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Modelo con servidores múltiples




Modelo con servidores múltiples


1. Introducción
2. Marco Teórico
3. Objetivo
4. Justificación y supuestos
5. Conclusiones
6. Bibliografía y referencias

1. Introducción

Supóngase que las llegadas son Poisson, los tiempos de servicio son exponenciales, hay una sola línea, varios servidores y una cola infinita que opera con la disciplina de primero en llegar primero en ser servido. Las ecuaciones para las características de operación se vuelven un poco más complicadas. Sea
C = número de servidores.
 = tasa promedio de llegadas (llegadas por unidad de tiempo).
 = tasa promedio de servicio por cada servidor (llegadas por unidad de tiempo).

Entonces :

Nota: Estas fórmulas serán utilizadas en el cálculo.

http://www.itlp.edu.mx/publica/tutoriales/investoper2/tema37.htm

2. Marco Teórico

El presente trabajo de investigación trata a un café Internet como un sistema donde se cuenta con seis servidores y una sola cola, el cliente puede permanecer el tiempo que desee, el cobró en el lugar es por media hora y fracción ($10) y la hora completa y fracción ($15), por lo que la hora de permanencia se redondea a horas, por lo tanto la unidad durante todo el procedimiento será en horas, incluyendo 0.5 horas.

Es necesario mencionar que el tiempo en cuestión se ejerció durante la fase de prueba del lugar, ya que era poco conocido y casi no tenía publicidad, aunque el sitio llamaba mucho la atención (color amarillo con azul) y estaba establecido en un sitio de mucho tránsito de automóviles, Periférico Norte esquina con Guadalupe Victoria, sin duda se sobrepasan muchos de los factores que intervienen durante todo ese tiempo, y se ajustan a un modelo o sistema de Poisson, donde cada persona decide cuando ir, inclusive selecciona alguno de los servidores desocupados, y en caso contrario, es conocido que las personas que encuentran todos los servidores ocupados se retiran del lugar volviendo a la siguiente hora, o en otro día, por lo que no causan costos por espera, y tampoco se conocen los causados cuando el lugar está vacío, etc.

Los datos manejados se han obtenido de un registro que el dueño del lugar, Sr. Marco A. Quihuis Buelna, mantenía, donde se encuentra todos los ingresos de clientes al lugar durante el tiempo activo, manejando un horario de 9:00 a.m. a 9:00 p.m. (12 horas continuas), de Lunes a Sábado. Así mismo es muy importante agregar que esta Cibercafé tuvo inicio en la fecha del 30 de Noviembre de 2000 y dejo de funcionar el día 03 de Julio de 2001.

Durante el presente documento no se tomó en cuenta todo el tiempo de ejercicio, aunque solo se muestran los primeros 153 datos registrados en la bitácora antes mencionada, esto con el fin de evitar un cuerpo excesivo del trabajo, ya que dichos renglones ascienden a más de 600, ya que nos interesa saber si el lugar necesitaba publicidad desde el inicio o tal vez antes de inaugurarlo, pues el dueño piensa que un café Internet no necesita anunciarse.

Este sistema recibe a los clientes de forma PEPS, primero en llegar, primero en salir(FIFO), mientras permite una capacidad total de seis usuarios en el sistema, mientras la demanda es infinita, pues se provee el servicio a cualquier persona que asista al lugar sin importar su origen, ya que no se manejan suscripciones, o algún otro método de grupos finitos.

3. Objetivo

El presente documento se presenta como un trabajo de la materia de Investigación de Operaciones II, cuyo objetivo principal es aplicar las herramientas y métodos vistos en la unidad de Teorías de Colas, además de repasar y obtener un poco de experiencia en casos reales, ya que nos permite darnos cuenta lo que sucede y los problemas que se pueden presentar durante el proceso, y lo mas importante aprender a plantear dichos casos de forma eficiente y eficaz.

En problema de este tipo se considera de vital importancia el planteamiento pues de esto depende que la solución final sea correcta, pues el mal planteamiento no proporciona resultados incoherentes y que no estar relacionados con el sistema en estudio.

Durante el presente documento se obtuvieron los resultados a través del Software QSB for Windows© (QSB para Windows), donde después de plantear el caso se procede a insertar los datos obtenidos, y rápida y fácilmente se obtiene resultados y lo mas importante sin errores, ya que el ser humano puede cometer fallas involuntarias, y en un empresa donde se realizan este tipo de operaciones es muy difícil ya que se presentan casos con mas datos y mas difíciles de resolver a mano, de ahí el interés de utilizar este tipo de aplicaciones

4. Justificación y supuestos

El lugar seleccionado es una empresa donde trabajé y me di cuenta de que era necesario llevar a cabo un estudio de este tipo para determinar y hacer notar la necesidades y la falta de publicidad. El dueño del lugar no ponía mucho empeño en mejorar el lugar pues no sabía de lo que podía suceder o si realmente tendría beneficio, con los resultados se podrá esclarecer y aportar información en números que podría hacer cambiar de parecer al señor. Tal vez con un crédito de préstamo y así poder recuperar la inversión, lo que motivaría mas al dueño.

Esquema del sistema
Estructura de planteamiento
(M/M/6) (PEPS/0/∞)

M

M

6

PEPS

0

A

B

C

D

E

F

En donde:
A. - Distribución de llegadas.
B. - Distribución del tiempo de servicio.
C. - Numero de clientes internos o servidores.
D. - Disciplina de la cola de servicio.
E. - Numero máximo admitido en el sistema.
F. - Tamaño de la fuente de llegada.

La distribución de llegadas se determina de POISSON debido a que el numero de llegadas de clientes al sistema ocurren de manera aleatoria pero en una cierta tasa de media fija. La distribución de POISSON se representa con M en a, de igual manera la distribución del tiempo de servicio se aproxima a una distribución exponencial por lo cual automáticamente decidimos utilizar k, además de saber que la exponencial es la que más se usa en la practica.

El número de clientes internos o servidores en c es 6, ya que solamente existe 6 equipos disponibles.
La disciplina de la cola de servicio se respeta el sistema "PEPS" el cual significa "Primero en entrar, primero en salir" ya que el primer cliente que llega a la servidor es el primero en ser atendido y por lo tanto no puede ser ocupado por otra persona hasta que este lo desocupe.
El número máximo admitido en el sistema es 6, ya que no existe una cola antes de recibir el servicio y el cliente se va del lugar cuando los servidores están ocupados.
El tamaño de la fuente de llegadas también es ∞ (infinito) ya que la empresa tiene su servicio abierto al publico en general y por lo tanto, el ∞ representa un numero inmenso de posibles llegadas de clientes

Contenido
Por lo que ya se explico al inicio, el problema actual se plantea de la siguiente manera:
( M / M / 6 ) ( PEPS / 6 / ∞ )
Se ha obtenido que la tasa promedio de llegadas (l ) es de 0.8737 clientes por hora, mientras que la tasa promedio de salida (m ) es 1.8323 clientes por hora, por lo tanto:
l = 0.4292 clientes / hora
m = 0.8512 clientes / hora
 = l / m = 0.4292 / 0.8512 = 0.5042 = 50.42%

System Performance Summary for TRABAJO FINAL

Performance Measure

Result

SystSystem: (M/M/6) (PEPS/6/∞)

From Formula

Customer arrival rate (lambda) per hour =

0.4292

Service rate per server (mu) per hour =

0.8512

Overall system effective arrival rate per hour =

0.4292

Overall system effective service rate per hour =

0.4292

Overall system utilization =

8.4027 %

Average number of customers in the system (Ls) =

0.5042

Average number of customers in the queue (Lq) =

0

Average number of customers in the queue for a busy system (Lb) =

0

Average time customer spends in the system (Ws) =

1.1748 hours

Average time customer spends in the queue (Wq) =

0 hour

Average time customer spends in the queue for a busy system (Wb) =

0 hour

The probability that all servers are idle (Po) =

60.4007 %

The probability an arriving customer waits (Pw) or system is busy (Pb) =

0.0014 %

De los resultados obtenidos en el programa tenemos que:

  • El Número de clientes promedio en el sistema es Ls = 0.5042
  • El Número en la cola siempre es Lq = 0
  • El tiempo promedio que un cliente permanece en el sistema Ws = 1.1748 hours
  • Lo que es aproximadamente igual a 70 minutos
  • El tiempo en la cola siempre es Wq = 0
  • El factor de utilización es igual a 8.4027 %
  • La Probabilidad de encontrar a ningún cliente en el sistema es 60.4007 %
  • Para comprobar lo anterior se realizan las siguiente operaciones:
  • = 0.4292 clientes / hora
  • = 0.8512 clientes / hora
  •  = l / m = 0.4292 / 0.8512 = 0.5042 = 50.42%
  • Se sabe que Lq = 0 (No hay clientes en fila nunca)
  • Ls = Lq + r = 0 + 0.5042 = 0.5042
  • Ws = Ls / l = 0.5042 / 0.4292 = 1.1747hr » 70.48 minutos
  • Wq = Lq / l = 0 / 0.4292 = 0
  • = l / cm = 0.4292 / [6*(0.8512)] = 0.0840 = 8.40 %
  • = (0!)-1(0.5042)0 + (1!)-1(0. 5042)1 + (2!)-1(0. 5042)2 + (3!)-1(0. 5042)3 + (4!) -1(0. 5042)4 + (5!)-1(0. 5042)5 = 1.6556
  • = (6!)-1(0.5042) 6 ((6(0.8512)) / ((6(0.8512)-0.4292)) = 0.000024911
  • Po = [0.000024911 + 1.6556]-1 = [1.655660802]-1 = 0.603988 = 60.3988%

Comentarios
El lugar si presenta deficiencias puesto que el dueño no estaba preparado para iniciar, pero él considero que ya debería empezar, aunque no contaba con todo el capital planeado para los servicios y demás que se ofrecería en el lugar.
Sin duda la el problema actual es muy sencillo, pero aun se nota la diferencia, en la computadora quedo listo en menos de 5 minutos (3:37 min), mientras que a mano tarde 17:05 minutos con un error en este intervalo. Además que los valores devueltos por el Software son más exactos, inclusive puede determinar cuantos decimales debe devolver, el predeterminado es cuatro.

5. Conclusiones

Después de los cálculos y obtener resultados hemos llegado a la conclusión que el lugar necesita publicidad y darse a conocer mediante otro medios, como principales clientes se debe dirigir a los alumnos del Cobach Reforma que está ahí cerca y personas que viven en los alrededores de lugar, además sería importante poner alguna especie de sala de espera, estableciendo algunos equipos que motiven al cliente a esperar un momento, un televisor, música, refrescos, frituras, etc; además ofrecer algunos otros servicios como grabado de CDs, venta de Discos flexibles, copias, digitalizado de imágenes, etc. Además de incluir promociones que beneficien a los clientes para motivarlos a visitar el lugar más seguido.

6. Bibliografía y referencias

Para la realización del trabajo se recurrió al sistema de ayuda y sitios de Internet, los cuales se presentan a continuación
Ayuda de QSB para Windows©, WinQSB. Queuing Análisis. Versión 1.00 for Windows
http://www.itlp.edu.mx/publica/tutoriales/investoper2/tema36.htm (Tutorial del Instituto Tecnológico de la Paz)
http://www.disc.ua.es/asignaturas/rc/trabajos/colas/redes6.htm (Tutorial del Departamento de Física, Ingeniería de Sistemas y Teoría de la Señal)
http://www.mngt.waikato.ac.nz/depts/mnss/john/376/waitline/theory.html (Tutorial de Waikato Management School)

Anexos
Se utilizó Queuing Analysis en su versión 1.00, que es parte de QSB for Windows© que esta registrado por Yih-Long Chang.
Se utilizó Microsoft© Excel en su versión 2000, que forma parte de la Familia Microsoft Office 2000© que esta registrado por Microsoft©.

 

 

Autor:


Juan Pablo Valenzuela Garcia <>

Ejecutivo De Ventas <>
Oficina:
Yañez Y Campeche, Col. San Benito
Hermosillo, Sonora, Mexico


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