Las funciones continuas y no derivables en un punto (punto anguloso), son usadas y aplicadas en el estudio del análisis matemático en la Facultad de Ingeniería, en el presente trabajo se expone el método de construcción de las curvas continuas, con todos sus puntos angulosos, construcción de tipo geométrico, y se obtiene de forma analítica la función de Van Der Waerden.

Las funciones elementales en su dominio de definición son generalmente de clase . Usando sólo operaciones algebraicas y de composición de funciones elementales, se construyen modelos de funciones cuya derivada no está definida en un conjunto finito o numerable de puntos.

El punto se llama anguloso si es continua y no derivable en .

Ejemplos.

1

2 2 2 2 2 2 2

El principio de la construcción de tal curva es el siguiente:

Dado un segmento AB, y se divide en 3 partes iguales: .

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Se construye el triángulo equilátero CMD. De base CD y se obtiene la curva . La curva tiene tres puntos angulosos: los puntos C, M y D.

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Se repite el proceso en los segmentos: AC, CM, MD, DB y se obtiene la curva, que presenta 12 puntos angulosos. Repitiendo este proceso se obtiene la curva; y la sucesión de curvas converge a una curva que tiene todos sus puntos angulosos. Esta curva es llamada curva de Vonkock.

Considerando la función

si:

(I)

si: ½

La función V(x) presenta un punto anguloso: .

Se define la función periódica:

Si:. La función es periódica de período 1 y la gráfica presenta infinitos puntos angulosos y son de la forma y , .

V(x)

1 -½ ½ 1

La función V(kx) es periódica de período , en efecto:

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Ahora nos podemos imaginar el gráfico de las funciones , ,

Los puntos en los cuales la función no es derivable, aumenta directamente proporcional con k.

Por ejemplo:

• La función: tiene 3 puntos angulosos en el intervalo .
• La función: tiene 7 puntos angulosos en el intervalo

.

• La función: tiene puntos angulosos en el intervalo

Consideremos la función.

TEOREMA 1:

Demostración.

Como la serie converge totalmente en , entonces la serie converge uniformemente en , y como son continuas entonces la serie es continua, y por la 1-periodicidad de se tiene que es 1-periódica.

TEOREMA 2: "Teorema de los puntos angulosos".

La función no es derivable en los puntos del intervalo y por su periodicidad, en .

Demostración.

Sea y lo representaremos en el sistema decimal.

Con son cifras del conjunto, astutamente excluiremos la representación periódica de período 9, siguiendo las siguientes reglas.

Se introduce la sucesión: , definida de la siguiente forma:

-1 si ó

1 si

Nos proponemos a estudiar el cociente incremental:

Usando la 1-periodicidad de y la definición de se tiene:

Y por la 1-periodicidad de , se tiene:

Por otro lado se tiene:

(III)

Para:. se tiene:

Por (III) y por la 1-periodicidad de, se tiene:

(IV)

Observando la siguiente representación decimal:

Los números decimales:

Son los extremos del intervalo ó . Es decir:

Y por (I) se tiene:

Reemplazando en (IV) se tiene:

(V)

El segundo miembro de (V) es la suma de m números cada uno iguales a 1 o –1 y por lo tanto es un entero, par si m es par, impar si m es impar, y de esta afirmación se deduce la hipótesis del teorema 2. Si fuese derivable en el punto:, entonces existe límite cuando:, pero el límite del segundo miembro de V no existe ya que la serie es divergente. Y por la periodicidad dese extiende toda la hipótesis a todo .

LECONS D’ANALYSE FONTIONELLE.

Académie des Sciences de Hongrie 1.965

F. Riesz et Sz. Nagy.

 Profesor:

Facultad de Ingeniería

Núcleo de Cagua U.C.V.