Anteriormente encontramos que el flujo del campo eléctrico a través de una superficie cerrada que rodea a una carga neta es proporcional a la carga (ley de gauss). En otras palabras, el número de líneas de campo eléctrico que salen de la superficie depende sólo de la carga neta dentro de ella. Esta propiedad se basa en parte en el hecho de que las líneas de campo eléctrico se originan en cargas eléctricas.

La situación es bastante diferente para campos magnéticos, los cuales son continuos y forman lazos cerrados. Las líneas de campo magnético creadas por corrientes no empiezan o terminan en ningún punto. Las líneas de campo magnético del imán de barra, ilustran lo anterior. Advierta que para cualquier superficie cerrada, el número de líneas que entran en la superficie es igual al número que sale de la misma, por lo que el flujo magnético neto es cero. Esto contrasta con el caso de una superficie que rodea a una carga de un dipolo eléctrico, donde el flujo eléctrico neto no es cero.

Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

La siguiente figura 1a muestra el campo eléctrico asociado a una barra aislante que tiene cantidades iguales de carga positiva y negativa situadas en los extremos opuestos.

Éste constituye un ejemplo de dipolo eléctrico.

En este nivel, los casos eléctrico y magnético son muy similares.

De hecho, podríamos ser llevados a postular la existencia de polos magnéticos individuales análogos a las cargas eléctricas; tales polos, si existiesen, producirían campos magnéticos (semejantes a los campos eléctricos producidos por las cargas) proporcionales a la intensidad de los polos e inversamente proporcionales al cuadrado de la distancia desde el polo. Como veremos, esta hipótesis no concuerda con el experimento.

Este efecto ocurre microscópicamente, hasta el nivel de cada átomo. Como lo veremos en la sección siguiente, cada átomo se comporta como un dipolo magnético que tiene un polo norte y un polo sur, y hasta donde todavía sabemos, el dipolo, y no el solo polo aislado, parece ser la unidad fundamental más pequeña de la estructura magnética.

 La figura 3 muestra una representación más detallada de los campos magnéticos de una barra imantada y de un solenoide, ambos de los cuales pueden ser considerados como dipolos magnéticos.

Nótese en la figura 3a que las líneas de B entran a la superficie gaussiana en el interior del imán y salen de ella en el exterior del mismo. El flujo total hacia adentro es igual al flujo total hacia afuera, y el flujo neto FB, para la superficie es cero. Lo mismo es cierto para la superficie gaussiana que atraviesa al solenoide mostrado en la figura 3b. En ningún caso existe un solo punto del cual se originen las líneas de B o al cual converjan; esto es, no existe ninguna carga magnética aislada.

 Monopolos Magnéticos

Estas teorías predicen la existencia de monopolos magnéticos extremadamente masivos, de aproximadamente 1016 veces la masa del protón. Es en efecto demasiado masivo para producirlo en cualquier acelerador en la Tierra; de hecho, las únicas condiciones conocidas bajo las cuales podrían obtenerse tales monopolos serían en la caliente y densa materia del universo temprano. La búsqueda de los monopolos magnéticos continúa, pero hasta ahora no se ha obtenido una evidencia convincente de su existencia. Por el momento, suponemos o bien que los monopolos no existen, de modo que la ecuación 2 es exacta y universalmente válida, o bien que, si existen, son tan excesivamente raros que la ecuación 2 es una aproximación altamente precisa. La ecuación 2 asume, entonces, un papel fundamental como descripción del comportamiento de los campos magnéticos en la naturaleza, y constituye una de las cuatro ecuaciones de Maxwell del electromagnetismo.

• Magnetismo atómico y nuclear

Las diferencias en el comportamiento microscópico entre los campos eléctricos y magnéticos pueden apreciarse mejor observando la estructura atómica y nuclear fundamental que produce los campos.

Consideremos el medio dieléctrico El medio consta de dipolos eléctricos que están alineados dentro de un campo eléctrico externo. Estos dipolos producen un campo eléctrico inducido en el medio. Si cortamos al medio en dos, suponiendo que no cortemos a ninguno de los dipolos, obtenemos dos medios dieléctricos semejantes; cada uno tiene una carga positiva inducida en un extremo y una carga negativa inducida en el otro extremo. Podemos seguir dividiendo al material hasta alcanzar el nivel de un solo átomo o molécula, el o la cual tiene una carga negativa en un extremo y una carga positiva en el otro extremo.

Con un corte final podemos dividir y separar las cargas positiva y negativa.
El medio magnético parece comportarse microscópicamente de modo semejante. La figura 4 representa a un medio magnético como una colección de dipolos magnéticos. Si cortamos al medio en dos sin cortar a ninguno de los dipolos, cada una de las dos mitades tiene un polo norte en un extremo y un polo sur en el otro. Podemos continuar cortando únicamente hasta que lleguemos al nivel de un solo átomo. Aquí descubriremos que el dipolo magnético consta no de dos cargas individuales y opuestas, como en el caso eléctrico, sino más bien es una diminuta espira de corriente, en donde la corriente corresponde, por ejemplo, a la circulación del electrón en el átomo. Del mismo modo que en el caso de los anillos o espiras de corriente considerados en el capítulo 8, la corriente atómica tiene un momento dipolar magnético asociado. No existe manera de dividir a este dipolo en polos separados, de modo que el dipolo es la unidad fundamental más pequeña del magnetismo.

  Magnetismo Nuclear

El núcleo, que está compuesto de protones y neutrones en un movimiento orbital bajo la influencia de sus fuerzas mutuas, tiene un momento magnético con dos partes: una parte orbital, debida al movimiento de los protones (los neutrones, por no tener carga, no contribuyen al momento magnético orbital, aunque pueden tener un ímpetu angular orbital), y una parte intrínseca, debida a los momentos magnéticos intrínsecos de los protones y de los neutrones. (Puede parecer sorprendente que el neutrón sin carga tenga un momento magnético intrínseco distinto de cero. Si el neutrón fuese realmente una partícula elemental sin una carga eléctrica, no tendría, en efecto, un momento dipolar magnético. El momento dipolar magnético distinto de cero del neutrón nos da una pista sobre su estructura interna y puede explicarse bastante bien al considerar que el neutrón está compuesto de tres quarks cargados.)

Los núcleos tienen momentos dipolares magnéticos orbital y de espín que pueden expresarse en la forma de las ecuaciones 7 y 10. Sin embargo, la masa que aparece en estas ecuaciones (la masa del electrón) debe ser reemplazada por la masa de un protón o de un neutrón, que es de unas 1800 veces la masa del electrón. Los momentos dipolares magnéticos nucleares típicos son menores que los momentos dipolares atómicos por un factor del orden de 10-3, y su contribución a las propiedades magnéticas de los materiales es generalmente insignificante.

Los efectos del magnetismo nuclear son importantes en el caso de la resonancia magnética nuclear, en donde el núcleo está sometido a la radiación electromagnética de una frecuencia precisamente definida, y que corresponde a la necesaria para causar que el momento magnético nuclear cambie de dirección. Podemos alinear los momentos magnéticos nucleares en una muestra de material por medio de un campo magnético estático; la dirección de los dipolos se invierte cuando absorben la radiación electromagnética variable con el tiempo. La absorción de esta radiación puede detectarse fácilmente. Este efecto es la base de la formación de imágenes por resonancia magnética (MRI), una técnica de diagnóstico en que pueden obtenerse imágenes de los órganos del cuerpo usando una radiación mucho menos peligrosa para el organismo humano que los rayos X (Fig. 5).

Para ver el gráfico seleccione la opción "Descargar" del menú superior

El estado magnético de una sustancia se describe por medio de una cantidad denominada vector de magnetización, M. La magnitud del vector de magnetización es igual al momento magnético por unidad de volumen de la sustancia. Como tal vez usted esperaba, el campo magnético total en una sustancia depende tanto del campo(externo) aplicado como de la magnetización de la sustancia.

Considerando una región donde existe un campo magnético producido por un conductor por el que circula corriente. Si llenamos esa región con sustancia magnética, el campo magnético total B en esa región es donde es el campo producido por la sustancia magnética. Esta contribución puede expresarse en términos del vector de magnetización como por tanto, el campo magnético total en región se convierte en

Conviene introducir una cantidad de campo H, llamada la intensidad de campo magnético. Esta cantidad vectorial se define por medio de la relación , o

En unidades del SI, las dimensiones tanto de H como de M son amperes por metro.

Para entender mejor estas expresiones, considere la región dentro del espacio encerrado por un toroide que conduce una corriente I. (llamaremos a este espacio el núcleo del toroide) si este espacio es un vacío, entonces y . Puesto que en el núcleo, donde n es el número de vueltas por unidad de longitud del toroide, entonces

H = nI

Esto es, la intensidad de campo magnético en el núcleo del toroide se debe a la corriente en sus devanados.

Si el núcleo del toroide se llena ahora con alguna sustancia y la corriente I se mantiene constante, entonces H dentro de la sustancia permanece invariable y tiene la magnitud nI. Esto se debe a que la intensidad de campo magnético H es consecuencia exclusivamente de la corriente en el toroide. El campo total B, sin embargo, cambia cuando se introduce la sustancia. De acuerdo con la ecuación

• Materiales Magnéticos

Ahora estamos en posición de entender algunas características de los tres tipos de materiales magnéticos. Como lo veremos, estas clasificaciones dependen, en parte, de los momentos dipolares magnéticos de los átomos del material y en parte de las interacciones entre los átomos.

Los átomos tienen momentos dipolares magnéticos debido al movimiento de los electrones y debido al momento dipolar magnético intrínseco asociado al espín de los electrones.

De acuerdo con el comportamiento de sus momentos magnéticos en un campo magnético externo:

Ocurre en materiales cuyos átomos tienen momentos dipolares magnéticos permanentes; no hay diferencia si estos momentos dipolares son del tipo orbital o del tipo de espín.

Nace del alineamiento parcial de los momentos magnéticos moleculares (mm) en presencia de un

Campo magnético externo. Los mm están en estado normal orientados al azar. Y en presencia del campo magnético externo los dipolos se alinean parcialmente en la dirección del campo, produciéndose un aumento total del campo. A temperaturas ordinarias y con campos externos normales, sólo una fracción muy pequeña se orienta con el campo, por consiguiente el aumento del campo es muy pequeño.

El ferromagnetismo, al igual que el paramagnetismo, se presenta en materiales en los que los átomos tienen momentos dipolares magnéticos permanentes. Lo que distingue a los materiales ferromagnéticos de los materiales paramagnéticos es que, en los materiales ferromagnéticos, existe una fuerte interacción entre los momentos dipolares atómicos vecinos que los mantiene alineados incluso cuando se suprime el campo magnético externo.

El que esto ocurra o no depende de la intensidad de los dipolos atómicos y también, puesto que el campo del dipolo cambia con la distancia, de la separación entre los átomos del material. Ciertos átomos podrían ser ferromagnéticos en una clase de material pero no en otra, porque su espaciamiento es diferente. Los materiales ferromagnéticos más comunes a la temperatura ambiente incluyen a los elementos hierro, cobalto y níquel. Los elementos ferromagnéticos menos comunes, alguno de los cuales muestran su ferromagnetismo sólo a temperaturas mucho menores que la temperatura ambiente, son los elementos de las tierras raras, como el gadolinio y el disprosio. También pueden ser ferromagnéticos los compuestos y las aleaciones, por ejemplo, el CrO2, el ingrediente básico de las cintas magnéticas, es ferromagnético aunque, ninguno de los elementos, cromo u oxígeno, es ferromagnético a temperatura ambiente.

Podemos disminuir la efectividad del acoplamiento entre átomos vecinos que causa el ferromagnetismo al aumentar la temperatura de una sustancia. A la temperatura a la cual un material ferromagnético se vuelve paramagnético se le denomina temperatura Curie. La temperatura Curie del hierro, por ejemplo, es de 770oC; arriba de esta temperatura, el hierro es paramagnético. La temperatura Curie del metal gadolinio es de 16oC; a la temperatura ambiente, el gadolinio es paramagnético, mientras que a temperaturas por debajo de los 16oC, el gadolinio se vuelve ferromagnético.

En 1847, Michael Faraday descubrió que una muestra de bismuto era repelida por un imán potente. A tales sustancias las llamó diamagnéticas. (Por el contrario, las sustancias paramagnéticas son atraídas siempre por un imán.) El diamagnetismo se presenta en todos los materiales. Sin embargo, generalmente es un efecto mucho más débil que el paramagnetismo y, por lo tanto, puede observarse más fácilmente sólo en materiales que no sean paramagnéticos. Tales materiales podrían ser aquellos que tienen momentos dipolares magnéticos atómicos de valor cero, originándose quizás de átomos que tienen varios electrones con sus momentos magnéticos orbital y de espín que al sumarse vectorialmente dan un valor de cero.

Para ver el gráfico seleccione la opción "Descargar" del menú superior

El diarnagnetismo es análogo al efecto de los campos eléctricos inducidos en la electrostática. Un trozo de material no cargado, como el papel, es atraído hacia una barra cargada de cualquier polaridad. Las moléculas del papel no tienen momentos dipolares eléctricos permanentes pero adquieren momentos dipolares inducidos por la acción del campo eléctrico, y estos momentos inducidos pueden entonces ser atraídos por el campo (véase la Fig. 14 del capítulo 5).

En los materiales diamagnéticos, los átomos que no tienen momentos dipolares magnéticos permanentes adquieren momentos dipolares inducidos cuando están situados dentro de un campo magnético externo. Consideremos que los electrones que giran en un átomo se comporten como espiras de corriente. Cuando se aplica un campo externo B0, el flujo a través del anillo cambia. Según la ley de Lenz, el movimiento debe cambiar de manera tal que un campo inducido se oponga a este aumento en el flujo. Un cálculo basado en las órbitas circulares demuestra que el cambio en el movimiento se logra con un ligero aumento o disminución de la velocidad del movimiento orbital, de modo que la frecuencia circular asociada con el movimiento orbital cambia según

Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

donde B0, es la magnitud del campo aplicado y m es la masa del electrón. Este cambio en la frecuencia orbital cambia en efecto el momento magnético orbital de un electrón (véase la Ec. 5).

Si quisiéramos traer un solo átomo de un material como el bismuto cerca del polo norte de un imán, el campo (que apunta alejándose del polo) tiende a aumentar el flujo a través de la espira de corriente que representa al electrón circulando. De acuerdo con la ley de Lenz, debe haber un campo inducido apuntando en la dirección opuesta (hacia el polo). El polo norte inducido está en el lado de la espira hacia el imán, y los dos polos norte se repelen entre sí.

Este efecto ocurre sin importar cuál sea el sentido de la rotación de la órbita original, de modo que, en un material diamagnético, la magnetización se opone al campo aplicado. La razón de la contribución a la magnetización del campo m0 M al campo aplicado B0, dado por km – 1 de acuerdo con la ecuación 16, llega a estar entre -10-6 y -10-5 para materiales diamagnéticos típicos. La tabla 3 muestra algunos materiales diamagnéticos y sus constantes de permeabilidad.

El campo de la Tierra puede considerarse aproximadamente como el de un dipolo magnético, con momento m = 8.0 x 1022 J/T. El campo en la superficie tiene una magnitud que va desde unos 30, mT cerca del Ecuador hasta unos 60 mT cerca de los Polos. (Para un dipolo, esperamos que el campo magnético en el eje sea el doble del campo a la misma distancia a lo largo de la bisectriz; véase la tabla 1 del capítulo 9.) El eje del dipolo forma un ángulo de unos 11.5o con el eje de rotación de la Tierra (que a su vez forma un ángulo de 23.5o con la normal al plano de la órbita de la Tierra con respecto al Sol, como se muestra en la Fig. 11.

Lo que comúnmente llamamos el polo norte magnético, el cual se ubica al norte de Canadá, es de hecho el polo sur del dipolo Tierra, como lo hemos definido con la convergencia de las líneas del campo magnético. El polo sur magnético, que se localiza en la Antártida, está representado por el polo norte de un dipolo, porque las líneas de B salen de él. Dicho de otra manera, cuando usamos una brújula magnética para indicar la dirección del extremo de la brújula que apunta hacia el norte es un polo norte verdadero del imán suspendido en la brújula; es atraído hacia un polo sur verdadero, el cual está cerca del polo norte geográfico de la Tierra.

El campo magnético de la Tierra tiene una importancia práctica no solamente en la navegación sino también en el levantamiento topográfico y en las comunicaciones. Por lo tanto ha sido extensamente estudiado durante muchos años, en la superficie midiendo su magnitud y dirección y más arriba de su superficie usando satélites en órbita. Entre sus otros efectos están los cinturones de radiación de Van Allen que rodean a la Tierra (véase la Fig. 15 del capítulo 8) y las llamadas "auroras boreales", el espléndido espectáculo de la aurora (Fig. 12).

Puesto que encontramos rocas magnetizadas en el suelo, surgiría, quizás, la inclinación a imaginar la existencia de un núcleo de rocas magnetizadas permanentemente como la fuente del campo magnético de la Tierra. Sin embargo, esto no puede ser así, porque la temperatura del núcleo es de varios miles de grados, muy por encima de la temperatura Curie del hierro. Por lo tanto, el hierro que hay en el núcleo de la Tierra no puede ser ferromagnético.

Además, de las mediciones realizadas desde hace unos pocos siglos sabernos que el polo norte magnético se desplaza en relación con el polo norte geográfico, y sabemos por los registros geológicos que los polos se invierten en una escala de tiempo de varios cientos de miles de años. (Además, como lo veremos más adelante, algunos planetas del sistema solar que tienen composiciones similares a la de la Tierra no tienen campo magnético, mientras que otros planetas que ciertamente no contienen material magnético tienen campos muy grandes.) Tales observaciones son difíciles de explicar basándose en la hipótesis de un núcleo permanentemente magnetizado.

Para ver el gráfico seleccione la opción "Descargar" del menú superior

La fuente exacta del magnetismo de la Tierra no está del todo comprendida, pero probablemente implica cierta clase de efecto de dínamo. La parte exterior del núcleo contiene minerales en estado líquido, que conducen la electricidad fácilmente. Un pequeño campo magnético inicial provoca que fluyan corrientes en este conductor en movimiento, según la ley de la inducción de Faraday. Estas corrientes pueden acrecentar el campo magnético y este campo acrecentado es lo que observarnos como el campo de la Tierra. Sin embargo, sabemos por nuestro estudio de la inducción que un conductor que se mueva dentro de un campo magnético experimenta una fuerza de frenado. La fuente de energía necesaria para vencer a la fuerza de frenado y mantener al núcleo en movimiento no ha podido todavía comprenderse.

La Tierra contiene un registro de cambios tanto en la dirección como en la magnitud del campo. Por ejemplo, las muestras de alfarería antigua contienen diminutas partículas de hierro, que resultaron magnetizadas en el campo de la Tierra conforme la alfarería fue enfriándose después de su cocción. De la intensidad de la magnetización de las partículas, podemos deducir la intensidad del campo de la Tierra en el tiempo y lugar de la cocción. Un registro geológico de origen similar se conserva en el fondo oceánico (Fig. 13).

Para ver el gráfico seleccione la opción "Descargar" del menú superior

Cuando el magma fundido brota de una grieta submarina y se solidifica, las partículas de hierro resultan magnetizadas. La dirección de la magnetización de las partículas muestra la dirección del campo de la Tierra. De los patrones de magnetización podernos deducir que los polos de la Tierra se han invertido con mucha regularidad a lo largo de la historia geológica. Esta inversión ocurre cada 100,000 a 1,000,000 de años y ha sido más frecuente en tiempos recientes. Las razones de estas inversiones y su velocidad creciente no se conocen, peto presumiblemente implican el efecto de dínamo de alguna manera.

Conforme nos alejamos de la Tierra, su campo disminuye, y comenzamos a observar modificaciones como consecuencia del viento solar, una corriente de partículas cargadas que llegan del Sol (Fig. 14). Como resultado, una larga cola asociada al campo de la Tierra se extiende a lo largo de muchos miles de diámetros terrestres. Puesto que el Sol tiene un efecto tan grande sobre el campo magnético de la Tierra, aun a distancias de unos cuantos radios terrestres, puede influir en los fenómenos en los que intervienen el campo de la Tierra, como la comunicación por radio y la aurora.

En los últimos años, las sondas del espacio interplanetario han hecho posible la medición de la dirección y magnitud de los campos magnéticos de los planetas. Estas observaciones apoyan la teoría del mecanismo de dínamo como la fuente de estos campos. La tabla 4 muestra valores de los momentos dipolares magnéticos y los campos magnéticos en la superficie de los planetas.

Para ver el gráfico seleccione la opción "Descargar" del menú superior

Venus, cuyo núcleo es similar al de la Tierra, no tiene un campo porque su rotación es demasiado lenta (una cada 244 días terrestres) para sostener el efecto de dínamo. Marte, cuyo periodo de rotación es casi el mismo que el de la Tierra, no tiene un campo porque su núcleo es presumiblemente demasiado pequeño, un hecho deducido de la medición de la densidad media de Marte. Los planetas exteriores (Júpiter y más allá) están compuestos en su mayoría de hidrógeno y helio, los que ordinariamente no se cree que sean magnéticos; sin embargo, a las altas presiones y temperaturas cerca del centro de estos planetas, el hidrógeno y el helio pueden comportarse como los metales, mostrando en particular una gran conductividad eléctrica y permitiendo el efecto de dinamo.

La figura 15 muestra el alineamiento del eje de rotación y del eje del campo magnético de Júpiter y de Urano; compárense con la Tierra que se muestra en la figura 11. Nótese que el eje de rotación de Urano es casi paralelo al plano de su órbita, al contrario de los demás planetas. Nótese también que el eje magnético de Urano está muy desalineado con su eje de rotación y que el dipolo está desplazado del centro del planeta.

Para ver el gráfico seleccione la opción "Descargar" del menú superior

Se llama inductancia al campo magnético que crea una corriente eléctrica al pasar a través de una bobina de hilo conductor enrollado alrededor de la misma que conforma un inductor. Un inductor puede utilizarse para diferenciar señales cambiantes rápidas o lentas.

La inductancia depende de las características físicas del conductor y de la longitud del mismo. Si se enrolla un conductor, la inductancia aumenta. Con muchas espiras (vueltas) se tendrá más inductancia que con pocas. Además, si un arrollamiento se coloca alrededor de un núcleo de hierro, su inductancia será mayor de lo que era sin el núcleo magnético.

La polaridad de una FEM (Fuerza Electro Motriz) inducida va siempre en el sentido de oponerse a cualquier cambio en la corriente del circuito. Esto significa que cuando la corriente en el circuito aumenta, se realiza trabajo contra la FEM inducida almacenando energía en el campo magnético. Si la corriente en el circuito tiende a descender, la energía almacenada en el campo vuelve al circuito, y por tanto se suma a la energía suministrada por la fuente de FEM. Esto tiende a mantener a la corriente circulando incluso cuando la FEM aplicada pueda descender o ser retirada.

La energía almacenada en el campo magnético de un inductor se calcula según la siguiente formula:

Siendo:

W = energía en Julios
I = corriente en Amperios
L = inductancia en Henrios

La unidad de inductancia es el Henrio

Cualquier conductor tiene inductancia, incluso cuando el conductor no forma una bobina. La inductancia de una pequeña longitud de hilo recto es pequeña, pero no despreciable si la corriente a través de él cambia rápidamente, la tensión inducida puede ser apreciable. Este puede ser el caso de incluso unas pocas pulgadas de hilo cuando circula una corriente de 100 MHz o más. Sin embargo, a frecuencias mucho mas bajas la inductancia del mismo hilo puede ser despreciable, ya que le tensión inducida será despreciablemente pequeña.

Apliquemos la ecuación

Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

para calcular L para una sección de longitud l de un solenoide largo con área de sec-ción transversal A; suponemos que la sección está cerca del centro del solenoide de modo que no necesitan considerarse los efectos de los bordes o extremos. En el capítulo 9 se demostró que el campo magnético B dentro de un solenoide que conduce una corriente i es

Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

donde n es el número de espiras por unidad de longitud.
El número de eslabones (o enlaces) del flujo en la longitud es

Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

lo cual, después de sustituir a B, nos da

Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

La ecuación 6 da entonces la inductancia directamente:

Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

La inductancia por unidad de longitud del solenoide puede escribirse como

Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

Esta expresión contiene sólo factores geométricos el área de sección transversal y el número de espiras por unidad de longitud. La proporcionalidad con n2 es la esperada; si duplicamos el número de espiras por unidad de longitud, no sólo se duplica el número N de espiras, sino que el flujo a través de cada espira se duplica, y el número de eslabones o enlaces del flujo aumenta según un factor de 4, como en el caso de la inductancia.
Las ecuaciones 9 y 10 son válidas para un solenoide de longitud mucho mayor que su radio. Hemos despreciado el esparcimiento de las líneas del campo magnético cerca del extremo de un solenoide, al igual que hemos despre-ciado el efecto de borde del campo eléctrico cerca de los extremos de las placas de un capacitor.

Calcularemos ahora la inductancia de un toroide de sección transversal rectangular, como se muestra en la figura 3. El campo magnético B de un toroide se expresó por la ecuación 23 del capítulo 9,

Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

donde N es el número total de espiras en el toroide. Nótese que el campo magnético no es constante dentro del toroide sino que varía con el radio r.

El flujo a través de la sección transversal del toroide es

Para ver el gráfico seleccione la opción "Descargar" del menú superior

donde h dr es el área de la laminilla o tira elemental entre las líneas de trazos que se muestran en la figura 3. La inductancia puede entonces determinarse directamente de la ecuación 6:

Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

Una vez más, L depende sólo de factores geométricos.

hemos demostrado que la capacitancia C de un capacitor lleno con una sustancia dieléctrica aumenta por un factor ke, la constante dieléctrica, relativo a la capacitancia Co cuando no hay un dieléctrico presente:

Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

Nos fue posible convertir las ecuaciones encontradas para los capacitores vacíos para explicar el caso con el dieléctrico reemplazando la constante de permitividad co por el producto kee0.

Cuando un campo magnético B0 actúa sobre una sustancia, el campo total B (incluyendo el campo aplicado B0 más el campo debido a los dipolos del material) puede escribirse

Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

como lo demostramos anteriormente. Aquí km es la constante de permeabilidad del material. Puesto que el campo aplicado B0 incluye el factor m0, podemos toman en cuenta el efecto del material magnético al reemplazar m0 por la cantidad kmm0, en analogía con la sustitución similar que se hizo en el caso de los capacitores que contienen dieléctricos.

En el caso de un inductor, el campo B0 aparecería en el inductor si no hubiese presente ningún material magnéti-co. El campo B aparece en el inductor cuando está lleno con material magnético. En la expresión para la inductancia, podemos explicar la presencia de un material magnético que llene al inductor sustituyendo m0 por kmm0 o, en analogía con la ecuación 13,

Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

donde L es la inductancia con el material magnético presente y L0 es la inductancia del inductor vacío. En-tonces, un solenoide lleno con una sustancia magnética de constante de permeabilidad km tiene una inductancia dada por

Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

la cual hallamos al sustituir m0 por kmm0 en la ecuación 9. Ya que las constantes de permeabilidad de las sustancias paramagnéticas o diamagnéticas no difieren sustancialmente de 1, las inductancias de los inductores llenos con tales sustancias son casi iguales a sus valores cuando están vacíos, y no se obtiene un cambio mayor en las propiedades del inductor al llenar el inductor con un material paramagnético o diamagnético. Sin embargo, en el caso de un material ferromagnético, pueden ocurrir cambios sustanciales. Si bien, la constante de permeabilidad no está definida en general para los materiales ferromagnéticos (porque el campo total no au-menta en proporción lineal con el campo aplicado), en circunstancias particulares B puede ser varios miles de veces B, Entonces, la constante de permeabilidad "efectiva" de un ferroimán puede tener valores del orden de 103 a 104, y la inductancia de un inductor lleno con material ferromagnético (esto es, aquel en el que los devanados están sobre un núcleo de un material como el hierro) puede ser mayor que la inductancia de un conjunto similar de devanados sobre un núcleo vacío por un factor de 103 a 104. Los núcleos ferromagnéticos propocionan el medio para obtener inductancias grandes, de igual manera que los materiales dieléctricos permiten obtener capacitancias grandes en los capacitores.

Podemos describir este circuito como cualquier circuito que contiene una bobina, como un solenoide, tiene una autoinductancia que evita que la corriente crezca o decrezca instantáneamente. Un elemento de circuito que tiene una gran inductancia se denomina inductor, símbolo de espiral horizontal. Suponemos siempre que la autoinductancia del resto del circuito es despreciable comparada con la del inductor.

Para ver el gráfico seleccione la opción "Descargar" del menú superior

Angulo = O = Arctang (Vl / VR).

Y se puede calcular con ayuda de la siguiente fórmula:

                                  VS /0  
Impedancia = Z /0   =   -------------
                                 I /0)

Para obtener la magnitud de Z de dividen los valores de Vs e I

 Circuitos RL paralelo

VS = VR = VL

Para ver el gráfico seleccione la opción "Descargar" del menú superior

Angulo O = Arctang (-IL / IR)

La impedancia (Z) se obtiene con ayuda de la siguiente fórmula

           Vs /0
Z /0 =  -------------
           It /0

Cómo se hace esto?

Para obtener la magnitud de Z dividen las magnitudes de Vs e It para obtener la magnitud de la impedancia

NOTA: lo que está incluido en paréntesis elevado a la 1/2, equivale a la raiz cuadrada

Cuando se levanta de la Tierra una piedra, el trabajo externo efectuado se almacena como energía potencial del sistema Tierra-piedra. Podemos ver a este proceso de separación de los dos objetos como un modo de almacenar energía en el campo gravitatorio. Cuando se suelta la piedra, la energía puede recuperarse en forma de energía cinética conforme la piedra se va acercando a la Tierra. De forma similar, el trabajo efectuado al separar dos cargas de signos diferentes se almacena en forma de energía del campo eléctrico de las cargas; esa energía puede recuperarse permitiendo que las cargas se junten.

Técnicamente considerarla energía almacenada en el campo (gravitatorio o eléctrico) que rodea a un cuerpo aislado, como la Tierra o una sola carga. Vemos a la energía almacenada en ese campo como representativa de la energía consumida para armar al cuerpo a partir de su masa constituyente o sus elementos de carga, suponiendo inicialmente que están en reposo y con separaciones infinitas.
La energía puede almacenarse en forma parecida en un campo magnético.

Para ver el gráfico seleccione la opción "Descargar" del menú superior

Por ejemplo, considérense dos alambres paralelos, rígidos y largos, que conducen corriente en la misma dirección. Los alambres se atraen entre sí, y el trabajo efectuado para separarlos se almacena en el campo magnético que los rodea. Podemos recuperar esa energía magnética almacenada adicional dejando que los alambres regresen a sus posiciones originales.
También podemos ver a la energía como almacenada en el campo magnético de un alambre aislado, en analogía con la energía del campo eléctrico de una carga aislada. Antes de considerar este tema es útil, en general, considerar la energía almacenada en el campo magnético de un inductor, como presentamos al almacenamiento de la energía en un campo eléctrico en la sección 31-4 al considerar la energía almacenada en un capacitor.

Ahora encontraremos una expresión para la energía (la energía por unidad de volumen) uB en un campo magnético. Consideremos un solenoide muy largo de área de sección transversal A cuyo interior no contiene ningún material. Una porción de longitud l lejos de cualquier extremo encierra un volumen Al. La energía magnética almacenada en esta porción del solenoide debe estar por completo dentro de este volumen porque el campo magnético en el exterior del solenoide es esencialmente cero. Además, la energía almacenada debe estar distribuida uniformemente en todo el volumen del solenoide porque el campo magnético es uniforme en cual-quier parte del interior. Entonces, podemos escribir la densidad de energía como

Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

tenemos

Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

Para expresar esto en términos del campo magnético, podemos resolver la ecuación 7
(B = moin) para i y susti-tuirla en esta ecuación. También podemos sustituir a L usando la relación L = mon2lA (Ec. 9). Al hacerlo tenemos finalmente

Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

Esta ecuación da la densidad de energía almacenada en cualquier punto (en el vacío o en una sustancia no magnética) en donde el campo magnético es B. La ecuación se cumple para todas las configuraciones del campo magnético, aun cuando la dedujimos considerando un caso especial, el solenoide. La ecuación 32 debe compararse con la ecuación 28 del capítulo 31,

Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

la cual da la densidad de energía (en un vacío) en cualquier punto dentro de un campo eléctrico. Nótese que tanto uB como ut. son proporcionales al cuadrado de la cantidad de campo apropiada, B o E.
El solenoide desempeña, en los campos magnéticos, un papel semejante al del capacitor de placas paralelas en los campos eléctricos. En cada caso tenemos un dispositivo sencillo que puede usarse para generar un campo uniforme en una región del espacio bien definida y para deducir, de manera sencilla, las propiedades de estos campos.

Ahora volvemos al estudio de las propiedades de los circuitos que contienen tanto un capacitor C como un inductor L. Tal circuito forma un oscilador electromagnético, en donde la corriente varía senoidalmente con el tiempo, en forma parecida a como varía con el tiempo el desplazamiento de un oscilador mecánico. De hecho, como veremos, existen varias analogías entre los osciladores mecánicos y los electromagnéticos. Estas analogías nos ayudan a entender a los osciladores electromagnéticos basados en nuestro estudio previo de los osciladores mecánicos (capítulo 15).

Por el momento, suponemos que el circuito no incluye una resistencia. El circuito con resistencia, al cual consideramos en la sección 38-7, es análogo al oscilador amortiguado el cual lo consideramos en la sección 15-8. Suponemos también que no está presente en el circuito ninguna fuente de fem; los circuitos oscilatorios con una fem presente, los cuales consideraremos también en la sección 38-7, son análogos a los osciladores mecánicos forzados como ya vimos en la sección 15-9.
No estando presente ninguna fem, la energía en el circuito proviene de la energía almacenada inicialmente en uno o ambos de los componentes. Supongamos que el capacitor C se carga (a partir de alguna fuente externa la cual no nos interesa) de modo que contenga una carga qm, en cuyo momento se retira de la fuente externa y se conecta al inductor L. En la figura 9a se muestra el circuito LC. Al principio, la energía UF almacenada en el capacitor es mientras que la energía UB = zLi 2 almacenada en el inductor es inicialmente cero, porque la corriente es cero.
El capacitor comienza ahora a descargarse a través del inductor, moviéndose los portadores de carga positiva en sentido contrario a las manecillas del reloj, como se muestra en la figura 9b. Por el inductor fluye ahora una corriente i = dq/dt, aumentando su energía almacenada desde cero. A1 mismo tiempo, al descargarse el capacitor se reduce su energía almacenada. Si el circuito carece de resistencia, no se disipa ninguna energía, y la disminución de la energía almacenada en el capacitor se compensa exactamente con un aumento en la energía almacenada en el inductor, de modo que la energía total permanece constante. En efecto, el campo eléctrico disminuye y el campo magnético aumenta, transfiriéndose la energía del uno al otro.

Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

En el tiempo correspondiente a la figura 9c, el capacitor se ha descargado totalmente y la energía almacenada en el capacitor es cero. La corriente en el inductor ha alcanzado su valor máximo y toda la energía del circuito está almacenada en el campo magnético del inductor. Nótese que, aun cuando q = 0 en este instante, dq/dt difiere de cero porque está fluyendo carga.

La corriente en el inductor continúa transportando carga de la placa superior del capacitor hacia la placa inferior, como se muestra en la figura 9d; la energía fluye ahora desde el inductor de vuelta al capacitor a la vez que su campo eléctrico se acumula nuevamente. Finalmente (véase la Fig. 9e), toda la energía se transfiere de regreso al capacitor, el cual está ahora plenamente cargado pero en el sentido opuesto al de la figura 9a. La situación continúa ahora mientras el capacitor se descarga hasta que la energía haya regresado completamente al inductor, teniendo el campo magnético y la energía correspondiente sus valores máximos (Fig. 9g). Por último, la corriente en el inductor carga al capacitor una vez más hasta que el capacitor esté totalmente cargado y el circuito regresa a su condición inicial (Fig. 9a). El proceso comienza de nuevo, y el ciclo se repite indefinidamente. En ausencia de resistencia, la cual causaría que se disipara energía, la carga y la corriente regresan a sus mismos valores máximos en cada ciclo.
La oscilación del circuito LC ocurre con una frecuencia definida v (medida en Hz) correspondiente a una frecuen-cia angular cv (= 2nv y medida en red/s). Como analizaremos en la sección siguiente, co está determinada por L y C. Mediante elecciones apropiadas de L y C podemos construir circuitos oscilatorios con frecuencias que van desde abajo de las frecuencias de audio (10 Hz) hasta arriba de las frecuencias de las microondas (10 GHz). Para determinar la carga en función del tiempo, podemos medir la diferencia de potencial variable V, (t) que

Para ver el gráfico seleccione la opción "Descargar" del menú superior

existe entre los extremos del capacitor C, la cual se relaciona con la carga q según

Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

Podemos determinar la corriente insertando en el circuito un resistor R tan pequeño que su efecto sobre el circuito sea despreciable. La diferencia de potencial VR(t) en R es proporcional a la corriente, de acuerdo con VR=iR. Si quisiéramos exhibir Vc (t) y VR (t), como por ejemplo en la pantalla de un osciloscopio, el resultado podría parecerse al mostrado en la figura 10.

Para ver el gráfico seleccione la opción "Descargar" del menú superior

oscilatorio LC, se presentan dos clases de energía. Una es la energía potencial del resorte comprimido o estirado; la otra es la energía cinética del bloque al moverse. Estas se obtienen de las fórmulas familiares en la primera columna de la tabla 1. La tabla indica que un capacitor es en cierto modo como un resorte, un inductor es como un objeto masivo (el bloque), y ciertas cantidades electromagnéticas "corresponden" a ciertas propiedades mecánicas, es decir,

Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

La comparación de la figura 9, que muestra las oscilaciones de un circuito LC que carece de resistencia, con la figura 6 del capítulo 8, la cual muestra las oscilaciones en un sistema bloque-resorte carente de fricción, indica cuán cercana es la correspondencia entre ambas. Nótese cómo v e i corresponden en las dos figuras; también x y q. Nótese también cómo en cada caso la energía alterna entre dos formas, la magnética y la eléctrica para el sistema LC, y cinética y potencial para el sistema bloque-resorte.
En la sección 15-3 vimos que la frecuencia angular natural de un oscilador armónico simple mecánico es

Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

La correspondencia entre los dos sistemas sugiere que para determinar la frecuencia de oscilación de un circuito LC (sin resistencia), k debería ser reemplazada por 1/C y m por L, lo cual da

Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

Esta fórmula también puede deducirse a partir de un riguroso análisis de la oscilación electromagnética, como se muestra en la siguiente sección

Ahora deducimos una expresión para la frecuencia de oscilación de un circuito LC (sin resistencia) usando el principio de conservación de la energía.

La energía total U presente en cualquier instante en un circuito oscilatorio LC es

Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

lo cual indica que, en cualquier tiempo arbitrario, la energía se almacena parcialmente en el campo magnético del inductor, y parcialmente en el campo eléctrico del capacitor. Si suponemos que la resistencia del circuito es cero, no se disipa energía, y U permanece constante con el tiempo, aunque i y q varían. En lenguaje más formal, dUJdt debe ser cero. Esto conduce a

Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

Dejamos que q represente a la carga en una placa en particular del capacitor (por ejemplo, la placa superior en la Fig. 9), e i representa entonces la velocidad a la que la carga fluye dentro de esa placa (de modo que i > 0 cuando fluye carga positiva en la placa). En este caso

Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

y al sustituir en la ecuación 38 obtenemos

Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

La ecuación 39 describe las oscilaciones de un circuito LC (sin resistencia). Para resolverlo, notemos la semejanza de la ecuación 4 del capítulo 15,

Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

la cual describe la oscilación mecánica de una partícula en un resorte. Fundamentalmente, cuando se comparan estas dos ecuaciones es cuando surgen las correspondencias de la ecuación 35.
La solución de la ecuación 40 obtenida en el capítulo 15 era

Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

donde x,, es la amplitud del movimiento- y ¢ es una constante de fase arbitraria. Puesto que q corresponde a x, podemos escribir la solución de la ecuación 39 como

Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

donde co es todavía la desconocida frecuencia angular de las oscilaciones electromagnéticas.
Podemos probar si la ecuación 41 es realmente una solución de la ecuación 39 al sustituirla junto con su segunda derivada en aquella ecuación. Para hallar la segunda derivada, escribimos

Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

y

Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

al sustituir a q y d Iq/dt Z en la ecuación 39 nos da

Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

Cancelando a q„, cos (cvt + ¢) y reordenando llegamos a

Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

Así, si a w se le da el valor de 1J L , la ecuación 41 es realmente una solución de la ecuación 39. Esta expresión de ce concuerda con la ecuación 36, a la cual llegamos por la correspondencia entre las oscilaciones mecánicas y electromagnéticas.
La constante de fase 0 en la ecuación 41 está determinada por las condiciones en t = 0. Si la condición inicial es como se representó en la figura 9a, entonces ponemos 0 = 0 con objeto de que la ecuación 41 pueda predecir que q = q,. en t = 0. ¿Qué condición física inicial está implicada por 0 = 90°? ¿180°? ¿270°? ¿Cuáles de los estados mostrados en la figura 9 corresponden a estas elecciones de 0?
La energía eléctrica almacenada en el circuito LC, usando la ecuación 41, es

Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

y la energía magnética, usando la ecuación 42, es

Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

A1 sustituir co por la ecuación 44 en esta última ecuación da

Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

La figura 11 muestra gráficas de U, (t) y UB (t) para el caso de 0 = 0. Nótese que (1) los valores máximos de UE y UB son los mismos (= qm/2C); (2) la suma de UE y UB es una constante (= qm/2C); (3) cuando UE tiene su valor máximo, U,g es cero y viceversa; y (4) UB y UE alcanzan cada una su valor máximo dos veces durante cada ciclo. Este análisis apoya el análisis cualitativo de la sección 38-5. Compárese esta explicación con la presentada en la sección 15-4 para las transferencias de energía en un oscilador armónico simple mecánico.

En cualquier circuito LC real siempre está presente una resistencia R. Cuando tomamos en cuenta esta resistencia, hallamos que la energía electromagnética total U no es constante sino que disminuye, con el tiempo conforme se disipa como energía interna en el resistor. Como veremos, la analogía con el oscilador bloque-resorte amortiguado de la sección 15-8 es exacta. Como antes, tenemos

Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

U ya no es constante sino más bien

Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

significando el signo menos que la energía almacenada U disminuye con el tiempo, convirtiéndose en energía interna en el resistor con una velocidad de PR. A1 derivar la ecuación 47 y al combinar el resultado con la ecuación 48, tenemos

Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

Sise sustituye a i por dq/dt y a dildt por d Iq/dt 2 y al dividir entre i, obtenemos

Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

q- la cual describe las oscilaciones LC amortiguadas. Si R = 0, la ecuación 49 se reduce, como debe ser, a la ecuación 39, la cual describe las oscilaciones LC no amortiguadas.
Afirmamos sin demostrarlo que la solución general de la ecuación 49 puede escribirse en la

Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

Donde

Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

Usando las analogías de la ecuación 35, vemos que la ecuación 50 es la equivalente exacta de la ecuación 38 del capítulo 15, la ecuación para el desplazamiento en función del tiempo en el movimiento armónico simple amortigua-do. A1 comparar la ecuación 51 con la ecuación 39 del capítulo 15, vemos que la resistencia R corresponde a la constante de amortiguamiento b del oscilador mecánico amortiguado.
La figura 12 muestra la corriente en un circuito LC amortiguado en función del tiempo. (Compárese con la Fig. 19 del capítulo 15) La corriente oscila senoidalmente con una frecuencia co', y la amplitud de la corriente disminuye exponencialmente con el tiempo. La frecuencia co' es estrictamente menor que la frecuen-cia co (= 1/ C) de las oscilaciones no amortiguadas, pero en la mayoría de los casos de interés podemos poner co' = co con error despreciable.

Para ver el gráfico seleccione la opción "Descargar" del menú superior

Consideremos un circuito LC amortiguado que contiene una resistencia R. Si el amortiguamiento es pequeño, el circuito oscila con una frecuencia co = 1/ L , a la cual llamamos la frecuencia natural del sistema.
Supongamos ahora que excitamos el circuito con una fem variable en el tiempo dada por

Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

Usando un generador externo. Aquí w", que puede variarse a voluntad, es la frecuencia de esta fuente externa. Definimos tales oscilaciones como forzadas. Cuando la fem descrita por la ecuación 52 se aplica por vez primera, aparecen en el circuito corrientes transitorias variables en el tiempo. Nuestro interés, sin embargo, está en las corrientes senoidales que existen en el circuito después de que estas transitorias iniciales han desaparecido. Cualquiera que pueda ser la frecuencia natural t), estas oscilaciones de la carga, la corriente, o la diferencia de potencial en el circuito deben ocurrir a la frecuencia de excitación externa c)".

Para ver el gráfico seleccione la opción "Descargar" del menú superior

La figura 13 compara al sistema oscilatorio electromagnético con un sistema mecánico correspondiente. Un vibrador V, que imprime una fuerza externa alterna, corresponde al generador V, el cual imprime una fem externa alterna. Las demás cantidades "corresponden" como antes (véase la tabla 1): el desplazamiento a la carga y la velocidad a la corriente. La inductancia L, que se opone a los cambios en la corriente, corresponde a la masa (inercia) m, la cual se opone a los cambios en la velocidad. La constante k del resorte y el recíproco de la capacitancia C-' representan la "rigidez" de sus sistemas, dando, respectivamente, la respuesta (desplazamiento) del resorte a la fuerza y la respuesta (carga) del capacitor a la fem.
En el capítulo 39 dedujimos la solución para la corriente en el circuito de la figura 13a, la cual podemos escribir en la forma

Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

En la ecuación 53, 1a amplitud de la corriente im es una medida de la respuesta del circuito de la figura 13a a la fem de excitación. Es razonable suponer (por ejemplo, de la experiencia de impulsar un columpio) que im es grande cuando la frecuencia de excitación co" está cerca de la frecuencia natural m del sistema. En otras palabras, esperamos que una gráfica de i„, contra cv" exhiba un máximo cuando

Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

a lo cual llamamos la condición de resonancia.

Para ver el gráfico seleccione la opción "Descargar" del menú superior

En la ecuación 53, 1a amplitud de la corriente im es una medida de la respuesta del circuito de la figura 13a a la fem de excitación. Es razonable suponer (por ejemplo, de la experiencia de impulsar un columpio) que im es grande cuando la frecuencia de excitación co" está cerca de la frecuencia natural m del sistema. En otras palabras, esperamos que una gráfica de i„, contra cv" exhiba un máximo cuando

Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

a lo cual llamamos la condición de resonancia.
La figura 14 muestra tres gráficas de i. en función de la razón c)"/(», correspondiendo cada gráfica a un valor diferente de la resistencia R. Vemos que cada uno de estos picos tiene realmente un valor máximo cuando la condición de resonancia de la ecuación 54 se satisface. Nótese que, al disminuir R, el pico de la resonancia se vuelve más agudo, como lo muestran las tres flechas dibujadas en el nivel a la mitad del máximo de cada curva.
La figura 14 indica la experiencia común de sintonizar un aparato de radio. Al girar el botón de sintonía, estamos ajustando la frecuencia natural co de un circuito LC interno para que coincida con la frecuencia de excitación w" de la señal transmitida por la antena de la estación transmisora; estamos buscando la resonancia. En un área metropolitana, donde existen muchas señales cuyas frecuencias están a menudo muy cercanas entre sí, la finura de la sintonización resulta importante.
La figura 14 es semejante a la figura 20 del capítulo 15, que muestra los picos de resonancia de las oscilaciones forzadas de un oscilador mecánico como el de la figura 13b. También en este caso, la respuesta máxima ocurre cuando co " = co, y los picos de resonancia se vuelven más agudos al reducirse el factor de amortiguamiento (el coeficiente b). Nótese que las curvas de la figura 14 y de la figura 20 del capítulo 15 no son exactamente iguales. La primera es una gráfica de la amplitud de la corriente, mientras que la última es una gráfica de la amplitud del desplazamiento. La variable mecánica que corresponde a la corriente no es el desplazamiento sino la velocidad. Sin embargo, ambos conjuntos de curvas ilustran el fenómeno de resonancia.

• Los circuitos de corriente alterna

Los circuitos de corrientes alternas (término comúnmente abreviado corno CA) se basan en los sistemas de distribución de energía eléctrica, en la radio, en la televisión, y en otros dispositivos de comunicación, así como en una amplia variedad de motores eléctricos. El calificativo de "alterna" significa que la corriente cambia de dirección, alternando periódicamente de una dirección a la otra. Por lo general, trabajamos con corrientes que varían de forma senoidal con el tiempo; sin embargo, como hemos visto previamente en el caso del movimiento ondulatorio, las formas de onda complejas pueden considerarse como combinaciones de ondas senoidales (por medio del análisis de Fourier) y, por analogía, podemos entender el comportamiento de los circuitos que tienen corrientes que dependen de modo arbitrario del tiempo entendiendo primero el comportamiento de los circuitos que tienen corrientes que varían senoidalmente con el tiempo.

Previamente hemos analizado la corriente producida cuando se aplica una fem que varia con el tiempo en formas distintas a circuitos que contienen elementos individuales o combinados de resistencia R, inductancia L y capacitancia C. En el capítulo 7 hemos estudiado las corrientes estacionarias resultantes de la aplicación de fem estacionaria a redes puramente resistivas. También vimos la respuesta de un circuito RC, de una sola malla cuando se aplica súbitamente una fem y, por otra parte, en el capítulo 12 se consideró de manera similar el circuito LR. En el capítulo 12 también se analiza el comportamiento de un circuito LC sin una fuente de fem y el comportamiento de un circuito RLC frente a una fem senoidal muy próxima a la resonancia.

Ahora consideraremos el comportamiento de la corriente alterna en un circuito RLC de una sola malla cuando éste se excita por una fuente de fem que varía con el tiempo según

Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

donde em es la amplitud de la fem variable. La frecuencia angular w (en rad/s) se relaciona con la frecuencia v (en Hz) de acuerdo con w = 2pv. En la figura 1 se indica una manera posible de producir una fem alterna senoidal. Al girar la bobina en un campo magnético uniforme, se induce una fem senoidal de acuerdo con la ley de Faraday. Éste es un ejemplo sencillo de generador de CA, del cual podría encontrarse una versión más compleja en una planta de suministro de energía. En un circuito, el símbolo de una fuente de fem alterna, como la de la figura 1, es Nuestro objetivo en este capítulo es entender el resultado de aplicar una fem alterna de la forma de la ecuación 1, a un circuito que contiene elementos resistivos, inductivos y capacitivos. Existen muchas maneras de conectar estos elementos en un circuito; como ejemplo del análisis de los circuitos de CA, en este capítulo consideraremos el circuito en serie RLC que se muestra en la figura 2, donde están conectados en serie un resistor R, un inductor L y un capacitor C a una fem alterna de la forma de la ecuación, 1.

Para ver el gráfico seleccione la opción "Descargar" del menú superior

Durante un breve espacio, una vez que se aplica la fem inicialmente, la corriente varía en forma errática con el tiempo. Estas variaciones, llamadas transitorios, desaparecen rápidamente, después de lo cual vemos que la corriente varía senoidalmente con la misma frecuencia angular que la fuente de fem. Suponemos que analizamos el circuito después de que se ha llegado a esta condición, en la que la corriente puede escribirse como

Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

donde im es la amplitud de la corriente (la magnitud máxima de la corriente) y f es una constante de fase o ángulo de fase que indica la relación de fases entre e e i. (Nótese que en la Ec. 1 hemos supuesto una constante de fase de 0 para la fem. Adviértase también que en la Ec. 2 escribimos la constante de fase con un signo menos; esta elección es la acostumbrada al considerar la relación de fases entre la corriente y la fem.) En la ecuación 2, la frecuencia angular w es igual que en la ecuación 1. Supongamos que em, w, R, L y C son conocidas. El objetivo de nuestro cálculo es encontrar im y f, de modo que la ecuación 2 caracterice completamente a la corriente. Usamos un método general para el circuito RLC en serie; puede emplearse un procedimiento similar para analizar circuitos más complicados (que contengan elementos en varias combinaciones en serie y en paralelo). También puede aplicarse a una fem no senoidal, porque pueden escribirse fem más complicadas en términos de las fem senoidales al aplicar las técnicas del análisis de Fourier y puede considerarse, en forma semejante, que la corriente resultante es la superposición de muchos términos de la forma de la ecuación 2. Por lo tanto, es esencial la comprensión del circuito RLC en serie

Para ver el gráfico seleccione la opción "Descargar" del menú superior

para entender el comportamiento que depende del tiempo en todos los circuitos. En este capítulo no nos ocuparemos específicamente del fenómeno de la resonancia, el cual vimos en el capítulo 12. La frecuencia angular w es completamente arbitraria y no está necesariamente relacionada con la frecuencia de oscilación angular natural del circuito. Nuestra deducción general de la ecuación 2 en las dos secciones siguientes abarca la resonancia como un caso especial, pero el resultado general permanece válido para cualquier w.

Antes de analizar el circuito de la figura 2 es útil analizar la respuesta de cada uno de los tres elementos por separado cuando se aplica una corriente alterna de la forma de la ecuación 2. Suponemos que tratamos con elementos ideales; por ejemplo, el inductor tiene sólo inductancia y no tiene resistencia ni capacitancia.

La figura 3a muestra un resistor en una sección de un circuito en el que la corriente i (dada por la Ec. 2) se estableció por medios no ilustrados en la figura. Al definir VR (= Va - Vb) como la diferencia de potencial en el resistor, podemos escribir

Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

La comparación entre las ecuaciones 2 y 3 demuestra que las cantidades VR e i variables con el tiempo están en fase: alcanzan sus valores máximos al mismo tiempo. Esta relación de fases se ilustra en la figura 3b. La figura 3c muestra otra manera de ver la situación. Se le llama diagrama fasor, donde los fasores, representados por las flechas vacías, giran en el sentido contrario a las manecillas del reloj con una frecuencia angular w alrededor del origen. Los fasores tienen las propiedades siguientes. (1) La longitud del fasor es proporcional al valor máximo de la cantidad alternante que interviene: para la diferencia de potencial, (VR)max = imR de la ecuación 3, y para la corriente, im de la ecuación 2. (2) La proyección de un fasor sobre el eje vertical da el valor instantáneo de la cantidad alternante considerada. Las flechas sobre el eje vertical representan a las cantidades VR e ¡variables con el tiempo, como en las ecuaciones 2 y 3, respectivamente. El hecho de que VR e i estén en fase es consecuencia de que sus fasores estén a lo largo de la misma línea en la figura 3c.

Para ver el gráfico seleccione la opción "Descargar" del menú superior

En el diagrama de fasores establecíamos la relación entre el movimiento circular uniforme y el movimiento armónico simple. Se recordará que la proyección sobre cualquier eje de la posición de una partícula que se mueva con un movimiento circular uniforme da un desplazamiento que varía senoidalmente, en analogía con el movimiento armónico simple. Aquí, al girar los fasores, sus proyecciones sobre el eje vertical dan una corriente o un voltaje que varían senoidalmente. Siga usted la rotación de los fasores en la figura 3c y convénzase por sí mismo de que este diagrama de fasores describe a las ecuaciones 2 y 3 completa y correctamente.

La figura 4a muestra la parte de un circuito que contiene sólo un elemento inductivo. La diferencia de potencial VL (= Va - Vb) en el inductor se relaciona con la corriente según la ecuación 3 del capítulo 12:

Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

usando la ecuación 2 para la corriente. La identidad trigonométrica cos q = sen (q + p/2) nos permite escribir la ecuación 4 como

Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

La comparación entre las ecuaciones 2 y 5 demuestra que las cantidades VL e i variables con el tiempo no están en fase; Están un cuarto de ciclo fuera de fase, con VL adelante de i (o i atrás de VL ). Se dice comúnmente que, en un inductor, la corriente se atrasa con respecto a la diferencia de potencial en 90°. Esto se muestra en la figura 4b, la cual es una gráfica de las ecuaciones 2 y 5. Obsérvese que, en el transcurso del tiempo, i alcanza su máximo un cuarto de ciclo después de que VL lo hace. En el diagrama de fasores de la figura 4c se indica esta relación de fase entre i y VL. Al girar los fasores en el sentido contrario a las manecillas del reloj, es evidente que el fasor i sigue (es decir, se atrasa) al fasor VL un cuarto de ciclo después. Al analizar circuitos de CA, es conveniente definir la reactancia inductiva XL:

Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

en cuyos términos podemos reescribir la ecuación 5 como

Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

Al comparar las ecuaciones 3 y 7 vemos que la unidad del SI para XL debe ser la misma que la de R, es decir, el ohm. Esto puede verse directamente al comparar la ecuación 6 con la expresión para la constante inductiva de tiempo, TL = L/R. Si bien ambas se miden en ohms, una reactancia no es lo mismo que una resistencia. El valor máximo de VL es, de la ecuación 7,

Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

La figura 5a muestra la sección de un circuito que contiene sólo un elemento capacitivo. Una vez más, se ha establecido una corriente i dada por la ecuación 2 por medios no ilustrados aquí. Sea q la carga en la placa que está a la izquierda, de modo que una corriente positiva en esa placa provoca un aumento en q; esto es, i = dq/dt implica que dq > 0 cuando i > 0. La diferencia de potencial VC (= Va - Vb) en los extremos del capacitor está dada por

Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

Al integrar la corriente i dada por la ecuación 2, obtenemos

Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

donde hemos usado la identidad trigonométrica cos q = - sen (q - p/2). Al comparar las ecuaciones 2 y 10, vemos que i y Vc están a 90° fuera de fase, con i adelante de Vc. La figura 5b muestra a i y Vc graficadas en función del tiempo; nótese que i alcanza su máximo un cuarto de ciclo ante: que Vc, o sea 90°. De igual manera podemos decir que, en un capacitor, la corriente se adelanta a la diferencia de potencial en 90°. En el diagrama de fasores de la figura 5c se muestra la relación de fase. Al girar los fasores en el sentido contrario a las manecillas del reloj, es evidente que el fasor i se adelanta al fasor Vc en un cuarto de ciclo. En analogía con la reactancia inductiva, es conveniente definir a la reactancia capacitiva Xc,

Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

en cuyos términos podemos rescribir la ecuación 10 como

Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

Al comparar las ecuaciones 3 y 12, vemos que la unidad de Xc debe ser el ohm. Esta conclusión se deduce también cuando se compara a la ecuación 11 con la expresión tc = RC para la constante capacitiva de tiempo. El valor máximo de Vc es, de la ecuación 12

Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

La tabla 1 resume los resultados encontrados de los tres elementos individuales del circuito.

Para ver el gráfico seleccione la opción "Descargar" del menú superior

Una vez concluido nuestro análisis de los elementos R, L y C por separado, volvamos ahora al análisis del circuito de la figura 2, en el cual están presentes los tres elementos. La fem está dada por la ecuación 1

Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

y la corriente en el circuito tiene la forma de la ecuación 2,

Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

Nuestro objetivo es determinar im y f.

Comenzamos aplicando el teorema del circuito cerrado al circuito de la figura 2, obteniendo o sea

Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

La ecuación 14 puede resolverse para la amplitud de la corriente im y la fase f usando una variedad de técnicas: análisis trigonométrico, análisis gráfico usando fasores y análisis diferencial.

Ya hemos obtenido las relaciones entre la diferencia de potencial entre cada elemento y la corriente por cada elemento. Por tanto, sustituyamos las ecuaciones 3, 7 y 12 en la ecuación 14, de lo cual obtenemos

Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

donde hemos sustituido la ecuación 1 para la fem. Si utilizamos identidades trigonométricas, la ecuación 15 puede escribirse

Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

Llevando a cabo algunos pasos trigonométricos más, la ecuación 16 puede reducirse a

toda vez que hemos elegido

Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

La amplitud de la corriente se determina directamente de la ecuación 17:

Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

Esto completa el análisis del circuito RLC en serie, porque hemos alcanzado nuestro objetivo de expresar la amplitud de la corriente im y la fase f en términos de los parámetros del circuito (em, w, R, L y C). Nótese que la fase f no depende de la amplitud em donde la fem aplicada; al cambiar em cambia im pero no f: la escala del resultado cambia, pero no su naturaleza. La cantidad en el denominador de la ecuación 19 se llama la impedancia Z del circuito RLC en serie:

Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

y por lo tanto, la ecuación 19 puede escribirse

Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

lo que nos recuerda la relación i = e/R para redes resistivas de una sola malla con fem estacionaria. La unidad en el SI de la impedancia es, evidentemente, el ohm. La ecuación 19 da la amplitud de la corriente, y la figura 14 del capítulo 12 es una gráfica de la ecuación 19. La corriente im tiene su valor máximo cuando la impedancia Z tiene su valor mínimo R, lo cual ocurre cuando XL = Xc o sea

Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

que es la condición de la resonancia dada en la ecuación 54 del capítulo 12. Si bien la ecuación 19 es un resultado general válido para cualquier frecuencia de excitación, ésta incluye la condición de resonancia como un caso especial.

Es instructivo usar un diagrama de fasores para analizar el circuito RLC en serie. La figura 6a muestra un fasor que representa a la corriente. Tiene la longitud im y su proyección sobre el eje vertical es im sen (wt -f), que es la corriente i variable con el tiempo. En la figura 6b hemos dibujado fasores que representan a las diferencias de potencial individuales entre los extremos de R, L y C. Nótense sus valores máximos y las proyecciones variables con el tiempo sobre el eje vertical. Debemos asegurarnos de que las fases estén de acuerdo con nuestras conclusiones del capítulo 13: VR está en fase con la corriente, VL se adelanta a la corriente en 90°, y Vc se atrasa de la corriente en 90°. De acuerdo con la ecuación 14, la suma algebraica de las proyecciones (instantáneas) de VR, VL y VC sobre el eje vertical da el valor (instantáneo) de e. En cambio, insistimos en que la suma vectorial de las amplitudes de los fasores (VR)max, (VL)máx, y (VC)máx da un fasor cuya amplitud es la em de la ecuación 1. La proyección de em sobre el eje vertical es la e variable con el tiempo de la ecuación 1; esto es, es VR + VL + VC como lo asevera la ecuación 14. En las operaciones con vectores, la suma (algebraica) de las proyecciones de cualquier número de vectores en una línea recta dada es igual a la proyección sobre esa línea de la suma (vectorial) de esos vectores. En la figura 6c, hemos obtenido primero la suma vectorial de (VL)max, y (VC)max, que es el fasor (VR)max, - (VC)max. En se-guida obtenemos la suma vectorial de este fasor con (VR)máx. Puesto que estos dos fasores están en ángulo recto, la amplitud de su suma, la cual es la amplitud del fasor em, es

Para ver el gráfico seleccione la opción "Descargar" del menú superior

usando las ecuaciones 3, 8, y 12 para reem