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Redes De Petri

Enviado por mabelgonzalesu



Indice
1. Introducción.
2. Estructura de una red de Petri.
3. Representación gráfica de una red de Petri.
4. Reglas de disparo para una PN.
5. Redes de Petri Coloreadas
6. Modelado con Redes de Petri
7. Conclusiones

1. Introducción.

Las redes de Petri representan una alternativa para modelar sistemas, sus características hacen que, para algunos problemas las redes de Petri funcionen de una manera natural.
Las PN como ahora conoceremos a las redes de Petri (Petri Net) fueron inventadas por el alemán Karl Adam Petri en 1962. En su tesis doctoral "kommunikation mit automaten" (Comunicación con autómatas), establece los fundamentos para el desarrollo teórico de los conceptos básicos de las PN.
Las PN son consideradas una herramienta para el estudio de los sistemas. Con su ayuda podemos modelar el comportamiento y la estructura de un sistema, y llevar el modelo a condiciones límite, que en un sistema real son difíciles de lograr o muy costosas.
La teoría de PN ha llegado a ser reconocida como una metodología establecida en la literatura de la robótica para modelar los sistemas de manufactura flexibles.
Comparada con otros modelos de comportamiento dinámico gráficos, como los diagramas de las máquinas de estados finitos, las PN ofrecen una forma de expresar procesos que requieren sincronía. Y quizás lo más importante es que las PN pueden ser analizadas de manera formal y obtener información del comportamiento dinámico del sistema modelado.
Para modelar un sistema se usan representaciones matemáticas logrando una abstracción del sistema, esto es logrado con las PN, que además pueden ser estudiadas como autómatas e investigar sus propiedades matemáticas.
¿Qué tipo de sistemas podemos modelar con las PN? Y ¿Cómo logramos la analogía entre el sistema real y el modelo usando una PN? son dos de las preguntas a las que debemos atender. Para esto pongamos atención a los sistemas: una idea fundamental en un sistema es que se compone de módulos que interactúan entre sí, los cuales pueden ser considerados por si mismos un sistema, y podríamos estudiar su comportamiento por separado y de esta manera aislarlos, pero siempre teniendo en cuenta la interacción que guardan con los otros módulos.
Ahora deseamos conocer en que condiciones se encuentran los módulos, es como si detuviéramos al sistema en el tiempo, las condiciones internas de los módulos determinarían el estado en el que se encuentran, para esto entendemos que un sistema es un arreglo dinámico que en el transcurso del tiempo tiene variaciones y no permanece estático. El estado de un módulo con frecuencia depende de su historia, es decir de las acciones dadas en un tiempo anterior.
Hablemos de dos conceptos importantes: acciones y estados, las acciones nos conducen a un estado determinado del módulo en el tiempo, las acciones de un módulo en un sistema pueden ocurrir simultáneamente con las acciones de otros módulos, dado que ellos interacúan entre sí, es necesario sincronizar los eventos. Esto puede resultar en que las condiciones de un módulo en el tiempo necesitan como entradas las salidas de otro, él cual necesita más tiempo para generar las salidas, es entonces cuando pensamos en paralelismo y concurrencia. Las PN fueron diseñadas específicamente para modelar este tipo de sistemas.
Tomemos dos conceptos más: eventos y condiciones, los eventos son las acciones que se dan en el sistema y nos llevan a un estado, podemos describir un estado como un conjunto de condiciones. Es útil, para nuestro caso, representar dichas condiciones por medio de predicados.
Para que cierto evento ocurra es necesario que ciertas condiciones se cumplan, estas son llamadas pre-condiciones del evento, la ocurrencia del evento nos puede llevar a otras condiciones y es entonces cuando se dan las post-condiciones.
Para modelar un sistema en una PN debemos reconocer las condiciones y los eventos que se dan en él, de esta manera podemos hacer la analogía entre el sistema y el modelo, al conocer las condiciones que se necesitan para dar cierto evento podemos diseñar los módulos y relacionarlos con otras condiciones, y para esto necesitamos saber la estructura de una PN para saber que corresponde a una condición y un evento en la red.

2. Estructura de una red de Petri.

Las PN se componen de cuatro partes:

  • Un conjunto de nodos.
  • Un conjunto de transiciones.
  • Una función de entrada y
  • Una función de salida.

Las funciones de entrada y salida relacionan a los nodos y a las transiciones. La función de entrada es un mapeo de una transición tj a una colección de nodos conocidos como los nodos de entrada de una transición. La estructura de una PN es definida por los nodos, las transiciones, la función de entrada y la función de salida.
Definición: La estructura de la PN P=(P,T,I,O) donde:}
P={p1,p2,…,pn} es un conjunto finito de nodos, con n³ 0.
T={t1,t2,…,tm} es un conjunto finito de transiciones con m³ 0.
PÇ T= Æ
I,O: T ® P

Un nodo pi es un nodo de entrada de la transición tj sí pi Î I(tj); pi es un nodo de salida sí pi Î O(tj). Las entradas y salidas de una transición son conjuntos que tienen elementos repetidos o múltiples ocurrencias de nodos (bags). La multiplicidad de un nodo de entrada pi para una transición tj es el número de ocurrencias del nodo en el bag de entrada de la transición. Escribimos esto como: #(pi,I(tj)). De igual forma para la salida lo cual escribimos: #(pi,O(tj)).

Ejemplo:
P=(P,T,I,O)
P={p1,p2,p3, p4, p5} T={t1,t2,t3, t4, t5}
I(t1) ={p1} O(t1)={p2, p3, p5}
I(t2) ={p2, p3, p5} O(t2)={p5}
I(t3) ={p3} O(t3)={p4}
I(t4) ={} O(t4)={p2, p3}
I(t5) ={p4} O(t5)={p2, p3}
Donde:
#(p3,I(t2))=1 #(p5,O(t1))=1

Una marca U es una característica de la PN, marca U es una asignación de tokens a la PN. Un token es un concepto primitivo de una PN, un número de ellos reside en los nodos y se mueve entre ellos; los tokens son la parte dinámica de la PN, su número puede variar entre nodos y son los que determinan la situación de la red en un momento determinado.
Definición: Una marca U de una PN P=(P,T,I,O) es una función U: P ® N.
Es decir el nodo pi tiene U(pi) tokens.
La PN puede ser considerada también como un modelo de flujo de información, en donde el comportamiento dinámico de los tokens representan el flujo. Dicho de otra manera la información depende de lo que la PN esta modelando.

3. Representación gráfica de una red de Petri.

La representación gráfica de una PN es importante porque al observar el modelo del sistema en forma gráfica y observar como cambia de un estado a otro puede mantener la atención y dar una perspectiva más clara a quién esté analizando el problema.
Definición: Una gráfica G de una PN P=(P,T,I,O) es una gráfica múltiple bipartita dirigida G=(V,A) donde V={ v1, v2, …, vn} es un conjunto de vértices y A={ a1, a2, …, an} es un conjunto de arcos dirigidos ai=(vj,vk) con vj, vk Î V, V=PÈ T para cada ai Î A se cumple aj=(vj,vk) Þ vj Î P, vk Î T, ó vj Î T, vk Î P.

Un circulo O representa un nodo; una barra | representa una transición. Los arcos o curvas conectan los nodos y las transiciones, si un arco va de un nodo a una transición, el nodo será una entrada y si el arco va de una transición a un nodo, el nodo será una salida de esa transición. Los tokens son representados por pequeños puntos · .

Ahora consideremos la PN vista anteriormente:
P=(P,T,I,O)
P={p1,p2,p3, p4, p5} T={t1,t2,t3, t4, t5}
I(t1) ={p1} O(t1)={p2, p3, p5}
I(t2) ={p2, p3, p5} O(t2)={p5}
I(t3) ={p3} O(t3)={p4}
I(t4) ={} O(t4)={p2, p3}
I(t5) ={p4} O(t5)={p2, p3}
Donde:
#(p3,I(t2))=1 #(p5,O(t1))=1

4. Reglas de disparo para una PN.

La ejecución en una PN es controlada por el número y distribución de los tokens que tiene. Los tokens presentes en los nodos controlan la ejecución de las transiciones de la red. Una PN se activa disparando transiciones. Una transición es disparada removiendo tokens de los nodos de entrada y creando tokens de salida. De aquí podemos obtener la primera condición de disparo en una transición: todos los nodos de entrada de la transición, deben tener al menos el mismo número de tokens, que de arcos que van hacia la transición, para que ésta sea disparada, cuando la transición cumpla esta condición se dice que es una transición ENABLED.
Definición: Una transición tj Î T en una PN P=(P,T,I,O) con una marca U es ENABLED si para todo pj Î P, U(pj)>=#( pj,I(tj)).
Por ejemplo una transición t3 con I(t3)={p3} y O(t3)={p4} es ENABLED sólo cuando p3 tiene al menos un token. Cuando t3 es disparada sólo un token es quitado a p3 y un token es depositado en p4 (sí tuviera más nodos de salida, depositaria un token en cada uno de ellos). Es decir por cada arco de salida es liberado un token.

Consideremos la siguiente PN:
Sólo 3 transiciones están en un estado ENABLED t1, t3, t4. La transición t2 no puede ser disparada porque no hay tokens en el nodo p2, el cual es entrada de ella. Dado que t1, t3 y t4 son ENABLED cualquiera de ellas puede ser disparada. Podemos asociar de manera natural un vector u enlistando los valores de U. Así para la PN mostrada tenemos u=(1,0,2,1,0). Sí la transición t4 es disparada, remueve tokens de cada entrada y los deposita en cada salida, entonces remueve un token de p4 y deposita un token en p2 e incrementa el número de tokens en p3 de dos a tres; el vector u sería (1,1,3,0,0) y el estado de la red se mueve a como se muestra en la siguiente figura.
Las transiciones pueden seguir disparándose indefinidamente hasta llegar a un estado deseado o hasta que ninguna pueda ser disparada.

De lo anterior surgen dos preguntas:
¿Cómo decidimos que transición debe dispararse?
¿Porqué no podemos disparar dos transiciones al mismo tiempo?
Decidir que transición debe dispararse depende de nuestro modelo y sí podemos disparar más de una transición en un mismo instante entonces estamos hablando de paralelismo.
Pensemos en un ejemplo concreto: queremos sumar cuatro números cualesquiera por medio de una PN. Dependiendo de cada número se ponen tantos tokens en los nodos correspondientes p1, p2, p3 y p4. Los primeros resultados parciales se almacenan en p5, y los últimos en p6, una transición para cada nodo es la que se encarga de quitar unidades en los sumandos y poner unidades en el resultado, cuando se efectúan las dos sumas, se realiza una tercera suma, la realizan t5 y t6, su resultado se pone en p7. El orden en el que se realizan las operaciones no es un orden secuencial ya que la primer suma puede ocurrir indistintamente de las sumas anteriores.

5. Redes de Petri Coloreadas

Las redes de Petri coloreadas (CPN) pertenecen a la familia de las PN, la diferencia viene marcada por las consideraciones en CPN de colores y de funciones lineales asociadas a sus arcos. Los tokens de color pueden representar un atributo o distintivo, si es necesario definir dos atributos entonces surge la idea de colores compuestos. Una transición en CPN está en estado ENABLED si todos sus nodos de entrada contienen un número de colores igual o mayor que los definidos por fi<c> donde fi es una función lineal asociada al nodo pi con la transición tj. Entonces además del concepto de color, estas redes manejan una función asociada para los elementos de las funciones I,O de la PN.
Es fácil ver en una Red las transiciones que están ENABLED y observar que a veces son más de dos transiciones las que se pueden disparar, en la siguiente figura notamos que t1 y t2 pueden dispararse, pero si t1 es disparada, t2 dejará de ser ENABLED y si disparamos t2, no podremos disparar t1. Esto es conocido como un conflicto y nos ayuda a modelar problemas de sincronización.

Extensiones al Modelo de Redes de Petri
Un arco inhibidor es otro componente de una PN, éste va de un nodo a una transición y es representado con un pequeño circulo al final del arco. La transición que tiene arcos inhibidores no puede dispararse si el nodo de entrada contiene por lo menos tantos tokens como la multiplicidad del arco inhibidor. Así por ejemplo la siguiente figura disparará cuando p1 tenga un token, y p2 no tenga tokens.
En general las extensiones a la teoría de PN dependen del modelo o la aplicación donde se estén usando.

Redes de Petri Temporales.
Este tipo de redes son las que consideran el tiempo en el modelo. Es una consideración importante ya que los sistemas reales casi siempre es indispensable considerarlo en la sincronización de los procesos.
El modelo más simple es el que asigna duración a:

  1. Los nodos, en el sentido de que una condición es verdadera para una cierta cantidad de tiempo.
  2. La transición, en el sentido de que un evento toma una cierta cantidad de tiempo en ocurrir.

Cuando la duración de los eventos no son fijos, o no pueden ser expresados con valores nominales, simplemente se estiman límites dentro de los cuales el evento puede ocurrir.

6. Modelado con Redes de Petri

Eventos y condiciones.
Podemos modelar sistemas complejos con PN, dividiendo el sistema en eventos y condiciones y de esta manera encontrar la analogía con la PN. Se toma como referencia que las condiciones que se dan en un sistema, son representadas por los nodos, ya que los tokens indican si esta condición se cumple o no, y los eventos con las transiciones, que necesitan de condiciones para poder ser disparadas.

Consideremos el siguiente sistema: Un taller que tiene tres máquinas, M1,M2 y M3, y dos operadores O1 y O2. El operador O1 puede trabajar las máquinas M1 y M2 y el operador O2 las máquinas M1 y M3. Las ordenes requieren de dos procesos, el primer proceso debe ser hecho por la máquina M1 y el segundo proceso puede ser hecho con la máquina M2 o la M3. Enlistemos las condiciones y los eventos:

Condiciones

A

Una orden ha llegado y está esperando

B

Una orden ha sido trabajada y está esperando ser procesada por M2 o M3

C

La orden es completada

D

La máquina M1 está desocupada

E

La máquina M2 está desocupada

F

La máquina M3 está desocupada

G

El operador O1 está sin trabajo

H

El operador O2 está sin trabajo

I

El operador O1 está ocupando la máquina M1

J

El operador O2 está ocupando la máquina M1

K

El operador O1 está ocupando la máquina M2

L

El operador O2 está ocupando la máquina M3

Eventos

Llega una orden

El operador O1 empieza la orden en M1

El operador O1 termina la orden en M1

El operador O2 empieza la orden en M1

El operador O2 termina la orden en M1

El operador O1 empieza la orden en M2

El operador O1 termina la orden en M2

El operador O2 empieza la orden en M3

El operador O2 termina la orden en M3

La orden es terminada y liberada

Precondiciones y postcondiciones de cada evento

Condiciones Iniciales: d, e, f, g, h

Eventos

Precondiciones

Postcondiciones

1

Ninguna

A

2

A, G, D

I

3

I

G, D, B

4

A, H, D

J

5

J

B, H, D

6

B, G, E

K

7

K

C, G, E

8

B, f , H

I

9

L

C, F, H

10

c

Ninguna

La PN se muestra a continuación:

El problema de los cinco filósofos.
Este problema puede dar una idea clara del potencial de una PN, el problema consiste de cinco filósofos que en forma alternada piensan y comen.
Están sentados en una mesa circular donde ha sido depositada comida china, cada filósofo tiene frente a él un plato donde servirse y entre cada uno de ellos un palillo chino. Como sabemos, para comer comida china necesitamos dos palillos, entonces cada filósofo para comer debe tener dos palillos en su poder.
El problema está en que si cada filósofo tiene un sólo palillo en su poder todos los filósofos entrarán en una espera eterna para comer, otro problema puede surgir y es el que un filósofo obtenga siempre los dos palillos y se mantenga comiendo, lo que producirá que los otros filósofos no puedan comer (cayendo en un estado de inanición). Analicemos los eventos y condiciones de este problema así como las precondiciones y postcondiciones para un sólo filósofo y luego para más.

Condiciones

1

El palillo 1 está ocupado

2

El palillo 2 está desocupado

3

El palillo1 está ocupado

4

El palillo 2 está ocupado

5

El filósofo está meditando

6

El filósofo está comiendo

Eventos

1

El filósofo empieza a meditar

2

El filósofo empieza a comer

Condiciones iniciales: 1,2, 5

Eventos

Precondiciones

Postcondiciones

1

6

1,2,5

2

1,2,5

3,4,6

Sí ahora se trata de dos filósofos se obtendrá lo siguiente:

Condiciones

1

El palillo 1 está ocupado

2

El palillo 2 está desocupado

3

El palillo1 está ocupado

4

El palillo 2 está ocupado

5

El filósofo 1 está meditando

6

El filósofo 1 está comiendo

7

El filósofo 2 está meditando

8

El filósofo 2 está comiendo

Eventos

1

El filósofo 1 empieza a meditar

2

El filósofo 1 empieza a comer

3

El filósofo 2 empieza a meditar

4

El filósofo 2 empieza a comer

Condiciones iniciales: 1,2, 5

Eventos

Precondiciones

Postcondiciones

1

6

3, 4, 5

2

3, 4, 5

1, 2, 6

3

8

3, 4, 7

4

3, 4, 7

1, 2, 8

Como sabemos las condiciones corresponden a nodos y los eventos a transiciones, las condiciones 1 y 3, 2 y 4 pueden modelarse con un sólo nodo. El problema para cinco filósofos es modelado como se muestra en la siguiente figura. Los nodos P1,.,P5 representan los palillos, al inicio cuando todos los filósofos piensan, cada nodo tiene un token. Cada filósofo es representado por dos nodos M y C representan los estados meditando y comiendo respectivamente. Para que un filósofo coma es necesario que tenga los dos palillos en sus manos, entonces sus dos nodos deben tener un token y de esta manera poder comer.

7. Conclusiones

  • Podemos concluir diciendo de que las Redes de Petri son una alternativa de modelado de sistemas, aplicados principalmente hacia el control y proceso, por su facilidad de manejo en el problema de la sincronización de procesos.
  • También se dijo que constan de cuatro partes:
  • Nodos
  • Transiciones
  • Funciones de entrada
  • Funciones de salida
  • Las entradas y/o salidas de una transición son conjuntos que pueden tener elementos repetidos o múltiples ocurrencias.
  • Cuentan con una asignación de tokens que es la parte dinámica de las Redes de Petri.
  • Las Redes de Petri se pueden representar gráficamente, un circulo O representa un nodo y una barra | representa una transición, y los tokens son representados por pequeños puntos · .
  • Las Redes de Petri tienen reglas de disparo, siendo la principal, la que dice: "todos los nodos de entrada de la transición, deben tener al menos el mismo número de tokens, que número de arcos van hacia la transición para que ésta sea disparada". Cuando la transición cumple dicha condición se dice que es ENABLED.
  • Existen extensiones a las Redes de Petri: por ejemplo las Redes de Petri Coloreadas (PNC), las Redes de Petri Temporales, Redes de Petri Estocásticas.
  • Podemos modelar los sistemas dividiéndolos en eventos y condiciones. Las condiciones son representadas por los nodos, y los eventos por las transiciones.

 

 

Autor:


Mabel Gonzales Urmachea


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