Lógica

Indice
1. Introducción
2. Componentes de un SAF
3. El teorema de indecidibilidad de Gödel
4. Conclusión

1. Introducción

En el siguiente trabajo se va a dar una breve reseña de algunos de los diferentes teoremas, existentes para la lógica y la matemática dando una descripción de forma rápida y precisa acerca de estos teoremas; Entre ellos el teorema de godel y su teorema de incompletitud Sobre proposiciones formalmente indecidibles en los Principia Matemática y sistemas análogos, además de sus aportes al sistema MIU.
Otro tema también explorado es el de los sistemas axiomáticos formales el cual se define por medio de una definición explicita e implícita y se ve regido por una serie de teoremas.
Las ciencias formales y las fácticas también son de gran interés debido a estas contiene una serie de reglas o proposiciones para que estas ciencias se puedan llamar ciencias formales y fácticas.

Los sistemas axiomáticos formales
Las cuatro condiciones de Pasch (1882). Primera axiomatización de la geometría.

2. Componentes de un SAF

Sistemas anteriores. Casos paradigmáticos: lógica y aritmética. Los conceptos de los sistemas anteriores se aluden en tanto su poder operativo y su verdad material. Intento de reducir todos los sistemas anteriores a la misma teoría axiomatizada, para que sea autosuficiente. (cf. infra)

Vocabulario. ¿Lenguaje natural o lenguaje formal?

• Términos lógicos. Dependen de la lógica subyacente: conectivas y cuantificadores, (signos auxiliares).
• Términos no lógicos. Variables y constantes de individuo, predicado, etc.

Primitivos: los que aparecen en los axiomas. Definición por postulados, definición implícita (Gergonne). El único significado/sentido de los términos es el asignado por sus relaciones. A veces sólo podemos establecer un significado relacional, no explícito. Los postulados no son valuables, son sólo funciones proposicionales.
Definidos. Son definidos en función de los términos primitivos, que son aquellos que aparecen en los axiomas o postulados.
Reglas de formación. Se trata de reglas sintácticas que especifican aquellas fórmulas que son parte del sistema, a las que se denomina fórmulas bien formadas. Cfr. Lógica, definición recursiva de fórmula.
Reglas de transformación. Se trata de las reglas lógicas utilizadas en las demostraciones, que permitirán el paso de los axiomas a los teoremas. Propiedad: Las reglas pueden o no ser correctas, i.e., transmitir además de la teorematicidad la verdad semántica. Si las reglas son correctas, todos los teoremas son también tautologías. Por ej., modus ponens.
Axiomas. Finitos en la teoría clásica, hoy infinitos (cfr. teorema de Craig, no todos los axiomas son factibles de sistematizarse en axiomas esquema). Axiomas esquema; evitan la cuantificación de segundo grado (cfr. principio de inducción matemática en la axiomatización peaniana de la aritmética).

Teoremas Infinitos.

• Sistemas equivalentes. La indefinibilidad y la indemostrabilidad no son propiedades absolutas. Dos sistemas son equivalentes cuando cualquier proposición del uno pueden ser demostrada con ayuda de las del otro, y viceversa, e igual para indefinibles.
• Sistemas debilitados. Incluyen más, demuestran menos.
• Sistemas saturados. No admiten más postulados independientes.

Semántica

• Interpretación. (Función interpretación: I: L ---> D; a cada cte de L se le asigna una entidad de D -real o imaginaria). Versión más amplia: asigna no entidades, sino meramente significado. Puede no hacer verdaderos a todos los axiomas.
• Modelo. Realización concreta de la axiomática. Hace verdaderos a todos los axiomas.

Modelos isomorfos. Igual estructura lógica. Ejemplo Nagel: figuras, nombres y números.
Propiedades de un sistema axiomático.

• Consistencia. Los sistemas inconsistentes no revisten interés. Toda fórmula tiene prueba: EFSQ.

-Pruebas de consistencia

• Relativa. Oración condicional: interpretación del sistema cuya consistencia se quiere probar en uno cuya consistencia se supone.
• Absoluta.
• Semántica. Encontrar un modelo. Si tiene modelo, es consistente. ¡Ojo! Sólo en un sistema completo es cierto que "si es consistente, tiene modelo" (formulación del teorema de completitud).
• Sintáctica. Existe una fórmula que no es teorema.
• Completitud. Dadas dos proposiciones contradictorias, al menos una es teorema. Versión semántica: en un sistema completo, todas las tautologías son teoremas.
• Decidibilidad. Existe un procedimiento algorítmico para probar si una fbf es o no teorema del sistema.
• Categoricidad. En presencia de una fbf cualquiera, es posible demostrarla o refutarla.
• Satisfacibilidad. Es posible encontrar una interpretación que haga verdaderos a los axiomas. (Modelo).

Independencia de los axiomas y de los términos primitivos. No es posible definirlos en función de los otros.

• Pruebas de independencia.
• Sintáctica. El postulado no es teorema del sistema.
• Semántica. Existe un modelo que hace verdaderos a los otros axiomas y falso a ése. 2.8. Ejemplos de SAF’s

La aritmética de Peano (1889). Consta de sólo 5 axiomas y tres términos primitivos (número, cero y sucesor de). El axioma de inducción matemática requiere una cuantificación de segundo grado.
La geometría euclidiana de Hilbert (1899). Consta de 21 axiomas organizados en 5 grupos de acuerdo a los teoremas que delimitan: de la geometría proyectiva (8), topológicos (4), de congruencia (6), de las paralelas (1), de continuidad (2).

Propiedades

• Consistencia relativa a la aritmética.
• Independencia de los axiomas de continuidad. Hilbert creó una geometría no arquimediana.
• La teoría de conjuntos de Zermelo (1908). Consta de 7 axiomas.

Surgimiento de la metateoría, sus principales alcances y descubrimientos.

Distintas corrientes
En el siglo XIX están presentes dos corrientes: por un lado, Boole y su escuela intentan crear sobre el modelo algebraico un cálculo lógico. Por el otro, la escuela italiana (Peano...) persigue la idea de crear un cálculo lógico para la matemática. Esto desemboca en la idea de una axiomática presentada únicamente bajo la forma simbólica. En este sentido, cobra vigor la idea de reemplazar el razonamiento por el cálculo; ahora los símbolos no hacen referencia a nada: son los objetos últimos.
El encuentro de la escuela de Boole con la corriente de axiomatización de la geometría es significativo. La lógica se axiomatiza y la axiomática deviene un cálculo.

La axiomatización de la lógica
El proyecto logicista de Frege, Russell y Whitehead pretendía reducir la matemática a la lógica, estando ésta última axiomatizada. Éste es justamente el objetivo de los Principio Matemático de los dos últimos. Pero el ideal de Russell era el de una lógica absoluta, cuyos principios fueran intelectualmente evidentes, un fundamento último. Con esto, la matemática dejaba de ser hipotético deductiva: volvía a hacer afirmaciones categóricas.
Pero esta perspectiva no fue la que predominó. Hacia 1920, pasó con la lógica lo mismo que había pasado con la geometría: como consecuencia de su axiomatización, se pluralizó. Se transforma en este sentido en un SAF y como tal la lógica clásica no tiene por qué predominar sobre las nuevas lógicas. Ahora bien, ¿a qué sistema anterior recurre para basar su funcionamiento? ¿No es ella misma el sistema último? Surge entonces la necesidad de una metateoría que dé cuenta de las relaciones lógicas mismas con las que la lógica es construida. Pero esta disciplina no puede siempre expresarse en el seno de la misma lógica, por ejemplo, la licencia de reemplazar variables en una fórmula no puede ser expresada en un lenguaje simbólico que no la presuponga. No puede evitarse el recurrir a un nivel superior del lenguaje, el cual se conformará en el seno de la denominada metalógica, la cual no será sino un discurso sobre el cálculo lógico, sobre su sintaxis y las reglas para su interpretación. Estas nociones se tomarán siempre en su sentido intuitivo. De desear la axiomatización de este metalenguaje, nos toparíamos con la necesidad de articular un nuevo metalenguaje del metalenguaje. Nunca podremos eliminar definitivamente la intuición.

Propiedades de los sistemas lógicos
La lógica proposicional es completa y decidible. Es decir, la noción de esquema de argumento de la lógica proposicional válido es decidible y la tautologicidad está toda reflejada en la teorematicidad.
La lógica de predicados es completa, pero indecidible en su conjunto (Teorema de Church). Sólo es decidible el subconjunto que corresponde a las operaciones con predicados de una sola posición, es decir, de propiedad. Al ser completa, queda claro que existen verdades semánticas, que a la vez son teoremas, pero no existe un procedimiento algorítmico que nos permita decidir sobre su teorematicidad. Lindström probó también que cualquier ampliación de la lógica de predicados indefectiblemente perderá alguna entre dos de sus metapropiedades: la completitud o la expresada en el teorema de Löwenheim, que se refiere a la indiferencia de este lenguaje a los distintos tipos de infinitos (enumerables y no enumerables).
La lógica de orden superior es incompleta. En ella es posible formalizar un sistema como la aritmética (cf. los axiomas de Peano), cuya esencial incompletitud fue testimoniada por los descubrimientos de Gödel de 1931.

El sistema axiomático MIU
El sistema axiomatico MIU esta tomado del libro:
"Godel, Escher y Bach: un Eterno y Gracil Bucle", Douglas R. Hofstadter. Tusquets editores.
El sistema es utilizado por el autor para explicar los sistemas formales planteando al lector
Varios juegos y acertijos sobre él. El lenguaje sobre el que del sistema axiomático es el lenguaje universal sobre el alfabero <>{M, I,U<>}.

Axioma: MI
Reglas de inferencia: Son cuatro (esquemas de) reglas de inferencia:
R1 De αI se deriva αIU
R2 De Mα se deriva Mαα
R3 De αIIIβ se deriva αUβ
R4 De αUUβ se deriva αβ
Las variables α y β representan cadenas de símbolos

Proposición 1 Si A es un teorema de MIU, entonces A = Mα siendo α una cadena que no
incluye el sνmbolo M.
Teorema 2 Décimos que la aplicación I : MIU . N como sigue: .(M) = 0, .(I) = 1, .(U) = 3,
.(s1 . . . sn) = .(s1) +...+ .(sn). Sea A = Mα en donde α es una cadena que no incluye el
símbolo M; entonces A es teorema si y solo si .(A) no es múltiplo de 3.
Condición necesaria en el teorema 2
Demostramos la condición necesaria por inducción estructural:
(i) .(MI) = 1 no es múltiplo de 3
(ii) Supongamos que A es un teorema; distinguimos las siguientes casos:
1. Si A = αI y .(αI) no es mϊltiplo de 3, entonces .(αIU) = .(αI) + 3 tampoco es
mϊltiplo de 3.
2. Si A = Mα y .(Mα) no es mϊltiplo de 3, entonces .(Mαα) = 2.(Mα) tampoco es
múltiplo de 3.
3. Si A = αIIIβ y .(αIIIβ) no es mϊltiplo de 3, entonces .(αUβ) = .(αIIIβ)
tampoco es múltiplo de 3.
4. Si A = αUUβ y .(αUUβ) no es mϊltiplo de 3, entonces I(αβ) = I(αUUβ) – 6
Tampoco es múltiplo de 3.
Por lo tanto, todo teorema A veri.ca que .(A) no es múltiplo de 3.

Condición necesaria en el teorema 2
Como es habitual, la demostración de la completitud, enunciada por la condición suficiente,
es mas complicada, ya que supone la construcción de una demostración espec´ý.ca en el sistema
axiomático para cada formula A verificando que .(A) no es múltiplo de 3. Vamos a utilizar el
siguiente lema:
Lema 3 Para cada n . N* se veri.ca las siguientes congruencias:
22n = 4(mod6) 22n-1 = 2(mod6)
1N es el conjunto de valores semánticos, el conjunto de los naturales no múltiplos de 3 son los valores
destacados y <>{.<>} es el conjunto de interpretaciones
La demostración de este lema es trivial. 2 = 2(mod6) y 22 = 4(mod6). Por otra parte, si
2n = 2+6k, entonces 2n+1 = 2*2+2*6k = 4+6m; si 2n = 4+6k, entonces 2n+1 = 2*4+2*6k =
8 + 6m = 2+6(m + 1).
Ya podemos abordar la demostración de la condición suficiente. Sea A una formula tal que
.(A) no es múltiplo de 3; entonces se veri.ca una de las siguientes cuatro congruencias:
.(A) = 1(mod6) .(A) = 2(mod6) .(A) = 4(mod6) .(A) = 5(mod6)
Para cada caso, construimos la correspondiente demostración. Concretamente, vamos a construir
una demostración para MI . . . . . . I ya que a partir de ella, y con la
_ __ _
.(A)
regla R3, podemos sustituir los grupos de les necesarios hasta obtener obtener A.
ya que a partir de ella, y con la regla R3, podemos sustituir los grupos de Ies necesarios hasta obtener obtener A.
1. Si .(A) = 1+6m tomamos el primer natural n tal que 2n > .(A) y 2n = 4+6k. Entonces
2n - .(A) = 3+6(k - m). La demostraci´on de A es la siguiente:
(1) MI Axioma
...
(n) MI . . . . . . I
_ __ _
2n
(n - 1) veces R2 sobre (1)
(n + 1) MI . . . . . . I
_ __ _
.(A)
I . . . . . . I
_ __ _
(3+6(k-m))
U R1 sobre (n)
...
_ __ _
.(A)
U . . . . . . U
_ __ _
2(k-m+1)
(2(k - m) + 1) veces R3 sobre (n + 1)
...
(_ + k - m + 1) MI . . . . . . I
_ __ _
.(A)

(k - m + 1) veces R4 sobre (_)
2. Si .(A) = 2+6m tomamos el primer natural n tal que 2n > .(A) y 2n = 2+6k. Entonces
2n - .(A) = 6(k - m). La demostración de A es la siguiente:
3
(1) MI Axioma
...
(n) MI . . . . . . I
_ __ _
.(A)
I . . . . . . I
_ __ _
(6(k-m))
(n - 1) veces R2 sobre (1)
...
(_) = (n + 2(k - m)) MI . . . . . . I
_ __ _
.(A)
U . . . . . . U
_ __ _
2(k-m)
2(k - m) veces R3 sobre (n + 2)
...
(_ + k - m) MI . . . . . . I
_ __ _
.(A)

(k - m) veces R4 sobre (_)
3. Si .(A) = 4+6m tomamos el primer natural n tal que 2n > .(A) y 2n = 4+6k. Entonces
2n - .(A) = 6(k - m). La demostración de A es la misma que para el caso anterior.
4. Si .(A) = 5+6m tomamos el primer natural n tal que 2n > .(A) y 2n = 8+6k. Entonces
2n - .(A) = 3+6(k - m). La demostración de A es la misma que para el primer caso.
Ejemplos:
— MU no es un teorema ya que .(MU) = 3
— MUII es un teorema ya que .(MUII) = 5; la demostración es
1. MI Ax.
2. MII R2 sobre 1
3. MIIII R2 sobre 2
4. MIIIIIIII R2 sobre 3
5. MIIIIIIIIU R1 sobre 4
6. MIIIIIUU R3 sobre 5
7. MIIIII R4 sobre 6
8. MUII R4 sobre 7
— MUIUI es un teorema ya que .(MIUIU) = 8; la demostración definida por el resultado
de completitud es
1. MI Ax.
2. MII R2 sobre 1
3. MIIII R2 sobre 2
4. MIIIIIIII R2 sobre 3
5. MIUIIII R3 sobre 4
6. MIUIU R3 sobre 5
4

La demostración dada en la prueba de completitud no tiene por que ser la única ni la más sencilla; por ejemplo, en este caso podemos dar una demostración más simple:
1. MI Ax.
2. MIU R1 sobre 1
3. MIUIU R2 sobre 2

3. El teorema de indecidibilidad de Gödel

Los teoremas de indecidibilidad y de incompletud de Gödel imponen a los matemáticos la conclusión de que los métodos axiomáticos tienen algunas limitaciones intrínsecas que declaran, por ejemplo, que incluso la aritmética ordinaria no puede ser totalmente axiomatizada, o que la mayoría de los campos más significativos de las matemáticas no pueden estar libres de contradicciones internas. Si pudiésemos refutar los teoremas limitativos, podríamos restaurar las brillantes alternativas propuestas por Leibniz y Hilbert.

El primero de los teoremas limitativos de Gödel, o teorema de indecidibilidad, tiene el número VI en el artículo original del autor en la referencia [1], puesto que, para llegar a ese teorema, él muestra un largo desarrollo dentro de la teoría de "funciones recursivas primitivas".
Este teorema exige que, en el sistema P (de Principia Matemática aumentado con los axiomas de Peano), hay siempre alguna sentencia tal que ni ella ni su negación son deducibles en el sistema.
Las "funciones recursivas primitivas" juegan un papel fundamental en la matemática, debido a que se acepta en forma general que su uso constituye el equivalente formal de un "método eficaz finito" para calcular o probar algo; en otros términos, significa lo mismo que lo que acostumbramos llamar "algoritmo". La noción de verdad matemática tiene este carácter, de forma que cualquier ser humano es capaz de reproducir un resultado (matemático).

Uno de los corolarios del teorema de indecidibilidad, el teorema de incompletud, establece que la axiomatización, de cualquier sistema formal que contenga, por lo menos, la aritmética elemental, no puede completarse, a menos que se haga inconsistente. La influencia de este teorema en la informática reposa en el hecho de que un programa de computación es directamente expresable en, o traducible a, lógica (por ejemplo en lenguaje PROLOG) que es un sistema formal. La respuesta, a la pregunta de ¿qué pasaría si, por accidente, nosotros completásemos la axiomatización de la aritmética dentro de un programa?, es que nosotros podríamos obtener absolutamente cualquier respuesta, debido a que eso es lo que pasa cuando está presente una contradicción lógica dentro de un sistema formal. Por lo cual nosotros siempre tendríamos dudas acerca de la confiabilidad de la computación.

Se ha establecido el dilema de dejar de usar la regla de la inducción matemática o de dejar de aceptar el teorema de Gödel. Se sugiere que se use esta regla muy natural dentro de los sistemas formales, que es la regla de inducción, para evitar el efecto de los teoremas de Gödel.

Teorema de Incompletud, publicado en 1931 en Uber formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica and verwandter Systeme (Sobre proposiciones formalmente indecidibles en los Principia Matemática y sistemas análogos). Este teorema demuestra que en cualquier sistema matemático, (aunque el título se refiere al sistema de los Principia Matemática de Russell), hay proposiciones que no pueden ser probadas, ni rechazadas, dentro de los axiomas del sistema. Dicho de otra manera: No se puede probar la consistencia de los axiomas.
Más claro: Dado un conjunto de axiomas, CUALQUIERA, existirán proposiciones, que NO se podrán demostrar.
Este teorema es un hito en las matemáticas. Durante años se había intentado establecer un conjunto de axiomas en el que se pudiesen basar todas las matemáticas. Bertrand Russell lo intentó en Principia Matemática, Hilbert también lo intentó y Gödell demostró que la tarea era imposible.

Este teorema demuestra que un ordenador nunca podrá ser programado para responder a cuestiones matemáticas.
Ciencia formal y ciencia fáctica
Teniendo en cuenta de que no toda investigación científica procura el conocimiento objetivo, el objeto de estudio y el método por el que se ponen a prueba los enunciados verificables, podemos efectuar esta división entre ciencias formales -o ideales- y ciencias fácticas -o materiales-.
Las ciencias formales: como la lógica y la matemática poseen conocimientos racionales, sistemáticos y verificables pero que no son objetivos ya que no proveen informaciones acerca de la realidad por no ocuparse de "hechos". Estas ciencias tratan entes ideales que solo existen en la mente humana. Estos lógicos y matemáticos construyen sus propios objetos de estudio como pueden ser las figuras geométricas, los números, etc. Es por eso que se dice que la materia prima que emplean no es fáctica sino ideal. Es por esta modalidad de inventar entes formales y establecer relaciones entre ellos que a la lógica y a la matemática se las llama "ciencias formales". Los enunciados de las ciencias formales consisten en relaciones entre signos y el método por el cual se ponen a prueba los enunciados verificables es la "lógica", con la cual podrán demostrar rigurosamente sus teoremas. En matemática por ejemplo la verdad consiste en la racionalidad, es decir, en la coherencia del enunciado dado con un sistema de ideas admitido previamente. Se debe tener en cuenta que las ciencias formales: demuestran o prueban y que sus teorías pueden ser llevadas a un estado de perfección o estancamiento y su estudio puede vigorizar el habito de rigor.

Las ciencias fácticas: son totalmente diferentes. Sus enunciados refieren en su mayoría a entres extracientificos: sucesos y procesos y necesitan de la observación y experimentación para confirmar sus conjeturas. Las ciencias fácticas deben mirar las cosas y procurar cuando sea posible, cambiarlas para intentar descubrir en que medida sus hipótesis se adecuan a los hechos. En las ciencias fácticas no se emplean símbolos vacíos (variables lógicas) como en las formales, sino símbolos interpretados. En las ciencias fácticas la racionalidad es necesaria pero no suficiente, ya que se exige que los enunciados sean verificables en la experiencia para poder ser considerados verdaderos, porque para afirmar que un enunciado es verdadero se requieren datos empíricos. La experiencia solo nos dirá que la hipótesis en cuestión es probable ya que un estudio posterior podría indicar algo diferente. Se debe tener en cuenta que las ciencias fácticas: verifican, confirman o disconfirman hipótesis, en su mayoría, provisorias. La demostración es completa y final pero la verificación es incompleta y por ello temporaria. El mismo método científico impide la confirmación final de las hipótesis fácticas y el estudio de estas ciencias puede hacer que consideremos al mundo como inagotable.

Los rasgos esenciales del tipo de conocimiento que alcanzan las ciencias fácticas son la racionalidad y la objetividad.
Un conocimiento es racional cuando:

• Esta constituido por conceptos, juicios y raciocinios y no por sensaciones, imágenes o pautas de conducta y tanto el punto de partida como el punto final son ideas;
• Esas ideas pueden combinarse de acuerdo a un conjunto de reglas lógicas, para producir nuevas ideas, usando la deducción, y que serán nuevas puesto que expresaran conocimientos nuevos de los que no se tenia conciencia antes de efectuar la deducción.
• Estas ideas se organizan en sistemas de ideas, en conjuntos ordenados (teorías).

Un conocimiento es objetivo cuando:

• Concuerda aproximadamente con su objeto, es decir, busca alcanzar la verdad fáctica
• Verifica la adaptación de las ideas a los hechos mediante la observación y la experimentación.

Principales características de las ciencias fácticas

1. El conocimiento científico es fáctico: parte de los hechos, los respeta y siempre vuelve a ellos. La ciencia intenta describir los hechos como son, avalorativamente. Los enunciados fácticos confirmados se llaman "datos empíricos", se obtienen con ayuda de teorías y son a su vez la materia prima de la elaboración teórica. Nos siempre es posible respetar los hechos al analizarlo ya que a veces queda modificado por la perturbación del experimento pero dichos cambios serán objetivos debido a que los científicos intentaran estimar la desviación o el error producidos por su intervención.
2. El conocimiento científico trasciende los hechos: descarta hechos, produce nuevos hechos y los explica. La investigación científica no se limita a los hechos observados: se va mas allá de la realidad, se rechazan el grueso de los hechos percibidos, se seleccionan los relevantes, se controlan hechos y en lo posible se reproducen; incluso producen cosas nuevas. Pero los científicos no aceptan nuevos hechos a menos que puedan constatar su autenticidad para lo que se fundan en la experiencia colectiva y en la teoría, no así en la experiencia individual. La principal fuente de descubrimiento de nuevos hechos es: su elaboración teórica y la comparación de las consecuencias de las teorías con los datos observacionales.
3. La ciencia es analítica: la investigación científica aborda los problemas uno a uno y trata de descomponerlo todo en elementos. Trata de entender la situación total e intenta descubrir los elementos que componen cada totalidad y sus interconexiones. Los resultados de la ciencia son generales. La ciencia autentica no es atomista ni totalista. La investigación comienza descomponiendo sus objetos para descubrir su mecanismo interno, analiza la naturaleza de sus partes y trata de reconstruir el todo como partes interconectadas.
4. La investigación científica es especializada: la especialización es una consecuencia del enfoque analítico y tiende a estrechar la visión del científico individual.
5. El conocimiento científico es claro y preciso: sus problemas son distintos, sus resultados son claros, sus definiciones precisas, sus descripciones exactas; a diferencia del conocimiento ordinario que es vago e inexacto. La ciencia transforma en preciso lo que el sentido común conoce de manera nebulosa. Si bien el conocimiento científico no esta nunca libre de error, procura la precisión y posee una técnica única para encontrar errores y sacar provecho de ellos. La claridad y la precisión en ciencia se obtienen:

• Los problemas se formulan de manera clara.
• La ciencia parte de nociones que parecen claras, las complica, purifica y eventualmente las rechaza.
• La ciencia define la mayoría de sus conceptos no definidos o primitivos por la función que desempeñan en un sistema teórico (definición contextual)
• La ciencia crea lenguajes artificiales inventando símbolos a los que se le atribuyen significados determinados por medio de reglas de designación. Los símbolos serán tan simples como sea posible (Ej. Au -oro-), pero podrán combinarse para formar configuraciones tan complejas como sea necesario.
• La ciencia procura siempre medir y registrar los fenómenos, aunque no se vale solo de la matemática ya que no es ella quien garantiza la condición de conocimiento científico. Ej. teoría de los grupos, la topología.

1. El conocimiento científico es comunicable: es expresable y publico; comunica información a quien quiera haya sido adiestrado para comprenderlo. La comunicabilidad es una condición necesaria para la verificación de los datos empíricos y de las hipótesis científicas.
2. El conocimiento científico es verificable: debe aprobar el examen de la experiencia. Las suposiciones del científico deben ser puestas a prueba. Las ideas científicas no pueden fracasar en la practica porque de hacerlo fracasarían por entero. La verificabilidad hace a la esencia del conocimiento científico, si así no fuera, no podría decirse que los científicos procuran alcanzar un conocimiento objetivo.
3. La investigación científica es metódica: es planeada. Los científicos saben lo que buscan y como encontrarlo, aunque no excluye al azar y la novedad inesperada. Incluso pueden producir el azar deliberadamente. Toda investigación se funda sobre el conocimiento anterior y sobre conjeturas mejor confirmadas, es decir, la investigación procede conforme a reglas y técnicas que han resultado eficaces en el pasado pero que son perfeccionadas constantemente. La ciencia fáctica emplea el método experimental en sentido amplio: un test empírico de conclusiones particulares extraídas de hipótesis generales.
4. El conocimiento científico es sistemático: una ciencia es un sistema de ideas conectadas lógicamente entre sí, todo capitulo de una ciencia contiene teorías o sistemas de ideas que están ordenadas mediante la relación "implica". El fundamento de una teoría es un conjunto de principios o hipótesis que solo a través de las revoluciones científicas serán sustituidas y reemplazadas por otros sistemas teóricos.
5. El conocimiento científico es general: ubica los hechos singulares en pautas generales. El científico se ocupa de aquel hecho singular que es miembro de una clase o caso de una ley y presupone que todo hecho es clasificable y legal. La ciencia ignora el hecho aislado. La generalización es el único medio que se conoce para adentrarse en lo concreto, para apresar la esencia de las cosas.
6. El conocimiento científico es legal busca leyes y las aplica. El conocimiento científico inserta los hechos singulares en pautas generales llamadas "leyes naturales" o "leyes sociales". En la medida en que la ciencia es legal, intenta llegar a la raíz de las cosas. Encuentra la esencia en variables pertinentes y en las relaciones entre ellas. Hay muchos tipos de leyes. Hay leyes de hechos y leyes mediante las cuales se pueden explicar otras leyes. Los enunciados de las leyes son hipótesis confirmadas.
7. La ciencia es explicativa: intenta explicar los hechos en términos de leyes y las leyes en termino de principios. Los científicos no se conforman con descripciones detalladas sino que procuran responder a porques (por que, como). La explicación científica se efectúa en términos de leyes y al haber diversos tipos de leyes científicas también hay diversidad de tipos de explicaciones científicas (Ej. Morfológicas, cinemáticas, dinámicas, etc.) Las explicaciones científicas no son finales pero son perfectibles.
8. El conocimiento científico es predictivo: imagina como puede haber sido el pasado y como podrá ser el futuro. La predicción es una manera eficaz de poner a prueba las hipótesis y es la clave de control o modificación del curso de los acontecimientos. La predicción científica se funda sobre leyes e informaciones especificas fidedignas, relativas al estado de cosas actual o pasado y se caracteriza por su perfectibilidad y si esta fallara nos obligaría a corregir nuestras suposiciones, alcanzando así una inteligencia mas profunda, por lo que la predicción fallida puede contribuir al conocimiento teórico.
9. La ciencia es abierta: no reconoce barreras a priori que limiten el conocimiento. La ciencia carece de axiomas evidentes, sus postulados pueden ser corregidos o reemplazados. La ciencia no es un sistema dogmático y cerrado sino controvertido y abierto, porque es falible y por consiguiente capaz de progresar. Una teoría científica tan pronto como ha sido establecida, corre el peligro de ser refutada o al menos de que se circunscriba su dominio.
10. La ciencia es útil: porque busca la verdad, la ciencia es eficaz en la provisión de herramientas y el conocimiento científico puede ser empleado en beneficio de la humanidad. La ciencia es útil porque constituye el fundamento de la tecnología, se la emplea en la edificación de concepciones del mundo que concuerdan con los hechos y crea el habito de adoptar una actitud de libre y valiente examen. La ciencia es valiosa como herramienta para domar la naturaleza y remodelar la sociedad, como clave para la inteligencia del mundo y del yo, y es eficaz en el enriquecimiento, la disciplina y la liberación de nuestra mente.

En las Ciencias Formales encontramos a la Lógica y las Matemáticas; ambas se refieren a objetos de estudio que no están en la realidad tangible, por lo mismo no se pueden contactar con la realidad para convalidar sus formulas; la materia prima que utilizan es lo ideal. 
Ciencias
FACTICAS FORMALES
QUIMICA MATEMATICA
BIOLOGIA LOGICA
PSICOLOGIA

Metodo inductivo
En primer lugar conviene analizar cómo se alcanza la verdad mediante el método científico.
Sin lugar a dudas la experimentación (reintroducida por Galileo) es uno de los pilares fundamentales de las demostraciones científicas. Para que una teoría científica sea aceptada debe ser capaz de justificar los resultados experimentales disponibles. Y además debe hacerlo en forma más sencilla, o completa, que otras teorías.
Sin embargo, lo que no suele analizarse en detalle, es que los resultados experimentales exitosos no necesariamente demuestran la "verdad" o "falsedad" de una teoría científica. Detrás de cada medición experimental hay una serie de suposiciones, que hacen que el análisis de los resultados esté condicionado.

Si se acepta, como se postuló durante muchísimo tiempo, que el movimiento de los planetas (con una Tierra estacionaria) era debido al trabajo de los ángeles que le imprimían sus caprichosos desplazamientos con respecto al fondo fijo de estrellas, cada dato experimental sólo demuestra la eficiencia de los ángeles para realizar su tarea. Pero si se acepta la ley de la gravitación de Newton, o la curvatura del Espacio-Tiempo de Einstein, los datos experimentales permiten verificar la capacidad de estas teorías para describir el funcionamiento del mundo físico. Cómo se observa, la selección de un modelo, condiciona el análisis de los datos experimentales. Y esto ocurre siempre. Y en alguna medida, esta es la razón por la que siempre han existido líneas de pensamiento que desarrollan modelos de la realidad tratando de independizarse de los datos experimentales. Desde mi punto de vista, la falacia de estas escuelas de pensamiento deriva de que todos nuestros procesos mentales se originan a partir de la interacción con el mundo físico. Y nuestra interacción (mediante los sentidos) con la realidad es un experimento continuo.
Un ejemplo muy ilustrativo ( y divertido) es el del científico que, al no descubrir orejas en las arañas, decidió estudiar la relación entre los ochos apéndices de los arácnidos y la recepción de señales sonoras. Para ello amaestró una araña para que al oír un silbato subiera por una rampa y, a continuación, fue cortando, una a una, las patas del pobre bicho hasta que al cortar la octava "demostró" que LA ARAÑA SIN PATAS ES SORDA, puesto que dejó de realizar su ascenso por la rampa (no cabe entrar en detalles con respecto al esfuerzo que hizo la pobre araña para trepar con una sola pata). Por supuesto que este cuento resulta gracioso (aunque cruel) porque "sabemos" donde está la falacia del científico. Sin embargo casi todas las teorías antiguas (flogisto, transmutación con la Piedra Filosofal, etc, etc) se nos antojan similares a esta historia, ahora que "sabemos" las verdades de la teoría atómica.

4. Conclusión

La verdad es que el tema me era indiferente ya que nunca había tenido acceso a esta información, la pude apreciar desde el punto de vista de alguien que por primera vez esta leyendo e investigando al respecto, me fue de gran interés esta investigación ya que aunque no conocía el tema pude comprender algunas cosas como es el punto sobre los sistemas axiomáticos formales o mejor conocidos comúnmente como SAF, también ahonde acerca del teorema de CODEL y las ciencias fácticas y formales.

 

 

Autor:

Erika Montes
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