <STDIN>;
• #calculo las funciones
• $resultado = pdl([ [$x0,$x1,$x2,$x3], [sin $x0,sin
  $x1,sin $x2, sin $x3] ]);
• $original =
  zeroes(50,50)->xlinvals(-4,4);
• #calculo la función aproximada
• #calculo f0(x)
• $b0 = sin $x0;
• $b1 = (sin $x1 – sin $x0) / ($x1-$x0);
• $b2 = ((sin $x2 – sin $x1) – (sin $x1 – sin
  $x0))/($x2-$x0);
• $f0 = $b0 + ($b1*($x – $x0)) + ($b2 * ($x – $x0) *
  ($x – $x1));
• #calculo f1(x)
• $b0 = sin $x1;
• $b1 = (sin $x2 – sin $x1) / ($x2-$x1);
• $b2 = ((sin $x3 – sin $x2) – (sin $x2 – sin
  $x1))/($x3-$x1);
• $f1 = $b0 + ($b1*($x – $x1)) + ($b2 * ($x – $x1) *
  ($x – $x2));
• $aproximado = pdl([ [0,0.7,1.5,2.3], [$f0,$f1]
  ]);
• print "nn";
• print "La matriz resultante es: n";
• print $resultado;
• print "n n";
• print "Cuando aparezcan las graficas presionar la
  TECLA Q para pasar a la siguiente nn";
• print " 1 – Resultado del intervalo n";
• print " 2 – Resultado Aproximado del
  intervalon";
• print " 3 – Función Original n";
• print " n";
• print "Presione ENTER para continuar
  …";
• <STDIN>;
• imag3d ([$resultado]);
• imag3d ([$aproximado]);
• imag3d ([sin $original]);
• hold();

5. Polinomio de
interpolación de Lagrange

Es una reformulación del polinomio de Newton,
este polinomio de interpolación evita el cálculo de
las diferencias divididas y vine dado por:

Forma general:
Este es el único polinomio de n-esimo orden que pasa
exactamente por los n + 1 puntos.
Si tenemos n=1 2 puntos
Forma lineal:
Enunciado Teórico:

f1 (x) = x – x1 f (x0)
+ x – x0 f (x1)

x0 – x1 x1 –
x0

l0 (x) = x – x1 l1
(x) = x – x0

x0 – x1 x1 –
x0

Interpretación geométrica
Como resolvemos el ejemplo 1 por interpolación lineal de
lagrange entonces las figuras 1 y 3 se mantienen
constantes.

Figura 5: Interpretación grafica de la
interpolación lineal de Lagrange.

Código Fuente

• # EJEMPLO 3 – INTERPOLACION LINEAL DE
  LAGRANGE
• use PDL;
• use PDL::Graphics::TriD;
• #defino los valores iniciales
• print "nn Inserte un numero perteneciente al
  intervalo : ";
• $x = <STDIN>;
• print "n Ingrese el primer numero: ";
• $x0 = <STDIN>;
• print "n Ingrese el segundo numero: ";
• $x1 = <STDIN>;
• print "n Ingrese el tercer numero: ";
• $x2 = <STDIN>;
• print "n Ingrese el cuarto numero: ";
• $x3 = <STDIN>;
• #calculo las funciones
• $resultado = pdl([ [$x0,$x1,$x2,$x3], [sin $x0,sin
  $x1,sin $x2, sin $x3] ]);
• $original =
  zeroes(50,50)->xlinvals(-4,4);
• #calculo la función aproximada
• $f1 = (($x – $x1)/($x0 – $x1) * sin $x0) + (($x –
  $x0)/($x1 – $x0) * sin $x1);
• $f2 = (($x – $x2)/($x1 – $x2) * sin $x1) + (($x –
  $x1)/($x2 – $x1) * sin $x2);
• $f3 = (($x – $x3)/($x2 – $x3) * sin $x2) + (($x –
  $x2)/($x3 – $x2) * sin $x3);
• $aproximado = pdl([ [0,0.7,1.5,2.3], [$f1,$f2,$f3]
  ]);
• print "nn";
• print "La matriz resultante es: n";
• print $resultado;
• print "n n";
• print "Cuando aparezcan las graficas presionar la
  TECLA Q para pasar a la siguiente nn";
• print " 1 – Resultado del intervalo n";
• print " 2 – Resultado Aproximado del
  intervalon";
• print " 3 – Función Original n";
• print " n";
• print "Presione ENTER para continuar
  …";
• <STDIN>;
• imag3d ([$resultado]);
• imag3d ([$aproximado]);
• imag3d ([sin $original]);
• hold();

Forma cuadrática:
Enunciado Teórico:
Interpretación geométrica
Como resolvemos el ejemplo 1 por interpolación
cuadrática de Lagrange entonces las figuras 1 y 3 se
mantienen constantes.

Figura 6: Interpretación grafica de la
interpolación cuadrática de Lagrange

Código Fuente

• # EJEMPLO 4 – INTERPOLACION CUADRATICA DE
  LAGRANGE
• use PDL;
• use PDL::Graphics::TriD;
• #defino los valores iniciales
• print "nn Inserte un numero perteneciente al
  intervalo : ";
• $x = <STDIN>;
• print "n Ingrese el primer numero: ";
• $x0 = <STDIN>;
• print "n Ingrese el segundo numero: ";
• $x1 = <STDIN>;
• print "n Ingrese el tercer numero: ";
• $x2 = <STDIN>;
• print "n Ingrese el cuarto numero: ";
• $x3 = <STDIN>;
• #calcuo las funciones
• $resultado = pdl([ [$x0,$x1,$x2,$x3], [sin $x0,sin
  $x1,sin $x2, sin $x3] ]);
• $original =
  zeroes(50,50)->xlinvals(-4,4);
• #calculo la función aproximada
• $f1 = (((($x – $x1)*($x – $x2)) / (($x0 – $x1) *
  ($x0-$x2))) * sin $x0) + (( (($x – $x0)*($x – $x2)) / (($x1 –
  $x0) * ($x1-$x2)) ) * sin $x1) + (( (($x – $x0)*($x – $x1)) /
  (($x2 – $x0) * ($x2-$x1)) ) * sin $x2);
• $f2 = (((($x – $x2)*($x – $x3)) / (($x1 – $x2) *
  ($x1-$x3))) * sin $x1) + (( (($x – $x1)*($x – $x3)) / (($x2 –
  $x1) * ($x2-$x3)) ) * sin $x2) + (( (($x – $x1)*($x – $x2)) /
  (($x3 – $x1) * ($x3-$x2)) ) * sin $x3);
• $aproximado = pdl([ [0,0.7,1.5,2.3], [$f1,$f2]
  ]);
• print "nn";
• print "La matriz resultante es: n";
• print $resultado;
• print "n n";
• print "Cuando aparezcan las graficas presionar la
  TECLA Q para pasar a la siguiente nn";
• print " 1 – Resultado del intervalo n";
• print " 2 – Resultado Aproximado del
  intervalon";
• print " 3 – Función Original n";
• print " n";
• print "Presione ENTER para continuar
  …";
• <STDIN>;
• imag3d ([$resultado]);
• imag3d ([$aproximado]);
• imag3d ([sin $original]);
• hold();

6. Bibliografía
consultada

• "El calculo con geometría
  Analítica" – Luis Leithold – Sexta
  edición

Paginas Web Consultadas:

Pagina Oficial:

• http://pdl.perl.org/

Lista de Archivos para descargar:

• http://sourceforge.net/project/showfiles.php?group_id=612

Paquete para la versión de Linux
Debian:

• http://packages.debian.org/pdl
• http://fink.sourceforge.net/pdb/package.php/pdl

Servidor CVS (cvsweb):

• http://cvs.sourceforge.net/cgi-bin/viewcvs.cgi/pdl/

Paginas relacionadas:

• http://glub.ehu.es/recursos–castellano/
  Linux_en_castellano-6.html
• http://www.perl.com
• http://aspn.activestate.com/ASPN/CodeDoc/PDL/Basic/Pod/Tips.html
• http://www.met.inf.cu/sometcuba/Boletin/v07_n01/art_abel04.htm
• http://www.servicios-graficos.com/home/Usuarios/Tutoriales/TeoCol/interpol/body_interpol.html
• http://www.mappinginteractivo.com/plantilla-ante.asp?id_articulo=128
• http://itzamna.uam.mx/pilar/rec_3d.html

Autor:

Petersen Alberto M.