Elementos de geoestadística

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En el campo de las geociencias es común
encontrar variables
distribuidas espacialmente. Para el estudio de estas
variables son usados diversos procedimientos geoestadísticos de
estimación y/o simulación. Esto es, a partir de un
conjunto de muestras tomadas en localizaciones del dominio en
que se manifiesta un fenómeno a estudiar y
consideradas representativas de su realidad, que por lo
general es siempre desconocida, estos procedimientos permiten
la descripción o caracterización de
las variables con dos fines diferentes, primero, proporcionar
valores
estimados en localizaciones de interés y segundo, generar valores que
en conjunto presenten iguales características de dispersión
que los datos
originales. La geología y la minería es el campo típico para
la aplicación de estos modelos,
campo en el que surge y se desarrolla la
Geoestadística como ciencia
aplicada. Se hace referencia en esta monografía a los conceptos
fundamentales de la Geoestadística. Para profundizar
en el tema puede ser consultada la bibliografía
citada.
Introducción
La búsqueda, exploración y evaluación de yacimientos minerales
útiles es una de las actividades fundamentales que
toda empresa
minera debe desarrollar durante su vida útil,
destacándose entre otras tareas: el pronóstico
científico en la localización de los
yacimientos minerales útiles, la elaboración de
métodos eficaces para la
exploración y la evaluación geólogo
económico de los yacimientos para su
explotación (Lepin y Ariosa, 1986; Armstrong y
Carignan, 1997; Chica, 1987). Todo esto condicionado al
agotamiento de los recursos
producto
de la explotación y a las fluctuaciones de las
cotizaciones del mercado.
Los trabajos de búsqueda y exploración se
dividen en estadios que son resultado de la aplicación
de un principio importante del estudio del subsuelo, el
Principio de Aproximaciones Sucesivas. Cada uno de los
estadios culmina con la determinación lo más
aproximada posible de los recursos minerales del yacimiento,
actividad fundamental de las empresas
geólogo – mineras conocida como cálculo de
recursos y reservas.
El desarrollo
de la minería ha traído unido el
perfeccionamiento de los métodos de búsqueda de
los minerales útiles, y los de la determinación
de su cantidad y utilidad para
la extracción (Lepin y Ariosa, 1986), además,
el mundo minero se hace cada vez más competitivo y las
compañías necesitan evaluar su potencial
económico (Berckmans y Armstrong, 1997). Existen
actualmente dos formas de realizar el cálculo de reservas, los métodos
clásicos y los modernos. Como clásicos se
pueden destacar, el de "Bloques Geológicos" y el de
"Perfiles Paralelos" (Díaz, 2001), éstos se
caracterizan por el uso de valores medios o
media ponderadas de los contenidos de la exploración
en bloques definidos convenientemente. Estos métodos
son eficientes cuando la información disponible presenta
determinada regularidad, pero en la práctica, como se
señala en Journel y Huijbregts (1978) y David (1977)
la gran diversidad de formas en que se presentan los datos ha
llevado a la utilización de técnicas matemáticas y estadísticas para resolver un
único problema, estimar valores desconocidos a partir
de los conocidos, para la estimación y
caracterización de los recursos y reservas. En los
últimos años muchas investigaciones se han desarrollado con este
fin (Gotway y Cressie, 1993), existiendo mayor interés
en las estimaciones a nivel local que a nivel global
(Rivoirard y Guiblin, 1997). Claro está, no existe un
método por muy sofisticado que sea, que
permita obtener resultados exactos.
Nuestro objetivo
será discutir, los métodos más
eficientes que proporcionen la mayor información
posible de los datos disponibles, es decir, los modernos, de
los que se pueden citar entre los geomatemáticos: El
Inverso de la Distancia, Triangulación, Splines, etc.
Aún más, buscando el mejor estimador que
minimice la varianza del error de estimación surge la
Geoestadística por los trabajos de G. Matheron en la
Escuela
Superior de Minas de París, basado en conceptos
iniciales de trabajos de H.S. Sichel en 1947 y 1949, en la
aplicación de la distribución lognormal en minas de oro,
seguido por la famosa contribución de D.G. Krige en la
aplicación del análisis de regresión entre
muestras y bloques de mena. Estos trabajos fijaron la base de
la Geoestadística Lineal, además, de la
introducción de la teoría de funciones
aleatorias por B. Matern en el estudio de la variación
espacial de campos forestales. La Geoestadística se
consolidó y desarrollo en los últimos 30
años como ciencia aplicada casi exclusivamente en el
campo minero, la cual ha sido ampliamente usada (Arik, 1992;
Rivoirard y Guiblin, 1997), existiendo como ciencia aplicada
que da respuesta a necesidades prácticas y concretas.
Se reconoce como una rama de la estadística tradicional, que parte de
la observación de que la variabilidad o
continuidad espacial de las variables distribuidas en el
espacio tienen una estructura
particular (Journel y Huijbregts, 1978; Curran y Atkinson,
1998), desarrollándose herramientas matemáticas para el
estudio de estas variables dependientes entre si, llamadas
según Matheron variables regionalizadas, quien
elaboró su teoría como se presenta en Matheron
(1970), Journel y Huijbregts (1978), David (1977) y de
Fouquet (1996). En resumen, la aplicación de la
teoría de los procesos
estocásticos a los problemas
de evaluación de reservas de distintos tipos de
materias primas minerales y en general a las ciencias
naturales en el análisis de datos distribuidos
espacial y temporalmente (Christakos y Raghu, 1996) dio
origen a lo que hoy se conoce como
Geoestadística.
Problema
que dio origen a la Geoestadística
La Geoestadística se define como la
aplicación de la Teoría de Funciones Aleatorias
al reconocimiento y estimación de fenómenos
naturales (Journel y Huijbregts, 1978), o simplemente, el
estudio de las variables numéricas distribuidas en el
espacio (Chauvet, 1994), siendo una herramienta útil
en el estudio de estas variables (Zhang, 1992). Su punto de
partida es asumir una intuición topo-probabilista
(Matheron, 1970). Los fenómenos distribuidos en el
espacio, la mineralización en un yacimiento mineral
por ejemplo, presenta un carácter mixto, un comportamiento caótico o aleatorio a
escala
local, pero a la vez estructural a gran escala (figura
1).
Para ver el
gráfico seleccione la opción "Descargar" del
menú superior
Se puede entonces sugerir la idea de interpretar
este fenómeno en términos de Función Aleatoria (FA), es decir, a
cada punto x del espacio se le asocia una Variable Aleatoria
(VA) Z(x), para dos puntos diferentes x e y, se
tendrán dos VAs Z(x) y Z(y) diferentes pero no
independientes, y es precisamente su grado de
correlación el encargado de reflejar la continuidad de
la mineralización, o de cualquier otro fenómeno
en estudio, de modo que el éxito de esta técnica es la
determinación de la función de
correlación espacial de los datos (Zhang, 1992). Su
estimador, El Krigeaje, tiene como objetivo encontrar
la mejor estimación posible a partir de la
información disponible, y en efecto, el valor
estimado obtenido Z*(x) de un valor real y desconocido Z(x),
consiste en una combinación lineal de pesos asociados
a cada localización donde fue muestreado un valor
Z(xi) (i = 1,…n) del fenómeno estudiado,
observando dos condiciones fundamentales: 1.- que el
estimador sea insesgado. E[Z* – Z] = 0, y 2.- que la varianza
Var[Z* – Z] sea mínima, consiguiéndose de este
modo minimizar la varianza de error de
estimación.
A diferencia de otros métodos de
interpolación, como por ejemplo el inverso de la
distancia, el krigeaje utiliza en la estimación las
características de variabilidad y correlación
espacial del fenómeno estudiado, por lo que su uso
implica un análisis previo de la información
con el objetivo de definir o extraer de esta
información inicial un modelo que
represente su continuidad espacial. Una vez logrado, estamos
en condiciones de obtener el mejor valor posible en cada
localización o bloque a estimar a partir de los datos
medidos, acompañada de la varianza de krigeaje como
medida del error de la estimación realizada (Armstrong
y Carignan, 1997), lo que distingue al krigeaje de otros
métodos de interpolación (Abasov et al., 1990;
de Fouquet, 1996; Carr, 1995).
Geoestadística,
concepto
Continuando con el caso minero, la
información inicial para realizar el cálculo de
reservas es el resultado del análisis de los testigos
de perforación, o muestras de afloramiento, obtenido
en los laboreos de exploración, que como una variable
aleatoria puede tomar cualquier valor dentro de un rango
determinado. Esta es la característica fundamental que
distingue a este tipo de variable, además de su valor,
una posición en el espacio, hecho éste al que
Matheron denominó Variable Aleatoria
Regionalizada (Matheron, 1970), la cual está
presente en la mayor parte de los estudios geológicos
(Pawlowsky et al., 1995) y fenómenos naturales (de
Fouquet, 1996). Al respecto en Journel y Huijbregts (1978) y
David (1977) se dedica el capítulo II y V
respectivamente a la teoría de la variable
regionalizada. Capítulos donde se presentan los
conceptos fundamentales de la Geoestadística, en la
que particularmente Journel y Huijbregts (1978) plantea que
la definición de variable regionalizada como una
variable distribuida en el espacio es puramente descriptiva y
envuelve una interpretación probabilística,
refiriéndose a que, desde el punto de vista
matemático una variable regionalizada es simplemente
una función f(x) que toma valores en todos los puntos
x de coordenadas (xi, yi,
zi) en el espacio tridimensional. Sin embargo, es
muy frecuente que estas funciones varíen tan
irregularmente en el espacio que impiden un estudio
matemático directo, y se hace necesario realizar un
análisis de variabilidad de la información
disponible, sugiriendo un estudio profundo de la
función variograma como veremos más
adelante.
En términos teóricos es oportuno
aclarar que una variable aleatoria (VA) es una variable que
puede tomar ciertos valores de acuerdo a cierta
distribución de probabilidades. Un valor medido en
cada punto xi es considerado como una
realización z(xi) de una VA
Z(xi) cuya media es m(xi). En los
puntos x donde no existen valores medidos es desconocida la
propiedad
que se estudia, pero están bien definidos y pueden
asimismo considerarse variables aleatorias Z(x). Al conjunto
de todas las mediciones z(x) en el área de estudio de
la variable regionalizada puede considerarse como una
realización particular del conjunto de VAs (Z(x),
x Î
área de estudio). A este conjunto de VAs se
llama Función Aleatoria y se escribe Z(x) (Journel y
Huijbregts, 1978; Armstrong y Carignan, 1997). De modo que al
extender el concepto de
función aleatoria al espacio de una o más
dimensiones, aparece la noción aleatoria y estructural
de una variable regionalizada: primero Z(x) como VA y segundo
que las VAs Z(x) y Z(x+h) no son en general independientes,
si no que están relacionadas por la estructura
espacial de la variable regionalizada original
Z(x).
1. Conceptos de variable aleatoria
  regionalizada
En el estudio de las variables aleatorias
regionalizadas es importante presentar conceptos que se
señalan en Journel y Huijbregts (1978) y David (1977)
y que son utilizados por la mayoría de los autores
donde se aplican los métodos geoestadísticos
como herramienta fundamental de trabajo.
Estos conceptos son:
Región: se refiere al espacio en el
cual existe y se estudia el fenómeno
natural.
Localización: Es el punto de una
región en la cual se define una variable aleatoria
regionalizada.
Soporte Geométrico: Está
determinado por el elemento físico sobre el cual se
realiza la determinación de la variable aleatoria
regionalizada, esto no es más que la muestra
unitaria, sobre la cual estudiaremos el atributo de
interés.
Momentos de primer orden:
Si la función de distribución de
Z(xi) tiene una media definida, será una
función de la localización
xi. m(xi) = E{ Z(xi)}
Momento de segundo orden:
Si la varianza (Var) de Z(xi) existe,
entonces se define como el momento de segundo orden y
será también una función de la
localización xi.
Var { Z(xi)} = E{ [Z(xi) –
m(xi)] 2}
Si la varianza de las variables Z(xi) y
Z(xj) existe entonces la covarianza (Cov) de las
éstas también existe y es función de las
localizaciones xi y xj.
Cov[Z(xi), Z(xj)] =
E{
[Z(xi) – m(xi)][Z(xj)
– m(xj)]}
si xi = xj
; Cov[Z(xi), Z(xj)] = Var
{
Z(xi)}
La función variograma o función
estructural se define como la varianza de la diferencia
Z(xi) – Z(xj).
Var{
Z(xi) – Z(xj)} = 2g (xi,
xj}
la magnitud g (xi,
xj} = ½ Var{ Z(xi) –
Z(xj)}
se denomina semivariograma.
También se puede definir el correlograma
estandarizando, la covarianza para los
valores xi – xj = h = 0
como: r (h)
= C(h)/C(0) -1 £ r
£
1
donde: C(h) es la covarianza a la distancia
h,
C(0) es la covarianza en el origen.
Existen relaciones entre estas medidas de
correlación:
g
(h} =
C(0) – C(h) con g
(0) = 0
r
(h) = 1 – g
(h)/C(0)
Variables
aleatorias regionalizadas
Como la forma en que se presenta la
información es muy diversa (Journel y Huijbregts,
1978), la geoestadística se construye asumiendo
condiciones de estacionaridad. Por lo que es necesario
aceptar el cumplimiento de ciertas hipótesis sobre el carácter de
la función aleatoria o procesos estocásticos
estudiados, llamadas Hipótesis de la
Geoestadística. Estas son según Journel y
Huijbregts (1978) y David (1977): La Estacionaridad Estricta,
La Estacionaridad de Segundo Orden, La Hipótesis
Intrínseca y los Procesos
Cuasiestacionarios.
I- Estacionaridad Estricta. Se dice que Z(x)
es estrictamente estacionaria si la función de
distribución de probabilidades de las variables
aleatorias regionalizadas Z(xi) son iguales entre
sí, independiente de la localización
xi, lo que requiere que los momentos de distinto
orden para cada variable aleatoria regionalizada sean
completamente independientes de la localización
xi. Esta condición como su nombre lo indica
es demasiado restrictiva al estudiar la mayoría de los
fenómenos encontrados en la
práctica.
II- Estacionaridad de Segundo Orden. Esta
condición es más frecuente en la
práctica, la misma exige que:
1) E{
Z(xi)} = m, existe y no depende de la
localización xi.
2) La función covarianza,
Cov{
Z(xi) – Z(xj)} , exista y sólo
dependa de la longitud del vector h = xi –
xj o sea.
C(h) = Cov{ Z(xi),
Z(xj)}
= E{
Z(xi), Z(xi+h)} – m2
Esta hipótesis requiere la estacionaridad
sólo para la media y para la función de
covarianza de la variable aleatoria regionalizada. La segunda
condición implica, estacionaridad de la varianza y del
variograma.
1o Var[Z(xi)] =
E{
[Z(xi) –
m]2} = C(0) " x
2o g (h) = E{
[Z(xi)]2} – E{ Z(xi),
Z(xi+h)} " x
como E[Z(xi), Z(xi+h)] = C(h)
+ m2
y E[Z2(xi)] = C(0) +
m2
g
(h) = C(0) + m2 – (C(h) +
m2)
g
(h) = C(0) – C(h).
Como se observa en la última
expresión g
(h) y C(h), son dos herramientas que permiten expresar
la correlación entre la variable aleatoria
regionalizada Z(xi) y Z(xi+h),
separadas por el vector h.
III- Hipótesis Intrínseca. Una
función aleatoria Z(x) se dice intrínseca
cuando:
a) Su esperanza matemática existe y no depende de la
localización xi.
E{
Z(x)}
= m "
x
b) Para todo vector h el incremento [Z(x+h) – Z(x)]
tiene varianza finita y no depende de la localización
xi:
Var{
Z(x+h) – Z(x)} = E{ [Z(x+h) –
Z(x)]2} = 2g (h) " x
Cuando se cumple esta condición se dice que
la función aleatoria Z(x) es homogénea. Esta
condición se encuentra con bastante frecuencia en la
naturaleza,
pues existen muchos procesos que no tiene varianza finita y
sin embargo, poseen una función variograma
finita.
La estacionaridad de segundo orden, siempre implica
la condición intrínseca (homogeneidad), sin
embargo la relación inversa no siempre se
cumple.
IV- Procesos Cuasiestacionarios. En la
práctica la función estructural, covarianza o
semivariograma, es sólo usada por límites | h| £
b. El límite b representa la extensión de
la región en la que el fenómeno estudiado
conserva cierta homogeneidad del comportamiento de
Z(xi). En otros casos, b pudiera ser la magnitud
de una zona homogénea y dos variables Z(x) y Z(x+h) no
pueden ser consideradas en la misma homogenización de
la mineralización si |h| > b. En tales casos,
podemos, y verdaderamente debemos, estar satisfecho con una
función estructural C(x,x+h) o g (x,x+h), lo que no es
más que estacionaridad local (para distancias h
menores que el límite b). Esta limitación de la
hipótesis de estacionaridad de segundo orden (o la
hipótesis intrínseca si sólo el
variograma es asumido) a sólo esas distancias
|h|£ b
corresponde a la hipótesis de cuasiestacionaridad.
Está hipótesis es verdaderamente un compromiso
de la escala de homogeneidad del fenómeno y la
cantidad de datos disponibles.
En la práctica según Armstrong y
Carignan (1997) y Chica (1987) son dos las hipótesis
que más se presentan: La Estacionaridad de Segundo
Orden y la Hipótesis Intrínseca. Estas
condiciones de estacionaridad se asumen en el desarrollo
teórico, en la práctica deben ser verificadas
en los datos antes de comenzar un estudio
geoestadístico, para lo que se puede realizar un
análisis estadístico de la información,
de modo que se refleje de así el grado de
confiabilidad en la aplicación de estos
métodos.
Hipótesis de
la Geoestadística
Antes de comenzar un estudio geoestadístico
se deben discutir todos los elementos que aporten
conocimientos del problema a resolver, la estructura
geológica en que se desarrolla la
mineralización o el fenómeno en estudio,
organización y verificación de
la información disponible y finalmente realizar el
análisis exploratorio de los datos.
Una vez obtenido los datos, es necesario que se
controlen integralmente a fin de verificar de una parte su
exactitud y de otra su representatividad. Es importante que
se esté familiarizado con los datos, discutir todos
los elementos necesarios a fin de conocer el problema a
resolver (Armstrong y Carignan, 1997). En la minería
los resultados son muy sensibles al nivel de
información usado (Carrasco-Castelli y Jara-Salame,
1998; Lantuéjoul, 1994), cualquier modificación
involuntaria en la etapa inicial se refleja
sistemáticamente durante todo el estudio (Armstrong y
Roth, 1997; Armstrong y Carignan, 1997).
1. Conceptos necesarios de
  estadística básica
Con el objetivo de conocer la información
disponible se puede hacer un análisis de la estadística descriptiva (Krajewski y
Gibbs, 1993; Journel y Huijbregts, 1978; David, 1977). A
continuación se presenta un resumen de los conceptos
necesarios de estadística básica.
A: Cálculos estadísticos o
estadística descriptiva. Permiten determinar si la
distribución de los datos es normal, lognormal, o si
no se ajustan a una distribución estadística,
lo cual implica tener conocimiento de:
1.- Numero de casos: Es el número de
valores muestreados del fenómeno en estudio,
representados por n y los datos por xi, i = 1, . .
. , n, que llamamos distribución.
2.- Rango de la distribución: Es la
diferencia entre el valor máximo y el
mínimo.
3.- Media: Es la media aritmética de
la distribución, dado por la
fórmula:
4.- Moda:
Es el valor más frecuente de la
distribución.
5.- Mediana: Es el valor para el cual la
mitad de los datos son menores y la otra mitad están
por encima de este valor.
Si ordenamos los datos en orden ascendente podemos
calcular la mediana como.
ì
X(n+1)/2 si n es impar.
M = í
î
(Xn/2 + Xn/2+1)/2 si n es
par.
La mediana es también llamada percentil 50,
además los datos no solo se dividen en dos grupos, sino
que se pueden dividir en cuatro partes, cuartiles, donde
Q1 = percentil 25, Q2 = Mediana y
Q3 = percentil 75, si los datos se dividen en 10,
tenemos los deciles. De forma general estas medidas se pueden
calcular por: [
p(n+1)/100]
ésima observación de los datos ordenados
ascendentemente, donde p es el percentil que se desea
calcular.
6.- Varianza: Describe la variabilidad de la
distribución. Es la medida de la desviación o
dispersión de la distribución y se calcula por:
La razón principal por la que se aboga por la
división entre n-1 en la estimación de la
varianza, es porque proporciona un mejor estimado; si
dividimos por n-1 nos referimos a la varianza muestral
S2 como un estimador insesgado de la varianza
poblacional s
2. Esto significa que si un experimento
fuera repetido muchas veces se podría esperar que el
promedio de los valores así obtenidos para
S2 igualaría a s 2. Por otra parte si
dividimos entre n los valores obtenidos para S2
serían como promedio demasiado
pequeño.
7.- Desviación estándar:
Describe la tendencia o dispersión de la
distribución. Es la medida de desviación
alrededor de la media. Se calcula por:
s =

8.- Coeficiente de asimetría: Describe
la simetría de la distribución relativa a la
distribución normal. Se calcula por:
En la distribución normal la asimetría
tiene valor cero, un valor negativo indica una cola a la
izquierda y un valor positivo indica una cola a la
derecha.
9.- Curtosis: Describe el grado de esbeltez
de la distribución, tomado por lo general en
relación a una distribución normal, y se puede
calcular por:
La distribución normal tiene curtosis igual a
tres, y es llamada mesocúrtica. A las distribuciones
más agudas, con colas relativamente anchas, se les
llama leptocúrticas, tienen valores de curtosis
mayores que tres, y las distribuciones más bien
achatadas en el centro se llaman platicúrticas, tienen
valores menores que tres, en ocasiones se acostumbra a
definir la curtosis como a 4 – 3.
10.- Error estándar: Describe el grado
de conocimiento de los datos y se puede calcular
por:
e =

La distribución normal tiene un valor de
error estándar menor que 1.25 y la distribución
lognormal o una distribución con tendencia positiva,
tiene valores de error estándar mayores que
1.25.
11.- Coeficiente de variación: Es una
medida de la variación relativa de los datos y puede
ser calculado por:
CV = S/Xm
y en porcentaje como: 100 CV = 100 (S/Xm)
%
Proporciona una comparación entre la
variación de grandes valores y la variación de
pequeños valores. Las técnicas de
Geoestadística Lineal que predomina en el campo de las
geociencias producen los mejores resultados cuando el
coeficiente de variación es menor que uno, CV
< 1. Para
CV > 1 se
recomiendan técnicas de Geoestadística no
Lineal.
12.- Prueba Chi-Cuadrado: Permite determinar
si la distribución es normal, lognormal o alguna otra
distribución probabilística, es su lugar puede
ser usada la prueba "Kolmogorov Smirnov" como se refleja por
muchos autores es más robusta.
13.- Prueba t-Student: Permite determinar si
en una distribución bimodal las medias de las
poblaciones son estadísticamente
diferentes.
B: Construcción de gráficos estadísticos: Estos
gráficos permiten ilustrar y entender las
distribuciones de los datos, identificar datos errados,
valores extremos, los mismos incluyen:
1.- Mapa base, sección cruzada y vista en
perspectiva: Son usados para visualizar la
relación espacial en 2 y 3 dimensiones, permiten
encontrar errores en la información.
2.- Histogramas: Son usados para ver las
características descriptivas de la
distribución. Es un gráfico de barras donde en
las abscisas aparecen los límites de las clases y en
las ordenadas las frecuencias correspondientes a cada
clase.
3.-Frecuencia acumulativa: Usado para
identificar el tipo de distribución muestral y ayuda a
determinar si están presentes poblaciones mixtas. Es
un gráfico de límite de clase contra frecuencia
acumulada.
En el caso de gráficos estadísticos es
útil usar los gráficos de frecuencia absoluta,
relativa, acumulativa y el diagrama
de dispersión, como se presenta en muchos sistemas.
Todos estos elementos permiten decidir sobre las
condiciones de estacionaridad vistas anteriormente. Muchos
autores sólo toman como elementos fundamentales de
estadística básica que: la media y la mediana
tome valores próximos; el coeficiente de
variación sea inferior a 1; la distribución de
los datos esté próxima a la curva normal y no
existan valores extremos que afecten el desarrollo del
análisis estructural.
Conocimiento
del problema
El
análisis estructural

El análisis estructural o estudio
variográfico según (Armstrong y Carignan, 1997)
está compuesto por:

El cálculo del semivariograma
experimental.
El ajuste a este de un modelo teórico
conocido.

El cálculo del semivariograma experimental es la
herramienta geoestadística más importante en la
determinación de las características de
variabilidad y correlación espacial del fenómeno
estudiado (Chica, 1987), es decir, tener conocimiento de como la
variable cambia de una localización a otra (Lamorey y
Jacobsom, 1995; Issaks & Co.,1999), representando el
útil más importante de que dispone el
geoestadístico para el análisis del fenómeno
mineralizado o de la variable de distribución espacial en
estudio (Sahin et al.,1998; Genton, 1998a). Este análisis
tiene como condicionantes: la distribución
estadística, la existencia de valores aberrantes o
anómalos, la presencia de zonas homogéneas o
posibles zonaciones en la distribución de las leyes.

Puede ser calculado inicialmente el semivariograma
medio, global u "omnidireccional" (ver El Semivariograma
Experimental), proporcionando una idea inicial de la variabilidad
espacial de los datos, siendo el más idóneo para
representar u obtener una estructura clara y definida.
Posteriormente deben ser calculados los semivariogramas en
diferentes direcciones, puede ser calculado en 4 direcciones
separadas 45º con tolerancia
angular de 22.5º, comenzando por 0º (figura 2a) hasta
encontrar la dirección de máxima o mínima
variabilidad (figura 2b), pueden ser calculados también,
más específicamente, en 8 direcciones separadas por
22.5º. Una forma rápida y práctica de
visualizar la existencia de anisotropía es mediante el
cálculo del "Mapa de Variogramas" (Frykman y Rogon, 1993;
Homand-Etienne et al.,1995; Isaaks & Co.,1999), el cual
además permitirá obtener la dirección
inicial aproximada para el cálculo de los semivariogramas
direccionales, permitiendo un análisis adecuado de
anisotropía. Posteriormente, dependiendo de la

continuidad espacial, es suficiente sólo calcular
dos semivariogramas separados 90º.

Ahora, el semivariograma experimental obtenido no es
utilizado en el proceso de
estimación, debe ser ajustado a éste uno a varios
modelos teóricos, obteniéndose un modelo o
función analítica que caracteriza la continuidad
espacial de la variable estudiada. Los modelos de variograma
teórico utilizado en el proceso de estimación o
simulación deben satisfacer ciertas condiciones, es decir
tienen que ser "definido positivo" o de "tipo positivo" (Deutsch,
1994; Myers, 1992; Cressie y Grondona, 1992) de lo contrario
puede existir el riesgo de
encontrar varianzas negativas que no tienen sentido (Armstrong y
Carignan, 1997). En general el ajuste a modelos teóricos
para la determinación de los parámetros del
semivariograma se realiza de forma visual. En ocasiones se
efectúan ajustes polinomiales por el método de los
mínimos cuadrados u otras variantes, que aunque se
encuentra el mejor ajuste, no siempre se verifica la
condición de que el variograma obtenido sea siempre de
tipo positivo, siendo insatisfactorio (Genton, 1998b), por lo que
se recomienda el uso de modelos autorizados. Finalmente debe
obtenerse uno o varios modelos de variogramas con los
correspondientes valores de meseta y alcance. El modelo de
variograma seleccionado debe representar fielmente los aspectos
que se suponen importantes del variograma experimental
(Wackernagel, 1995), que serán usados posteriormente en el
proceso de estimación o simulación.

El semivariograma
experimental

El variograma se define como la media aritmética
de todos los cuadrados de las diferencias entre pares de valores
experimentales separados una distancia h (Journel y Huijbregts,
1978), o lo que es lo mismo, la varianza de los incrementos de la
variable regionalizada en las localizaciones separadas una
distancia h.

Var{Z(x+h)-Z(x)} = 2g (h)

La función g (h) se denomina semivariograma, la cual
puede ser obtenido por la expresión.

donde: Np(h) es el número de pares a la
distancia h.

h es el incremento.

Z(xi) son los valores
experimentales.

xi localizaciones donde son medidos los
valores z(xi).

Esta expresión de g (h) representa el útil más
importante en todo estudio geoestadístico (Armstrong y
Carignan, 1997; Weerts, y Bierkens, 1993; Chica, 1987). Su
cálculo no consiste en una simple evaluación de su
expresión, según se plantea en (Krajewski y Gibbs,
1993; Journel y Huijbregts, 1978; David, 1977; Xie y Myers,
1995a; Pannatier, 1993) esta operación está
relacionada con los elementos siguientes:

La dirección en la que será calculado
el semivariograma, uno o dos ángulos que definen una
dirección en el espacio a y/o b con tolerancias angulares
da y/o
db . El
semivariograma calculado usando tolerancia angular de 90º
se denomina "semivariograma medio", "global" u
"omnidireccional" como ya se indicó.
El incremento o paso en el cálculo del
semivariograma h y su tolerancia lineal dh, se recomienda que
el valor de dh sea la mitad del incremento inicial.
Una distancia, que representa la distancia
máxima a que pueden estar alejados los segundos puntos
del par con respecto a la línea que define la
dirección de cálculo, conocido como ancho de
banda.
La distancia Lmax hasta la cual
será calculado del semivariograma. Se recomienda que
ésta sea la mitad de la distancia entre las muestras
más alejadas (Armstrong y Carignan, 1997; Krajewski y
Gibbs, 1993), aunque dependiendo de la geometría del fenómeno
regionalizado en algunos casos puede ser calculado hasta una
distancia superior.

Definido los elementos anteriores, se evalúa la
expresión del semivariograma para todos los pares de
localizaciones separadas a la distancia h que cumplan las
siguientes condiciones:

1.- La distancia entre las localizaciones xi y xi+h sea
mayor que h-dh y menor que h+dh, o lo que es lo mismo, el segundo
punto del par esté incluido en el espacio definido por
h-dh y h+dh encontrándose el primer punto del par en el
origen o (figura 3), este origen se mueve entre las muestras a
analizar.

Para ver el
gráfico seleccione la opción "Descargar" del
menú superior

2.- El ángulo formado entre la línea que
une los dos puntos del par y la dirección 0o
debe estar incluido entre a -da
y a
+da
(figura 4).

Para ver el
gráfico seleccione la opción "Descargar" del
menú superior

3.- La distancia entre el segundo punto del par y la
línea que define la dirección de cálculo del
semivariograma no debe superar el ancho de banda (Deutsch y
Journel, 1998) (figura 5).

Finalmente se representan gráficamente los
valores de g (h)
en función de h.

Para ver el
gráfico seleccione la opción "Descargar" del
menú superior

El gráfico de g (h) tiene las siguientes
características según (Armstrong y Carignan, 1997;
Krajewski y Gibbs, 1993; Curran y Atkinson, 1998) (figura
6).

Pasa por el origen (para h=0, g (h)=0)
Es en general una función creciente de
h.

En la mayor parte de los casos g (h) crece hasta cierto
límite llamado meseta, en otros casos puede crecer
indefinidamente. El comportamiento en el origen puede tener
diferentes formas, las cuales son según Journel y
Huijbregts (1978), Armstrong y Carignan (1997), Chica (1987)
(figura 7):

Parabólico: Caracteriza a una variable muy
regular, siendo continua y diferenciable.

Lineal: Caracteriza a una variable continua, pero
no diferenciable, es decir menos regular.

Discontinuidad en el origen: "Efecto de pepita",
es el caso en que g
(h) no tiende a cero cuando h tiene a cero. Representa a
una variable muy irregular.

Discontinuo puro: Llamado también ruido blanco,
representa el caso de mayor discontinuidad, siendo el caso limite
de ausencia de estructura, donde los valores de dos puntos
cualesquiera no tienen correlación alguna.

Construcción del semivariograma
experimental en 2D

A continuación se presentan ocho pasos para la
construcción del semivariograma experimental para datos
distribuidos en dos dimensiones, resultado del análisis
realizado en la bibliografía consultada.

Sea Z(x) una función aleatoria con N variables
aleatorias regionalizadas Z(xi) donde x =
{ x,
y} es la
localización y Z(xi) es el valor medido
correspondiente. Dados una dirección a través de un
ángulo a
en la cual se desea calcular el semivariograma,
da una
tolerancia angular, dh una tolerancia lineal y el ancho de
banda.

Se proponen los siguientes pasos:

1.- Calcular la cantidad de pares de datos posibles por:
Np = N(N-1)/2

2.- Para cada par, calcular la distancia entre las
localizaciones correspondientes por:

i =
1, . . . , Np

almacenando para cada i:

– P1: Número del primer punto del par,

– P2: Número del segundo punto del
par,

– d: Valor de la distancia entre los dos puntos del
par.

– Angulo a
´ que fija la dirección de la recta que pasa
por los dos puntos del par.

3.- Ordenar ascendentemente el grupo de datos
anteriores por la distancia.

4.- Calcular la amplitud máxima del
semivariograma Lmax como Lmax =
Dmax/2, donde Dmax es la distancia a que
están separadas las localizaciones más lejanas.
Esto es la máxima distancia calculada en el paso (2), o lo
que es lo mismo, el último valor después del
ordenamiento del paso anterior.

5.- Fijar una distancia h inicial conocida como paso o
incremento del semivariograma, se recomienda la distancia
promedio entre las muestras contiguas. Para los múltiplos
de esta distancia será calculada g (h), por la expresión del
semivariograma. Esto indica la cantidad de puntos a procesar en
el semivariograma, el cual se puede obtener como Lmax
/ h

6.- Calcular la expresión del semivariograma para
todos los pares almacenados en el paso (2) que cumplan las
condiciones siguientes:

La distancia d sea mayor que h-dh y menor que h+dh,
es decir, h-dh £ d £ h+dh. Si esta condición se
cumple examinar la condición b, de lo contrario
continuar con la distancia siguiente.
El ángulo a ´ formado entre las líneas que
parten del primer punto del par en la dirección
0o y la que pasa por los dos puntos del par en la
dirección positiva, es decir, en contra de las
manecillas del reloj, sea mayor que a -da y menor que a +da , es decir, a -da £
a ´
£ a +da . Si esta condición se cumple
examinar la condición c, de lo contrario continuar con
la distancia siguiente
La distancia entre el segundo punto del par y la
línea que pasa por el primer punto en la
dirección a
no supere el ancho de banda.

Observaciones:

Note que como los datos almacenados en el paso (2)
están ordenados ascendentemente por la distancia, este
paso se interrumpe cuando la distancia siguiente sea mayor que
h+dh, y aquí precisamente, comienza la próxima
iteración.
Al interrumpir este paso calcular el semivariograma
con los pares que cumplieron las condiciones a, b y c,
así obtenemos un valor de g (h) correspondiente al incremento h
actual.

7.- Incrementar la distancia h en su propio valor, es
decir, h será el próximo múltiplo del h
inicial. Si el nuevo valor de h no supera el valor de L. Regresar
al paso (6) de lo contrario continuar el siguiente
paso.

8.- Al finalizar el paso (7) debemos tener para cada
valor transitado por h un valor calculado de g (h), los cuales serán
representados en un gráfico X-Y donde en la abscisa
representan los valores de h y en la ordenada los de
g (h). Obteniendo
así el semivariograma experimental o empírico para
una dirección, incremento y tolerancias
definidas.

Para la construcción del semivariograma 3D
es necesario incorporar a la dirección del
cálculo un nuevo ángulo b que permita fijar unido al
ángulo a
una dirección en el espacio tridimensional. El
ángulo b
debe variar entre -90o y 90o,
teniendo en cuenta que los valores extremos coinciden con
la dirección vertical y son independientes de la
dirección del ángulo a
La construcción del semivariograma 3D es
similar al 2D con cambios en dos de sus pasos presentados
anteriormente:
1.- En el paso 2: el cálculo de la
distancia se sustituye por:
Almacenar para cada i además: Otro
ángulo b
´ que fija junto al ángulo
a ´ la
dirección de la recta que pasa por los dos puntos
del par en tres dimensiones.
2.- En el paso 6 punto b, la dirección que
contiene a los dos puntos del par debe estar incluida en el
ángulo sólido formado por la dirección
del cálculo del semivariograma y la tolerancia
da , con
centro en el primer punto del par.
En el caso del cálculo del semivariograma
en tres dimensiones, aún cuando teóricamente
pueden ser calculados, en la práctica nos
encontramos una dirección que juega un rol diferente
a la del resto (Armstrong y Carignan, 1997). En el caso
minero las variaciones a través de los estratos es
diferente a su comportamiento a lo largo de un estrato,
esto unido a la forma en que se realiza la
exploración, varios pozos distanciados decenas de
metros y cada uno contiene un conjunto de muestras
mineralizadas con una longitud del orden de 1 m. Es
recomendable entonces analizar está dirección
por separado y desarrollar un análisis de
variabilidad espacial en la dirección vertical, es
decir, perpendicular a la estructura geológica y
otro análisis en la dirección horizontal, a
lo largo de la estructura geológica, utilizando en
este caso compósitos de la zona de interés,
realizando además, un análisis de
anisotropía. Elementos que permitirán
describir la variabilidad en tres dimensiones.
Construcción del semivariograma
en tres dimensiones 3D
Problemas más comunes
encontrados en el cálculo de
semivariograma

De lo expresado hasta aquí, además de lo
planteado en muchos textos de geoestadística, se puede
obtener la impresión de que es fácil el
cálculo del semivariograma experimental (Armstrong y
Carignan, 1997). La fuente de problemas que se pueden presentar
en la realización del un análisis estructural es
muy variada, lo que está en correspondencia con la
variedad de casos que se presentan en la naturaleza. Algunos de
los problemas más comunes discutidos en Armstrong y
Carignan (1997) son:

El valor idóneo del incremento h: Una
inadecuada selección
de h puede proporcionar un semivariograma errático, aunque
no se puede dar un criterio exacto o aproximado sobre cual el
mejor valor de h, es recomendable recalcular g (h) para distintos valores de h,
hasta encontrar una forma suavizada del mismo.

Distribuciones con valores extremos: La
existencia de valores extremos, altos o bajos, en una
distribución, puede conducir a la obtención de un
variograma fuertemente errático. En este caso la
solución puede ser simple, eliminar los datos extremos,
porque pueden ser ocasionados por errores, en otros casos pueden
encontrarse en zonas geográficamente distintas y pueden
ser tratados de
manera separada.

Una herramienta útil para la detección de
valores extremos y encontrar el incremento adecuado puede ser,
calculado la "Nube de Variogramas" (Armstrong y Carignan,
1997), el cual consiste en representar los valores de
[Z(xi+h)-Z(xi)]2/2 contra h, para cada par posible de
la información inicial.

La existencia de poblaciones mixtas: Existen
datos que pueden mostrar diferentes poblaciones, los cuales
pueden estar estadísticamente diferenciados. En muchos
casos las poblaciones están geográficamente
diferenciadas, donde se recomienda tratar las zonas por separado.
En otros casos las poblaciones se presenten mezcladas
geográficamente, en este caso una solución puede
ser un cambio de
escala, con lo que se logra reducir la diferencia de los valores
extremos.

En Krajewski y Gibbs (1993) se presentan otras razones
por los que los semivariogramas son erráticos, las cuales
son: 1.- No hay suficientes muestras, 2.- Las muestras no son
representativas del fenómeno, 3.- Las clasificaciones de
las muestras no son válidas, 4.- El área estudiada
es no homogénea, 5.- Pequeños o largos conjuntos de
datos son necesarios, 6.- Pequeñas o largas distancia
deben ser calculadas, 7.- Más o menos distancias deben ser
calculadas, 8.- Pequeñas tolerancias son necesarias, 9.-
Las muestras pueden tener localizaciones incorrectas, 10.- Los
valores muestreados pueden ser erróneos.

El problema fundamental en la obtención de un
semivariograma correcto es, la elección adecuada de los
intervalos de distancias para los cuales será calculado el
semivariograma, de modo que en éstos la cantidad de pares
encontrados sea suficiente desde el punto de vista
estadístico.

El modelado de semivariogramas incluye dos etapas
fundamentales (Xie y Myers, 1995a), una vez construido el
semivariograma experimental o empírico es necesario
ajustar a este un modelo teórico, con el objetivo de
determinar los parámetros descriptivos del
semivariograma que posteriormente serán usados en la
estimación (ASCE Task, 1990; Journel y Huijbregts,
1978; David, 1977; Lamorey y Jacobsom, 1995; Pannatier,
1993; Arik, 1990; Dubrule, 1994).
1. Los parámetros del semivariograma
  caracterizan tres elementos importantes en la
  variabilidad de un atributo que son: la discontinuidad
  en el origen (existencia de efecto de pepita), el valor
  máximo de variabilidad (meseta), y el
  área de influencia de la correlación
  (alcance), (figura 8). como se presentan en Krajewski y
  Gibbs (1993), Journel y Huijbregts (1978), David
  (1977), Echaabi (1995), Lamorey y Jacobsom (1995),
  Wallace y Hawkims (1994), Pannatier (1993), Arik
  (1990), Pitard (1994), y se describen a
  continuación.
  Para ver el gráfico seleccione la
  opción "Descargar" del menú
  superior
  El Efecto Pepita (Nugget):
  El semivariograma por definición es nulo
  en el origen, pero en la práctica las funciones
  obtenidas pueden presentar discontinuidad en el origen,
  a esta discontinuidad se le llama efecto de
  pepita, en ingles (Nugget effect). Puede ser
  obtenido trazando una línea recta entre los
  primeros puntos del semivariograma empírico y
  extender ésta hasta que se intercepte con el eje
  Y. Si esta intersección ocurre por debajo de
  cero, el valor asumido por este efecto es cero, pues
  valores negativos de g (0) no tienen significado y no es
  común. El efecto pepita se representa como
  Co.
  La Meseta (Sill): Es el valor de
  g (h) para el
  cual con el aumento de h su valor permanece constante,
  se representa como (CT = C + Co)
  y se denomina meseta. Puede obtenerse trazando una
  línea paralela a la abscisa y que se ajuste a
  los puntos de mayor valor del semivariograma y su valor
  se lee en la intersección de esta línea
  con la ordenada.
  El Alcance (Range): La distancia h para
  la cual las variables Z(x) y Z(x+h) son independientes,
  se denomina alcance y se representa por (a), es decir,
  las distancias para la cual los valores de la variable
  dejan de estar correlacionados, o lo que es lo mismo,
  la distancia para la cual el semivariograma alcanza su
  meseta.
  El alcance siempre tiene valor positivo y
  puede ser obtenido a partir de la intersección
  de las líneas descritas en los puntos
  anteriores, ese punto leído en la abscisa es una
  fracción del propio alcance, fracción que
  se detallara posteriormente en la explicación de
  los modelos teóricos
2. Parámetros del
  semivariograma
  Los modelos teóricos de semivariogramas
  admisible o autorizados más utilizados en la
  práctica se presentan en Journel y Huijbregts
  (1978) en los que coinciden Krajewski y Gibbs (1993),
  Deutsch y Journel (1998), Bacchi y Kottegoda (1995),
  Wackernagel (1995), Armstrong y Carignan (1997), Myers
  (1991c), Kiyono y Suzuki (1996). Atendiendo a las dos
  características más importantes en el
  modelado de semivariogramas que son según
  Journel y Huijbregts (1978): 1.- Su comportamiento en
  el origen, el cual puede ser linear, parabólico
  y con Efecto de Pepita y 2.- La presencia o ausencia de
  meseta. Estos modelos son:
  Efecto de Pepita: Corresponde a un
  fenómeno puramente aleatorio (ruido blanco), sin
  correlación entre las muestras, cualquiera sea
  la distancia que las separe, (figura 9), donde C
  representa el valor de la meseta.
  g (h) = 0
  h = 0
  = C | h | > 0
  Para ver el gráfico seleccione la
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  superior
  Modelo Esférico:
  Este modelo es probablemente el más
  utilizado, es una expresión polinomial simple,
  en su forma representada en la figura 10, se puede
  observar un crecimiento casi lineal y después a
  cierta distancia finita del origen se alcanza una
  estabilización, la meseta. La tangente en el
  origen encuentra a la meseta en el punto de abscisa
  (2/3)a, donde a representa el valor del
  alcance.
  g (h) = C
  [ (3/2)(h/a) – ½(h/a)3
  ]h £ a
  C h > a
  Modelo Exponencial: Este modelo a
  diferencia del esférico crece inicialmente
  más rápido y después se estabiliza
  de forma asintótica (figura 11). Como la meseta
  no se alcanza a una distancia finita, se usa con fines
  prácticos el "alcance efectivo" o "alcance
  práctico" a´, valor que se obtiene en el
  punto de abscisa para el cual el modelo obtiene el 95%
  de la meseta, con un valor a´=3a, donde a es el
  parámetro de escala. La tangente en el origen
  encuentra a la meseta en el punto
  a=(1/3)a´.
  g (h) = C
  [1 – Exp(-|h|/a)] |h| > 0
  Modelo Gaussiano: Este es un modelo
  extremadamente continuo (figura 12), inicialmente
  presenta un comportamiento parabólico en el
  origen, después al igual que en el modelo
  Exponencial se alcanza la meseta de forma
  asintótica. El alcance práctico tiene un
  valor de a´=1.73a, que es el valor de la abscisa
  donde se alcanza el 95% de la meseta.
  g (h)= C [
  1 – Exp(-|h|2/a2)] |h| >
  0
  Modelo con función potencia: Este es un modelo sin
  meseta, su forma se representa en la figura 13, para
  valores de a
  correspondientes a 0.5, 1.0 y 1.5.
  g (h) =
  |h|a
  con a
  Î ]0,
  2[
  Para el valor de a =1 en el modelo anterior se
  obtiene el modelo Lineal, al cual no tiene ni meseta ni
  alcance. Ahora por efectos prácticos, sin
  embargo, muchos programas informáticos denotan la
  pendiente del modelo lineal con la relación C/a
  (figura 14).
  g (h) =
  (C/a) |h|
  Se han presentado los modelos más
  usados en la práctica, aunque se debe
  señalar, existen otros modelos que son
  ampliamente descritos en el manual de referencias del sistema geoestadístico
  Isatis.
  Estos modelos pueden ser ajustados
  individualmente, aunque es posible encontrar en la
  práctica aplicaciones donde a los
  semivariogramas experimentales se les debe ajustar
  más de un modelo teórico, es decir, a
  través de superposición,
  nombrándose estructuras imbricadas (Krajewski y
  Gibbs, 1993; Journel y Huijbregts, 1978; David,
  1977).
  La selección del modelo y los
  parámetros apropiados a las
  características del semivariograma
  empírico, para ser usados en la
  interpolación geoestadística que veremos
  posteriormente es el punto más importante en el
  proceso planteando (Arik, 1990), además, esta
  selección es fundamental en el caso particular
  de la minería donde se presentan yacimientos:
  con irregularidad en la densidad de barrenos; sin una adecuada
  perforación; con alta asimetría en la
  distribución o que carecen de un modelado
  geológico propio. Al respecto se refieren muchos
  autores sobre el efecto negativo que puede tener en la
  estimación el uso del krigeaje sin un estudio de
  estructura espacial y la selección adecuada del
  modelo de semivariograma y sus
  parámetros.
3. Modelos teóricos de
  semivariogramas
  Como el ajuste de los modelos teóricos
  al semivariograma experimental, se realiza de forma
  visual o interactiva, variando los valores
  Co (efecto de pepita), C + Co
  (meseta) y a (alcance), hasta coincidir con los
  parámetros que mejor se ajustan, es conveniente
  validar el modelo seleccionado y los parámetros
  meseta y alcance escogidos. Al respecto se discute la
  validación cruzada en Journel y Huijbregts
  (1978), Armstrong y Carignan (1997), Bacchi y Kottegoda
  (1995), Myers (1991b), Deutsch y Journel (1998), Xie y
  Myers (1995b), Kiyono y Suzuki (1996), Host (1995),
  Lajaunie (1997), Madani (1998), Carr (1994).
  El método de validación cruzada
  ha sido ampliamente utilizado para evaluar el grado de
  bondad de un modelo de semivariograma y reconocido como
  un método óptimo de estimación de
  sus parámetros. La operación de validar
  un semivariograma teórico ajustado a uno
  experimental siempre toma mucho tiempo, éste se considera como el
  último de los pasos importantes del
  análisis de variabilidad, debido a que una vez
  obtenido este resultado será utilizado en la
  estimación por krigeaje en cualquiera de sus
  variantes.
  1. Validación
    cruzada
4. Validación del modelo
  teórico
Modelado de
semivariogramas

Sea Z(x) una función aleatoria estacionaria con
semivariograma g
(h), su función de covarianza C(h) viene dada por
C(h) = s
2 – g
(h) donde s
2 es la varianza de Z(x). Sea Zx1,
Zx2,…,Zxn los valores de Z(x) en n puntos
medidos. La validación cruzada consiste en suprimir el
i-ésimo valor medido Z(xi) y estimarlo a partir
del resto de los datos. El valor estimado
Z*(xi) se calcula por krigeaje, procedimiento
explicado más adelante.

Si se repite este proceso para los N puntos, se pueden
calcular n errores de validación:

E(xi) = Z*(xi)-
Z(xi) i = 1, 2, . . . , N.

Así se van probando diferentes valores de los
parámetros del semivariograma hasta que los errores de
validación cumplen los siguientes criterios
estadísticos: (Journel y Huijbregts, 1978; David, 1977;
Armstrong y Carignan, 1997).

El error medio, dado por T1 = (1/n)
å
i=1,n [Z(xi) –
Z*(xi)], debe ser aproximadamente igual a
cero.
El error medio cuadrado, dado por T2 =
(1/n) å
i=1,n [Z(xi) –
Z*(xi)]2, debe ser
pequeño.
La medida, T3 = (1/n) å i=1,n
{ [Z(xi) –
Z*(xi)]/s }
2, debe ser igual a uno.
La medida, T4 = Corr{ [Z(xi) –
Z*(xi)]/s ,
Z*(xi)} , debe ser cero.
La medida, T5 = Corr{ Z(xi),
Z*(xi)} , debe ser uno.

Otros autores sólo plantean que las medidas
fundamentales son la indicada por T1 y T3, (Lamorey y Jacobsom,
1995; Bacchi y Kottegoda, 1995).

Ajuste
automático

El ajuste de modelos de semivariogramas se puede
realizar también de forma automática. Esta ha sido
presentada por varios autores, en la que se sugieren una forma
particular de aplicar el método de los mínimos
cuadrados y así obtener el modelo y sus parámetros,
teniendo en cuenta que el modelo obtenido sea definido positivo,
como ya se ha indicado. La efectividad de estos se describe y
argumenta en Gotway (1991) y Zhang (1995). Una comparación
generalizadora se presenta en Zimmerman y Zimmerman (1991) donde
se comparan varios métodos para estimar los
parámetros del semivariograma entre visuales y
automáticos.

Ahora, el ajuste realizado de forma automática no
tiene porque reportar mejores resultados en el proceso de
estimación, recomendándose en Journel y Huijbregts
(1978) y Lantuéjoul (1997) y otros validar el modelo
seleccionado de acuerdo al estimador a utilizar. Un criterio
decisivo, independiente de la forma utilizada en la
elección del modelo teórico y sus
parámetros, es si lugar a dudas, emplear el método
de la validación cruzada con el estimador a utilizar en el
proceso de estimación, discutido anteriormente.

Conviene aquí realizar un análisis
sobre el comportamiento de la variabilidad del atributo en
estudio. Se conoce que el semivariograma describe las
características de continuidad espacial de la
variable regionalizada en una dirección, pero este
comportamiento pueden variar según la
dirección que se analice, como se discute en Journel
y Huijbregts (1978), David (1977), Zimmerman (1993),
Krajewski y Gibbs (1993). Se exige por este motivo un
análisis del comportamiento de la continuidad en
distintas direcciones, el Análisis de
Anisotropía.
Cuando el semivariograma calculado en diferentes
direcciones (norte-sur, este-oeste, y en direcciones
intermedias de 45º o de 22.5º, con tolerancia de
22.5o), muestra similar comportamiento, se dice
que el fenómeno es Isotrópico, cuando
muestran diferentes comportamientos es
Anisotrópico (Krajewski y Gibbs, 1993). Los
tipos de anisotropías más comunes son la
Geométrica y la Zonal. (Krajewski y Gibbs, 1993;
Journel y Huijbregts, 1978; Armstrong y Carignan,
1997)
Anisotropía Geométrica:
Está presente cuando los semivariogramas en
diferentes direcciones tiene la misma meseta pero distintos
alcance (figura 15).
Anisotropía Zonal: Está
presente cuando los semivariogramas en diferentes
direcciones tiene diferentes mesetas y alcances (figura
16).
Al respecto en (Zimmerman, 1993), se hace un
estudio profundo de los tipos de anisotropía,
proponiendo una nueva terminología. En estos casos
conviene realizar transformaciones de coordenadas con el
objetivo de obtener modelos Isotrópicos (Journel y
Huijbregts, 1978; Chica, 1987; Armstrong y Carignan,
1997).
1. Cuando en el cálculo del semivariograma
  se detecta que existe una relación linear entre
  el valor medio de las muestras usadas en el
  cálculo de cada g (h) y la desviación
  estándar correspondiente, se dice que existe un
  efecto proporcional (heterosedasticidad). Este efecto
  se puede detectar ploteando los valores de
  Xm contra s , es decir, que el coeficiente de
  variación (s /Xm) sea aproximadamente
  constante, ocurre cuando los datos presentan una
  distribución lognormal (Journel y Huijbregts,
  1978) (figura 17). La solución a este problema
  propuesta por David (1977) consiste en dividir cada
  valor del semivariograma local por el cuadrado de la
  media local, y obtener lo que se conoce como
  semivariograma relativo (David, 1977).
  F(h) = g
  (h)/Xm2(h)
  Puede ser calculado usando los pasos
  anteriormente presentados para el cálculo de los
  semivariogramas tradicionales.
  Existen otras medidas de la continuidad
  espacial descritas en Journel y Huijbregts (1978) y
  Pannatier (1993), las cuales permiten un
  análisis estructural detallado con diferentes
  objetivos.
2. Efecto
  proporcional
3. Problemas en el modelaje de
  semivariogramas
Análisis de
anisotropía

Los problemas más comunes al modelar
semivariogramas que complican este proceso se presentan en
Krajewski y Gibbs (1993). Se analizan los siguientes
casos.

1.- La anisotropía geométrica
está presente: Indica que los semivariogramas
direccionales tienen la misma meseta pero diferentes alcances,
ésta puede ser corregida a través de una
transformación linear de coordenadas que permita reducir
una elipse a un circulo.

2.- La anisotropía zonal está
presente: indica que tanto las mesetas como los alcances son
diferentes para los semivariogramas direccionales, puede ser
corregido separando el semivariograma en sus componentes
isotrópicos horizontal y anisotrópico
vertical.

3.- La tendencia de los datos está
presente: indica que los valores medidos aumentan o
disminuyen dramáticamente en la zona estudiada con el
aumento de la distancia. Esto puede ser resuelto aplicando
polinomios a la ecuación del semivariograma, es decir un
análisis de tendencia.

4.- El efecto proporcional está presente:
Indica que la desviación estándar local es
proporcional al cuadrado de la media local y que los datos
presentan una distribución lognormal, puede ser resuelto
dividiendo cada valor del semivariograma local por el cuadrado de
la media local, es decir usando semivariogramas
relativos.

5.- Existencia de estructuras anidadas: indica
que diferentes procesos operan a diferentes escalas, como por
ejemplo alguno o todos los siguientes: A muy pequeñas
distancias la variabilidad puede estar presente debido a cambios
de una composición mineral a otra. A pequeñas
distancias la variabilidad puede estar presente debido a errores.
A grandes distancia la variabilidad puede estar presente debido a
casos transitorios de desgaste mineral. El cual puede ser
resuelto aplicando varios modelos
simultáneamente.

6.- Existencia de efecto hueco: indica que muy
pocos pares están disponible para la comparación a
una distancia específica. Y puede ser resuelto recuperando
más casos para la distancia definida.

7.- La periodicidad está presente: indica
que el comportamiento del semivariograma repite por sí
mismo periodicidades, por ejemplo: El valor de la meseta puede
aumentar o disminuir sistemáticamente, o un caso en que
los valores son tomados alternativamente a través de
diferentes estratos, como piedras areniscas, esquistos, etc. Esto
puede ser resuelto si es un problema real y no un antifaz del
análisis, la periodicidad puede ser también un
fenómeno real mostrado por zonal ricas y pobres repetidas
a espacios similares.

Partes: 1, 2

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