Comparación de métodos de calculo para tiempo de reverberación de un subterraneo para uso en refuerzo sonoro
1.
Introducción
2. Descripción
general
4. Densidad de energía sonora en
un recinto
5. Calculo del tiempo de
Reverberación
6. Sabine
7. Eyring
8. Conclusiones
9. Bibliografía
Este trabajo pretende ,en primera instancia, realizar
una descripción general de la geometría,
diseño
y materiales del
subterráneo de la universidad ,
para luego utilizar los datos obtenidos y
calcular teóricamente, mediante tres métodos
detallados, el tiempo de reverberación. Como resultado se
mostraran los tres procedimientos de
predicción, para luego sacar conclusiones de validez y
quedarnos con un valor
.
Todos estos valores nos
servirán para nuestro posterior trabajo con el recinto en
materia de
refuerzo sonoro
2. Descripción
general
El recinto esta localizado en el subterráneo de
la universidad el cual funciona de estacionamiento y de local de
operaciones de
sonido
amplificado. En el mismo recinto esta localizado una sala de
ensayo que se
tomara en cuenta en el momento de especificar el coeficiente de
absorción de la superficie que la contiene. Las paredes
del recinto están conformadas de distintos materiales en
varias superficies adyacentes que permiten disminuir la
reverberación promedio del recinto en una pequeña
cantidad. A pesar de esto la finalidad mas importante de la
distribución de distintos materiales en las
superficies de las paredes es mantener un sonido difuso de manera
de quebrantar la onda sonora en todos las direcciones por el
motivo de las reflexiones varias en materiales de distinta
impedancia. Existe una serie de pilares de forma rectangular que
sostienen el techo del recinto, es importante mencionar que es
posible que no influya en demasía en algunas frecuencias
,pero hay que recalcar que son un obstáculo para el frente
de onda que se propaga en esa dirección y que puede ocasionar zonas de
penumbra para altas frecuencias. El techo del recinto esta
tratado con material absorbente puesto en forma de
rectángulos de 0,6 x 0.77 metros por todo el techo en
hileras aleatorias.
Para tener una visión mas superior del tema que se esta
hablando, se muestra una
figura esquemática del recinto en planta baja .
Del dibujo se
puede rescatar las siguientes diferencias : Existe una
variación del revestimiento de las paredes, como se puede
observar la pared superior es de concreto
mientras que la inferior y la de la izquierda están
tratadas con madera
terciada . La pared de la derecha esta compuesta por una puerta
de madera deslizable, la que al cerrarse cubre gran parte de la
pared con este material, las partes que sobran son de concreto
.
- Dimensiones
Recinto 17,6 x 15,35 x 2,7 m
Sala de ensayo 5,16 x 3,79 m
Puerta de madera rellena 2,3 x 6 m
Estrado 4,56 x 3,44 x 0.21 m
Puerta de entrada 1.44 x 2,1 m
Puerta de la sala de ensayo 1.7 x 2,1 m
Puerta trasera 1.7 x 2,1 m
Pilares 0,8 x 0,21x 2,7 m
A continuación se mostrara la teoría
básica de la energía sonora en un recinto para
poder
describir el fenómeno y poder formular las ecuaciones que
predicen el valor del tiempo de reverberación y los modos
normales . Se comenzara diciendo que todas las consideraciones
hechas a continuación se suponen que son para campo difuso
.
4. Densidad de
energía sonora en un recinto
Idealmente en un recinto cerrado donde el coeficiente de
absorción es cero o aproximadamente cero , se tiene una
ganancia de 3 dB en cada reflexiona , en la practica esto no
sucede por la absorción que existe siempre en los
materiales , entonces esta energía crece gradualmente
hasta llegar a un máximo o estado
estacionario de energía sonora . Para llegar a la
expresión matemática
nos valemos de la ley de
conservación de energía .
(1)
W Fuente : potencia de la
fuente que esta en el recinto .
W absor. : potencia absorbida por los materiales en
forma de calor
(resistiva).
Sabemos que : Densidad de
energía = Energía / volumen
(2)
La potencia acústica absorbida esta relacionada
con el coeficiente de absorción , quiere decir que la onda
sonora pierde energía cada ves que rebota con una
superficie , y ésta perdida esta relacionada con el
coeficiente de absorción de esta superficie.
Esto es para una reflexión , para ‘n’
reflexiones se multiplica esta expresión ‘n’
veces . Esta letra ‘n’ tiene un significado temporal
, es decir, es una variable por unidad de tiempo .
Es de interés
conocer la distancia promedio que recorre un rayo entre
reflexiones sucesivas hasta extinguirse ,este concepto es
valido si suponemos que el campo es difuso .La expresión
es la siguiente.
V :
volumen del recinto
S : Superficie del recinto
Juntando esta ecuación con la ecuación de
movimiento del
sonido C = d / t, y teniendo en cuenta la variable
‘n’ como 1 / t , se tiene :
Entonces la energía absorbida para
‘n’ reflexiones es :
Reemplazando en la ecuación (2) y haciendo A
= a S
.
Resolviendo esta ecuación diferencial se obtiene
lo que se mencionó al principio .
Este es el comportamiento
del sonido en un recinto cerrado . La energía crece
exponencialmente a medida que pasa el tiempo hasta un valor
máximo estacionario que vale :
De acuerdo a la figura, la energía
acústica en el recinto decae de una manera progresiva al
apagar la fuente , o lo que es lo mismo, hacer W(fuente) igual a
cero . Al momento de interrumpir la fuente el sonido decae con
cierta rapidez, la cual va a depender de las características geométricas del
recinto, así como también de la cantidad de
material absorbente de que están revestidas las
superficies . Haciendo un análisis simple ,la velocidad con
la que decae el sonido en un recinto ‘ vivo’ o
reverberante es mas lenta que en una sala seca o con algún
material absorbente . También podemos imaginar que para
dos salas con igual absorción ,pero con tamaños
distintos , la velocidad con que decae el sonido es mayor para
salas pequeñas que para las mas grandes .
Con todo esto podemos concluir que la disminución de la
energía sonora esta relacionada directamente con la
absorción e inversamente relacionada con el volumen.
Podemos demostrar esto con la ecuación diferencial de la
energía sonora.
Desarrollamos :
(3)
Con esta expresión podemos definir el tiempo de
reverberación, como el tiempo que demora la energía
sonora en disminuir en una millonésima parte una ves que
se apaga la fuente sonora, es decir :
®
Despejando el T60 de la expresión nos
queda:
(4)
donde :
V volumen del recinto
A absorción del recinto
C velocidad del sonido
Hemos llegado a la expresión de T60 según
Sabine, el cual tiene una serie de inconvenientes que se
mencionaran después . El objetivo de
este trabajo es calcular este tiempo con distintos modelos de
predicción, para luego decidir cual es el mas adecuado.
Fue necesaria realizar esta introducción teórica porque ahora
podemos presentar los otros modelos de calculo del T60 que se
basan en la misma expresión del decaimiento de la
energía sonora en un recinto.
Desacuerdo con la expresión (4) la
absorción se puede expresar en términos del
coeficiente de absorción como A = S a , pero el modelo de
Eyring propone calcular la absorción con una
variación del coeficiente de absorción, es decir
:
(5)
Teniendo como referencia la propuesta de Sabine , se
puede hacer una cambio en el
valor de la absorción ‘A’,
reemplazándola por una expresión que pondera la
absorción de los pares de superficies opuestas, una ves
obtenido el valor se reemplaza en ‘A’ y se calcula el
T60.
El método mas
importante, a nuestro parecer, es el de Arau-Puchades que se usa
para aquellos casos en que la sala no tiene una
distribución uniforma de la absorción, que es el
caso de nosotros, porque hay paredes que no tienen el mismo
material en todo su superficie.
De la ecuación (3) se puede hacer unos cambios
convenientes . Reemplazamos A = S a para luego re escribir a como : -ln (1-a ) que indica la acción
absortora de la ecuación. Podemos llamarla mas general
‘exponente de absorción ‘, y a las variables que
faltan agruparlas en una constante K para efectos de calculo. De
todo esto se obtiene :
Donde :
D(0) :densidad de energía en el momento que se
apaga la fuente.
Abs. :Exponente de absorción .
K :Constante igual a -SC/4V
Este exponente de absorción, según el
método, se propone para las direcciones x , y, z en la
forma de una media geométrica, es decir :
Donde :
=
-ln(1-
) x: Área de paredes laterales.
=
-ln(1-
) y: Área de paredes frontal trasera
=
-ln(1-
) z: Área de paredes piso y techo
S: Superficie total.
S = x + y + z.
Ahora resolviendo de la misma forma según la
definición del tiempo de reverberación, es
decir:
Reemplazando el exponente de absorción, la
constante K y tomando C = 343 m / s
Finalmente podemos hacer 
=
-ln(1-)
=
-ln(1-)
=
-ln(1-)
(6)
Las ecuaciones (4),(5),(6) proponen un calculo distinto
para en T60, unos mas efectivos que otros, unos tomando en cuenta
mas consideraciones que otros. Mas adelante daremos los criterios
para quedarnos con un solo método de calculo, la
intensión de esta teoría preliminar fue demostrar
los tres métodos que utilizaremos para el calculo del
tiempo de reverberación del subterráneo de la
universidad.
5. Calculo del tiempo de
Reverberación.
Arau-Puchades
S1
S8 X = 2.S7 = 95,90m2
Y = 2.S1 = 82,89m2
S2 Z =2 (L1*L7 – L4*L5) = 506,12m
V1
S = X+Y+Z = 684,90m2
S7
V2 V = V1 – V2 = 683,26
S5
S4 S6
Como las superficies opuestas no tiene el mismo material
distribuido en ellas, se realiza una ponderación de las
superficies que contienen un material en particular, luego se
realiza el promedio de los dos frentes.
:
a
100% S2 + S3 = 48m2
A% S2 = 34,02m2 :Madera Terciada (0,18)
B% S5 – la puerta (sala de ensayo) = 10,43m2 :Concreto
(0,01)
C% La puerta (sala de ensayo) = 3,57m2 :Madera
(0,03)
Porcentajes equivalentes : A% = 70,8% B% =
21,7%
C% = 7,4%
=
+ 
Esto es porque la
superficie no tiene el mismo material.
=
.0,708 + 
.0,217 + 
.0,074 = 0,13
100% S7 = 48m2
A% 3m2 Puerta de entrada (0,03)
B% El resto madera terciada (0,18)
Porcentajes equivalentes : A% = 6,2% B% =
93,8%
=
.0,937 + .0,062 = 0,17
= 0,15
100% S1 = 41,4m2
A% S8 = 13,8m2 Madera Rellena con arena
(0,24)
B% 3,57m2 puerta trasera (0,03)
C% El resto Concreto (0,01)
Porcentajes equivalentes : A% = 33,3% B% =
8,62%
C% = 58%
=
.0,333 + .0,58 + .0,086 = 0,09
100% S6 + S4 = 41,4m2
A% S6 = 31,2m2 Madera terciada (0,18)
B% S4 = 10,23 concreto (0,01)
Porcentajes equivalentes : A% = 75,3% B% =
24,7%
=
.0,753 + .0,247 = 0,14
= 0,1
100% (L1*L7) – (L4*L5) = 253m2
A% 35m2 Esponja (72 unid.) (0,65)
B% El resto Concreto (0,01)
Porcentajes equivalentes : A% = 14% B% =
86%
=
.0,14 + .0,86 = 0,1
100% (L1*L7) – (L4*L5) = 253m2
A% 15,7m2 Estrado de madera (0,2)
B% El resto Concreto (0,01)
Porcentajes equivalentes : A% = 6,2% B% =
93,8%
=
.0,062 + .0,938 = 0,02
= 0,06
Llevando todos estos cálculos a la
ecuación (6)
Lo primero es calcular el coeficiente de
absorción promedio de la siguiente forma:
Luego reemplazar las dimensiones ya calculadas, que se
muestran en la figura anterior
X = 2.S7 = 95,90m2
Y = 2.S1 = 82,89m2
Z =2 (L1*L7 – L4*L5) =506,12m2
S = X+Y+Z = 684,90m2
V = V1 – V2 = 683,26
Introducimos este resultado en la expresión
general de Sabine (4) y resolvemos, teniendo en cuenta que las
mediciones se desarrollaron con 19,6 °C, valor que nos
servirá para calcular la velocidad del sonido .
Este método es parecido al anterior, solo da una
varianza en el calculo de la absorción que la remplaza
por una expresión logarítmica:
Valiéndonos del calculo anterior del coeficiente
de absorción promedio a y la predicción de la velocidad del
sonido a 19,6°C se obtiene:
T60 = 1,92 s
Loa resultados se pueden organizar de la siguiente forma
:
Sabine 2,007
Arau-Puchede 2,05
Eyling 1,92
Podemos observar que los tres valores son relativamente
parecido. Lo que podemos concluir es que el modelo mas eficaz
según las condiciones del problema es el de Arau-Puchede
ya que este modelo toma coeficientes de absorción el las
tres direcciones, y porque es un formula general, ya que podemos
deducir las aproximaciones de Sabine y Eyling con la
expresión de Arau-Puchede .
Hay que considerar que la expresión de Sabine
tiene solo un rango de confiabilidad, que no es nuestro caso ya
que el a nos da
0,08 , lo que da un buen margen de condición de campo
difuso. Con todo esto podemos predecir que el tiempo de
reverberación es de 2 segundos aproximadamente.
- Ruido , Fundamentos y control.
- Autores: Samir N. Y . Gerges, Ph.D. Ed.
1998 - Fundamentos de acústica.
- Autores : Lawrence E. Kinsler. Ed. 1990
- Austin R. Frey.
- Alan B. Coppens.
- James V. Sanders.
Autor:
Juan Ordinola A.
6º año Ing. Civil en sonido y Acústica.
Universidad Vicente Pérez Rosales