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Propiedades de las sumatorias



    Resumen

    El trabajo con sumas de números es frecuente en
    múltiples problemas que
    deben enfrentar a diario los especialistas de diversas ramas del
    conocimiento,
    y para su determinación se trabaja desde el punto de vista
    teórico en la obtención de expresiones compactas,
    no obstante las facilidades que brindan las aplicaciones de la
    Ofimática,
    con vistas a evitar errores provenientes de la captación
    de datos.

    Tomando en cuenta el amplio espectro de aplicaciones que
    pueden ser beneficiadas con este tipo de resultado, en el
    presente trabajo se realiza una recopilación de las
    propiedades de las sumatorias reportadas en la literatura, posterior a lo
    cual se proponen y demuestran otro conjunto particularmente
    relevante cuando se trabaja con funciones de
    variable discreta cuyo intervalos de variación son
    uniformes en todo el dominio de la
    función.

    I.
    Introducción

    El estudio de fenómenos y procesos que
    ocurren en la Naturaleza y la
    Sociedad
    conduce a la formulación de modelos que
    los describen y predicen su comportamiento, los cuales, no obstante su
    diversidad, pueden agruparse en dos categorías: continuos,
    como la descripción de la transmisión del
    movimiento a
    través de una cuerda, el desplazamiento de un
    vehículo, etc., o discretos, como la serie de pagos
    históricos de una entidad, los registros de
    temperatura de
    un país o territorio, etc.

    Esta última categoría, discretos, tiene
    gran importancia en la actualidad atendiendo al acelerado
    desarrollo de
    las técnicas
    digitales, que en la práctica es un proceso donde
    toda la información, en última instancia, se
    representa a través de conjuntos
    ordenados de dos valores
    lógicos: falso o verdadero.

    En términos matemáticos, el estudio de las
    funciones cuya variable dependiente exhibe una variación
    discreta constituye una especialidad, que tiene en las sumatorias
    y series un componente relevante.

    Tomando en cuenta lo señalado, en el presente
    trabajo se relacionan un conjunto de propiedades reportadas en la
    literatura sobre las sumatorias y se deducen otras que pueden
    facilitar cálculos tales como la solución de
    Sistemas de
    Ecuaciones
    Lineales resultantes del planteamiento del
    problema de la obtención de expresiones
    analíticas para la derivada de funciones de variable
    independiente discreta.

    II.
    Generalidades

    Por sumatoria se entiende la suma de un conjunto finito
    de números, que se denota como sigue:

    donde:

    S: magnitud resultante de la suma.

    T: cantidad de valores a sumar.

    k: índice de la suma, que varía entre h y
    h+t

    h: punto inicial de la sumatoria

    h+t: punto final de la sumatoria

    nk: valor de la
    magnitud objeto de suma en el punto k

    Un tipo particular de sumatoria de gran importancia lo
    es el caso cuando t→ ∞, que se conoce como serie y se
    representa de la manera siguiente:

    Considerando la amplitud que reviste el análisis de las series, este tema no
    será abordado en este trabajo.

    III. Propiedades
    de las sumatorias

    Entre las propiedades generales de las sumatorias
    reportadas en la literatura se encuentra las once que se
    relacionan a continuación, cuya demostración se
    realiza utilizando el procedimiento
    matemático de Inducción Completa.

    III.1
    Reportadas en la literatura

    Propiedad #1:

    Propiedad #2:

    Propiedad #3:

    Propiedad #4:

    Propiedad #5:

    Propiedad #6:

    Propiedad #7:

    Propiedad #8:

    Propiedad #9:

    Propiedad #10:

    Propiedad #11:

    III.2
    Obtenidas en este trabajo

    En la práctica existen múltiples problemas
    cuya solución conduce al cálculo de
    sumatorias que cumplen con requisitos especiales, como es el caso
    de la solución de Sistemas de Ecuaciones Lineales
    resultante para la determinación de las derivadas de
    funciones con intervalo de variación uniforme de la
    variable dependiente; los problemas que exhiben simetría,
    etc., bajo cuyas condiciones es posible obtener expresiones
    útiles de trabajo, que simplifican las operaciones a
    realizar, entre las que pueden señalarse las que se
    deducen a continuación.

    III.2.1
    Considerando simetría en el recorrido del índice de
    la suma

    Una condición que trata de utilizarse siempre que
    sea posible, ya que simplifica los cálculos en los modelos
    de fenómenos o procesos, es la simetría, la que en
    términos de las sumatorias esta característica se corresponde con la
    variación del índice de la suma en el intervalo
    como se indica a
    continuación:

    Bajo esta hipótesis de trabajo, es posible obtener el
    conjunto de propiedades que se demuestran a
    continuación.

    Propiedad #1:

    Demostración:

    Propiedad #2:

    Demostración:

    Propiedad #3:

    Propiedad #4:

    Propiedad #5:

    II.2.2
    Solución de Sistemas de Ecuaciones Lineales con variable
    independiente de la forma x ± kD x

    Una aplicación en la cual las sumatorias
    simétricas adoptan un término interesante es el
    caso de la obtención de expresiones analíticas por
    el cálculo de las derivadas de funciones de variable
    discreta, en el cual es común trabajar con términos
    de la forma elevado a una cierta potencia. A
    continuación se deducen cinco propiedades de gran utilidad
    práctica.

    Propiedad #1: Cálculo de

    Propiedad #2: Cálculo de

    Propiedad #3: Cálculo de

    Propiedad #4: Cálculo de

    Propiedad #5: Cálculo de

    Propiedad #6: Cálculo de

    IV.
    Conclusiones

    Como conclusión de este trabajo puede
    señalarse que se relacionan un conjunto de propiedades de
    las sumatorias descritas en la literatura, a partir de las cuales
    se dedujeron diversas propiedades, que son de particular utilidad
    para el cálculo de los determinantes asociados a la
    solución del Sistema de
    Ecuaciones Lineales resultante del planteamiento del problema de
    obtención de expresiones analíticas para el
    cálculo de la derivada de funciones de variable
    discreta.

    V.
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    Autor:

    M.Sc. Lic. Jesús Mesa Orama,

    Especialista de Normas y Procedimientos,
    Sociedad Havanatur S.A., Corporación CIMEX S.A.

     

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