Modelo con servidores múltiples

Modelo con servidores
múltiples

1.
Introducción
2. Marco Teórico
3. Objetivo
4. Justificación y
supuestos
5. Conclusiones
6. Bibliografía y
referencias

1. Introducción

Supóngase que las llegadas son Poisson, los
tiempos de servicio son
exponenciales, hay una sola línea, varios servidores y una
cola infinita que opera con la disciplina de
primero en llegar primero en ser servido. Las ecuaciones
para las características de operación se
vuelven un poco más complicadas. Sea
C = número de servidores.
 = tasa promedio de llegadas (llegadas por unidad de
tiempo).
 = tasa promedio de servicio por cada servidor
(llegadas por unidad de tiempo).

Entonces :

Nota: Estas fórmulas serán utilizadas en
el cálculo.

http://www.itlp.edu.mx/publica/tutoriales/investoper2/tema37.htm

2. Marco Teórico

El presente trabajo de investigación trata a un café
Internet como un
sistema donde se
cuenta con seis servidores y una sola cola, el cliente puede
permanecer el tiempo que desee, el cobró en el lugar es
por media hora y fracción ($10) y la hora completa y
fracción ($15), por lo que la hora de permanencia se
redondea a horas, por lo tanto la unidad durante todo el procedimiento
será en horas, incluyendo 0.5 horas.

Es necesario mencionar que el tiempo en cuestión
se ejerció durante la fase de prueba del lugar, ya que era
poco conocido y casi no tenía publicidad,
aunque el sitio llamaba mucho la atención (color amarillo
con azul) y estaba establecido en un sitio de mucho
tránsito de automóviles, Periférico Norte
esquina con Guadalupe Victoria, sin duda se sobrepasan muchos de
los factores que intervienen durante todo ese tiempo, y se
ajustan a un modelo o
sistema de Poisson, donde cada persona decide
cuando ir, inclusive selecciona alguno de los servidores
desocupados, y en caso contrario, es conocido que las personas
que encuentran todos los servidores ocupados se retiran del lugar
volviendo a la siguiente hora, o en otro día, por lo que
no causan costos por
espera, y tampoco se conocen los causados cuando el lugar
está vacío, etc.

Los datos manejados
se han obtenido de un registro que el
dueño del lugar, Sr. Marco A. Quihuis Buelna,
mantenía, donde se encuentra todos los ingresos de
clientes al lugar
durante el tiempo activo, manejando un horario de 9:00 a.m. a
9:00 p.m. (12 horas continuas), de Lunes a Sábado.
Así mismo es muy importante agregar que esta
Cibercafé tuvo inicio en la fecha del 30 de Noviembre de
2000 y dejo de funcionar el día 03 de Julio de
2001.

Durante el presente documento no se tomó en
cuenta todo el tiempo de ejercicio, aunque solo se muestran los
primeros 153 datos registrados en la bitácora antes
mencionada, esto con el fin de evitar un cuerpo excesivo del
trabajo, ya que dichos renglones ascienden a más de 600,
ya que nos interesa saber si el lugar necesitaba publicidad desde
el inicio o tal vez antes de inaugurarlo, pues el dueño
piensa que un café Internet no necesita
anunciarse.

Este sistema recibe a los clientes de forma PEPS,
primero en llegar, primero en salir(FIFO), mientras permite una
capacidad total de seis usuarios en el sistema, mientras la
demanda es
infinita, pues se provee el servicio a cualquier persona que
asista al lugar sin importar su origen, ya que no se manejan
suscripciones, o algún otro método de
grupos
finitos.

3. Objetivo

El presente documento se presenta como un trabajo de la
materia de
Investigación de Operaciones II, cuyo
objetivo
principal es aplicar las herramientas y
métodos
vistos en la unidad de Teorías
de Colas, además de repasar y obtener un poco de
experiencia en casos reales, ya que nos permite darnos cuenta lo
que sucede y los problemas que
se pueden presentar durante el proceso, y lo
mas importante aprender a plantear dichos casos de forma
eficiente y eficaz.

En problema de este tipo se considera de vital
importancia el planteamiento pues de esto depende que la
solución final sea correcta, pues el mal planteamiento no
proporciona resultados incoherentes y que no estar relacionados
con el sistema en estudio.

Durante el presente documento se obtuvieron los
resultados a través del Software QSB for Windows©
(QSB para Windows), donde después de plantear el caso se
procede a insertar los datos obtenidos, y rápida y
fácilmente se obtiene resultados y lo mas importante sin
errores, ya que el ser humano puede cometer fallas involuntarias,
y en un empresa donde se
realizan este tipo de operaciones es
muy difícil ya que se presentan casos con mas datos y mas
difíciles de resolver a mano, de ahí el interés de
utilizar este tipo de aplicaciones

4. Justificación y
supuestos

El lugar seleccionado es una empresa donde
trabajé y me di cuenta de que era necesario llevar a cabo
un estudio de este tipo para determinar y hacer notar la
necesidades y la falta de publicidad. El dueño del lugar
no ponía mucho empeño en mejorar el lugar pues no
sabía de lo que podía suceder o si realmente
tendría beneficio, con los resultados se podrá
esclarecer y aportar información en números que
podría hacer cambiar de parecer al señor. Tal vez
con un crédito
de préstamo y así poder
recuperar la inversión, lo que motivaría mas al
dueño.

Esquema del sistema
Estructura de
planteamiento
(M/M/6) (PEPS/0/∞)

En donde:
A. – Distribución de llegadas.
B. – Distribución del tiempo de servicio.
C. – Numero de clientes internos o servidores.
D. – Disciplina de la cola de servicio.
E. – Numero máximo admitido en el sistema.
F. – Tamaño de la fuente de llegada.

La distribución de llegadas se determina de
POISSON debido a que el numero de llegadas de clientes al sistema
ocurren de manera aleatoria pero en una cierta tasa de media
fija. La distribución de POISSON se representa con M en a,
de igual manera la distribución del tiempo de servicio se
aproxima a una distribución exponencial por lo cual
automáticamente decidimos utilizar k, además de
saber que la exponencial es la que más se usa en la
practica.

El número de clientes internos o servidores en
c es 6, ya que solamente existe 6 equipos disponibles.
La disciplina de la cola de servicio se respeta el sistema "PEPS"
el cual significa "Primero en entrar, primero en salir" ya que el
primer cliente que llega a la servidor es el primero en ser
atendido y por lo tanto no puede ser ocupado por otra persona
hasta que este lo desocupe.
El número máximo admitido en el sistema es 6, ya
que no existe una cola antes de recibir el servicio y el cliente
se va del lugar cuando los servidores están ocupados.
El tamaño de la fuente de llegadas también es
∞ (infinito) ya que la empresa tiene
su servicio abierto al publico en general y por lo tanto, el
∞ representa un numero inmenso de posibles llegadas de
clientes

Contenido
Por lo que ya se explico al inicio, el problema actual se plantea
de la siguiente manera:
( M / M / 6 ) ( PEPS / 6 / ∞ )
Se ha obtenido que la tasa promedio de llegadas
(l ) es de
0.8737 clientes por hora, mientras que la tasa promedio de salida
(m ) es 1.8323
clientes por hora, por lo tanto:
l = 0.4292 clientes /
hora
m =
0.8512 clientes / hora
 = l
/ m =
0.4292 / 0.8512 = 0.5042 = 50.42%

De los resultados obtenidos en el programa tenemos
que:

• El Número de clientes promedio en el sistema
  es Ls = 0.5042
• El Número en la cola siempre es Lq =
  0
• El tiempo promedio que un cliente permanece en el
  sistema Ws = 1.1748 hours
• Lo que es aproximadamente igual a 70
  minutos
• El tiempo en la cola siempre es Wq = 0
• El factor de utilización es igual a 8.4027
  %
• La Probabilidad de
  encontrar a ningún cliente en el sistema es 60.4007
  %
• Para comprobar lo anterior se realizan las siguiente
  operaciones:
• = 0.4292 clientes / hora
• = 0.8512 clientes / hora
•  = l / m = 0.4292 / 0.8512 = 0.5042 =
  50.42%
• Se sabe que Lq = 0 (No hay clientes en fila
  nunca)
• Ls = Lq + r = 0 + 0.5042 = 0.5042
• Ws = Ls / l = 0.5042 / 0.4292 = 1.1747hr
  » 70.48
  minutos
• Wq = Lq / l = 0 / 0.4292 = 0
• = l
  / cm =
  0.4292 / [6*(0.8512)] = 0.0840 = 8.40 %
• = (0!)-1(0.5042)0 +
  (1!)-1(0. 5042)1 + (2!)-1(0.
  5042)2 + (3!)-1(0. 5042)3 +
  (4!) -1(0. 5042)4 + (5!)-1(0.
  5042)5 = 1.6556
• = (6!)-1(0.5042) 6 ((6(0.8512))
  / ((6(0.8512)-0.4292)) = 0.000024911
• Po = [0.000024911 + 1.6556]-1 =
  [1.655660802]-1 = 0.603988 = 60.3988%

Comentarios
El lugar si presenta deficiencias puesto que el dueño no
estaba preparado para iniciar, pero él considero que ya
debería empezar, aunque no contaba con todo el capital
planeado para los servicios y
demás que se ofrecería en el lugar.
Sin duda la el problema actual es muy sencillo, pero aun se nota
la diferencia, en la computadora
quedo listo en menos de 5 minutos (3:37 min), mientras que a mano
tarde 17:05 minutos con un error en este intervalo. Además
que los valores
devueltos por el Software son más exactos, inclusive puede
determinar cuantos decimales debe devolver, el predeterminado es
cuatro.

5.
Conclusiones

Después de los cálculos y obtener
resultados hemos llegado a la conclusión que el lugar
necesita publicidad y darse a conocer mediante otro medios, como
principales clientes se debe dirigir a los alumnos del Cobach
Reforma que está ahí cerca y personas que viven en
los alrededores de lugar, además sería importante
poner alguna especie de sala de espera, estableciendo algunos
equipos que motiven al cliente a esperar un momento, un
televisor, música, refrescos,
frituras, etc; además ofrecer algunos otros servicios como
grabado de CDs, venta de Discos
flexibles, copias, digitalizado de imágenes,
etc. Además de incluir promociones que beneficien a los
clientes para motivarlos a visitar el lugar más
seguido.

6. Bibliografía y
referencias

Para la realización del trabajo se
recurrió al sistema de ayuda y sitios de Internet, los
cuales se presentan a continuación
Ayuda de QSB para Windows©, WinQSB. Queuing Análisis. Versión 1.00 for
Windows
http://www.itlp.edu.mx/publica/tutoriales/investoper2/tema36.htm
(Tutorial del Instituto Tecnológico de la Paz)
http://www.disc.ua.es/asignaturas/rc/trabajos/colas/redes6.htm
(Tutorial del Departamento de Física, Ingeniería
de Sistemas y Teoría
de la Señal)
http://www.mngt.waikato.ac.nz/depts/mnss/john/376/waitline/theory.html (Tutorial
de Waikato Management School)

Anexos
Se utilizó Queuing Analysis en su versión 1.00, que
es parte de QSB for Windows© que esta registrado por
Yih-Long Chang.
Se utilizó Microsoft© Excel en su
versión 2000, que forma parte de la Familia
Microsoft Office 2000©
que esta registrado por Microsoft©.

Autor:

Juan Pablo Valenzuela Garcia
<>

Ejecutivo De Ventas
<>
Oficina:
Yañez Y Campeche, Col. San Benito
Hermosillo, Sonora, Mexico