Se indica con la letra la relación
constante entre la longitud de una circunferencia y su
diámetro "d" o entre el área "S" de un
círculo y el cuadrado de su radio
"r".
(1) 
Entre los números célebres, es el
más célebre de todos, éste interviene en la
matemática
elemental en todas las cuestiones de medidas relativas a
círculos, esferas, conos y cilindros, etc.
está ligado con dos problemas
fundamentales:
- Dado el radio de una
circunferencia, construir un segmento de longitud "l",
(problema de rectificación de la
circunferencia). - Dado el radio de una círculo, construir un
cuadrado equivalente al círculo (problema de la
cuadratura del círculo).
De estos dos problemas el
más célebre es el segundo: por su cuadrimilenaria
antigüedad, por la dificultad que ha presentado su
solución a pesar de la sencillez de su enunciado, por los
innumerables intentos infructuosos que fueron los hechos para su
resolución, éste se hizo también ante los
matemáticos.
En la historia de , se
pueden distinguir varios períodos, el primeros de ellos va
desde la más remota antigüedad hasta los inicios del
cálculo
infinitesimal.
La más antigua de todas se encuentra en el papiro
egipciano Rhind, escrito por Ahmes, 1800 a.C. y
afirma que el área de un círculo es como la de un
cuadrado cuyo lado es igual al diámetro del círculo
disminuido en 1/9, o sea igual a los 8/9 del
diámetro.
y se encuentra que:
Una buena aproximación.
O. Neugebaver, dio la siguiente
explicación a la regla egipciana. Construido el cuadrado,
de lado "d" de un círculo.
Para ver el gráfico seleccione la
opción "Descargar" del menú
superior
Se divide cada uno de sus lados en 3 partes iguales, y
se construye el octágono ABCDEFGH, cuya área
es:
(5) 
Sustituyendo 63 por 64 se encuentra precisamente el
cuadrado de los 8/9 del diámetro.
Los Babiloneses en cambio,
basados en el hecho de que, el lado del hexágono regular
inscrito en un círculo es igual al radio, asumían
la longitud de la circunferencia igual a 6 veces el radio lo que
equivale a tomar 3, aproximación bastante
tosca.
Viniendo a la antigua Grecia, las
primeras huellas del problema de la cuadratura del círculo
se encuentran sólo en el siglo V a.C., según
testimonio de Plutarco. En el 420 a.C. Ippía de
Elide inventó la curva trascendente "cuadratriz" usada
luego por Dinostrato en el siglo sucesivo para rectificar
una circunferencia.
Antífone contemporáneo de
Sócrates, afirma que si se inscribe en un
círculo un cuadrado, y luego doblando sucesivamente el
número de lados, se construyen los polígonos
regulares inscritos de 8, 16, 32,… lados, etc. Y se llega a un
polígono que por la pequeñez de sus lados coincide
con el círculo. Transformándolo en un cuadrado
equivalente a un círculo, su contemporáneo
Brisone agregó la construcción de los polígonos
regulares circunscritos, Hipócrates de Chío
en la segunda mitad del siglo V a.C.; demostró que el
área de un círculo es proporcional al cuadrado de
su diámetro, uno se puede imaginar que en esta fecha nace
el símbolo con el teorema de Hipócrates
de Chío, no fue así, realmente se espero 22
siglos más tarde, en el siglo XVIII, Euler utiliza el
símbolo (primero escribía la letra "p"
inicial de la palabra "periferia", luego utiliza el
símbolo ).
En el siglo III a.C. Arquímedes en el
tratado de la medida del círculo demuestra los siguientes
teoremas:
- Todo círculo es equivalente a un
triángulo rectángulo, teniendo un cateto igual al
radio del círculo y el otro igual a la circunferencia
rectificada. - Un círculo es el cuadrado de su
diámetro aproximadamente como 11:14. - La longitud de la circunferencia de todo
círculo es menor que 3 veces el diámetro
más 1/7 del mismo diámetro y es mayor que 3 veces
el diámetro de mas 10/71 del diámetro. En
símbolos:
El método que
él sigue es el mismo que usó
Antífone, aplicado a los polígonos regulares
inscritos y circunscritos que tengan 6,12,32,48,96, ….. lados.
Después de Arquímedes la fracción
22/7 es de uso corriente en las medidas relativas al
círculo, y por muchos siglos la historia registra solo
algunos perfeccionamientos al método de
Arquímedes que dan una mejor aproximación de
Tolomeo, en el siglo II, da para
el siguiente valor:
(7) 
A partir del Siglo XII, la introducción en los cálculos del uso
de las cifras indoarábicas facilitó también
mejores cálculos para . Leonardo Pisano, en
la "Practica Geometriae" amplifica el método de
Arquímedes y da para los siguientes límites.
y
y adopta para
el valor de
3,1418……., mientras que Oronzo Fineo, en la primera mitad del
500, afirma que es exactamente igual a 
. El Holandés
Metius da para el valor aproximado
con 6 cifras
decimales exactas (su hijo Adrianus Metius II, cuenta que
él encontró ese valor haciendo la media
aritmética de los numeradores y denominadores de las
fracciones 
y
, valores
aproximados de encontrados con el método
de Arquímedes).
F-Viete da nueve cifras decimales exactos usando
el método de Arquímedes hasta los
polígonos de 
lados; Adriano Romano, en 1597, obtiene 15 cifras
decimales exactas con polígonos de 
lados; finalmente
Ludolf de Colonia calcula 20 cifras decimales exactas
llegando hasta los polígonos de 
lados y después calculó 35
cifras decimales exactas, que fueron esculpidas sobre su tumba
(la tumba se perdió). En Alemania el
número fue llamado el número de
Ludolf, aunque éste no haya llevado en estos
cálculos ningún aporte de métodos
nuevos.
Huygeus perfeccionó sensiblemente el
método de Arquímedes, demostrando entre
otras cosas, la fórmula siguiente:
Donde C indica el área de un círculo,
y 
son las áreas de
los polígonos inscritos y circunscritos con n lado.
Mediante esta formula él deduce 9 cifras decimales exactas
con el polígono de 60 lados.
Una simple demostración de la fórmula de
Huygeus. Se sustituye el lado AB del polígono por
arcos parabólicos, uno inscrito y otro circunscrito; se
traza la perpendicular a la cuerda AB, esta recta pasa por los
puntos O (origen del círculo), C (punto de corte entre
dicha recta y el círculo).
El arco parabólico inscrito pasa por los puntos
A, B y C y el arco circunscrito por AB y el punto medio del
segmento DO. Y los polígonos de lados parabólicos
inscritos y circunscritos que así se obtienen aproximan al
círculo mucho mejor que los polígonos con el mismo
número de lados rectilíneos.
Para ver el gráfico seleccione la
opción "Descargar" del menú superior
Un segundo período en la historia de
va desde la segunda mitad del siglo XVII hasta 1767. En
este período fueron usados para el cálculo
aproximado de , métodos
potenciales como lo es el desarrollo del
análisis, los matemáticos
tenían a su disposición el desarrollo en
serie, fracciones continuas, productos
infinitos, etc… y estos métodos se usaron con toda
eficiencia y
desenvoltura. El primer desarrollo de en producto
infinito lo da F-Viete en 1579.
(10) 
Convirtiéndose el producto de
Viete en la primera definición analítica de
En este trabajo recordaremos solamente los más
notables desarrollos infinitos de
Fórmula de Jhon Wallis:
.
Fórmula de Gregory y Leibniz
(1556):-
La fórmula de Euler:
;al sustituir
se obtiene: -
Esta fórmula relaciona el número
con e, base de los
logaritmos.La fórmula de Machin
(1706). 
;
se obtiene:
Se demuestra usando el desarrollo en serie de la
función
arctg(x), Machin calculó 100 cifras
decimales exactas de
Conviene cerrar este período en 1767, año
en que H. Lambert, luego de largos estudios logra
demostrar el primer resultado sobre la naturaleza de
En el tercer período de nuestra historia, la
irracionalidad de fue de nuevo demostrada por
Legendre (1794) junto con la irracionalidad de 
, una nueva y más
simple demostración de la irracionalidad de
fue dada 1947 por I. Niven. En 1844,
Liouville, demostró la existencia de números
trascendentes, o sea de números reales que no son
raíces de ninguna ecuación algebraica de
coeficientes racionales. Finalmente en 1862 F. Lindemann
demostró que es un número
trascendente.
Un cuarto período en la historia de
son los tiempos muy recientes, con la
invención de las computadoras.
Después de la demostración de la irracionalidad y
de la trascendencia de , toma interés,
con el fin de estudiar estadísticamente la frecuencia de
las cifras en la expresión de .
Se trata de saber si es un número
normal, según la definición de E. Borel, un
número cuyas cifras decimales del 0 al 9 aparezcan en
media una vez sobre10, hay que conocer un gran número de
cifras decimales de
El profesor Francisco Duarte de Venezuela en
su trabajo titulado "Monografía
de los números y e", desarrolla y
e, con más de cien decimales exactos.
En 1962 se calcularon 100.000 cifras en el desarrollo de
(Shawks y Wrench). Hoy en día se calcula
el número de cifras que uno quiera con las computadoras
super modernas.
Profesor: Juan Saba S.
Facultad de Ingeniería
Núcleo de Cagua U.C.V.