Indice
1.
Introducción
2. Definiciones
básicas
3. Los fundamentos de la semantica de
tarski
4. Características de la
lógica de primer orden
5. Semantica de la lógica de primer
orden
6. Axiomatización de la
lógica de primer orden
Tal como es presentada en este trabajo, la
semántica es la ciencia que
se ocupa de las relaciones entre las expresiones de un lenguaje dado
y los objetos a los que se refieren dichas expresiones. Lo que
Tarski propone en su artículo, con el fin de formalizar
los fundamentos de una semántica teórica, es lograr
una definición satisfactoria de la verdad. Para ello
deberá lindar con ciertos problemas. En
primer lugar Tarski sostiene que la palabra "verdad" no es
inequívoca, y propone respetar la lógica
clásica; tal como sostiene en su "Metafísica" Aristóteles: "Decir de lo que es que no es,
o de lo que no es que es, es falso, mientras que decir de lo que
es que es, o de lo que no es que no es, es verdadero." Definida
de este modo, la verdad es un atributo que lleva una
expresión dada en relación con el objeto al que se
refiere; en otras palabras, y tal como la semántica
moderna lo concibe, es una cualidad propia de la relación
entre una afirmación y el estado de
cosas referida por ésta. De este modo damos con un
problema fundamental que tanto la lógica
presentada por Aristóteles como la semántica
moderna, no resuelve. En "Metafísica" es bastante engorroso el
estudio de la segunda parte de la relación; pues
jamás se deja bien en claro que es un objeto; y si
estudiamos a la semántica moderna (sin incluir a Tarski)
nada sabremos sobre que es lo que quiere decir con estado de
cosas.
Todas las formas de presentar la verdad, anterior a
Tarski, entendían que la diferencia de nivel dada entre
una expresión y el objeto referido por esta
expresión, también se constituía en la
distancia generada entre el lenguaje y
una realidad empírica totalmente externa a éste y,
por lo tanto, imposible de reducir a símbolos o
términos, no sólo del lenguaje que
definía a la semántica, sino que imposible de
reducir a símbolos o términos de lenguaje
alguno.
Tal como Tarski propone la definición de la
verdad, no se desliga de la tarea de definir que es un objeto o
un estado de
cosas, sino que solamente se desprende de la realidad externa que
todos los tratados sobre la
verdad anteriores tomaron como parte material sobre la que se
aplicaba su semántica. En rigor, Tarski, respeta todos los
principios de
la lógica propuesta por Aristóteles, sólo
que a estos principios, al
eximirlos de una "realidad empírica", los libera de
cuestiones ontológico-metafísicas.
Presentadas, de manera general y rauda, las principales
particularidades de la semántica propuesta por Tarski, a
continuación proponemos un estudio más profundo y
formal de sus conceptos.
Conjunto: Un conjunto se define intuitivamente como una
colección o serie de elementos. Sea P un conjunto, para
indicar que un elemento x pertenece a P escribimos:
xÎ
P
Producto cartesiano: Dado A1, A2,
A3,…, An conjuntos, el
producto
cartesiano A1x A2 x A3 x…. x
An es el conjunto {(a1, a2,
a3,…, an) ½
a1Î A1,
a2Î A2,
a3Î A3,
an Î An}
Relación en un conjunto: Dado un conjunto A, una
relación R en A es un subconjunto del producto
cartesiano An
Función: Dados A, B conjuntos, una
función
f: A® B,
donde A se denomina dominio de f, B
se denomina codominio de f, es una asignación tal que: a
cada elemento x del dominio A le hace
corresponder uno y sólo uno elementos y del codominio. Su
notación es: y = f(x)
3. Los fundamentos de la
semantica de tarski
Adecuación material
El problema principal ha desarrollar y solucionar por Tarski
consiste en el logro de una definición satisfactoria de la
verdad, que sea materialmente adecuada y formalmente
correcta.
Con respecto al predicado "verdadero", lo que Tarski
considerará conveniente es aplicar dicho término a
las oraciones (lo que en gramática se llama oración
enunciativa). A partir de ello, se relacionará la
noción de verdad, junto con la de oración, a un
lenguaje específico.
Del mismo modo, la definición que el autor
propone alcanzar requiere de una adecuación material. Para
ello parte del ejemplo dado por la oración "la nieve es
blanca", para arribar a la equivalencia que significa decir: "La
oración la nieve es blanca es verdadera si, y sólo
si, la nieve es blanca".
Desde allí, Tarski distingue dos miembros que
componen a la mencionada equivalencia, y distingue cómo la
oración "la nieve es blanca" aparece con comillas en el
primero de ellos, y sin ellas en el segundo; es decir, en el
primero tenemos el nombre de la oración, y en el segundo a
la oración misma. Por consiguiente, para poder decir
algo acerca de una oración debemos usar el nombre de ella
y no a la oración misma.
Al generalizar dicho procedimiento,
podemos reemplazar una oración arbitraria por la letra
"p". Luego de formar el nombre de dicha oración, podemos
reemplazar ésta por otra letra, como "X". Al preguntarnos
cuál es la relación lógica entre las dos
oraciones "X es verdadera" y "p", se sigue la siguiente
equivalencia: X es verdadera si, y sólo si, p.
Se llamará "equivalencia de la forma (T)" a toda
equivalencia de esta clase (en la que "p" sea reemplazada por
cualquier oración del lenguaje a que se refiere la palabra
"verdadero", y "X" sea reemplazada por un nombre de esta
oración).
El término "verdadero" se usará de manera
tal que puedan enunciarse todas las equivalencias de la forma
(T), y se llamará "adecuada" a una definición de la
verdad si de ella se siguen todas estas equivalencias. Toda
equivalencia de la forma (T), obtenida reemplazando "p" por una
oración particular, y "X" por un nombre de esta
oración, puede considerarse una definición parcial
de la verdad. La definición general debe ser, en cierto
sentido, una conjunción lógica de todas estas
definiciones parciales.
Tarski propone, así, el nombre de
"concepción semántica de la verdad" para designar
la concepción de la verdad así expuesta. La
semántica es una disciplina que
se ocupa de ciertas relaciones entre las expresiones de un
lenguaje y los objetos a que se "refieren" esas expresiones,
así como lo hacen las palabras designación,
satisfacción, y definición. Pero la palabra
"verdadero" posee una naturaleza
lógica diferente, ya que expresa una propiedad de
ciertas expresiones, de oraciones. Resulta que la manera
más simple y natural de obtener una definición
exacta de verdad es la que acarrea el uso de otras nociones
semánticas, como la noción de satisfacción.
Por ello Tarski incluye el concepto de
verdad entre los conceptos semánticos, porque el problema
de definir la verdad resulta estar estrechamente vinculado con el
problema más general de echar los fundamentos de la
semántica teórica.
Para especificar la estructura de
un lenguaje se deberá caracterizar inequívocamente
la clase de las palabras o expresiones que hayan de considerarse
significativas. Se indicarán todas las palabras que se
hayan decidido usar sin definirlas ("términos
indefinidos"); y se deberán dar las llamadas reglas de
definición para introducir términos definidos o
nuevos. Se establecerán también criterios para
distinguir, dentro de la clase de expresiones, aquellas que
llamaremos "oraciones". Por último se deberán
formular las condiciones en que puede afirmarse una
oración del lenguaje. En particular, se indicarán
todos los axiomas, es decir, las oraciones que hayamos decidido
afirmar sin prueba; y se darán las reglas de inferencia
mediante las cuales se pueden deducir nuevas oraciones afirmadas
a partir de otras oraciones afirmadas previamente.
Si, especificado el lenguaje,
nos referimos exclusivamente a la forma de las expresiones que
comprenden, se dirá que el lenguaje está
formalizado. En tal lenguaje, los teoremas son las únicas
oraciones que pueden afirmarse. Ello es lo que permite que el
problema de la definición de la verdad adquiera un
significado preciso y pueda resolverse en forma rigurosa. La
aproximación consiste en reemplazar un lenguaje natural
por otro cuya estructura se
especifica exactamente, y que difiere del lenguaje dado "tan poco
como sea posible".
La antinomia del mentiroso
La antinomia del mentiroso no es desdeñada por Tarski, y
le reconoce su importancia. De acuerdo a ella, la antinomia
genera un absurdo que obliga a afirmar una oración falsa;
es decir, se llega a la presencia de una contradicción.
Así, y en relación a su texto,
él considera la oración siguiente:
la oración impresa en la página 121,
línea 8 de este trabajo, no es verdadera.
Tras reemplazar la oración por la letra 's', se afirma la
siguiente equivalencia:
- 's' es verdadera si, y sólo si, la
oración impresa en la página 121, línea 8
de este trabajo, no es verdadera.
Teniendo presente el significado del símbolo 's',
se establece empíricamente el siguiente hecho:
(2) 's' es idéntica a la oración impresa en la
página 121, línea 8 de este trabajo.
Al reemplazar la expresión 'la oración impresa en
la página 121, línea 8 de este trabajo' por el
símbolo 's', se obtiene lo que sigue:
- "'s' es verdadera si, y sólo si, 's' no es
verdadera".
Tarski propone descubrir la causa de esta paradoja, y
analizar las premisas sobre las que se basa, para luego rechazar
por lo menos una de ellas.
(I) El lenguaje en que se construye la antinomia contiene las
expresiones y los nombres de estas expresiones, así como
términos semánticos tales como el término
"verdadero". También se ha supuesto que todas las
oraciones que determinan el uso adecuado de este término
pueden afirmarse en el lenguaje. Un lenguaje que goza de estas
propiedades se llamará "semánticamente
cerrado".
(II) En este lenguaje valen las leyes ordinarias
de la lógica.
(III) Podemos formular y afirmar en nuestro lenguaje una premisa
empírica, tal como el enunciado (2).
Se demuestra que las suposiciones (I) (II) son
esenciales, y que debemos rechazar al menos una de ellas. Se
considerará la posibilidad de rechazar la
suposición (I), y se decidirá no usar lenguaje
alguno que sea semánticamente cerrado en el sentido dado
anteriormente.
Por ello es que se deberá usar dos lenguajes
diferentes al tratar el problema de la definición de la
verdad y, en general, todos los problemas
semánticos. El primero de ellos es el lenguaje acerca del
que "se habla"; el segundo es el lenguaje en que "hablamos acerca
del" primer lenguaje, y en cuyos términos deseamos, en
particular, construir la definición de verdad para el
primer lenguaje. El primer lenguaje se denominará lenguaje
objeto y el segundo metalenguaje.
Metalenguaje y lenguaje-objeto
La definición de la verdad, y todas las equivalencias
implicadas por ella, han de formularse en el metalenguaje, y toda
oración que figure en el lenguaje-objeto también
debe figurar en el metalenguaje; es decir, el metalenguaje debe
contener al lenguaje-objeto como parte de él. El
metalenguaje debe tener la riqueza suficiente para dar la
posibilidad de construir un nombre para cada una de las frases
del lenguaje objeto, y debe contener términos de carácter
lógico general, tal como la expresión 'si y
sólo si".
Lo que se desea es que los términos
semánticos (referentes al lenguaje-objeto) se introduzcan
en el metalenguaje sólo por definición. Satisfecho
este postulado, la definición de la verdad cumplirá
lo que se espera intuitivamente de toda definición.; es
decir, explicará el significado del término que se
define en términos cuyos significados parecen
completamente claros e inequívocos.
Riqueza esencial
La condición para que el metalenguaje sea "esencialmente
más rico" que el lenguaje-objeto es que contenga variables de
un tipo lógico superior al de las del lenguaje-objeto. Si
no se satisface la condición de "riqueza esencial",
usualmente puede demostrarse que es posible formular una
interpretación del metalenguaje en el lenguaje-objeto. La
condición de "riqueza esencial" es necesaria para que sea
posible dar una definición satisfactoria de la verdad en
el metalenguaje. Por ello, se debe incluir el término
'verdadero', o algún otro término semántico,
en la lista de los términos indefinidos del metalenguaje,
expresando las propiedades fundamentales de la noción de
verdad en una serie de axiomas.
La condición de 'riqueza esencial' del
metalenguaje resulta ser, no sólo necesaria, sin
también suficiente para construir una definición
satisfactoria de la verdad; si el metalenguaje satisface esta
condición, en él puede definirse la noción
de verdad.
4. Características de la lógica de
primer orden
Lenguaje de primer orden
El lenguaje de primer orden consta de un alfabeto
A={"
,$
,Ù
,Ú
,¾
,® ,
(,), [,]}È
R È
C È
V donde:
"
es el cuantificador universal
$ es el cuantificador existencial
R es el conjunto de símbolos que van a relacionar uno o
más objetos
C es el conjunto de constantes (sirven para indicar individuos
concretos)
V es el conjunto de variables
(sirven para indicar cosas indeterminadas)
Aridad de un símbolo de relación
La aridad Ar(n) es el número n asignado a un
símbolo de relación que indica cuantos objetos
relaciona, Formalmente se la define como una función que
toma como dominio a R (conjunto de símbolos de
relación) y como codominio a N (conjunto de los
números naturales).
Ar: R®
N
Termino
- Cualquier variable xÎ V es un término.
- Cualquier constante kÎ C es un término.
- Nada más es un término.
Fórmula
- Si rÎ R, tal que r tiene Ar(n) y
t1, t2, …, tn son
términos, entonces R(t1, t2, …,
tn) es fórmula atómica. Si A es fórmula, A es
fórmula.- Si A, B son fórmulas entonces
(A® B),
(AÚ B),
(A Ù
B)es fórmula. - Si A es fórmula entonces (" x)[A], ($ x)[A] es
fórmula. - Nada mas es fórmula.
Alcance de un cuantificador
Dada una fórmula (Qx)[A] Q es " ó $ entonces se dice que el alcance de A es
(Qx).
Variable libre
Una variable xÎ
V se dice libre si y sólo si x no está dentro
del alcance de un cuantificador de la forma (Qx).
Sentencia o fórmula cerrada
Sea A una fórmula, es sentencia si y sólo si no
tienes variables libres
Fórmula abierta
Una fórmula es abierta si y sólo si contiene
variables libres.
Deducción
- Un razonamiento es una sucesión de sentencias
donde hay una distinguida llamada
conclusión. - Un razonamiento es valido si y sólo si bajo
premisas verdaderas la conclusión es
verdadera.
5. Semantica de la
lógica de primer orden
Estructura
Una estructura está constituida por un conjunto que se
designa como universo U y la
interpretación I de las relaciones que actúan sobre
los elementos de dicho universo, su
notación es:
< U, I>
Asignación de variable:
Una asignación es una función que va desde el
conjunto de las variables a un determinado universo.
A: V®
U
Verdad sobre fórmulas atómicas
Definición de sentencia (atómica) verdadera:
Si R es símbolo de relación con Ar(n) y
a1, a2,…, an
Î C, entonces:
R(a1, a2,…, an) es verdadera
si y sólo si (a1u,
a2u, …, anu)
Î
Ru.
Dado J
,Y
sentencias entonces:
J es falsa si y
sólo si J
es verdadera.
- J Ú Y
es verdadera si y sólo si J es verdadera ó
Y es
verdadera. - J Ù Y
es verdadera si y sólo si J es verdadera y
Y es
verdadera. - J ® Y
es verdadera si y sólo si al ser
J verdadera
entonces Y es
verdadera.
En cualquier asignación A: V® U sucede:
- ("
x)[J
(x)] es verdadera si y sólo si para toda
D x (valuación
o asignación de x), J (x) resulta verdadera. - ($
x)[J
(x)] es verdadera si y sólo si existe
D x que hace
verdadera a J
(x).
Satisfactibilidad
J (x1,
x2, …,xn), x1, x2,
…,xn variables libres, es satisfactible sí y
sólo sí existe una asignación de variable
que hace verdadera a J
.
Modelo de una sentencia
Sea L un lenguaje de primer orden, J una sentencia, < U, I> una estructura asociada a
J , luego U es un
modelo
de J si y
sólo si J
es verdadera en U (se nota U = J )
Formula lógicamente válida
J es una fórmula
lógicamente válida si y sólo si para toda
estructura <
U, I>
, < U,
I> =
J (J es verdadera para cualquier
estructura)
Contradicción
J es contradicción si y sólo
si para toda<
U, I>
, < U,
I> ¹ J
Teorema
J es lógicamente válida si y
sólo si J
es contradicción.
6. Axiomatización de la
lógica de primer orden
Axiomas
P1) A®
(B®
A)
P2) [A®
(B®
C)]®
[(A®
B)®
(A®
C)]
P3) [B®
A]®
[(B®
A)®
B]
P4) ("
x)[A(x)]®
A(t) donde t es termino
P5) (" x)[A® B(x)]® [A® (" x)[B(x)]] donde x no está libre en
A
Reglas de inferencia
Modus ponens (M.P.): P® Q
Generalización universal(G.U.):
P(x)
"
(x)[P(x)]
Demostración
Una demostración es una sucesión de fórmulas
B1, B2,…., Bn tal que: Cada
Bi o es un axioma P1, P2,
P3, P4, P5, o Bi se
deduce con (M.P.) de dos formulas Bj, Bk
donde Bk tiene la forma
Br® Bt, siendo:
- Br = Bj
- Ó Br una fórmula tal que
mediante (G.U.) se obtiene de Bj. - Bt = Bi
- Ó Bt una fórmula tal que
puede ser llevada mediante (G.U.) a Bi.
-Q B indica que B es fórmula del cálculo
de predicados.
=Q J indica que J es lógicamente
válida.
Teorema (definición)
Dada una demostración B1,
B2,….,Bn, Bn es referida como
teorema.
Teoría
Consecuencia sintáctica
Sea g un
conjunto de fórmulas del cálculo de
predicados entonces J
es consecuencia sintáctica de g (g -J ) si y sólo si existe una
sucesión de fórmulas B1,
B2,….,Bn, tal que:
- Bn es J
- a) Cada Bi o es un axioma P1,
P2, P3, P4,
P5
b) Ó es una fórmula de g
c) Ó se demuestra de Bj y Bk
fórmulas de la sucesión g .
g axiomas propios de la teoría.
J teorema de la teoría.
Teorema
-Q J
Û
=Q J
Donde la
implicancia Þ
designa la coherencia de la lógica de primer orden,
mientras que la implicancia en sentido Ü designa su completitud.
Teorema de la deducción de primer
orden
J
1….J n-1 J n – J Û
J
1….J n-1 – J n® J
Abstract
El presente trabajo es un estudio de las nociones propuestas por
Alfred Tarski sobre la concepción semántica de la
verdad. La exposición
de dichos fundamentos es realizada en su articulo: La
concepción semántica de la verdad y los fundamentos
semánticos.
Tarski, en su articulo, presenta sus conceptos de manera no
formal; por consiguiente, el principal objetivo a
seguir en este trabajo será explicitar el lado formal de
dichas nociones; en otras palabras, expondremos la teoría
formal de la lógica de primer orden.
<>
Autor:
Juan José Noldin
Leandro Artiaga