- Análisis
cinemático. Método de derivación de las
ecuaciones de la trayectoria - Análisis
cinemático. Método de los polígonos
vectoriales - Análisis
dinámico. Aplicación del Principio de
D'Alembert - Ejemplos de mecanismos
analizados por métodos manuales - Bibliografía
ANÁLISIS CINEMÁTICO Y DINÁMICO
DE MECANISMOS DE PALANCA
I.1 – Introducción:
El análisis cinemático y
dinámico de mecanismos de palancas es una tarea de gran
complejidad que requiere de sólidos conocimientos de
Física,
Análisis Matemático, Mecánica Teórica, etc. Para la
determinación de los desplazamientos, trayectorias,
velocidades y aceleraciones existen diferentes métodos:
- Métodos gráficos.
- Métodos grafo – analíticos.
- Métodos analíticos.
Los métodos gráficos tienen la gran
ventaja de que son muy ilustrativos y sencillos de aplicar, pero
a su vez la gran desventaja de su poca precisión; mientras
que los métodos analíticos son muy precisos, pero
de muy engorrosa aplicación. El desarrollo
actual de las técnicas
de computación ha permitido la
aplicación de métodos analíticos y grafo –
analíticos con mucha ilustratividad y
sencillez.
A continuación se exponen de manera detallada dos
métodos que a criterio de los autores son los más
recomendados para el análisis cinemático y
dinámico de mecanismos de palancas.
I.2 –
Análisis cinemático. Método de
derivación de las ecuaciones de
la trayectoria.
Para explicar este método se utilizarán
dos ejemplos concretos: el mecanismo de colisa traslatoria y el
mecanismo de manivela – biela – corredera
Mecanismo de colisa
traslatoria:
El mecanismo de colisa que se traslada está
integrado por la manivela, un patín, y la colisa
propiamente dicha ( ver figura 1).
Figura 1: Mecanismo de colisa
traslatoria.
Para poder realizar
el análisis cinemático y dinámico del
mecanismo es necesario ante todo determinar la ecuación de
la trayectoria de la colisa. La coordenada x determinará
en cualquier momento la posición de la misma. El
ángulo f
determina la posición de la manivela con respecto a
la vertical.
De la figura se observa que en todo momento la
coordenada x que determina la posición de la colisa se
puede calcular por la expresión:
(
1)
Derivando la expresión anterior se puede calcular
la velocidad de
la colisa para cualquier ángulo f girado por la manivela:
(2 )
De la misma forma derivando la expresión de la
velocidad se obtiene la expresión para calcular la
aceleración de la colisa:
(
3)
Mecanismo de manivela – biela –
corredera:
Para realizar el análisis cinemático y
dinámico del mecanismo de manivela – biela –
corredera el método a emplear es el mismo que para el
mecanismo de colisa traslatoria, solamente cambia la
ecuación de la trayectoria ( ver figura 2).
Figura 2: Mecanismo de manivela
– biela – corredera.
Para realizar el análisis cinemático,
previamente se ha realizado el análisis estructural, y se
conocen todas las dimensiones del mecanismo. Teniendo en cuenta
este planteamiento se puede hallar la expresión para el
cálculo
de la posición del patín o pistón por la
siguiente expresión:
(
4 )
El ángulo g girado por la biela está estrechamente
relacionado con el ángulo f girado por la manivela. El mismo puede
calcularse por la siguiente expresión:
(
5 )
Para hallar la velocidad del patín o
pistón basta con derivar la expresión del
desplazamiento con respecto al tiempo:
(
6 )
Para hallar el valor de la
velocidad angular de la biela w AB basta con derivar la expresión que
relaciona el ángulo girado por la biela con el
ángulo girado por la manivela:
(
7 )
Derivando la expresión de la velocidad del
patín se obtiene su aceleración:
( 8
)
La aceleración angular de la biela
a AB se determina
derivando la expresión para el cálculo de la
velocidad angular:
( 9
)
I.3 –
Análisis cinemático. Método de los
polígonos vectoriales.
El "Método de los polígonos vectoriales"
se basa en la sustitución del esquema cinemático
del mecanismo por polígonos vectoriales, lo que facilita
la obtención de las ecuaciones que determinan la
posición de cada elemento. Los vértices de los
polígonos se encontrarán en los pares
cinemáticos de rotación, en los ejes de los pares
de traslación y en otros puntos complementarios para la
realización del método. Estos polígonos
deben cumplir la condición de lazo cerrado y la cantidad
de vectores que lo
forman, así como la cantidad de polígonos
necesarios para la determinación de un mecanismo dado
depende de la complejidad de este, es decir de la clase y orden
del mecanismo y de sus grupos
estructurales.
La cantidad de polígonos vectoriales se puede
determinar a través de la siguiente
expresión:
Np = (Nel – W) / 2 (10 )
donde:
Np ……….. Número de polígonos
necesarios
Nel………… Número de elementos
móviles del mecanismo
W…………. Número de grados de libertad del
mecanismo (número de elementos motrices)
Cada grupo
estructural debe estar involucrado al menos en un polígono
vectorial y cada par cinemático debe estar señalado
por un vector. Conociendo que los grupos estructurales
están formados por un número par de elementos
(2,4,6,….) puede determinarse la cantidad de polígonos
de los cuales debe formar parte utilizando la
ecuación:
Npg = Ngel / 2 ( 11 )
donde:
Npg ………… Número de polígonos de
los cuales debe formar parte el grupo
estructural
Ngel ………… Número de elementos que forman
el grupo estructural
Debe aclararse que un mismo polígono vectorial
puede relacionar elementos de diferentes grupos
estructurales.
Para la realización del "Método de los
polígonos vectoriales" se elige convenientemente un punto
fijo del mecanismo (generalmente un apoyo) en el cual se
sitúa el centro del sistema de
coordenadas. En este mismo centro de coordenadas tendrá su
origen el primer vector y para el resto de los vectores debe
cumplirse que su origen coincida con el extremo de otro ya
creado. Proyectando los polígonos en los ejes coordenados
(x, y) se pueden escribir dos ecuaciones para cada
polígono, lo que significa que el número de
incógnitas siempre esté determinado por la
siguiente ecuación:
Ni = 2 · Np ( 12 )
donde:
Ni ………… Número de incógnitas a
calcular
Los vectores que forman los polígonos
están definidos por dos parámetros: su longitud y
el ángulo que forman respecto al eje horizontal, medido
siempre en sentido contrario a las manecillas del reloj. Por
tanto las incógnitas que se calculan pueden ser la
longitud de un vector o su ángulo, es posible que un
vector presente sus dos parámetros como incógnitos.
Se considera que la longitud de un vector es incógnita
cuando puede variar con respecto al tiempo y de igual manera el
ángulo. Los parámetros que definen el movimiento de
los elementos motrices se consideran conocidos y no se cuentan
como incógnitos.
En la figura 3 aparece un polígono vectorial,
arbitrario, formado por n vectores, de los cuales se
señalan sus longitudes y sus ángulos. Teniendo en
cuenta la condición de lazo cerrado que cumplen los
polígonos, se obtienen las siguientes ecuaciones al
proyectarlo en los ejes (x, y) respectivamente:
Eje X: 
(13)
Eje Y: 
Las ecuaciones (13) reciben el nombre de ecuaciones
para la posición. En general un mecanismo puede estar
definido por varios pares de estas ecuaciones, en dependencia de
la cantidad de polígonos que lo sustituyan, formando un
sistema de ecuaciones no lineales (con respecto a los
ángulos) que en muchas ocasiones no puede ser resuelto sin
ayuda de la
computadora. Conociendo la posición de los elementos
motrices y resolviendo el sistema queda definida la
posición de todos los elementos del mecanismo.
Al derivar por el tiempo las ecuaciones para la
posición se obtiene:
Eje X: 
(14)
Eje Y: 
Las derivadas de las
longitudes y los ángulos que sean constantes, se igualan a
cero. Las magnitudes (dl/dt) representan las velocidades
relativas en los pares de traslación y
(dj /dt) las
velocidades angulares de los elementos a los cuales pertenecen
los vectores. Las ecuaciones (14) se denominan ecuaciones para
la velocidad.
Conociendo las velocidades de los elementos motrices y
la posición de todos los elementos, las ecuaciones para la
velocidad formarán, a diferencia de las ecuaciones para
posición, un sistema de ecuaciones lineales donde las
incógnitas serán las derivadas (dl/dt),
(dj
/dt).
Figura 3: Representación de un
polígono vectorial
Derivando nuevamente por el tiempo se obtienen las
ecuaciones para la aceleración:
(15)
Las ecuaciones para la aceleración también
son lineales con respecto a las derivadas de segundo orden (las
incógnitas). Conociendo la posición de todos los
elementos a partir de las ecuaciones (13) y las velocidades a
partir de las ecuaciones (14), así como las aceleraciones
de los elementos motrices, pueden calcularse las aceleraciones de
todos los elementos. En estas ecuaciones aparecen en orden
consecutivo los términos que determinan las aceleraciones
lineales (d²l/dt²), de Coriolis
(2·dl/dt·dj /dt) y las componentes normales
((dj /dt)²)
y tangenciales (l·d²j /dt²).
Con las ecuaciones para la posición, velocidad y
aceleración solamente se realiza el análisis
cinemático de los elementos que componen el mecanismo. Si
se desea el análisis cinemático de puntos
específicos del mecanismo se establecen cadenas de
vectores cuya suma sea igual al radiovector del punto analizado.
Estas cadenas de vectores pueden estar formadas por los mismos
vectores que constituyen los polígonos o agregar algunos
en caso necesario sin aumentar el número de
incógnitas, es decir que su longitud sea constante y su
ángulo varíe igual que alguno de los vectores ya
existentes. En la figura 4 se observa el radiovector del punto P
formado por los vectores 1, 2 y 3.
En este caso las coordenadas del punto P con respecto a
los ejes (x, y) serán:
(16)
Figura 4: Radiovector del punto
P.
Las componentes de la velocidad y la aceleración
del punto P se obtienen derivando las ecuaciones (16):
;
(17)
;
(18)
I.4 –
Análisis dinámico. Aplicación del Principio
de D'Alembert.
Para el análisis dinámico, es decir la
determinación de las fuerzas que actúan en el
mecanismo se puede aplicar el Principio de D'Alembert utilizando
los resultados obtenidos en el análisis cinemático
por el "Método de los polígonos vectoriales". Se
establecen, para cada elemento, dos ecuaciones de equilibrio de
fuerzas en las direcciones de los ejes (x, y) y una de momento
con respecto al centro de masas que en general toman la siguiente
forma:
S Fx = 0
S Fy = 0 ( 19
)
S Ms = 0
donde:
Fx …………. Componente de todas las fuerzas que
actúan sobre el elemento
en la dirección del eje (x)
Fy …………. Componente de todas las fuerzas que
actúan sobre el elemento
en la dirección del eje (y)
Ms ………… Momento de todas las fuerzas que
actúan sobre el elemento
con respecto a su centro de masas
Estas fuerzas y momentos tienen en cuenta:
– Las cargas externas conocidas (pueden ser varias y
actuar en diferentes
elementos)
– Las fuerzas y momentos de inercia (calculados con
ayuda del análisis
cinemático realizado según el
"Método de los polígonos vectoriales"
– Los pesos de los elementos
– Las reacciones en los pares
cinemáticos
– Las fuerzas o momentos equilibrantes desconocidos
(estas pueden
actuar sobre cualquier elemento y la cantidad de ellas
es igual a la
cantidad de elementos motrices que posea el
mecanismo)
Según lo establecido en las ecuaciones (19), para
un mecanismo formado por Nel elementos móviles, se obtiene
un sistema de ecuaciones con (3 · Nel) ecuaciones. En
estas ecuaciones las incógnitas serán las
reacciones en los pares cinemáticos y las fuerzas
equilibrantes.
I.5 – Ejemplos de
mecanismos analizados por métodos manuales.
Ejemplo de un mecanismo con doble
corredera.
Para el mecanismo que aparece en la figura 5 se conocen
además de las dimensiones acotadas, los siguientes
datos:
O1A = 160 mm AB = 260 mm BD = 300 mm
w 1 = 5 rad/s AC = 520
mm
se desean determinar los parámetros
cinemáticos del punto "D" y del elemento "BD".
Primeramente se procederá al cálculo
manual por el
"Método de los Polígonos Vectoriales". En este caso
el grado de movilidad del mecanismo W se halla por la
expresión:
En esta expresión:
W- Grado de movilidad del mecanismo.
p1- Cantidad de pares de un movimiento
relativo.
p2- Cantidad de pares de dos movimientos
relativos.
Figura 5: Esquema cinemático y
polígonos que lo sustituyen de un mecanismo con doble
corredera.
Según la ecuación (10 ) el número
de polígonos vectoriales necesarios para resolver
totalmente el problema será:
Es importante recordar que los polígonos deben
ser cerrados, y comenzar a partir de un apoyo. En la figura 5 se
muestran dichos polígonos.
En este caso se tiene la siguiente distribución de variables y
constantes:
L1 = 160 (const.) j 1 = 135° (var. conocida, elemento
motriz)
L2 = 260 (const.) j 2= var.
L3 = 300 (const.) j 3= var.
L4 = var. j
4= 270°
(const.)
L5 = 305 (const.) j 5= 360° (const.)
L6 = L1 j
6 = j
1
L7 = 520 (const.) j 7 = j 2
L8 = var. j
8 = 360°
(const.)
lo que formará un sistema de cuatro ecuaciones y
cuatro incógnitas. Las ecuaciones que determinan la
posición toman para cada polígono la siguiente
forma:
( 20 )
Aplicando las ecuaciones anteriores en los dos
polígonos creados se obtiene:
Sustituyendo los valores
conocidos en el sistema de ecuaciones y calculando se determinan
los valores de las
incógnitas:
Del sistema anterior se ve que existen 4 ecuaciones y 4
incógnitas (j
2 , j 3,
L4, L8 ). Resolviendo las mismas, las ecuaciones 20 toman la
forma siguiente:
(
20 a )
(
20 b )
( 20 c )
( 20 d )
Despejando j
2 de ( 20 d ) se obtiene:
Sustituyendo ese valor en ( 20 c ) se obtiene
L8:
Sustituyendo en ( 20 a ) el valor de j 2 se obtiene j 3 :
Sustituyendo en ( 20 b ) los valores de
j 2 y
j 3 se puede determinar
L4 :
Derivando las ecuaciones (20) se obtienen las ecuaciones
para la velocidad que toman la forma siguiente:
(21)
donde:
vi = dLi/dt w
i = dj i
/dt
Aplicando estas ecuaciones a los polígonos
creados se forma un sistema de cuatro ecuaciones lineales cuyas
incógnitas son: v4, v8, w 2 w
3 :
( 21a
)
( 21b
)
(
21c )
(
21d )
Como L1, L2,L3, L5 ,L6 y L7 son constantes, v1, v2,
v3,v5,v6 y v7 lo serán también.
Como j
4, j 5
y j 8 son
constantes, w
4, w 5
y w 8 lo
serán también. Las ecuaciones 21 toman la
forma:
(21a )
(21b )
(21c )
(21d )
En el sistema anterior las incógnitas son: v4,
v8, w 2
w 3 , por tanto el
mismo es soluble, los resultados son:
v4 = – 0.416 m/s
v8 = 0.691 m/s
w 2 = -1,11
rad/seg
w 3 = -2,41
rad/seg
Si se derivan una vez más las ecuaciones (21) se
obtienen entonces las ecuaciones para la
aceleración:
(22)
donde:
ai = d2Li/dt2 a i = d2j i/dt2
Aplicando estas ecuaciones a los polígonos
creados se forma un sistema de cuatro ecuaciones lineales cuyas
incógnitas son: a4, a8,a 2 ,a 3 . Su resultado es:
a4 = – 2.22 m/s2
a8 = – 2.85 m/s2
a 2 = – 5.29
rad/s2
a 3 = 8.71 rad/s2
Es importante destacar que:
v4 y a4 – Son la velocidad y aceleración lineal
respectivamente del elemento D (patín).
v8 y a8 – Son la velocidad y aceleración lineal
respectivamente del elemento C (patín).
w 2 y a 2 – Son la velocidad y
aceleración angular respectivamente del elemento
AB.
w 3 y a 3 – Son la velocidad y
aceleración angular respectivamente del elemento
BD.
Por el método gráfico – analítico
también se realizaron los cálculos de estos
parámetros. Los polígonos de velocidad y
aceleración obtenidos aparecen en la figura 1.6. Los
valores de la velocidad y aceleración del punto "D"
determinados por este método son:
vD = – 0.415 m/s
aD = – 2.221 m/s2
Figura 1.6: Polígonos de velocidad y
aceleración del mecanismo con doble
corredera.
- Moya J.L. Franco R. R. Chagoyén M. C.
"Mecánica Aplicada" . Universidad
Nacional de Nicaragua. Año 1999. - Baranov. G.G "Curso de la teoría de mecanismos y máquinas" Editorial MIR Moscu
1979. - Black Paul H. "Machine Design" Editorial Mc Graw
Hill, New York 1955. - Bedford A y Fowler W."Dinámica". Editorial Addison –
Wesley. Willminton 1996. - Erdman A. y Sandor G. "Diseño de Mecanismos. Análisis y
Síntesis. Editorial Prentice Hall,
México 1997. - Housner George, "Mecánica Aplicada
Dinámica" Editorial Continental México
1989. - Spotts M.F. "Proyecto de
Elementos de máquinas" . Editorial Reverté S.A.
Argentina
1982.
Dr. Jorge L. Moya Rodríguez
Dr. Rosendo Franco Rodríguez